lớp 11: BÀI TẬP ĐẠO HÀM

THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Quốc Huy ☺


BÀI TẬP ĐẠO HÀM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
ĐẠO HÀM CƠ BẢN PHÉP TOÁN ĐẠO HÀM HÀM HỢP
()'=C 0
()
W' ' ' WUV U V+− = +−
( ) (C là hằng số)
'
Với
=
UU , VV , ta có: x ( )= x
()' 1
x
=
1
()' .
αα
−
=
x
nx
()
.' '. .UV U V UV=+'
1/
()' .
αα
α

−
=UUU
()
Lưu hành nội bộ
1
1
'
=x
2
x

/
'. . '−
⎛⎞
=
⎜⎟
2
UUVUV
VV
⎝⎠

(
)
/
1
'.=UU
2 U

/
2

11
x
x
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
()
'kU kU=

', (k hằng số)
/
/
2
1
⎛⎞
=−
⎜⎟
V
⎝⎠
VV

ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
()
sin ' cos
x
x=
()()
sin cos .=UU
'

/
U
()
cos ' sin
x
x=−
()(
cos sin .=−UU
)
U
/
/

()
2
1
tan ' =x
x

()
/
/
tan =
U
U
2
cos U

cos
()

2
1
cot '
sin
=−x
()

x
/
/
cot
U
U
2
sin
== −
U

CÔNG THỨC TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG (C):
()yfx
000
(,)()
M
=
tại điểm xy C∈
000
'( )( )yfxxx y

là
−+

=

II. BÀI TẬP:

DẠNG 1. TÍNH ĐẠO HÀM TẠI 1 ĐIỂM BẰNG ĐỊNH NGHĨA:
0
0
xx
0
0
() ( )
'( ) lim
f
xfx
fx
−
=
xx
→
−
0

cho trước.
x
Hãy dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số sau tại
Bài 1: a. tại ; b. 3=−yx
0
x 7=+10+ 1= 4
y
x

0
=
x tại 2 ; c. 15 8
=
−
y
x
0
=
11
tại ; 3x
d. tại ; e. tại 38+x=−y
0
4=x 5 2=− −yx
0
7
=
−x ; f. 6 8
=
−
y
x tại
0
2
=
−x ; g. 9 3=−
y
x tại
; h. tại ;

0
5=−x 3 12=− +yx
0
6=−x
Bài 2:
a.
2
23=++1
y
xx tại ; b.
0
3x =−
2
3
=
−−
y
xx tại
0
2
=
x ; c.
2
423
=
+−
y
xx tại
0
5

=
−x ;
d. tại ; e.
2
1+x
0
5=x2=−y
2
=− +4
y
xx
0
6 tại
=
x ; f.
2
53
=
−+
y
xx
0
2 tại
=
−x ; g. tại

2
10 3+x=−y
0
4=−x

Bài 3: a.
1
25+x
+
=
x
y
0
tại ; b. 5x =−
32
4
−
+
=
x
0
+x
y tại 7
=
−x ; c.
22
34
+
=
−
+x
x
y tại ;
0
3=x

d.
7
=y
62−
x
tại ; e.
0
4=x
35
7+
−
=
x
y
x
0
tại 4
=
−x ; f.
23
10
−
=
+
x
y
x
0
tại 8
=

−x ; g.
1
7+
0
y = tại 5x
=

x
Bài 4: a.
2
21
5
x
y
x
+
=
+
tại ; b.
0
4x =
2
3
5
y
x
=
+
tại
0

1x
=
; c.
2
2
231
1
tại ; d.
0
2x =−
2
2
54
21
xx
y
xx
x
x
y
xx
+
+
=
−
+ 0
−
++
=
+

+

tại .

0
x = 0
Bài 5: a. 1
y
x=+ tại
0
8x
=
; b. 31+=
y
x tại
0
5
=
x ; c. 30
=
−
y
x tại ; d.
0
6=−x 14 5
=
−
y
x
tại ; e.

