các bài toán bất đẳng thức

1

§¹i häc th¸i nguyªn
Tr−êng ®¹i häc s− ph¹m




















L
L
Ê
Ê

M
M
I
I
N
N
H
H


A
A
N
N







RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ
CHO HỌC SINH THPT QUA CÁC BÀI TOÁN
BẤT ĐẲNG THỨC


KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
NGÀNH: TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học : TS. Cao Thị Hà
















T
HÁI NGUYÊN

-
2012



2

MỤC LỤC

Trang bìa phụ 1
Mục lục 2
Lời cảm ơn 3
Danh mục các từ viết tắt 4
MỞ ĐẦU 5
Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 8
1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ 8
1.1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan 8
1.1.2. Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán 13
1.2. Hoạt động trí tuệ trong dạy và học ở trường phổ thông 23
1.2.1. Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT 23
1.2.2. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh 25
Kết luận chương 1 28
Chương 2: RÈN LUYỆN MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CHO HỌC SINH
THPT QUA CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 29
2.1. Tổng quan về BĐT 29
2.2. Dạy học rèn luyện hoạt động trí tuệ qua bài toán BĐT ở trường THPT 31
2.2.1. Chủ đề 1: Bài toán BĐT Đại số 31
2.2.2. Chủ đề 2: Bài toán BĐT hình học và cực trị hình học 54
2.2.3. Chủ đề 3: Ứng dụng hàm số trong chứng minh BĐT 63
Kết luận chương 2 72
Kết luận 69
Tài liệu tham khảo 70


3

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn cô giáo TS. Cao Thị Hà - Người đã định hướng và
dẫn dắt em tận tình trong suốt quá trình thực hiện đề tài.

Qua đây em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán cùng các
bạn sinh viên và những người đã giúp đỡ em hoàn thành đề tài này.
Đề tài của em không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận
được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô, các bạn sinh viên và những người quan
tâm tới đề tài này để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến xin gửi về địa chỉ hòm thư:
Em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 04 năm 2012
Sinh viên


Lê Minh An


4

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG KHÓA LUẬN

[
]
?
: Câu hỏi
→
: Dự đoán câu trả lời hoặc cách xử lí của học sinh
BĐT : Bất đẳng thức
CMR : Chứng minh rằng
NXB : Nhà xuất bản
THPT : Trung học phổ thông

5

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Xuất phát từ mục tiêu trong giáo dục đào tạo của Đảng và Nhà nước.
Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII, BCH trung ương Đảng Cộng Sản Việt
Nam đã chỉ rõ "Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người
học , rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một
cách năng động, độc lập sáng tạo ngay trong quá trình học tập ở trường phổ
thông…áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh
khả năng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề"
Luật giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy
định: "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy
sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí
vươn lên" (Chương I, Điều 4)
 Xuất phát từ thực trạng dạy và học ở các trường phổ thông ở nước ta hiện
nay.
Trong thực tế giáo dục hiện nay một bộ phận không nhỏ học sinh thường tiếp
thu kiến thức một cách khá thụ động, vận dụng kiến thức một cách máy móc, không
linh hoạt, và do đó thường lúng túng khi gặp vấn đề đó nhưng được biến đổi dưới
dạng khác, hoặc đứng trước vấn đề mới. Nguyên nhân của tình trạng này một phần
là do cách học của các em chưa phù hợp, nhưng phương pháp dạy của giáo viên
chưa chú trọng đến việc phát triển tư duy, rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học
sinh cũng là một lí do quan trọng. Vì vậy cần tích cực dạy học rèn luyện hoạt động
trí tuệ phát triển tư duy học sinh để giúp học sinh học tập tốt, tiếp thu kiến thức hiệu
quả, và xa hơn là phát triển giáo dục theo chiều sâu, xây dựng đào tạo con người
mới: chủ động sáng tạo, phù hợp với sự phát triển của khoa học kĩ thuật như hiện
nay.

 Xuất phát từ vài trò của môn Toán nói chung và nội dung Bất đẳng thức
nói riêng trong dạy và học ở trường phổ thông.
Toán học là ngành khoa học cơ bản tạo nền tảng cho các ngành khoa học
khác. Nói đến toán học là nói đến sự chặt chẽ và logic. Trong chương trình giáo dục


6

phổ thông môn toán không những giữ vai trò hết sức quan trọng nhằm trang bị cho
người học một hệ thống kiến thức căn bản, mà nó còn được coi như là một môn thể
thao của trí tuệ góp phần phát triển năng lực toán học cùng với các thao tác tư duy,
rèn luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh.
Bất đẳng thức (BĐT) là một nội dung khó trong môn toán ở trường phổ
thông, tuy nhiên đây cũng là một lĩnh vực rất hay, đòi hỏi người học phải động não,
tìm tòi, sáng tạo. Từ một bất đẳng thức đơn giản có thể tạo ra những bài toán khó và
đẹp, và do đó cũng có những cách giải hay, độc đáo và đơn giản cho một bài toán
phức tạp. BĐT xuất hiện trong nhiều bộ phận khác của toán phổ thông, như trong
việc giải quyết các bài toán về phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất
nhỏ nhất của biểu thức, xuất hiện trong các bài toán hình học, lượng giác… Do đó
BĐT sẽ là công cụ quan trọng và hiệu quả trong việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ
cơ bản như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, trừu tượng hoá.
Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài: "Rèn luyện
một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán Bất đẳng thức".
2. Mục đích nghiên cứu
Đề xuất một số biện pháp rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản cho học sinh
THPT thông qua bài toán BĐT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận và xác định một số biện pháp rèn luyện hoạt động trí tuệ
của học sinh trong giảng dạy môn toán ở trường THPT.
- Trên cơ sở lí luận và một số biện pháp đã được xác định, đề xuất phương án

rèn luyện hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT.
- Thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm kết quả việc thực hiện phương án rèn
luyện các hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua bài toán BĐT.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm



7

5. Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương
Chương 1: Cơ sở lí luận
Chương 2: Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT
qua các bài toán BĐT
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
Rèn luyện một số hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT qua các bài toán BĐT



