chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
20

F14.
(
)
6 6
2 sin os sinx.cosx
0
2 2sin
x c x
x
+ −
=
−

ðH 06 Khối A ðS:
5
2
4
x k
π
π
= +


G. CÔNG THỨC NHÂN 3.
G1.
3 2
4cos 2 6sin 3

x x
+ =

ðH DL Hải Phòng 2000 ðS:
12 6
k
x
π π
= +

G2.
6 3 4
8 2 os 2 2 sin .sin3 6 2 os 1 0
c x x x c x
+ − − =

HV Chính Trị Quốc Gia TPHCM 99 ðS:
8
x k
π
π
= ± +


H. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3:
H1.
1 3tan 2sin2
x x
+ =

H2.
sin2 2tan 3
x x
+ =

H3.
3
sin ( ) 2 sin
4
x x
π
− =

Hướng dẫn:
2
2
2tan
sin2 2sin cos 2tan . os
1 tan
x
x x x x c x
x
= = =
+

Tài liệu tham khảo
:
1. Trần Công Phúc, Phương trình lượng giác- Chuyên Trần
ðại Nghĩa, 2009.
2. Lê Hồng ðức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, Phương pháp

giải toán Lượng giác , NXB Hà Nội, 2008.
☺
Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ
những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình ñã biết.

Marius Grout
☺

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

1

Chuyên ñề ôn thi ðại học:
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Nhớ:
2
sin sin ( )
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π π
= +

= ⇔ ∈


= − +

2
cos cos ( )
2
u v k
u v k Z
u v k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

tan tan ( )
u v u v k k Z
π
= ⇔ = + ∈
cot cot ( )
u v u v k k Z
π
= ⇔ = + ∈


Giải các phương trình sau:
1.1.
sin sin

6
x
π
=
; 1.2.
2cos2 3 0
x
− =
; 1.3.
cot 1 0
x
− =

1.4.
sin cos2 0
x x
+ =
; 1.5.
sin cos2 0
x x
− =
;
1.6.
sin sin2 0
x x
+ =
; 1.7.
2cos( ) 3 0
3
x

π
− + =
;
1.8.
3 tan2 1 0
x
− =
; 1.9.
sin3 os3 0
x c x
− =
;
1.10.
171
os2 sin(3 ) 0
2
c x x
π
+ − =
; 1.11.
(
)
(
)
tan 1 cot 3 0
x x
+ − =
.
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ðỐI VỚI MỘT HSLG
2.1.

cos 4 9sin 2 5 0
x x
+ − =
; 2.2.
cos 2 9cos 5 0
x x
+ + =

2.3.
− − − + =
2
2cos sin cos2 3 0
x x x

2.4.
2
4sin 2( 3 1)sin + 3 0
− + =
x x
2.5.
2 2
3
sin 2 2cos 0
4
x x
− + =
; 2.6.
2
6cos 5sin 2 0
x x

+ − =

2.7.
3 tan 6 cot 2 3 3 0
x x
− + − =
;
2.8.
2
cos2 cos 3cos 3 0
x x x
− − + =

2.9.
2
2cos sin 2cos2 0
x x x
+ − =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
2

2.10.
2
3sin cos2 2 0
x x
+ − =

III. PHƯƠNG TRÌNH dạng:

asin cos
u b u c
+ =

hoặc
asin cos sin
u b u c v
+ =
hoặc
asin cos cos
u b u c v
+ =

hoặc
asin cos sin cos
u b u c v d v
+ = +
với
2 2 2 2
a b c d
+ = +

Cách giải: Chia 2 vế cho
2 2
a b
+
.
3.1.
− =
sin 3 cos 2

x x
; 3.2 .
− =
cos2 3sin2 3
x x
.
3.3.
sin2 3 cos2 2
x x
− =
; 3.4.
+ = −
sin3 3 cos3 3
x x
.
3.5.
− =
3sin 4cos 5
x x
; 3.6.
− =
4sin 3cos 5
x x
.
3.7.
π π
+ − + =
sin( ) 3 cos( ) 2
3 3
x x

.
3.8.
sin( ) 3 cos( ) 2sin108
3 3
x x x
π π
+ − + =
.
3.9.
sin2 3 cos2 2cos3
x x x
− =
. 3.10.
sin5 3 cos5 2sin 0
x x x
− + =
.
3.11.
2sin3 sin2 3 os2 0
x x c x
− + =
.
3.12.
2sin (cos 1) 3 os2
x x c x
− =
.
3.13.
cos7 cos5 3 sin2 1 sin7 .sin5
x x x x x