0
7=−x
y
14=−x
0
2=−x tại ; f.
y
x
0
3 tại 10 5
=
+
=
x ; g.
y
29 2=−x
0
2 tại
=
x .


THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Quốc Huy ☺

DẠNG 2.
TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC.
Tính đạo hàm của các hàm số sau bằng công thức:

Bài 6. ,
()()' 0=C ' 1

x
=
,
1
()' .
αα
−
=
x
nx ,
()
1
'
2
=x
x
,
/
2
11
x
x
⎛⎞
=
−
⎜⎟
⎝⎠
,
(
)

sin ' cos
x
x= ,
()
cos ' sin
x
x=− ,
()
Lưu hành nội bộ
2
2
1
tan '
=x
cos
x
,
()
2
sin
1
'
=−
cot x
x
a.
5
3
425
−

2
−
=−+
x
y
xx; b.
42
61
23 50
5
=
−−+−yx xx
x
;
c.
7−
=+yx
2
28 13+−x
x
; d.
4
11
2
−
=− + − −yx x
x
932 20; e.
8
16 20

7
6
12
=
−+ −−yx x
x
; f. 3sin
=
y
x ; g.
y
x 6 sin 7 cos=− +; h.
y
xx 11tan=; i.
y
x 30cot; j.
y
x 5 tan 9cot; k.
y
5cos=−
=
=
−xx
=+
.

()
.' '.UV U V
()
.', =UV kU kU

Bài 7.
/
/
5
=
y
xx; a.
y
xx= ; b. ; c. (3 10)=−
y
xx;
(5 7) 2 1=+ −
y
xx (3 10) 200=− −yx xd. ; e. ; f. (1 (3sin 2)(4 cos )=+−3 ) 1000=+ +yxx
y
; g. xx
(5 tan 1)(cot 2)=−+yxx (tan 7)(4 cos 6)=− +yx x (cot 2)( 2sin 1)
;
h. ; i. ; j.
=
+− +yx x.

Bài 8.
//
//
2
/
1−
⎛⎞ ⎛⎞
==

⎟
⎠
UUVUV V
V
2
−,
⎜
⎝
VV
⎜⎟
⎝⎠
V
; a.
1
25
+
=
+
x
y
x
; b.
5
11
2
=y
x
; c.
63
74

+
=
−
+
x
y
x
; d.
5
5
=y
x
; e.
9
5
2
−
=y
x
;
f.
7
25
=
+
y
x
; g.

2

1
35
x
y
x
x−+
−
= ; h.
3
37
=
−x
6
y ; i.
5
2
=
41
−
y
x
; j.
2
2
y =
1x
−
; k.
3sin 1
cos 2+

+
=
x
y
x
;
l.
sin cos+
=
x
cos 1+
x
y
x
; m.
3
ta
=y
n
x
; n.
4−
=y
cot
x
; o.
tan 1
cot 1
+
=

−
x
y
x
; p.
cot 1
tan 2
+
=
+
x
; q.
3sin 2
y
x 2tan 5
+
=
−
x
y
/
x
.

Bài 9.
1
()' .
αα
α
−

=UUU
; a.
()
5
2
53=−
y
x ; b.
(
)
4
3
73=+
y
xx c.
4
2
3
3=− +
⎜⎟
⎝⎠
yx
8
⎛⎞
x
; d.
3
2
3
⎛⎞

=+
⎜⎟
y
2
⎝⎠
;
x
e.
2
4
3
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
6=+
x
yx ; f.
()
7
2
11 4=+
y
xx; g.
7
6
5
2
⎛⎞
=+

⎜⎟
⎝⎠
y
x ; h.
5
12
7
10
⎛⎞
=−
⎜⎟
6
x
⎝⎠
y
x ; i.
3
sin=
y
x ;
x
5
cos= x
7
tan=; k. x
9
cot=; l. x
12
sin=; m. x
6

cos
−
=; n. x
3
tan
−
=; o. x
2
cot
−
=; p.
y
y
y
y
y
y
y
x . j.