8

Chương 1:
CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Tổng quan về hoạt động trí tuệ
1.1.1. Tư duy và những vấn đề liên quan

a) Tư duy là gì (xem [4])
Theo các nhà tâm lí học thì tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiện tượng trong
hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết.
Quá trình nhận thức gồm hai giai đoạn: nhận thức cảm tính (gồm hai quá
trình cảm giác và tri giác) và nhận thức lý tính (gồm hai quá trình tư duy và tưởng
tượng). Như vậy, tư duy thuộc giai đoạn nhận thức lý tính nhưng vẫn có mối quan
hệ mật thiết với nhận thức cảm tính được bắt nguồn từ nhận thức cảm tính, dựa trên
cơ sở nhận thức cảm tính.
Ngôn ngữ được xem là phương tiện của tư duy. Sản phẩm của tư duy là
những khái niệm, phán đoán, suy luận được diễn đạt bằng từ, ngữ, câu, kí hiệu,
công thức.
b) Những vấn đề liên quan với tư duy (xem [11])
 Tư duy và ngôn ngữ
Tư duy và ngôn ngữ liên hệ mật thiết với nhau, quyết định lẫn nhau : tư duy
chỉ tồn tại nhờ cái vỏ ngôn ngữ ; tư tưởng của con người tồn tại vì có từ, có tiếng
nói. Tư tưởng thuộc phạm trù nội dung, ngôn ngữ thuộc phạm trù hình thức. Nội
dung quyết định hình thức, hình thức lại ảnh hưởng trở lại nội dung.
Trong toán học, việc thể hiện đúng đắn mối quan hệ giữa nội dung tư tưởng
toán học và hình thức ngôn ngữ toán học là một cơ sở phương pháp luận quan trọng
của giáo dục toán học.
Ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ :
- Trong ngôn ngữ toán học, một dấu, một chữ số, chữ cái, dấu phép tính hay
dấu quan hệ có thể biểu thị được điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến một
mẫu câu hay một cụm từ mới biểu thị được. Điều đó làm cho ngôn ngữ toán học
gọn gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên.


9

- Mỗi kí hiệu toán học hay mỗi kết hợp kí hiệu đều có một ý nghĩa duy nhất,
điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt chính xác hơn hẳn ngôn
ngữ tự nhiên.
- Trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến, điều đó cho phép
ngôn ngữ toán học rất thích hợp để khái quát diễn đạt các quy luật chung.
 Tư duy và nhiệm vụ nhận thức
Tư duy chỉ nảy sinh khi có tình huống có vấn đề, có nhiệm vụ nhận thức. Tư
duy là sự vận động từ chỗ chưa biết, biết không đầy đủ, đến chỗ biết và biết đầy đủ.
Trong quá trình dạy học, khi giáo viên đặt học sinh trước một câu hỏi, bài tập, bài
toán (nhiệm vụ nhận thức), tư duy sẽ nảy sinh khi học sinh phải đi tìm cách giải
quyết nhiệm vụ ấy, đi tìm cái giống nhau và khác nhau, khái quát các sự kiện và tự
mình rút ra các kết luận.
Trong giáo dục toán học, các bài toán có vai trò đặc biệt quan trọng, là động
lực thúc đẩy tư duy học sinh tích cực hoạt động. Theo nhà giáo dục toán học
G.Polya, nếu lấy việc làm cho tư duy học sinh tích cực nhiều hay ít để làm tiêu
chuẩn phân loại thì có thể phân các bài toán làm 2 loại : bài toán chuẩn và bài toán
không chuẩn. Bài toán chuẩn là bài toán có thể được giải bằng cách áp dụng trực
tiếp các quy tắc mà người giải chỉ cần có kinh nghiệm nhất định trong việc áp dụng
một số quy tắc theo thuật toán. Còn bài toán không chuẩn là bài toán được giải
không theo một khuôn mẫu đã biết từ trước, nó đòi hỏi phải có sự sáng tạo nhất
định ở học sinh. Trong việc phát triển tư duy cho học sinh, bài toán chuẩn cũng có
những lợi ích và cần thiết. Tuy nhiên nếu tuyệt đối hóa vai trò của chúng thì không
phát triển được tự duy sáng tạo cho học sinh. Vậy cần phải có sự coi trọng đúng
mức với cả hai loại toán chuẩn và không chuẩn.
 Tư duy và hoạt động
Hành động là sự vận động hướng vào đối tượng và theo đuổi một mục đích
xác định.
Trong tâm lí học, phân biệt những hành động vật chất (bên ngoài, vận động)
với các đối tượng và những hành động trí tuệ (bên trong, tâm lí) với các hiện thực
tâm lí.

10

Một tập hợp các hành động trí tuệ gọi là hoạt động trí tuệ.
Nội dung chính của giáo dục toán học coi trọng yếu tố hành động của chủ
thệ nhận thức như sau :
- Nhà sư phạm lựa chọn, tạo ra những hoàn cảnh, môi trường có chứa đựng
những khái niệm toán học sẽ giảng dạy cho học sinh.
- Học sinh hành động trong môi trường toán học (dưới hình thức trò chơi hay
thực hiện một nhiệm vụ nào đó) thông qua hành động, học sinh "tách" nội dung
toán học trừu tượng ra khỏi hoàn cảnh đã toán học hóa.
 Tư duy và kiến thức
Tư duy là thao tác lựa chọn các kiến thức phù hợp với nội dung và loại hình
nhiệm vụ nhận thức được đặt ra. Kiến thức vừa là cái kích thích ban đầu, vừa là
phương tiện cơ bản, vừa là kết quả cuối cùng của quá trình tư duy.
Những kiến thức tham gia vào quá trình tư duy có thể chia làm hai loại :
- Những kiến thức mà người giải toán thu nhận trực tiếp từ điều kiện của bài
toán khi đọc kĩ đề bài.
- Những kiến thức tuy không nằm trong điều kiện của bài toán, nhưng không
có chúng thì quá trình tư duy không nảy sinh được ; đó là những kiến thức về định
nghĩa, định lí toán học mà người giải toán đã thu thập được từ trước. Những kiến
thức này cần thiết cho sự thiết lập mối quan hệ logic giữa điều kiện và kết luận của
bài toán.
Sự phát triển của các năng lực tư duy, đòi hỏi sự phát triển của cả mặt nội
dung của tư duy (các kiến thức) lẫn mặt hành động của tư duy (các hành động trí
tuệ). Thực tế giáo dục cho thấy nhiều học sinh có thói quen xấu là chỉ nghe giảng
qua loa ở lớp rồi lao vào làm bài tập toán ngay ; vì kiến thức chưa nắm vững, vì
chưa có đầy đủ kiến thức hai loại nên không giải được toán. Ngược lại, có nhiều
học sinh chỉ học thuộc lòng kiến thức toán trong sách, ít chịu giải bài tập, hành

động trí tuệ ít được rèn dũa nên cũng không giải được bài toán đòi hỏi phải "động
não" chút ít.
 Tư duy và những đặc điểm nhân cách


