Một số bài tập hình học 10

WWW.ToanCapBa.Net
BÀI TẬP VEC TƠ
A. Khái niệm véc tơ
1. Cho ∆ABC. Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác
0
r
1) 2. Cho tứ giác ABCD a/ Có ? vectơ khác
0
r
2) b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung .điểm AB, BC, CD, DA. CMR :
MQ
→
=
NP
→
1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với
MN
→
; b/ Xác định các vectơ bằng
NP
→
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ
EH
→
và
FG
→
bằng
AD
→

CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
1. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ
CI
→
=
DA
→
. CMR
:
a/ I là trung điểm AB và
DI
→
=
CB
→
b/
AI
→
=
IB
→
=
DC
→
1. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng
MK
→
=
CP
→

và
KL
→
=
BN
→
a/ CMR :
KP
→
=
PN
→
b/ AKBN là hình bình hành; c/ CMR :
AL
→
=
0
r
7. Cho 3 điểm A, B, C phân biệt và thẳng hàng,trong trường hợp nào
AB
→
và
AC
→
cùng hướng ,
ngợc hớng ?
8. Cho tam giác ABC, gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm cuả các cạnh AB, BC, CA. Hãy vẽ
hình và chỉ ra các vectơ bằng
, ,
PQ QR RP

uur uur uur

B. Phép toán véc tơ
5. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
AC
→
+
BD
→
=
AD
→
+
BC
→
6. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR :
AB
→
+
CD
→
+
EA
→
=
CB
→
+
ED
→

2
3
x x
+
7. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
AD
→
+
BE
→
+
CF
→
=
AE
→
+
BF
→
+
CD
→
8. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR :
AC
→
+
BF
→
+
GD

→
+
HE
→
=
AD
→
+
BE
→
+
GC
→
+
HF
→
9. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
a/
DO
→
+
AO
→
=
AB
→
; b/
OD
→
+

OC
→
=
BC
→
; c/
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
+
OD
→
=
0
r
; d/
MA
→
+
MC
→
=
MB
→
+

MD
→
1. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR :
OD
→
+
OC
→
=
AD
→
+
BC
→
WWW.ToanCapBa.Net
1
WWW.ToanCapBa.Net
2. Cho ∆ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ
'
AA
→
,
'
BB
→
,
'
CC
→
CMR :

'
AA
→
+
'
BB
→
+
'
CC
→
=
'
BA
→
+
'
CB
→
+
'
AC
→
.
3. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính 
AB AD
→ →
+
 theo a
4. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.

14) a/ Tính 
AB AD
→ →
+
b/ Dựng
u
r
=
AB AC
→ →
+
. Tính 
u
r

1. Cho ∆ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a a/ Dựng
v
r
=
AB AC
→ →
+
. b/ Tính 
v
r
.
2. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ
, , ,
OA OB OC OD
uuur uuur uuur uuur

có độ dài bằng nhau và
OA OB OC OD
+ + +
uuur uuur uuur uuur
= 0. Chứng minh ABCD là hình chữ
nhật
3. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AM
→
+
BN
→
+
CP
→
=
0
r
b/ CMR :
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
=
OM

→
+
ON
→
+
OP
→
1. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M∈BC sao cho
BM
→
= 2
MC
→
a/ CMR :
AB
→
+ 2
AC
→
= 3
AM
→
b/ CMR :
MA
→
+
MB
→
+
MC

→
= 3
MG
→
1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF.
a/ CMR :
AD
→
+
BC
→
= 2
EF
→
b/ CMR :
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
+
OD
→
=
0
r

c/ CMR :
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
+
MD
→
= 4
MO
→
d/ Xác định vị trí của điểm M:
MA
−→
+
MB
−→
+
MC
−→
+
MD
−→
 nhỏ nhất
1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1
điểm tùy ý.

a/ CMR :
AF
→
+
BG
→
+
CH
→
+
DE
→
=
0
r
; b/ CMR :
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
+
MD
→
=
ME
→

+
MF
→
+
MG
→
+
MH
→
c/ CMR :
AB AC
→ →
+
+
AD
→
= 4
AG
→
(với G là trung điểm FH)
1. Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR :
AD
→
+
BE
→
+
CF
→
= 3

GH
→
2. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR :
a/
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
+
OD
→
=
0
r
; b/
EA
→
+
EB
→
+ 2
EC
→
= 3
AB
→

