Các bài toán xác định điểm nhờ phương trình đường thẳng

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN XÁC ðỊNH ðIỂM NHỜ PHƯƠNG TRÌNH
ðƯỜNG THẲNG



Bài 1:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có ñỉnh A(1;0) và 2 ñường thẳng lần lượt
chứa ñường cao kẽ từ B và C có phương trình: x-2y+1=0; 3x+y+1=0. Tính diện tích tam giác
ABC .
Giải:
Ta có:
(1; 3) : 3 1 0
CK AB
u n AB x y
= = − ⇒ − − =
 

Tọa ñộ B là nghiệm của hệ:

( )
3 1 0
( 5; 2)
2 1 0
à : 2;1 2( 1) 0 2 2 0
BH AC
x y
B
x y
V u n x y x y

− − =

⇒ − −

− + =

= = ⇒ − + = ⇒ + − =
 

Và tọa ñộ C là nghiệm của hệ phương trình:

( )
2 2
2 2 0
( 3;8) 4 8 4 5
3 1 0
14 1 1 14
. .4 5. 28
2 2
5 5
ABC
x y
C AC
y
d B AC BH S AC BH
∆
+ − =

⇒ − ⇒ = + =


+ + =

→ = = ⇒ = = =

Bài 2:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC có AB=AC, góc BAC = 90
0
.
Biết M(1;-1) là trung ñiểm của BC và G(2/3;0) là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa ñộ các ñỉnh
ABC.
Giải:
Gọi
( )
0 0
0 0
2
;
3
1
( ; ) ; 1 0;2
3
2
AG x y
A x y GM M
AG GM

 
= − −
 


 


 
⇒ = − ⇒

 
 


=




 


Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3

(
)
( )
( )
( ) ( )
; 2
2 ; 4
( ; ) (2 ; 2 )

2 2 ; 2 2
(1; 3)
(2 ) 2 4 0
0 (4;0); ( 2; 2)
ì :
2 ( 2; 2); (4;0)
2 2 3(2 2 ) 0
AB a b
AC a b
Goi B a b C a b
BC a b
AM
a a b b
AB AC b B C
V
AM BC b B C
a b

= −


= − − −

⇒ − − − ⇒

= − − −


= −



− + − − − =
⊥ = ⇒ − −
 

⇒ ⇒
 

⊥ = − ⇒ − −
− + + =

 






Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân ñỉnh A. Có
trọng tâm là G(4/3;1/3), Phương trình ñường thẳng BC là: x-2y-4=0, phương trình
ñường thẳng BG là: 7x-4y-8=0. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C.
Giải:
Hoàng ñộ giao ñiểm B là nghiệm của hệ PT:
7 4 8 0
(0; 2)
2 4 0
x y
B
x y
− − =


⇒ −

− − =


Do C thuộc BC nên:
4 2(3 ) 4 0 2 6
a b a b
− − − − = ⇔ − = −

Nhưng do tam giác ABC cân nên:

( )
4 1
;
3 3
. 0. à : 2 3 0
2;1
BC
BC
AG a b
AG BC AG u M a b
u

 
= − −
 

 

⊥ ⇒ = ⇒ + − =


=





Tọa ñộ A là nghiệm của hệ PT:

2 6 0
(0;3) (4;0)
2 3 0
a b
A C
a b
− + =

⇒ ⇒

+ − =


Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật có tâm I(1/2;0). Phương trình
ñường thẳng AB là: x-2y+2=0 và AB=2AD. Tìm tọa ñộ các ñỉnh A,B,C,D. Biết
rằng A có hoành ñộ âm.
Giải:
• Phương trình ñường thẳng qua I vuông góc với AB là d:2x+y-1=0
• Tọa ñộ giao ñiểm M của d và B là nghiệm của hệ:

2 1 0
5
(0;1) 2 5
2 2 0
2
x y
M MI AD MI AM
x y
+ − =

⇒ ⇒ = ⇒ = = =

− + =


Gọi A(a;b) với a<0 ta có:
2 2
( 1) 5
AM a b= + − =

Do A thuộc AB nên a-2b+2=0 => a=2(b-1)
Bài 2: Các bài toán xác ñịnh ñiểm nhờ phương trình ñường thẳng – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3
( )
2
(2;2)
0 2
5 1 5 ( 2;2) (3;0)
2 2( )

( 1; 2)
B
b a
b A C
b a loai
D

= ⇒ = −


− = ⇒ ⇒ − ⇒


= ⇒ =


− −


Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho ñiểm A(0;2) và ñường thẳng d: x-2y+2=0. Tìm
trên d hai ñiểm B và C sao cho tam giác ABC vuông ở B và AB=2BC.
Giải:
Phương trình ñường thẳng ñi qua A vuông góc với d là: 2x+y-2=0
Tọa ñộ ñiểm B là nghiệm của hệ phương trình:
2 2 0
2 6
( ; )
2 2 0
5 5
x y

B
x y
+ − =

⇒

− + =


Ta có:
2
( )
5
d A d→ =

Gọi C(a;b) là ñiểm trên d, ta có: a-2b+2=0 (1) và:

2 2
2 2
2 6 4
( ) (2)
5 5 5
d A d BC a b
   
→ = = − + − =
   
   

Từ (1) và (2) ta có: C(0;1) hoặc C(4/5;7/5)
………………….Hết………………

Nguồn: Hocmai.vn