11

Những đặc điểm nhân cách bộc lộ rất rõ nét trong toàn bộ hoạt động nhận
thức nói chung, hoạt động tư duy nói riêng của con người. Mỗi thành phần của nhân
cách có ảnh hưởng khác nhau đến hoạt động tư duy.
- Thành phần thứ nhất của nhân cách đặc trưng khuynh hướng của nhân
cách; Khuynh hướng bao hàm một hệ thống các nhu cầu và hứng thú có tác động
lẫn nhau, trong đó có những hứng thú giữ vai trò chủ đạo. Khuynh hướng chủ đạo
của nhân cách quyết định toàn bộ hoạt động tâm lí của nhân cách, chẳng hạn, sự
chủ đạo của nhu cầu nhận thức dẫn tới trạng thái tương ứng của ý chí và cảm xúc,
trạng thái này làm cho hoạt động trí tuệ trở lên tích cực.
Trong quá trình dạy học môn toán, muốn nâng cao chất lượng nắm vững
kiến thức của học sinh giáo viên cần coi trọng bồi dưỡng động cơ học tập đúng đắn,
bồi dưỡng hứng thú toán học cho học sinh.
- Thành phần thứ hai của nhân cách xác định những khả năng của nhân cách
và bao hàm một hệ thống những năng lực (thu nhận, chế biến, ghi nhớ các thông tin
toán học) bảo đảm thực hiện một hoạt động thắng lợi.
- Thành phần thứ ba của nhân cách là tính tình của con người, thành phần
này ảnh hưởng đến quá trình tư duy dưới hình thức phản ứng trước việc tìm tòi thấy
hay không thấy lời giải bài toán. Dẫn tới sự thỏa mãn, tự tin hay kém tự tin gây
thuận lợi hoặc trở ngại cho hoạt động trí tuệ được tiếp tục.
- Thành phần thứ tư của nhân cách được xây dựng dựa trên các thành phần
khác của hệ thống điều khiển. Trong hoạt động tư duy, hệ thống điều khiển thực
hiện sự tự điều chỉnh : Tăng cường hoặc giảm bớt hoạt động ; tự kiểm tra và tự sửa
chữa những sai sót trong hoạt động ; lập kế hoạch cho hoạt động.

Do vậy, trong quá trình giảng dạy giáo viên phải kết hợp việc truyền thụ trị
thức toán học với việc bồi dưỡng những phẩm chất nhân cách cho học sinh.
c) Quá trình tư duy (xem [4])
Tư duy là một hành động. Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết
một nhiệm vụ nào đó nảy sinh trong quá trình nhận thức hay trong hoạt động thực
tiễn. Quá trình tư duy bao gồm nhiều giai đoạn (khâu) kế tiếp nhau :


12

(1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy. Nói cách khác
là tìm được câu hỏi cần giải đáp.
(2) Huy động, làm xuất hiện trong trí não những tri thức kinh nghiệm, những
liên tưởng nhất định có liên quan đến vấn đề đã được xác định và biểu đạt.
(3) Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết cho phù hợp với nhiệm
vụ đã đề ra, từ đó đưa ra cách giải quyết có thể có đối với nhiệm vụ tư duy.
(4) Xác minh giả thiết trong thực tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,
nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới
(5) Giải quyết đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng. Quá trình giải quyết nhiệm
vụ thường có nhiều khó khăn do chủ thể không nhận thấy một số dữ kiện của bài
toán hoặc đưa vào bài toán một điều kiện thừa và do tính khuôn sáo cúng nhắc của
tư duy.
Nhà tâm lí học Xô Viết K.K.Platônốp đã tóm tắt các giai đoạn của một hành
động (quá trình) tư duy bằng sơ đồ (Hình H1.1) [4]
Nhận thức vấn đề
Xuất hiện các liên tưởng
Sàng lọc liên tưởng và hình thành giả
thuyết
Kiểm tra giả thuyết
Chính xác hóa Khẳng định Phủ định

Giải quyết vấn đề Hành động tư duy mới
H1.1


13

1.1.2. Hoạt động trí tuệ cơ bản của học sinh trong học tập môn Toán
Theo Nguyễn Bá Kim [5] thì nội dung dạy học môn toán có mối liên hệ chặt
chẽ với các hoạt động của học sinh. Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những
hoạt động nhất định, đó là những hoạt động được thực hiện trong quá trình hình
thành hoặc vận dụng nội dung đó.
Dạy học là một quá trình phức tạp nên ta cần xem xét những hoạt động trên
những bình diện khác nhau liên hệ với những nội dung dạy học. Nội dung môn toán
ở trường phổ thông liên hệ mật thiết với nhiều dạng hoạt động. Trong đó có các
hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa
đặc biệt hóa, trừu tượng hóa cụ thể hóa.
 Phân tích và tổng hợp:
Phân tích là dùng trí não để tách ra từng thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt
của cái toàn thể hoặc chia cái toàn thể ra thành từng phần. Trái lại, tổng hợp là dùng
trí não để kết hợp lại các thuộc tính hay khía cạnh khác nhau nằm trong cái toàn thể
hoặc hợp lại từng phần của cái toàn thể.
Phân tích và tổng hợp không bao giờ tồn tại tách rời nhau, chúng là hai mặt
của một quá trình thống nhất.
Trong phân tích đã có tổng hợp, phân tích một cái toàn thể đồng thời là tổng
hợp các phần của nó vì phân tích một cái toàn thể ra thành từng phần cũng chỉ
nhằm mục đích làm bộc lộ ra mối liên hệ giữa các phần của cái toàn thể ấy; phân
tích một cái toàn thể là con đường để nhận thức cái toàn thể đó sâu sắc hơn.
Sự thống nhất giữa quá trình phân tích – tổng hợp còn được thể hiện ở chỗ:
cái toàn thể ban đầu (tổng hợp I), định hướng cho phân tích, chỉ ra cần phân tích
mặt nào, khía cạnh nào; kết quả của phân tích là cái toàn thể ban đầu được nhận

thức sâu sắc hơn (tổng hợp II);
Tổng hợp I – Phân tích – Tổng hợp II
Các thao tác phân tích tổng hợp có mặt trong mọi hành động trí tuệ. Chẳng
hạn, muốn so sánh hai hay nhiều đối tượng, thì trước hết phải tách từng mặt của
một đối tượng (tổng hợp II) xem chúng có những mặt nào giống nhau, những mặt
nào khác nhau.