− = −
.
3.14.
3
3sin 3 os3 4sin 1
x c x x
− = −
.
3.15.
3
3sin3 3 os9 1 4sin 3
x c x x
− = +
.
3.16.
3sin4 os4 sin 3 cos
x c x x x
− = −
.
IV. PHƯƠNG TRÌNH dạng:
2 2
asin sin cos cos 0
x b x x c x d
+ + + =

hoặc
3 2 2 3
asin sin cos sin cos cos 0
x b x x c x x d x
+ + + =

Cách giải: Xét 2 trường hợp:
TH1:
cos 0
x
=
: Ta có
2
sin 1
x
=
. Thay vào phương trình.
TH2:
cos 0
x
≠
: Chia 2 vế cho
2
cos
x
hoặc
3
cos
x

4.1.

2 2
8sin 3sin .cos 11cos 8
x x x x

+ + =
.
4.2.

2
5sin 3 sin .cos cos 2 4
x x x x
− + − = −
.
4.3.

2 2
5sin sin .cos 2 cos 3
x x x x
− + − = −
.

4.4.

2 2
2sin 3sin 2 10 cos 1
x x x
+ − = −
.
4.5.

2
2sin sin 2 cos 2 0
x x x
+ + =

.
Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

19


ðS:
, ,
4 2 2 6 3
k k
x x k x
π π π π π
π= + = + = +

F6.
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0
x x x
+ − =


ðH Tài Chính Kế Toán 01
ðS:
1 5 1
, arccos
3 2 2
x k x k
π
π π

−
= ± + = ± +

F7.
2 2 2 2
sin sin 3 os 2 os 4
x x c x c x
+ = +

ðH Kinh Tế Quốc Dân ðS:
,
4 2 10 5
k k
x x
π π π π
= + = +

F8.
2 2
21
sin 4 os 6 sin 10
2
x c x x
π
 


− = +





 

ðH Dược Hà Nội 99 ðS
,
2 20 10
k
x k x
π π π
π= + = +

F9.
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6
x c x x c x
− = −

ðH 02 KHối B ðS:
,
2 9
k k
x x
π π
= =

F10.
(
)
2 2 2

2cos 2cos 2 2cos 3 3 cos4 2sin2 1
x x s x x x
+ + − = +

ðH SP TPHCM 2000 ðS:
8 4
k
x
π π
= +

F11.
2 2 2 2 2 2 2
sin sin 2 sin 3 os os 2 os 3 os 4
x x x c x c x c x c x
+ + = + + +

CðSP Thái Bình 99 Khối A
ðS:
, ,
8 4 4 2 2
k k
x x x k
π π π π π
π
= + = + = +

F12.
4 4
3sin 5cos 3 0

x x
+ − =

ðH AN ND 01 ðS :
,
2 6
x k x k
π π
π π
= + = ± +

F13.
(
)
4 4
4 sin os 3sin4 2
x c x x
+ + =

ðH SP TPHCM 01 ðS:
,
4 2 12 2
k k
x x
π π π π
= + = − +

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
18

ðH An Ninh 2000 ðS:
2
x k
π
π
= +

E6.
(
)
(
)
2
sin tan 1 3sin cos sin 3
x x x x x
+ = − +

ðH Nông Nghiệp I 99 ðS:
,
4 3
x k x k
π π
π π
= − + = ± +

E7.
2
os2x 1
cot 1 sin sin2

1+tanx 2
c
x x x
− = + −

Hướng dẫn:
(
)
2
cos sin
VT x x
= −

ðH 03 Khối A ðS:
4
x k
π
π
= +




F. CÔNG THỨC HẠ BẬC
F1.
4 4
os sin sin2
2 2
x x
c x

− =

ðH Thủy Sản 97 ðS:
5
, 2 , 2
2 6 6
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +

F2.
( )
4 4
sin cos 1
tan cot
sin2 2
x x
x x
x
+
= +

ðH BK HN 2000 ðS: Vô nghiệm
F3.
2 2 2
sin .tan os 0
2 4 2
x x
x c

π
 


− − =




 

ðH 03 Khối D ðS:
2 ,
4
x k x k
π
π π π
= + = − +

F4.
2 2
7
sin .sin4 sin 2 4sin
4 2 2
x
x x x
π
 



− = − −




 

ðHSP Hà Nội 2000 ðS:
7
2 , 2
6 6
x k x k
π π
π π
= − + = +

F5.
2 2 2
sin sin 2 sin 3 2
x s x
+ + =

ðH Sư phạm Kĩ thuật TPHCM 01
Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