Bài 10.
()
/
1
'.
2
=UU
U
; a. 98=−
y

x ; b.
5
15 3 7
y
xx+= ; c.
3
62 11=− −
y
xx; d.
25−
=
31
+
x
y
x
;
e.
2
3−
2
6=−
y
x
x
x; f.
25−
+31
=
x

y ; h.
1
x 25
−
=
+
x
; i.
2
72 5
=
−−
y
xx; j. sin=
y
x ; y
x
y
k.
xcos= ; l.
y
x ; m.
y
tan= xcot= ; n.
y
3sin 2cos=−xx; o.
y
3tan 2cot=+xx
'
/

=U
.

Bài 11.
()
sin
()
cos .UU
; a.
()
n −si=
y
x ; b.
sin 5
5
π
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
y
x
; c. ;
d.
()
10
sin 6 11=−yx
sin 2 1=+yx
; e.
2

=+ysin 2 5x; f. sin (2 1) 1 3
⎡
⎤
=+−
⎣
⎦
y
xx; g.
210
sin
+
=
x
31−x
()
5
sin 1 2=−
y ; h. ;
()
3
sin 5 3=−yx
(
)
sin 7 2=−yx
()
2
4
sin 7 5=−
2
; m.x

3
sin=; j. x sin 3=; k.
4
y
y
y
x ; l.
y
x . i.

Bài 12.
()( )
/
/
cos sin .=−UUU
; a. ; b.
(
cos 3=−yx
)
(
)
cos 8 4=−yx
; c. ;
d.
()
7
cos 5 113=+yx
cos 5 19=+yx; e.
5
cos 4 7=−+yx; f.

(
)
cos 2 3 1
=
+yx; g.
38
cos
42
−
+
=
−
x
y
x
; h.
()
5
cos 1 4=−
y
x ;
THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Qu ốc Huy ☺
Lưu hành nội bộ
3
()
cos 3 7
π
=−
(
)

cos 7 2=−yx
()
cos 5 2=−
2
; m.
2
4
i.
2
x cos=; j.
2
x cos 2=; k.
3
y
y
y
x ; l.
y
x .

Bài 13.
()
/
/
tan =
U
U
2
cos U
; a. tan=

y
x ; b.
tan 6
=
yx
; c. tant( 3 )
4
π
=−+yx; d. ;
4
tan( 7 8)=−+yx
e. tan(sin= )
y
x tan(sin 5 )=; f.
y
x ; g. tan(cos )=
y
x ; h.
tan(cos4 )
=
yx
; i.
2
tan 1 3=+yx
; j. ;
k.
7
tan(3 5)=+yx
4
tan= x

5
tan (2 1)=+yx
6
tan( 2 1)=−+yx tan(cot ); l. ; m. ; n.
y
y
x tan(2 3cot )=−; o.
y
x .
=

Bài 14.
()
/
/
cot == −
U
U
2
sin U
; a. cot=
y
x ; b. cot 3
=
y
x ; c. cot(2 1)
=
+yx; d.
5
cot( 2 )

π
=−+yx;
e. ; f. ; g. ; h.
cot(sin )=yxcot(sin 3 )=yxcot(cos )=yx
cot(cos 3 )
=
yx
2
cot 2
π
=+
y
x; i. ;
j. ; k.
4
cot(2 3)=−yx
3
cot= x
4
cot (3 1)=+yx cot(tan ); l. ; m.
y
=
yxcot(3 2 tan ); n.
=
−yx.


BÀI TẬP TỔNG HỢP:

Bài 15. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a.
24
3
5
4
yx x=− +xx
; b.
3
5
32 1x
y 1
3xx
=
−+−; c.
(
)
5
383
2
y
x=−x; d.
(
)
5
72 3
5(25)
=
−+yx x x ;
e.

2
2
53
31
xx
y
x
−+
=
+
; f.
24
2
(1)
=
−
x
y
x
; g.
2
1
3
xxx
y
−
+
= ; h.
4
(1 )

1
+
=
−
x
y
x
; i.
5x
y
5
x
=
+ ; k.
3
x
y
2
7
x
=
+
.