14

Trong mọi khâu của quá trình học tập toán học của học sinh, năng lực phân
tích và tổng hợp luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và
vận dụng kiến thức một cách sáng tạo.
Trong hoạt động giải toán, trước hết phải nhìn nhận một cách tổng hợp để
xem bài toán thuộc loại gì, cần huy động những kiến thức thuộc vùng nào, có thể sự
dụng những phương pháp nào, sau đó phải phân tích cái đã cho và cái phải tìm,
hoặc phân tích ra nhiều bài toán nhỏ hơn, phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố
của bài toán để tìm ra lời giải. Sau khi tìm lời giải của các bài toán bộ phận, phải
tổng hợp lại để được lời giải của các bài toán đang xét. Thông thường, khi tìm tòi
lời giải ta dùng đến năng lực phân tích nhiều hơn, nhưng khi trình bày lời giải, ta
thường dùng đến năng lực tổng hợp để trình bày lời giải, giúp lời giải ngắn gọn, dù
đôi khi có vẻ thiếu tự nhiên. Các kiến thức trong SGK thường được trình bày theo
lối tổng hợp để đảm bảo tính ngắn gọn, cô đọng, song khi giảng bài, giáo viên cần
có những câu hỏi gợi mở, dẫn dắt để đi đến những kết luận đó sao cho quá trình lí
luận càng tự nhiên càng tốt, từ dễ đến khó, không áp đặt, không đột ngột, để tạo
hứng thú và giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích.
Ví dụ 1.1:
Bài toán: Cho
, , 0
a b c

>
thỏa mãn
1
abc
=
. CMR:
3 3 3
a b c
+ +
a b c
≥ + +

 Nhìn bao quát bài toán:
Đây là bài toán chứng minh BĐT có điều kiện 3 biến đối xứng, phương pháp
chứng minh: sử dụng BĐT cổ điển, sử dụng định nghĩa (xét hiệu hai vế), Bài toán
cho 3 số dương (
, , 0
a b c
>
) có tích bằng 1 (
1
abc
=
). Yêu cầu chứng minh tổng các
lập phương của chúng lớn hơn hoặc bằng tổng của chúng (
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
).
 Phân tích:

- Nhìn vào 2 vế của bất đẳng thức, tương ứng là
3 3 3
, ,
a b c
và a, b, c. Làm thế
nào để “hạ bậc”, chẳng hạn từ a
3
xuống a? Có liên hệ đến BĐT quen thuộc
nào có thể hạ bậc được không? (BĐT Côsi (AM-GM))
- a,b,c là các số dương nên ta có thể áp dụng BĐT Côsi, vậy áp dụng BĐT
Côsi như thế nào? Áp dụng
3 3 3
3
a b c abc
+ + ≥ được không? (Đúng nhưng
không đi đến kết quả!)


15

- Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
a b c
= = =
, vậy phải chăng ta nên áp dụng BĐT
Côsi với 1! Áp dụng BĐT Côsi cho a
3
và 1 mà phải “hạ bậc” của a
3
xuống

a. Vậy ta áp dụng cho 3 số a, 1, 1:
3 3
3
1 1 3 .1.1 3
a a a
+ + ≥ =

- Áp dụng tương tự với
3 3
,
b c
được
3 3 3
3( ) 6
a b ca b c ≥ + ++
−
+
(tổng hợp).
Để có được BĐT cần chứng minh cần phải chứng minh thêm a+b+c
≥
3. Còn
giả thiết nào chưa sử dụng? (abc=1) BĐT nào biểu thị mối liên hệ giữa a+b+c
và abc (a+b+c
≥
3
3
3
abc
=
).

 Tổng hợp:
Ta có a,b,c > 0 do đó áp dụng BĐT Côsi ta có:
3 3 3
1 1 3 ; 1 1 3 , 1 1 3
a a b b c c
+ + ≥ + + ≥ + + ≥

( )
3 3 3
3 3 3
2 2 2 3( )
3 6
a b c a b c
a b c a b c
⇒
+ + + + + ≥ + +
⇔ + + ≥ + + −

Áp dụng BĐT Côsi lại có :
3
3.3 9
gt
a b c abc
cv v
+ + ≥ =

3 3 3
3
a b c
⇒ + + ≥

. Đẳng thức xảy ra khi
a b c 1
= = =
(đpcm)
 So sánh:
So sánh là sự xác định giống nhau và khác nhau giữa các sự vật và hiện
tượng. Muốn so sánh hai sự vật (hiện tượng) ta phải phân tích các dấu hiệu, thuộc
tính của chúng, đối chiếu các dấu hiệu thuộc tính đó với nhau, rồi tổng hợp lại xem
hai sự vật (hiện tượng) đó có gì giống và khác nhau.
Trong dạy học môn toán nói chung, dạy học môn Toán ở trường THPT nói
riêng, so sánh đóng vai trò quan trọng giúp học sinh tìm ra những dấu hiệu thuộc
tính bản chất đặc trưng của sự vật (hiện tượng) từ đó giúp học sinh nắm vững và
sâu sắc kiến thức một cách có hệ thống. Cần luyện tập cho học sinh so sánh những
sự vật, hiện tượng bề ngoài có vẻ khác nhau nhưng thực chất là giống nhau, hoặc
cho học sinh so sánh các sự vật theo nhiều khía cạnh khác nhau, nhìn ở khía cạnh
này thì chúng khác nhau, nhưng nhìn ở khía cạnh khác thì chúng có thể giống nhau.
Ví dụ 1.2:
Bài toán 1.2.1: Cho tứ giác ABCD, có
AC BD
⊥
. CMR:
. . .
AB BC AD CD AC BD
+ ≥
.


16

Lời giải:

Ta có: . 2
ABC
AB BC S
≥
, . 2
ACD
AD CD S
≥

. . 2 .
ABCD
AB BC AD CD S AC BD
⇒ + ≥ =
(đpcm)
Bài toán 1.2.2: Cho a, b, c, d > 0. CMR:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
a c b c a d b d a b c d
+ + + + + ≥ + +

LG:
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki (Cauchy-Schwartz) ta có:

(
)
(
)
2 2 2 2
ac bc a c b c
+ ≤ + +
,
(
)
(
)
2 2 2 2
ad bd a d b d
+ ≤ + +


Cộng vế 2 BĐT trên ta suy ra được điều phải chứng minh.
 Nhận xét: Khi mới nhìn qua đề bài thì 2 bài toán trên không có gì liên quan đến
nhau, nhưng thực chất hai bài toán này là một. Bởi ở bài toán 1, nếu ta đặt OA = a,
OC = b, OB = c, OD = d, với a, b, c, d > 0. (Hình H1.2)
⇒
,
AC a b BD c d
= + = +
. Theo định lí Pitago:
2 2 2 2 2 2 2 2
, , , ,
AB a c BC b c AD a d CD b d
= + = + = + = +