3

4.6.
2

2sin sin 2 cos 2 0
x x x
− + =
.
4.7.
2 2
sin 3 sin .cos 2cos 1
x x x x
+ + =
.
4.8.
2 2
100sin 3 sin .cos 87 cos 100
x x x x
+ + =
.
4.9.
2
13sin 3 3 sin .cos cos 2 12
x x x x
− + =
.
4.10.
2 2
15sin 2 7sin 2 .cos 2 2 cos 2 5
x x x x
− + =
.
4.11.
3 2 3

4sin sin cos 3sin 3cos 0
x x x x x
− − + =
.
4.12.
3 2 2 3
4sin 10sin cos 6sin cos cos 0
x x x x x x
− − − =
.
4.13.
3 3
2sin 3sin 4cos 0
x x x
− + =
.
4.14.
3
2 sin ( ) 2sin
4
x x
π
+ =
.
V. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG

Dạng:
(sin cos ) sin .cos 0
a x x b x x c
± + + =

Cách giải: ðặt
sin cos
t x x
= ±
suy ra
2
1 2sin cos
t x x
= ±

Nên
2
1
sin cos
2
t
x x
−
=
±
. Sau ñó thay vào phương trình.
5.1.
sin cos 2sin .cos 1 0
x x x x
+ − + =
.
5.2.
(
)

3 sin cos 4sin .cos 0
x x x x
+ − =
.
5.3.
(
)
12 sin cos 2sin .cos 12 0
x x x x
− − − =
.
5.4.
(
)
(
)
1 sin 1 cos 2
x x
+ + =
.
VI. CÔNG THỨC HẠ BẬC
Lưu ý:

2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos

2
x
x
x
x
−
=
+
=
,
3
3
3sin sin3
sin
4
3cos cos3
cos
4
x x
x
x x
x
−
=
+
=

6.1.
2 2
5

sin 2 os 8 sin(10 )
2
x c x x
π
− = +

6.2.
2 2 3
sin os 2 os 3
x c x c x
= +

6.3.
3 3 3
sin .cos3 sin3 .cos sin 4
x x x x x
+ =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
4

6.4.
2
4
cos cos
3
x
x =
(Hướng dẫn:

2 4 2
2 3 , 2
3 3 3
x x x
x x→ → →
)
6.5.
4 4
1
sin os ( )
4 4
x c x
π
+ + =

6.6.
2 2 2 2
3
os os 2 os 3 os 4
2
c x c x c x c x
+ + + =

6.7.
3 3
4sin .cos3 4sin3 .cos 3 3 os4 3
x x x x c x
+ + =

6.8.

2
3 4
1 2cos 3cos
5 5
x x
+ =
Gợi ý:
3 2.3 2
3.
5 5 5
x x x
 


→ →




 
.
6.9.
4 4 4
9
sin sin ( ) sin ( )
4 4 8
x x x
π π
+ + + − =

6.10.
2 2
1 sin sin sin .cos 2cos ( )
2 2 4 2
x x x
x x
π
+ − = −

6.11.
2 2
21
sin 4 os 6 sin(10 )
2
x c x x
π
− = +

6.12.
2 2 2 2
sin sin 3 os 2 cos 4
x x c x x
+ = +

6.13.
2 2 2
3
sin 3 sin 2 sin
2
x x x

+ + =

6.14.
2 2 2
sin 3 sin 2 sin 0
x x x
− − =

6.15.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 os 6
x x x c x
− = −

6.16.
3 3
2
sin .sin3 cos cos3
4
x x x x+ =

6.17.
3 3 3
sin .sin3 cos cos3 cos 4
x x x x x
+ =

6.18.
3 3 3
1

cos cos3 sin .sin3 cos 4
4
x x x x x
− = +

6.19.
3 3
3
sin 2 .cos6 sin6 .cos 2
8
x x x x
+ =

6.20.
6
32cos 1 cos6
x x
= +

6.21.
2 2
17
sin 2 cos 8 sin 10
2
x x x
 


− = +





 

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

17

D20.
3 3
2sin sin 2cos cos cos2
x x x x x
− = − +

HV Kĩ thuật Quân sự 99
ðS:
, 2 , 2
4 2 2
k
x x k x k
π π π
π π π
= + = − + = +

D21.
3 2
2
3(1 sin )

3tan tan 8cos ( ) 0
cos 4 2
x x
x x
x
π
+
− + − − =

(Hướng dẫn: Nhân tử chung
2
3tan 1
x
−
).
ðH Kiến Trúc 99 ðS:
2 1
, arccos 2
6 4
2
x k x k
π π
π π
−
= ± + = ± +

D22.
2
2
2 3 sin( ) os x 2cos

8 8 8
3 4 sin os( ). os( )
3 3
x c x
x c x c x
π π π
π π
   
 
 