Bài 16. Tính đạo hàm của các hàm số:
a.
sin 3y
5
x
π

⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
= ; b.
2
sin 1yx=+; c. sin
2
y
x
π
⎛⎞
=
−
⎜⎟
⎝⎠
; d.
(
)
3
5cos 1yx
=
− ; e.
(
)
73
cos 2 2
7
y
xx

+
+
= ;
f.
1
3
cos
x
y
x
=
+
−
; g.
sin 3
cos2
x
y
x
= ; h.
(
)
2
tan 3 5=+yx
7
; i. tan
2
y
x
π

⎛⎞
=
−
⎜
⎝⎠
⎟
; j.
(
)
3
tan cosyx= ;
k.
x
cos5
sin 3
y
x
=
)
+
; l. ; m.
(
2
cot 3 5yx=
(
)
3
cot 3 1yx
=
− ; n.

(
)
2
cot sinyx= ; p.
cos(2 1)yx=−
.
Bài 17. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. 5sin 3cos
y
x=−x; b.
sin cos
x
sin cos
x
y
x
x
+
=
; c.
−
cot
y
xx
=
; d.
3
y
; e.
sin

x
=
sin 5
sin 3
x
x
y
x
x
=−
;
f.
12tanyx=+ ; g.
2
sin 1
y
x=+; h. cos
x
x
+
; i.
2
tan
y
x= ; j.
2
cot
y
x=− ; k.
32

cos
y
x= .
1
Bài 18. Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a. ; b.
sin 2yx=
sin 3 3cos tan
x
5
y
xx=− + ;c.
(
)
2
sin 5 1yxx
=
−+
; d.
2
1
siny
x
= ; e.
cot 2yx= x
;
f.
22
3sin .cos cos
y

xx=+x; g.
3
tan
y
x= ; h.
()
;i.
2
sin
x
y
2
; j. 12tanyx=+ ;
cos
y
=
π
=
−
x
5
x
k.
2
cot 1
y
x=+; l.
2
1tan=+
y

x ; m.
2
sin 1
y
x
=
+ ; n. cos
1
x
; o.
22
tan cot
y
xx=−;
x
+
p.
()
2
2cos2.sin
y
xxx=− + x;q.
(
)
(
)
22
insin cos cos s
y
xx=+;r. tan cot

x
22
x
y =−; s.
1
y =
sin(3 5)x
+
;
t.
35
11
tan tan tan
35
y
xx=− + x; u.
sin
sin
x
x
y
x
x
=−; v.
1
y
tan
x
= ; w. tan(cot )
y

x
=
.



THPT Ernst Thalmann ☺Gv. Lê Quốc Huy
Lưu hành nội bộ
4
DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐƯỜNG CONG
(): ()Cy fx
=
TẠI ĐIỂM
M
000
(, )xy
000
'( )( )
:
y
fx xx y
=
−+
.
00 0
,,'()
x
Nguyên tắc: Muốn viết được phương trình tiếp tuyến phải tìm đủ 3 yếu tố yfx
0
'( )fx (

còn gọi là hệ số góc k).

1. Tiếp tuyến tại điểm
000
(,)
M
xy .
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với tại
32
1x++
0
(2;3)M(): ()Cy fx x== −
0
'( )fx.(Nhận xét: thiếu )
−
'( ) 3
2
2xxx=+
0
'( ) '(fx f⇒=2) 8−=
f
Giải:
y


y
PTTT là :
000
'( )( )yfxxx y=−+
8( 2) 3yx

⇔
=+− 813yx
⇔
=+
Bài 19. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm tương ứng:
a. ; b.
() ; c.
32
(): 1, (1;3)Cyx x A=++ )Cy
3
: 2 5 15, (2;9)Cy x x D=− + +
32
: 2 4 3, (0;3)Cy x x E=− − +
32
: 4 2 5 3, F(1;4)Cy x x x=−+−
32
: 2 7 2, (2;30x x x B=++− −−
32
(): 3 7, C(2;21)Cy x x=+−
d.
() ; e. () ; f. ()