Khi đó BĐT cần
chứng minh trở thành:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
2 2 2 2 2 2 2 2
a c b c a d b d a b c d
+ + + + + ≥ + +
(*)
Đây chính là bài toán 2.
Qua sự so sánh này ta có thể đưa ra lời giải bằng phương pháp hình học khá
độc đáo cho bài toán 2, tương ứng có thể đại số hóa lời giải của bài toán 1, và đồng
thời hiểu được ý nghĩa hình học của BĐT (*).
Như vậy chính sự so sánh các sự vật và hiện tượng theo nhiều khía cạnh
khác nhau sẽ giúp cho quá trình khái quát hóa hay dự đoán bằng tương tự một cách
sâu sắc.
 Tương tự
Là quá trình suy nghĩ phát hiện sự giống nhau giữa hai đối tượng để từ
những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với những đối
tượng kia.
H1.2


17

Kết luận rút ra từ suy luận tương tự chỉ là một giả thuyết, một dự đoán, có
thể đúng, có thể sai nhưng nó góp phần tìm tòi cái mới. Trong hoạt động giải toán,
sử dụng suy luận tương tự để liên hệ bài toán cần giải với bài toán đã giải giúp
nhanh chóng tìm ra lời giải, do đó khi dạy một tri thức mới, ra một bài tập mới, gợi
ý cho học sinh biết liên hệ kiến thức cũ, dự đoán kết quả để tìm ra phương pháp giải
quyết.
Ví dụ 1.3 Xét 2 bài toán:
Bài toán 1.3.1 CMR:
, , 0
a b c
∀ ≥
ta có:
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
(BĐT Nesbitt)
Lời giải:
Xét các biểu thức sau :
a b c
S
b c c a d a
= + +
+ + +
,
b c a
M

b c c a a b
= + +
+ + +
,
c a b
N
b c c a a b
= + +
+ + +
.
Ta có : M+N=3. Mặt khác theo BĐT Côsi lại có :
3
3 . . 3,
a b b c c a a b b c c a
M S
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ = + + ≥ =
+ + + + + +

3
3 . . 3.
a c a b b c a c a b b c
N S
b c c a a b b c c a a b
+ + + + + +
+ = + + ≥ =
+ + + + + +

Vậy

M N 2S 6 2 3
S
+ + ≥ ⇒ ≥
.
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra khi a = b = c
⇒

đ
pcm.
Bài toán 1.3.2
CMR :
, , , 0
a b c d
∀ ≥
ta có :
2.
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
(B
Đ
T Nesbitt 4 bi
ế
n)

[
]
?
Bài toán trên có gì gi
ố
ng v
ớ
i bài toán
đ
ã xét không ?
+ Các bi
ế
n trong B
Đ
T
đề
u là các s
ố
th
ự
c d
ươ
ng.
+ "Mô hình" c
ủ
a B
Đ
T nói chung là không thay
đổ
i.

[
]
?
Có th
ể

đư
a ra m
ộ
t
đị
nh h
ướ
ng t
ươ
ng t
ự
nh
ư
bài toán 1 không?
[
]
?
Có th
ể
l
ậ
p các bi
ể
u th

ứ
c t
ươ
ng t
ự
không? M
ụ
c
đ
ích c
ủ
a vi
ệ
c l
ậ
p các bi
ể
u th
ứ
c
M, N
để
làm gì? Các bi
ể
u th
ứ
c M, N có
đặ
c
đ

i
ể
m gì?


18

+ Lập biểu thức M, N để "ghép" với S (vế phải của BĐT) có thể "giản ước"
trực tiếp hoặc thông qua BĐT Côsi.
+ M, N phải có dạng :
? ? ? ?
b c c d d a a b
+ + +
+ + + +
Để các tổng M+N, M+S,
N+S có các hạng tử cùng mẫu để kết hợp
+ Tổng M+N có thể rút gọn thành hằng số, chẳng hạn là:
b c d a
M
b c c d d a a b
= + + +
+ + + +
,
.
c d a b
N
b c c d d a a b
= + + +
+ + + +

Ta có:
4
b c c d d a a b
M N
b c c d d a a b
+ + + +
+ = + + + =
+ + + +

[
]
?
Có thể đánh giá M+S và N+S không?
4
4 . . . 4,
a b b c c d d a a b b c c d d a
M S
b c c d d a a b b c c d d a a b
+ + + + + + + +
+ = + + + ≥ =
+ + + + + + + +


a c b d a c b d
N S
b c c d d a a b
+ + + +
+ = + + +
+ + + +
.

[
]
?
Với tổng N+S có thể đánh giá như trên được không? (Không, bởi khi dùng
BĐT Côsi không triệt tiêu hết được biến)
[
]
?
Vậy có cách nào khác để đánh giá nó không?
[
]
?
Hãy quan sát đặc điểm của biểu thức này. Để ý đến tử số của các hạng tử, có 2
cặp hạng tử có tử số giống nhau, ghép chúng lại xem có đặc điểm gì không?
( ) ( )
1 1 1 1
a c a c b d b d
N S
b c d a c d a b
a c b d
b c d a c d a b
+ + + +
   
+ = + + +
   
+ + + +
   
   
= + + + + +
   

+ + + +
   

[
]
!
Tiếp tục quan sát, nếu ta "ghép" được mẫu số (cộng tổng lại) trong
1 1
b c d a
+
+ +

và
1 1
c d a b
+
+ +
thì ta sẽ giản ước được N+S vì chúng sẽ có mẫu số chung là
a + b + c + d.
[
]
?
Bất đẳng thức nào liên hệ giữa
1 1
x y
+
và
1
x y
+

? (
1 1 4
, , 0
x y
x y x y
+ ≥ ∀ >
+
)


19

[
]
?
Áp dụng vào bài toán được không?
4( ) 4( )
4
a c b d
N S
a b c d a b c d
+ +
+ ≥ + =
+ + + + + +


2 8 2
M N S S
⇒ + + ≥ ⇒ ≥
(đ

pcm).

Nh
ậ
n xét: Nh
ư
v
ậ
y h
ướ
ng d
ẫ
n h
ọ
c sinh gi
ả
i bài toán theo m
ộ
t bài toán t
ươ
ng t
ự

đ
ã giúp h
ọ
c sinh gi
ả
i quy
ế

t bài toán d
ễ
dàng và t
ự
nhiên h
ơ
n, h
ơ
n n
ữ
a còn giúp h
ọ
c
sinh hi
ể
u sâu s
ắ
c h
ơ
n bài toán.



Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát là dùng trí não tách ra cái chung trên c
ơ
s
ở
nh

ữ
ng
đố
i t
ượ
ng, s
ự

ki
ệ
n, hi
ệ
n t
ượ
ng
đ
ã bi
ế
t c
ủ
a các tr
ườ
ng h
ợ
p riêng. T
ứ
c là chuy
ể
n t
ừ

t
ậ
p h
ợ
p
đố
i
t
ượ
ng sang t
ậ
p h
ợ
p l
ớ
n h
ơ
n ch
ứ
a t
ậ
p h
ợ
p ban
đầ
u b
ằ
ng cách nêu b
ậ
t m

ộ
t s
ố

đặ
c
đ
i
ể
m chung c
ủ
a m
ộ
t s
ố
ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a t
ậ
p xu
ấ
t phát.
Nh
ờ
khái quát hóa, có th
ể

đề
xu
ấ
t
đượ
c nh
ữ
ng gi
ả
thuy
ế
t, nh
ữ
ng d
ự

đ
oán.
Khái quát hóa m
ộ
t bài toán có th
ể

đư
a t
ớ
i m
ộ
t bài toán r

ộ
ng h
ơ
n (có th
ể

đ
úng h
ặ
c
không
đ
úng (ho
ặ
c không gi
ả
i
đượ
c)). Có khi t
ổ
ng quát hóa m
ộ
t bài toán l
ạ
i giúp ta
tim tòi l
ờ
i gi
ả
i thu

ậ
n l
ợ
i h
ơ
n, d
ễ
dàng h
ơ
n
đố
i v
ớ
i bài toán
đ
ã cho. Mu
ố
n khái quát
hóa th
ườ
ng ph
ả
i so sánh nhi
ề
u
đố
i t
ượ
ng, hi
ệ

n t
ượ
ng, s
ự
ki
ệ
n v
ớ
i nhau.
Để
rèn luy
ệ
n cho h
ọ
c sinh n
ă
ng l
ự
c khái quát hóa
đ
úng
đắ
n, c
ầ
n luy
ệ
n cho
h
ọ
c sinh bi

ế
t phân tích, t
ổ
ng h
ợ
p, so sánh
để
tìm ra cái chung
ẩ
n náu trong các hi
ệ
n
t
ượ
ng, sau nh
ữ
ng chi ti
ế
t t
ả
n m
ạ
n khác nhau, nhìn th
ấ
y cái b
ả
n ch
ấ
t c
ủ

a các hi
ệ
n
t
ượ
ng, sau cái hình th
ứ
c bên ngoài
đ
a d
ạ
ng, “tóm l
ượ
c” cái chính, cái c
ơ
b
ả
n, cái
chung trong cái khác nhau bên ngoài.
Mu
ố
n v
ậ
y, m
ộ
t
đ
i
ề
u quan tr

ọ
ng là giáo viên ph
ả
i bi
ế
t bi
ế
n thiên nh
ữ
ng d
ấ
u
hi
ệ
u không b
ả
n ch
ấ
t c
ủ
a khái ni
ệ
m, hi
ệ
n t
ượ
ng
đ
ang nghiên c
ứ

u và gi
ữ
không
đổ
i
nh
ữ
ng d
ấ
u hi
ệ
u b
ả
n ch
ấ
t.
Ng
ượ
c l
ạ
i v
ớ
i khái quát hóa là
đặ
c bi
ệ
t hóa.
Đặ
c bi
ệ

t hóa là chuy
ể
n t
ừ
vi
ệ
c
kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h
ợ
p các
đố
i t
ượ
ng
đ
ã cho sang vi
ệ
c kh
ả
o sát m
ộ
t t
ậ
p h

ợ
p
đố
i t
ượ
ng
nh
ỏ
h
ơ
n ch
ứ
a trong t
ậ
p h
ợ
p ban
đầ
u.
Đặ
c bi
ệ
t hóa có tác d
ụ
ng
để
ki
ể
m nghi
ệ

m l
ạ
i
k
ế
t qu
ả
trong nh
ữ
ng tr
ườ
ng h
ợ
p riêng ho
ặ
c
để
tìm ra k
ế
t qu
ả
khác. Trong vi
ệ
c gi
ả
i
toán, vi
ệ
c xét tr
ườ

ng h
ợ
p
đặ
c bi
ệ
t có khi g
ợ
i ý cho ta tìm
đượ
c l
ờ
i gi
ả
i c
ủ
a bài toán
đ
ang xét ho
ặ
c th
ấ
y
đượ
c ph
ươ
ng pháp gi
ả
i.

20

Khái quát hóa và đặc biệt hóa cũng là hai mặt đối lập của một quá trình tư
duy thống nhất.
Ví dụ 1.4
Bài toán 1.4.1 Cho
2 2
, 0, 2. :a b a b CMR a bc
a b
> + = + ≥ +

[
]
?
Tương tự như phân tích ở ví dụ 1.1, để “hạ bậc” chẳng hạn từ a
2
xuống a, đảm
bảo đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 ta áp dụng BĐT Côsi:
2 2
1 2 ; 1 2
s
a a b b
+ ≥ + ≥

(
)
2 2
2 2
a b a b

⇒ + ≥ + −
thêm điều kiện a+b=2 ta có đpcm.
[
]
?
Có thể mở rộng BĐT trên không? Ta thử với ba số thực dương a, b, c? Chưa vội
để ý đến điều kiện của a, b, c thì BĐT có thể viết lại như nào? (Khái quát hóa)
(
2 2 2
a b c a b c
+ + ≥ + +
)
[
]
?
Áp dụng tương tự như bài toán trên ta có thể chỉ ra được điều gì?
(
(
)
2 2 2
2 3
a b c a b c
+ + ≥ + + −
)
[
]
?
Vậy thêm điều kiện gì của a, b, c tương tự như trong bài toán để BĐT giả thiết
đúng? (
3

a b c
+ + =
)
[
]
?
Vậy ta có bài toán mới như thế nào?
Bài toán 1.4.2 Cho
2 2 2
, , 0, 3. :
a b c a b c CMR a b c a c
x bc
> + + = + + ≥ + +

[
]
?
Ta có thể đưa ra bài toán tổng quát hơn không? Với 4 số? 5 số? Với n số thì
sao?
Bài toán TQ1: Cho
( )
2
1 1 1
0 1,2, , , . :
n n n
i i i i
i i i
a i n a n CMR a a
c
= = =

> = = ≥
∑ ∑ ∑

[
]
?
Liệu có thể tổng quát hơn nữa bài toán không? Tổng quát số mũ của a
i
thì sao?
[
]
?
Ta lại quay lại với trường hợp cho 2 số và với số mũ cao hơn xem sao, số mũ là
3 chẳng hạn. Bài toán có thể phát biểu như thế nào? (Đặc biệt hóa)
(
3 3 3
a b c a b c
+ + ≥ + +
)
[
]
?
Vẫn với nguyên tắc “hạ bậc” có thể chứng minh được bài toán vừa đưa ra
không?