− − + − =
 
 
 
 
   
 
 
+ + − +
 
 

ðH Y Thái Bình ðS:
5 3
,
24 8
x k x l
π π
π π
= + = +

E. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP
2 2
asin sin cos cos 0
x b x x c x d
+ + + =


E1.
2 2(sin cos ).cos 3 cos2
x x x x
+ = +

ðH Giao Thông Vận Tải HN 2000 ðS: Vô nghiệm
E2.
3
sin 4sin cos 0
x x x
− + =

ðH Y Hà Nội 99 ðS:
4
x k
π
π
= +

E3.
2 2

tan .sin 2sin 3(cos2 sin cos )
x x x x x x
− = +
Chia cho cos
2
x
ðH Mỏ ðịa Chất 99 ðS:
,
4 3
x k x k
π π
π π
= − + = ± +

E4.
3 3
4cos 2sin 3sin 0
x x x
+ − =

Cð Sư Phạm Mẫu Giáo TW 1 01 ðS:
4
x k
π
π
= +

E5.
3 3
cos sin sin cos

x x x x
+ = −

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
16

D12.
3 3
sin cos sin2 sin cos
x x x x x
+ = + +

ðH CSND 2000 ðS:
2
k
x
π
=

D13.
3 3
1 sin os sin2
x c x x
− + =

ðH Nông Nghiệp I 2000 ðS:
, 2 , 2
4 2
x k x k x k

π π
π π π π
= + = + = +

D14.
(
)
cos2 5 2(2 cos ) sin cos
x x x x
+ = − −

ðH Hàng Hải 99 ðS:
2 , 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +

D15.
sin2 2cos2 1 sin 4cos
x x x x
+ = + −
(Lưu ý
2
4 os 4cos 3 0
c x x
− − + =
có nghiệm là 1/2)
ðH An Ninh 01 Khối D ðS:

2
3
x k
π
π
= ± +

D16.
2sin2 cos2 7sin 2cos 4
x x x x
− = + −
Lấy 2cosx chuyển vế
làm nhân tử
ðH Quốc Gia Hà Nội 01 Khối A ðS:
5
2 , 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +

D17.
sin 2cos cos2 2sin cos 0
x x x x x
+ + − =

ðH Văn Hóa Hà Nội 2000 khối D
ðS:
2 3 2

2 , arcsin 2 , arcsin 2
2 4 4 4 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + = − − + = + +

D18.
2sin cot 2sin2 1
x x x
+ = +

Lưu ý:
(
)
(
)
2
1 4sin 1 2sin 1 2sin
x x x
− = − +

ðH QG Hà Nội 2000 Khối A
ðS:
5
2 ; 2 ;
6 6
5 1 5 5 1
arcsin 2 ; arcsin 2
4 4

2 2 2 2
x k x k
x k x k
π π
π π
π π
π π
= + = +
− −
= + + = − +

D19.
(
)
(
)
2cos 1 sin cos 1
x x x
− + =

PV Ngân Hàng TPHCM 2000 ðS:
2
2 ;
6 3
k
x k x
π π
π= = +

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy

Email: Mobile: 09748.77148

5

6.22.
3 3
3
cos cos3 sin .sin3
4
x x x x+ =

6.23.
3 3 3
cos cos3 sin .sin3 cos 4
x x x x x
+ =

6.24.
8 8 2
17
sin cos cos 2
16
x x x
+ =
2 2 2
( ( ) 2 )
a b a b ab
+ = + −

6.25.

4 6
cos cos2 2sin 0
x x x
− + =

6.26.
2 2 2
2cos 2cos 2 2cos 3 3 (2sin2 1)cos4
x x x x x
+ + − = +

6.27.
2 2
5 9
cos3 sin7 2sin ( ) 2cos
2 4 2
x x
x x
π
+ = + −

6.28.
6 6
2
sin sin cos
4 4 3sin 2
x x x
x
+
=

−

VII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA
2 2N
, OS
N
SIN X C X

7.1.
4 4
sin os sin2
2 2
x x
c x
− =

7.2.
4 4
sin os sin2 0,5
x c x x
+ = −

7.3.
2
6 6
sin 2
sin os
4
x
x c x+ =

7.4.
8 8
17
sin os
32
x c x+ =
(phương trình trùng phương theo sin2x)
Lưu ý:
2 2
2 2
2 2 -2
(sin cos ) (sin cos )
(1 sin )sin (1 cos )cos
sin 2 (sin cos )
4
n n n n
n n
n n
a x x a x x
a x x a x x
a
x x x
+ +
−
+ − +
= − + −
= +

7.5.