2. Tiếp tuyến tại điểm
0
M
có hoành độ
0
x
.
Ví dụ: Viết pt tiếp tuyến với

2
45
():
xx
Cy
++
=
2x
+
0
tại điểm
M
có hoành độ (Thiếu )
0
0x =
00
,'()yfx
Giải:
y

/
22 2 2
22
45(45)'(2)(45)(2)' 4
'( )
2
(2)
xx xx x xx x xx
fx
x

xx
⎛⎞
++ ++ +− ++ + ++
== =
⎜⎟
+
++
⎝⎠
3
(2)
0
3
'( ) '(0)
4
fx f
⇒==

y
2
2
00
0
0
45
04.05
==
2022
xx
y
x

++
++
=
++
5

0
5
(0; )M
⇒
2
.

y
PTTT là:
000
'( )( )yfxxx y=−+
35
(0)
42
yx
⇔= − +
35
yx
42
⇔
=+
0
M
Bài 20.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có hoành độ tương ứng:

a. ; b.
()
; c.
32
0
(): 1, 1Cyx x x=++ =
3
32
0
: 2 7 2,Cy x x x x=++−
3
1=− 4x=
2
32
0
(): 3 7,Cy x x=+−
d. ; e.
0
(): 2 5 15, Cy x x x=− + + =
0
(): 2 3, 3Cy x x
=
−− =; f.
3
0
(): 4 5 3, 2Cy x x x
=
+− =
32
;

g.
() ; h. ; i. ()
3
0
: 6 10, 2Cyx x x=−+ =−
0
(): 3 3, 5Cy x x x=−− =
0
: 4 2 5 3, 0Cy x x x x
32
−+− =;
=

3. Tiếp tuyến tại điểm có tung độ
0
y .
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
3
yx1
=
+ tại điểm
0
M
có tung độ bằng
0
28y =
Giải: y
0
28y =
0

128x⇒+=
00
27 3xx⇒=⇒=
0
(3M⇒ ;28)
3 3
y
32
0
1) ' 3 '( )=+= ⇒x x fx
2
'(3) 3.3 27= = =f'( ) (fx
y PTTT là :
000
'( )( )yfxxx y=−+ 27( 3)yx⇔= − 27yx28+ 53
⇔
=−
0
M
Bài 21.Viết phương trình tiếp tuyến vói đồ thị (C) và điểm có tung độ tương ứng:
0
y
a. ; b.
32
0
(): 6 11 3, yCyx x x=− + − =3
32
0
(): 2 , y 2Cyx x x
=

−− =−; c.
32
0
(): 4 2, yCy x x x 2
=
−− + + =−
0
y 2,

d.
()
; e.
()
32
: 3,Cyx x x=−++ 4= : 3Cyx x
3
0
y 0
=
−+ = : 3Cyx x=−
; f.
()
;
3
0
2, y 0− =
g.
0
618
(): , y 0

x
Cy
+
==
37x
+
; h.
0
210
(): , y 2
x
Cy
−+
==
21x
−+
−; i.
0
49
(): 1 , y 8Cy
31x
=
−+ =−
−
;
j.
2
314xx++
0
(): , y 7

32
Cy
x
==
−
; k.
2
6714xx−++
0
(): , y 1
32
Cy
x
==
−
0
: 2 , y 3
37
Cy x
x
4
()
=
−+ =
+
; l. ;
m.
0
25
(): 1 , y 8

43
Cyx
x
=++ =
−
; n.
0
4
: 2 , y 4
310
Cyx
x
=++ =
−+
()
; p.
0
9
: 1 , y 0
21
Cyx
x
=++ =
−+
()

THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Quốc Huy ☺

4. Tiếp tuyến có hệ số góc:
Ví dụ: Lập pttt của (C)

2
2
()
10xx
yfx
−−+
==
tt
biết hệ số góc của tiếp tuyến là . 3k =
21x−+
Giải:
*
2/ /2
//
Lưu hành nội bộ
5
2
()
(2 1)
x
x
==
−+
(2 10)(2 1) (2 1)(2 10xx x x xx
yf
−−+ −+−−+−−+)