21

( )
3 3 3

3 3 3
1 1 3 , 1 1 3 , 1 1 3
3 6
gt
a a b b c c
a b c a b c a b
b c
c
+ + ≥ + + ≥ + + ≥
⇒ + + ≥ + + − ≥ + +

[
]
?
Vậy có thể đưa ra bài toán tổng quát của nó không?
Bài toán TQ2:
( )
1 1 1
0 1,2, , , . :
n n n
k
i i i i
i i i
a i n a n CMR a a
c
= = =
> = = ≥
∑ ∑ ∑

 Trừu tượng hóa và cụ thể hóa

Khi khái quát hóa, ta tách ra cái chung trong các đối tượng nghiên cứu, chỉ
khảo sát cái chung này, gạt qua một bên những cái riêng phân biệt đối tượng này
với đối tượng khác, không chú ý tới những cái riêng này. Chẳng hạn khi xem xét
hình dáng của các vật (hình cầu chẳng hạn), ta gạt qua một bên kích thước, màu sắc,
chất liệu, công dụng,… của các vật đó. Đó là trừu tượng hóa.
Quá trình ngược lại nhưng có mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa là cụ
thể hóa. Đó là ý nghĩ về một cái riêng mà cái riêng này tương ứng với một cái
chung nhất định. Cũng có thể nói: cụ thể hóa là quá trình minh họa, giải thích
những khái niệm, qui luật khái quát, trừu tượng bằng ví dụ.
Toán học mang tính trừu tượng cao độ vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh
năng lực trừu tượng hóa có ý nghĩa hết sức quan trọng. Để phát triển năng lực trừu
tượng hóa cho học sinh, cần nắm vững mối quan hệ qua lại chặt chẽ giữa tư duy cụ
thể và tư duy trừu tượng, theo con đường biện chứng để nhận thức chân lý: “từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ đó đến thực tiễn” trong khi hình thành,
củng cố các kiến thức toán học cho học sinh.
Ví dụ 1.5
Từ việc tính:
( )
2 2
2
2 2
4 1
0 ?, ( 1) ?, ?, ?, 2 ?
9 3
   
= − = = − = =
   
   

Học sinh rút ra mệnh đề: “Bình phương của một số thực là một số không âm” . Để

khái quát thành mệnh đề tổng quát học sinh cần tách đặc điểm “số mũ chẵn” khỏi
đặc điểm “số mũ bằng 2”.
Ví dụ 1.6
Bài toán: Duyên có một miếng bìa các-tông hình vuông có cạnh dài 2(m). Duyên
muốn dùng miếng bìa ấy cắt ở 4 góc ra những hình vuông bằng nhau để gấp lên


22

một cái thùng hình hộp (không nắp) để đựng đồ. Hãy nghĩ cách giúp Duyên cắt
miếng bìa để cái thùng có thể tích lớn nhất.
Để giải bài toán này học sinh cần tách các đặc điểm về chất liệu, đơn vị đo
(mét), công dụng của thùng, chú ý vào các đặc điểm hình vuông, tạo thành hình
hộp, thể tích của hình hộp, để từ đó hình thành lên biểu thức biểu thị các mối liên
hệ trong bài toán.
Lời giải:
Gọi chiều dài cạnh của hình vuông cắt ra là x (m), suy ra
0 1
x
< <
Khi đ
ó
hình h
ộ
p s
ẽ
có
đ
áy là hình vuông c
ạ

nh 2-2x chi
ề
u cao là x. Do
đ
ó th
ể
tích c
ủ
a hình
h
ộ
p là:
(
)
(
)
2
3 2
2 2 4 2
V x x x x x
= − = − +

Xét hàm s
ố
:
3 2 2
( ) 2 , '( ) 3 4 1
f x x x x f x x x
= − + = − +

B
ả
ng bi
ế
n thiên:

C
ă
n c
ứ
vào b
ả
ng bi
ế
n thiên ta ch
ỉ
ra
đượ
c v
ớ
i
1
2
x
=
thì
(
)
f x

đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t
T
ứ
c là chi
ế
c thùng có th
ể
tích l
ớ
n nh
ấ
t. V
ậ
y Duyên ph
ả
i c
ắ
t ra các hình vuông có
c
ạ
nh là
( )
1

2
m

Ví dụ 1.7
Xét B
Đ
T Côsi cho 2 s
ố
:
, 0
a b
∀ >
ta có :
2
a b ab
+ ≥
.
Đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y ra
khi và ch
ỉ
khi a = b.
Khi
đ
ó ý ngh
ĩ

a hình h
ọ
c c
ủ
a B
Đ
T: "Trong t
ấ
t c
ả
các hình ch
ữ
nh
ậ
t có cùng
chu vi hình vuông có di
ệ
n tích l
ớ
n nh
ấ
t" chính là m
ộ
t s
ự
c
ụ
th
ể
hóa c

ủ
a B
Đ
T Côsi
cho 2 s
ố
.
x

(
)
'
f x
(
)
f x
1

0

1/2
0

0

+

-

1/4

23

1.2. Hoạt động trí tuệ trong dạy và học ở trường phổ thông
1.2.1. Vài nét về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT
Lứa tuổi học sinh THPT bao gồm những em có độ tuổi từ 14 đến 18 tuổi. Đó
là những học sinh đang theo học từ lớp 10 đến lớp 12 ở các trường THPT.
Lứa tuổi này còn gọi là lứa tuổi thanh niên học sinh và nó có vai trò đặc biệt
quan trọng trong các thời kì phát triển của trẻ em. Đây là thời kì kết thúc cả quá
trình phát triển lâu dài của các lứa tuổi từ 0 đến 18 tuổi, là thời kì kết thúc một quá
trình trưởng thành và phát triển lâu dài của trẻ em về sinh lí và tâm lí, là thời kì
năng lực trí tuệ, nhân sinh quan, thế giới quan , lí tưởng và toàn bộ nhân cách con
người đang phát triển và biến đổi về chất.
Đặc điểm nổi bật về sự phát triển trí tuệ của học sinh THPT đó là tính chủ
định, tính chủ động, tính tích cực, tính tự giác được thể hiện rõ rệt ở tất cả các quá
trình nhận thức. Có thể nói, năng lực tư duy, năng lực tưởng tượng, và các khả năng
khác của học sinh THPT được hoàn thiện nhanh chóng và có chất lượng cao.
Về sự phát triển của trí nhớ: Ở lứa tuổi của học sinh trung học phổ thông,
ghi nhớ có chủ định đã giữ vai trò chủ đạo trong hoạt động trí tuệ của các em. Đồng
thời, vai trò của ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa ngày một tăng rõ rệt (các
em biết sử dụng tốt hơn các phương pháp ghi nhớ: tóm tắt ý chính, so sánh, đối
chiếu…). Đặc biệt, các em đã tạo được tính chủ động, tính mục đích trong quá trình
ghi nhớ. Các em hiểu được ý nghĩa của việc ghi nhớ và biết ghi nhớ theo điểm tựa,
ghi nhớ logic kết hợp với tư duy trừu tượng. Tuy nhiên ở độ tuổi này, vẫn còn một
số em ghi nhớ đại khái, chung chung và nhiều em còn coi thường việc ôn tập tài
liệu, dẫn tới kết quả ghi nhớ chưa cao.
Về sự phát triển của tư duy: Do tính quyết định của ý nghĩa hoạt động học
tập cùng với sự phát triển hoàn thiện của quá trình nhận thức đã dẫn đến tư duy của
học sinh THPT có những thay đổi quan trọng. Đặc trưng của tư duy trong giai đoạn