(
)
4 4 6 6
2(sin os ) 2 sin os sin2
x c x x c x x
+ − + =

Lưu ý:
2 2
2 2
2 -2
(sin cos ) 2 (sin cos )
(1 2sin )sin (1 2cos )cos
cos2 (sin cos )
n n n n
n n
n n
a x x a x x
a x x a x x
a x x x
+ +
−
+ − +
= − + −
= −

7.6.
3 3
2sin sin 2cos cos cos2
x x x x x

− = − +

7.7.
8 8 10 10
7
sin cos 2(sin cos ) cos2
3
x x x x x
+ − + =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
6

7.8.
6 6
os sin sin2
c x x x
+ =

7.9.
4 4 6 6 2
4(sin os ) 4(sin os ) sin 4 1
x c x x c x x
+ − + − =

7.10
4 4
4(sin os ) 3 sin4 2
x c x x

+ + =

7.11.
4 4
sin os 1 2sin2
2 2
x x
c x
+ = −
7.12.
4
7
sin os4x= cot( )cot( )
8 3 6
x c x x
π π
+ + −

7.13.
6 6
sin cos cos4
x x x
+ =

7.14.
6 6
7
sin cos
6
x x

+ =

7.15.
8 8
1
sin cos
8
x x
+ =

7.16.
8 8 10 10
5
sin cos 2(sin cos ) cos2
4
x x x x x
+ = + +
7.17.
3 3 5 5
sin os 2(sin os )
x c x x c x
+ = +
.
VIII. PHƯƠNG TRÌNH ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
 Sử dụng ñẳng thức
(
)
(
)
1 1 1 0

u v uv u v
+ = + ⇔ − − =

(
)
(
)
0
au bv ab vu u b v a
+ = + ⇔ − − =

Lưu ý:
(
)
2
sin5 sin 4 sin cos4 4cos cos2 .sin
x x x x x x x x
= + = +


(
)
3
*sin3 sin 2 3sin 4sin
x x x x x
= + = −

*
3
cos3 4cos 3cos

x x x
= −

8.1.
sin2 2cos 0
x x
+ =

8.2.
3 3
sin cos cos2
x x x
+ =

8.3.
3 3
sin cos sin2 sin cos
x x x x x
+ = + +

8.4.
3 os2 sin 4 0
c x x
− =

8.5.
cos4 5sin2 5cos2 0
x x x
+ − =

8.6.
sin cos2 1 sin .cos2
x x x x
+ = +

8.7.
2sin .cos2 3 cos2 2sin 3 0
x x x x
− − + =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

15

D4.
1 1 7
4sin
3
sinx 4
sin
2
x
x
π
π
 


+ = −





 
 


−




 

ðH 08 Khối A ðS:
5
, ,
4 2 8 8
k
x x k x k
π π π π
π π
= − + = − + = +

D5.
cos sin cos2
x x x
+ =

ðH ðà Lạt ðS:
, 2 , 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= − + = = − +

D6.
(
)
(
)
1 sin2 cos sin cos2
x x x x
+ − =

ðH DL Ngoại Ngữ Tin Học 98
ðS:
, 2 , 2
4 2 2
k
x x k x k
π π π
π π
= + = = +

D7.
3 3 2 2
os sin os sin

c x x c x x
− = −

ðH ðà Lạt 01 ðS:
, 2 , 2
4 2
x k x k x k
π π
π π π
= + = = +

D8. a)
3 3 2 2
os sin os sin
c x x c x x
+ = −

b)
sin4 tan
x x
=

ðH Y Hà Nội 2000 ðS:
) , 2 , 2
4 2
1 1 3
) , arccos 2
2 2
a x k x k x k
b x k x k

π π
π π π
π π
= − + = − + =
− +
= = ± +

D9.
sin cos 2sin 2cos 2
x x x x
+ + =

ðH Hồng ðức 99 ðS:
; 2
2
x k x k
π
π π π
= + = +

D10.
sin .cos 2sin 2cos 2
x x x x
+ + =

ðH Huế 2000 ðS:
2 ; 2
2
x k x k
π

π π
= + =

D11.
3 3
3
1 sin os sin2
2
x c x x
+ + =

ðH Giao Thông Vận Tải 99 ðS:
2 ; 2
2
x k x k
π
π π π
= − + = +

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
14

C22.Tìm nghiệm trên khoảng
(
)
0;2
π
của phương trình
cos3 sin3

5(sin ) cos2 3
1 sin2
x x
x x
x
+
+ = +
+

ðH 02 Khối A ðS:
5
;
3 3
x
π π
=

C23.
2 2 2
11
tan cot cot 2
3
x x x+ + =

PV Ngân Hàng TPHCM 2000 ðS:
6 2
k
x
π π
= ± +

C24.
2
2
2
2tan 5tan 5cot 4 0
sin
x x x
x
+ + + + =

ðH Thương Mại 01 ðS:
4
x k
π
π
= − +

C25.
sin3 cos3 2cos 0
x x x
+ + =
(ñưa về pt bậc 3 theo tanx)
HV Ngân Hàng 2000 ðS:
,
4 3
x k x k
π π
π π
= − + = ± +

D. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO
sin ,cos : sin cos
u u a u b u c
+ =

Hoặc
sin cos sin
a u b u c v
+ =
hoặc
sin cos cos
a u b u c v
+ =

hoặc
2 2 2 2
sin cos sin cos ( )
a u b u c v d v a b c d
+ = + + = +

D1.
2
sin cos 3 cos 2
2 2
x x
x
 



+ + =




 

ðH KHối D 07 ðS:
2 , 2
2 6
x k x k
π π
π π
= + = − +

D2.
(
)
(
)
2 2
1 sin cos 1 cos sin 1 sin2
x x x x x
+ + + = +

ðH 07 Khối A ðS:
2 , 2 , 2
4 2
x k x l x k

π π
π π π
= − + = + =

D3.
3 3 2 2
sin 3 cos sin cos 3sin .cos
x x x x x x
− = =

ðH 08 Khối B ðS:
,
4 2 3
k
x x k
π π π
π
= + = − +

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

7

8.8.
1 3 3 1
3( sin cos ) cos2 sin2
2 2 2 2
x x x x
+ = −

8.9.
1 3 3 1
2( sin cos ) cos2 sin2
2 2 2 2
x x x x
+ = −

8.10.
3(sin 3 cos ) 3 cos2 sin2
x x x x
+ = −

8.11.
2 2
sin cos sin cos sin 2 os
x x x x x c x
+ + = −

8.12.
2 2
3 os sin sin cos ( 3 1)sin cos 0
c x x x x x x
− − − + + + =

8.13.
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cos
x x x
+ = +

8.14.
1 cos cos2 cos3 0
x x x
+ + + =

8.15.
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x x x x x x x x
+ + + = + + +

8.16.
1 cos cos2 cos3 4
x x x
+ + + =

8.17.
cos os2 os3 os4 0
x c x c x c x
+ + + =

8.18.
1 sin cos3 cos sin2 cos2
x x x x x
+ + = + +

8.19.
2cos .cos2 .cos3 7 7cos2
x x x x

− =

(ñưa về phương trình bậc 3 theo cos2x)
8.20.
3
2cos cos2 sin 0
x x x
+ + =
(nhân tử chung là 1-sinx)
8.21.
3
2sin cos2 os 0
x x c x
− + =

IX. ðỔI BIẾN VỀ CUNG 2x, 3x
9.1.
sin(2 ) 5sin( ) cos3
3 6 6
x x x ñaët u x
π π π
− = − + = −

9.2.
6
32cos ( ) sin6 1,
4 4
x x ñaët u x
π π
+ − = = +

9.3.
3
2cos ( ) cos3
3 3
x x ñaët u x
π π
+ = = +

9.4.
2cos sin3 cos3
6 6
x x x ñaët u x
π π
 


+ = − = +




 

9.5.
sin 3 sin2 .sin
4 4 4
x x x ñaëtu x
π π π
   

 
 
− = + = +
 
 
 
 
   

9.6.
sin3 2cos
6 6
x x ñaët u x
π π
 


= − = −




 

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
8

9.7.
5

cos3 2sin
6
x x
π
 


= +




 

9.8.
3 3
sin 3sin
2 10 10 2
x x
π π
   
 
 
+ = −
 
 
 
 
   

9.9.
3
sin 3sin
2 4 4 2 4 2
x x x
ñaët u
π π π
   
 
 
+ = − = −
 
 
 
 
   

9.10.
2
cos9 2cos 6 2 0 3
3 3
x x ñaët u x
π π
 


+ + + = = +





 

9.11.
6 8 2
2cos 1 3cos
5 5 5
x x x
ñaët u+ = =


X. PHƯƠNG TRÌNH LG CÓ ðIỀU KIỆN: Loại nghiệm
không thích hợp
10.1.
5 7
sin 2 cos 1 sin2
2 2
x x x
π π
   
 
 
+ − − = +
 
 
 
 
   
. Tìm nghiệm trên
( ;3 )

2
π
π

10.2.
cos3 sin3
5(sin ) cos2 3
1 2sin2
x x
x x
x
+
+ = +
+

10.3.
1 1 2
cos sin2 sin 4
x x x
+ =

10.4.
sin .cot 5
1
cos9
x x
x
=
(khó lấy nghiệm)
10.5.