2
4419xx
−

2
(2 1)x
+
=
−+

*Ta có:
2
0
/222
00
00
2
0
() 3 4 4 1
(2 1)
tt
fx k x x
x
000
0
1
4419
4 1) 8 8 160
2
x
xx
x x x
x
93(4x

=
−
⎡
−−+
+⇔ − −=⇔
⎢
=⇔ =⇔ − += −

=
−+
⎣
*
2
2( 1) ( 1) 10
1()(1)
000
xyfx
−− −−+
=− ⇒ = =
3
/
()3fx
2( 1) 1
f
− = =
−−+
0
,
=

⇒
/
00
()( )Phương trình tiếp tuyến:
0
3( (1))3 3( 1)3 3 6
y
fx xx y= − + y x⇔= − y x y x− +⇔= ++⇔= +
*
2
2(2) (2) 10
2()(2)
000
xyfx
−−+
=⇒ = =
0
/
()3fx
2(2) 1
f
= =
−+
0
,
=

⇒
/
00

()( 3( (2))0 3( 2) 3 6
y
Phương trình tiếp tuyến:
0
)fx xx x y x y x= − =− +⇔=− =−y y+⇔ ⇔
Bài 22. ( )
y
fx
=
: Lập phương trình tiếp tuyến với (C): biết hệ số góc của tiếp tuyến là
tt
k
a.
2
320xx++
() , 1
1
tt
yfx k
x
== =
+
b.
2
25
() , 3
xx
yfx k
++
== =

1
tt
x
−
+
c.
2
3237
() , 4
xx
yfx k
−++
311
tt
x
=
==
−+
85=− 19=− 5=−

d. e. f.
3
() 3 4 1,
tt
yfx x x k==−−−
3
() 2 5 1,
tt
yfx x x k==−++
3

() 2 5,
tt
yfx x x k==−++
g.
311
() , 3
x
yfx k
+
== =
37
tt
x
−
+
h.
411
() , 2
x
yfx k
21
tt
x
−
+
== =
−+
k.
36
() , 3

x
yfx k
310
tt
x
−
== =
−+


5. Tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước.
Ví dụ: Lập pttt của (C)
2
2
()
10xx
yfx
−−+
== biết tiếp tuyến song song với đthẳng
:6 2 1 0dxy−+ +=
21x−+
Giải:
*
2/ /2
//
2
(2 10)(2 1) (2 1)(2 10)
()
(2 1)
xx x x xx

yfx
x
−−+ −+−−+−−+
==
−+

2
( 4 1)( 2 1) ( 2)( 2 10)xx xx−−−+−−− −+
=
2
(2 1)x−+
2
2
)
4419
(2 1
xx
x
−+
=
−+

*
61
:6 2 1 0 (): 3
22
−
−+ +=⇔ = =−
x
dxy dy x

d tt d tt
1
3⇒=k. Tiếp tuyến song song d nên:
33kk k==⇒=
*Ta có:
2
0
22
000
0
1
4419
4 1) 8 8 160
2
(2 1)
tt
x
xx
fx k x x x x x
x
x
/2
00
00
2
0
() 3 4 4 193(4x
=
−
⎡

−−+
=⇔ =⇔ − + +⇔ − −=⇔
⎢
= −

=
−+
⎣
*
2
000
2( 1) ( 1) 10
1(
2( 1) 1
xyfxf
−− −−+
=− ⇒ = = − = =
−−+
0
)(1) 3
/
()3fx,
=

⇒
/
00
()( )Phương trình tiếp tuyến:
0
3( (1))3 3( 1)3 3 6

y
fx xx y= − + y x⇔= − y x y x− +⇔= ++⇔= +
*
2
2(2) (2) 10
2()(2)
000
xyfx
−−+
=⇒ = =
0
/
()3fx
2(2) 1
f
= =
−+
0
,
=

⇒
/
00
()( ) 3( (2))0 3( 2) 3 6yfxxxyyx yx yx= −+⇔=−+⇔=−⇔=−
Phương trình tiếp tuyến:
0