này là: Tư duy trừu tượng phát triển mạnh và chiếm ưu thế trong mọi hoạt động đặc
biệt là hoạt động học tập. Khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát
triển. Các em tư duy logic, chặt chẽ, có căn cứ và nhất quán hơn lứa tuổi trước,
đồng thời tính phê phán của tư duy cũng phát triển. Khả năng vận dụng các thao tác


24

tư duy khá nhuần nhuyễn và đạt kết quả cao. Nhờ đó học sinh THPT có khả năng
lĩnh hội các khái niệm khoa học trừu tượng phức tạp. Các năng lực trí tuệ của học
sinh THPT đạt tới mức độ tương đối hoàn thiện. Đặc biệt là năng lực trừu tượng hóa
và khái quát hóa. Từ đó làm nảy sinh thêm nhiều năng lực mới ở các em. Khả năng
đặt vấn đề và giải quyết vấn đề trong học tập của học sinh THPT tương đối sáng tạo
và linh hoạt. Điều đó nghĩa là phương thức tư duy và phương thức nhận thức của
các em đã có những thay đổi về chất so với lứa tuổi trước. Song bên cạnh những ưu
điểm đáng kể thì tư duy học sinh THPT vẫn còn những hạn chế như: Nhiều em kết
luận vội vàng, thiếu tính lịch sử, một số em phát huy được năng lực độc lập suy
nghĩ. Chính vì vậy, giáo viên cần bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất tư duy
tích cực, độc lập và sáng tạo.
Về sự phát triển của tưởng tượng: So với lứa tuổi trước thì tưởng tượng của
học sinh THPT ngày càng phù hợp và gần với thực tế hơn. Tính sáng tạo trong
tưởng tượng đang phát triển mạnh mẽ. Tưởng tượng vừa phong phú về nội dung
vừa mở rộng về phạm vi ở nhiều lĩnh vực. Thể hiện rõ nhất là tưởng tượng được
ứng dụng ngay vào hoạt động học tập và rèn luyện của học sinh, khả năng tái tạo,
khả năng thâm nhập vào các môn khoa học tự nhiên cao hơn ở các lứa tuổi trước rất
nhiều.
Về hoạt động ngôn ngữ: Do được học nhiều bộ môn, được lĩnh hội nhiều
khái niệm, nhiều danh từ khoa học, đặc biệt, lúc này học sinh THPT đã được học
nhiều sách, cùng với các quan hệ xã hội mở rộng và sâu sắc đã đem đến cho các em
sự phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện về ngôn ngữ.

Như vậy, có thể nói năng lực nhận thức của học sinh THPT phát triển ở mức
độ cao và tiến dần tới sự hoàn thiện, ghi nhớ logic trừu tượng, ghi nhớ ý nghĩa
đóng vai trò quan trọng; khả năng tư duy lí luận, tư duy độc lập, sáng tạo rất phát
triển; tưởng tượng vừa phong phú về nội dung vừa mở rộng về phạm vi, ngôn ngữ
phát triển mạnh mẽ và hoàn thiện, tất cả các yếu tố đó là điều kiện thuận lợi cho
việc dạy học rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy trong nhà trường.


25

1.2.2. Rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh
Việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh ở
trượng THPT được thực hiện ở tất cả các môn học trong nhà trường. Đối với bộ
môn toán thì đó là nhiệm vụ hết sức quan trọng của người giáo viên. Chủ đề về
BĐT phong phú, đa dạng, quá trình giải các bài toán BĐT vận dụng nhiều kiến
thức, sử dụng được nhiều phương pháp giải, đây cũng loại toán khó nhưng có thể
gây được nhiều hứng thú học tập cho học sinh. Vì vậy trong quá trình học tập giải
các bài toán BĐT học sinh sẽ có nhiều cơ hội được rèn luyện các hoạt động trí tuệ
và phát triển tư duy.
Với số lượng các bài tập về BĐT còn ít, nói chung các trường THPT chưa
chú trọng dạy nội dung toán này cho học sinh diện đại trà mà chỉ tập trung dành cho
bồi dưỡng học sinh giỏi các lớp. Với điều kiện thực tế như vậy thì việc rèn luyện
các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh diện đại trà thông qua chủ đề
về BĐT hiện nay ở các nhà trường là rất hạn chế, trong khi thông qua dạy học loại
toán này có nhiều cơ hội cho học sinh được rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát
triển tư duy, phù hợp với những biến đổi và phát triển trí tuệ của học sinh THPT.
Trên cơ sở nghiên cứu về các hoạt động trí tuệ và tư duy, để rèn luyện các
hoạt động trí tuệ cho học sinh THPT, cần có những biện pháp cụ thể, có hiệu quả
tác động trực tiếp vào việc rèn luyện từng yếu tố của các hoạt động trí tuệ. Các biện
pháp này cần được thực hiện một cách toàn diện trong các khâu của quá trình dạy

học.
 Trong giảng bài mới
Giáo viên cần tạo ra tình huống có vấn đề để dẫn dắt học sinh tìm tòi, khám
phá ra kiến thức mới. Cần vận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu một cách
hợp lý để cả ba loại đối tượng học sinh (khá giỏi, trung bình, yếu kém) đều được
tích cực hóa hoạt động tư duy. Trong quá trình này học sinh được tự lực tiếp cận
kiến thức với các mức độ khác nhau, được hướng dẫn hoạt động nhận thức, giải
quyết vấn đề theo quy định. Trong giảng dạy cần chú ý thường xuyên tập dượt cho
học sinh suy luận có lý, dự đoán (thông qua quan sát, so sánh, khái quát hóa, đặc
biệt hóa, tương tự,…).
Khi khai thác nội dung vấn đề giảng dạy, cần đề xuất hệ thống các câu hỏi,
gợi vấn đề nhằm giúp học sinh rèn luyện khả năng phân tích và tổng hợp, lật đi, lật