4 4
4
sin 2 os 2
os 2
tan tan
4 4
x c x
c x
x x
π π
+
=
   
 
 
− +
 
 
 
 
   


XI.
Tuyển tập các ñề thi ðại học, Cao ñẳng
theo từng phương pháp.


Giải các phương trình:
Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy

Email: Mobile: 09748.77148

13

ðH QG 98 ðS:
2
, ,
4 2 3 3
k
x x k x k
π π π π
π π
= + = + = +

C14.
2 2
cos7 sin 2 cos 2 cos
x x x x
+ = −

ðH Hàng Hải 98 ðS:
2
,
8 4 9 3
k k
x x
π π π π
= + = ± +

C15.

5 5 2
4cos sin 4sin .cos sin
x x x x x m
− = +

Giải PT biết
x
π
=
là một nghiệm.
ðH QG Tp.HCM 97 ðS:
,
4 8 2
k k
x x
π π π
= = +

C16.
2 3
2
2
cos cos 1
cos2 -tan
cos
x x
x x
x
− −
=

ðH Thái Nguyên 99 ðS:
2 , 2
3
x k x k
π
π π π
= + = ± +

C17.
3
tan2 sin2 cot
2
x x x
+ =

ðH Thủy Lợi 99 ðS:
,
2 6
x k x k
π π
π π
= + = ± +

C18.
2 2
4sin 3tan 1
x x
+ =

ðH DL Hồng ðức 99 ðS:
1
arcos( 3 1)
2
x k
π
= − − +

C19.
cos .cos4 cos2 .cos3 0
x x x x
+ =

ðH Ngoại Thương 98 ðS:
1 1 17
; arccos
2 2 8
x k x k
π
π π
±
= + = ± +

C20.
cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2)
1
sin2 1
x x x x x
x
+ + +

=
−

ðH Thủy Sản 01 ðS:
2
4
x k
π
π
= − +

C21.
sin3 sin5
3 5
x x
=

ðH Thủy Lợi ðS:
1 2
, arcos
2 3
x k x k
π π
 


= = ± − +





 

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
12

C4.
3(tan cot ) 2(2 sin2 )
x x x
+ = +

ðH Cần Thơ 99 khối D ðS:
4
x k
π
π
= +

C5.
2
cot tan 4sin2
sin2
x x x
x
− + =

ðH 03 B ðS:
3
x k

π
π
= ± +

C6.
sin3 sin2 5sin
x x x
+ =

ðH Hồng ðức 99 ðS:
x k
π
=

C7.
2
5sin 2 3(1 sin )tan
x x x
− = −

ðH 04 Khối B ðS:
5
2 , 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +

C8.

2 2
cos 3 .cos2 -cos
x x x o
=

ðH 05 Khối A ðS:
2
k
x
π
=

C9.
3
4cos 3 2 sin2 8cos
x x x
+ =

ðHSP Hà Nội 2000 ðS:
3
, 2 , 2
2 4 4
x k x k x k
π π π
π π π
= + = + = +

C10.
cos 2 cos 2 - sin 2 2(1 sin )
4 4

x x x x
π π
   
 
 
+ + + = + −
 
 
 
 
   

ðH Hàng hải 01 ðS:
5
2 , 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +

C11.
1
2cos2 8cos 7
cos
x x
x
− + =

ðH Ngoại ngữ 2000 ðS:

2 , 2
3
x k x k
π
π π
= = ± +

C12.
(
)
(
)
4 sin3 cos2 5 sin 1
x x x
− = −

ðH luật HN 99
ðS:
1 1
2 , arsin 2 , arcsin 2
2 4 4
x k x k x k
π
π π π π
= + = − + = + +

C13.
4 2 2 4
3cos 4cos .sin sin 0
x x x x

− + =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

9


A. ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.

A1.
sin2 3sin
x x
=
ðS:
, 2
6
x k x k
π
π π
= = ± +

ðH Mở TPHCM 99
A2.
sin2 .sin 3sin2 .cos
x x x x
=
ðS:
,
2 3

k
x x k
π π
π
= = +

ðHDL Duy Tân 01
A3.
tan cot 4
x x
+ =
ðS:
5
,
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +

ðH An ninh 97
A4.
cot sin (1 tan tan ) 4
2
x
x x x
+ + =
ðS:
5
,

12 12
x k x k
π π
π π
= + = +

ðH 06 (khối B)
A5.
2
sin2 (cot tan2 ) 4cos
x x x x
+ =
ðS:
,
2 6
x k x k
π π
π π
= + = ± +