Bài 23.: Lập phương trình tiếp tuyến với (C):
y

( )fx
=
biết tuyến song song với đường thẳng d
THPT Ernst Thalmann Gv. Lê Quốc Huy ☺
a.
2
320
() , : 0
1
xx
yfx dxy
x
++
== −=
+
b.
2
25
() , :3 2 0
1
xx
yfx dxy
x
++
=
=+
+
+=
c.
2

3237
() , :8 2 1 0
xx
yfx dx y
−++
== −+=
311x−+
d.
3
() 3 4 1, :85 1 0yfx x x d xy
=
=− − − + + =
e. f.
3
() 2 5 1, :19yfx x x d xy==−++ +2 0+= 0
3
() 2 5, : 10 2 3yfx x x d x y
=
=++ − ++=
g.
311
() , :6 2 1 0
x
yfx dx y
+
== ++=
37x +
h.
411
() , : 4 2 3 0

x
yfx d x y
21x
−
+
=
=−++=
−+


6. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước.
Ví dụ: Lập pttt của (C)
2
2
()
10xx
yfx
−−+
== biết tiếp tuyến vuông góc với đthẳng
:2 6 1 0dx y++=
21x−+
Giải:
*
2/ /2
//
(2 10)(2 1) (2 1)(2 10)
()
xx x x xx
yfx
−−+ −+−−+−−+

==
2
(2 1)x
−+

2
4419xx
−
Lưu hành nội bộ
6
2
(2 1)x
+
=
−+

*
21
d
A
k
−−−
63B
===. Tiếp tuyến vuông góc d nên:
11
.1 1: 3 3
3
tt d tt tt
d
kk k k

k
−−
⎛⎞
=
−⇒ = =− = ⇒ =
⎜⎟
⎝⎠

*Ta có:
2
0
/222
00
00
2
0
() 3 4 4 1
(2 1)
tt
fx k x x
x
000
0
1
4419
4 1) 8 8 160
2
x
xx
x x x

x
93(4x
=
−
⎡
−−+
+⇔ − −=⇔
⎢
=⇔ =⇔ − += −

=
−+
⎣
*
2
2( 1) ( 1) 10
1()(1)
000
xyfx
−− −−+
=− ⇒ = =
3
/
()3fx
2( 1) 1
f
− = =
−−+
0
,

=

⇒
/
00
()( )Phương trình tiếp tuyến:
0
3( (1))3 3( 1)3 3 6
y
fx xx y= − + y x⇔= − y x y x− +⇔= ++⇔= +
*
2
2(2) (2) 10
2()(2)
000
xyfx
−−+
=⇒ = =
0
/
()3fx
2(2) 1
f
= =
−+
0
,
=

⇒

/
00
()( 3( (2))0 3( 2) 3 6
y
Phương trình tiếp tuyến:
0
)fx x y x y x y x= − =− +⇔=−⇔=−x y+⇔
Bài 24.
y
Lập phương trình tiếp tuyến với (C): ( )fx
=
biết tuyến vuông góc với đường thẳng d
a.
2
320xx++
() , : 0
1
yfx dxy
x
== +=
+
; b.
2
25
() , : 3 2 0
1
xx
yfx dx y
x
++

=
=−+
+
=;
c.
2
3237
0
xx−++
=() , :2 8 1
311
yfx dx y
x
== ++
−+
; d.
3
() 3 4 1, : 85 1 0yfx x x dx y
=
=− − − − + + = ;
e. ; f.
3
() 2 5 1, : 19yfx x x dx y==−++ − 2 0+= 0
3
() 2 5, :2 10 3yfx x x dx y
=
=− + + − + = ;
g.
311
() , :2 6 1 0

x
yfx dx y
+
== −+=
37x +
; h.
411
() , :2 4 3 0
x
yfx dx y
21x
−
+
=
=+−=
−+
.


"Ngủ dậy muộn th˜ ph˝ mất cả ngšy, ở tuổi thanh ni˚n mš kh“ng học tập th˜ ph˝ mất cả cuộc ₫ời."
(Ngạn ngữ Trung Quốc)