ðH Mỏ-ðịa chất Hà Nội 2000
A6.
2
1 cos
tan
cos
x
x
x
+

=
ðS:
2 , 2
3
x k x k
π
π π π
= + = ± +

ðH ðà Nẵng 01
A7.
3sin 2cos 2 3tan
x x x
+ = +
ðS:
2
2 , arctan
3
x k x k
π π
= = − +

HV Quân Y 01
A8.
sin .cot 5
1
os9
x x
c x
=

ðS:
20 10
k
x
π π
= +

ðH Huế 99
A9. Tìm x thuộc ñoạn
[0; 14]
nghiệm ñúng phương trình
cos3 4cos2 3cos 4 0
x x x
− + − =
ðS:
3 5 7
, , ,
2 2 2 2
x
π π π π
=

ðH 02 ( khối D)
Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148
10

A10.
2
2tan cot 3

sin2
x x
x
+ = +
ðS:
3
x k
π
π
= +

ðH Ngoại thương 97
A11.
(
)
(
)
2cos 1 2sin cos sin2 sin
x x x x x
− + = −

ðH khối D 04 ðS:
2
, 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= − + = ± + ∈
ℤ

A12.
(
)
(
)
2
2sin 1 2sin2 1 3 4cos
x x x
− + = −

TH Kĩ thuật Y tế 3 97,
ðS:
5
, 2 , 2 , 2
6 6 3
x k x k x k x k
π π π
π π π π
= = + = + = ± +

A13.
(
)
(
)
2
2sin 1 3cos4 2sin 4 4 os 3
x x x c x
+ + − + =

ðH Hàng Hải 2000 ðS:
7
, 2 , 2
2 6 6
k
x x k x k
π π π
π π
= = − + = +

A14.
(
)
2sin 1 cos2 sin2 1 2cos
x x x x
+ + = +

ðH 08 khối D ðS:
2
, 2 ,
4 3
x k x k k
π π
π π
= + = ± + ∈
ℤ


B. BIẾN ðỔI TỔNG THÀNH TÍCH.

B1.
51
sin(2 50 ) cos 3 sin
2
x x x
π
π
 


+ + + =




 

CðSP Thái Bình ðS:
, 2
3
x k x k
π
π π
= = ± +

B2.
sin cos2 -cos4 0
x x x
+ =

ðH Mĩ thuật Công nghiệp
ðS:
2 7 2
, ,
18 3 18 3
k k
x k x x
π π π π
π= = − + = +

B3.
sin sin2 sin3 0
x x x
+ + =

PV Ngân hàng Tp.HCM 01 ðS:
2
, 2
2 3
k
x x k
π π
π
= = ± +

B4.
1 cos cos2 cos3 0
x x x
+ + + =

Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy
Email: Mobile: 09748.77148

11

ðH Nông Lâm Tp.HCM 01
ðS:
, 2 , 2
2 3
x k x k x k
π π
π π π π
= + = + = ± +

B5.
cos3 cos2 cos 1 0
x x x
+ − − =

ðH 06 Khối D ðS:
2
,
3
k
x k x
π
π= =

B6.

2
2sin 2 sin7 1 sin
x x x
+ − =

ðH 07 Khối B, ðS:
2 5 2
, ,
8 4 18 3 18 3
k k k
x x x
π π π π π π
= + = + = +

B7.
1 cos2 cos3 2cos .cos2
x x x x
+ + =

ðH ðà Nẵng 99 ðS:
, 2
2 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +

B8.
1 sin cos sin2 cos2 0
x x x x

+ + + + =

ðH 05 khối B ðS:
2
, 2
4 3
x k x k
π π
π π
= − + = ± +

B9.
3
2cos sin cos 1 2(sin cos )
x x x x x
+ + = +

ðH DL Phương ðông 2000 ðS:
5
2 , 2
6 6
x k x k
π π
π π
= + = +



C. ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2.

C1.
cos4 5sin2 3 0
x x
+ − =

Cð Maketting 99 ðS:
5
,
12 12
x k x k
π π
π π
= + = +

C2.
3(sin tan )
2cos 2
tan -sin
x x
x
x x
+
− =

ðH Tài chính Kế toán Hà Nội 2000 ðS:
2
2
3
x k
π

π
= ± +

C3.
2 2
cot 2 2 sin (2 3 2).cos
x x x
+ = +

HV Kĩ thuật Quân sự 01 ðS:
2 , 2 .
4 3
x k x k
π π
π π
= ± + = ± +