; c/
EB
→
+ 2
EA
→
+ 4
ED
→
=
EC
→
22.Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR :
AB
→
−
CD
→
=
AC
→
+
DB
→
WWW.ToanCapBa.Net
2
WWW.ToanCapBa.Net
23.Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : a/
CD
→

+
FA
→
−
BA
→
−
ED
→
+
BC
→
−
FE
→
=
0
r
b/
AD
→
−
MB
→
−
EB
→
=
MA
→

−
EA
→
−
FB
→
; c/
MA
→
−
DC
→
−
FE
→
=
CF
→
−
MB
→
+
MC
→
1. Cho ∆ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :a/
MA
→
−
MB
→

+
MC
→
=
0
r
b/
MB
→
−
MC
→
+
BC
→
=
0
r
c/
MB
→
−
MC
→
+
MA
→
=
0
r

d/
MA
→
−
MB
→
−
MC
→
=
0
r
e/
MC
→
+
MA
→
−
MB
→
+
BC
→
=
0
r
2. Cho HCN-ABCD có AB = 3a, AD = 4a.a/ Tính 
AD
→

−
AB
→
b/ Dựng
u
r
=
CA
→
−
AB
→
.
Tính 
u
r

3. Cho ∆ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.a/ Tính 
AB AC
→ →
−
b/ Tính 
BA
→
−
BI
→

4. Cho ∆ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính 
AB AC

→ →
−

5. Cho ∆ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR :
AM
→
+
BN
→
+
CP
→
=
0
r
; b/ CMR :
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
=
OM
→
+
ON

→
+
OP
→

29.Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi M ∈ BC sao cho
BM
→
= 2
MC
→
a/ CMR :
AB
→
+ 2
AC
→
= 3
AM
→
; b/ CMR :
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
= 3

MG
→
1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của
EF.CMR:
a/
AD
→
+
BC
→
= 2
EF
→
b/
OA
→
+
OB
→
+
OC
→
+
OD
→
=
0
r
c/
MA

→
+
MB
→
+
MC
→
+
MD
→
= 4
MO
→
(với M tùy ý)
1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1
điểm tùy ý.CMR:
a/
AF
→
+
BG
→
+
CH
→
+
DE
→
=
0

r
b/
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
+
MD
→
=
ME
→
+
MF
→
+
MG
→
+
MH
→
c/ CMR :
AB
→
+
AC

→
+
AD
→
= 4
AG
→
(với G là trung điểm FH)
1. Cho hai ∆ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H. CMR :
AD
→
+
BE
→
+
CF
→
= 3
GH
→
2. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/
OA
→
+
OB
→
+
OC
→

+
OD
→
=
0
r
; b/
EA
→
+
EB
→
+ 2
EC
→
= 3
AB
→
; c/
EB
→
+ 2
EA
→
+ 4
ED
→
=
EC
→

1. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC
kéo dài sao cho5JB=2JC.
a) Tính
, ,
AI AJ theo AB AC
uur uuur uuur uuur
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính
AG
uuur
WWW.ToanCapBa.Net
3
WWW.ToanCapBa.Net
theo

AI
uuur
và
AJ
uuur
35) 31. Cho ∆ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao
cho
36)
AN
→
=
1
2
NC
→
. Gọi K là trung điểm của MN. a/ CMR :

AK
→
=
1
4
AB
→
+
1
6
AC
→
37) b/ CMR :
KD
→
=
1
4
AB
→
+
1
3
AC
→
38) 32.Cho ∆ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho
AD
→
= 2
DB

→
,
CE
→
= 3
EA
→
.
39) Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :a/
AM
→
=
1
3
AB
→
+
1
8
AC
→
b/
MI
→
=
1
6
AB
→
+

3
8
AC
→
40) 33.Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2
AB
→
+ 3
AC
→
= 5
AD
→
CMR : B, C, D thẳng hàng.
41) 34. Cho ∆ABC, lấy M, N, P sao cho
MB
→
= 3
MC
→
;
NA
→
+3
NC
→
=
0
r
và

PA
→
+
PB
→
=
0
r
a/ Tính
PM
→
,
PN
→
theo
AB
→
và
AC
→
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
35) 35. Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B
qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng
trọng tâm.
36) 36. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M
qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB.CMR: a/ 3 đường thẳng AA’, BB’,
CC’ đồng qui
37) b/ Khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác
ABC
38) 37. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau :

39)
/ ; / 0; / C; / C e / C
a MA MB b MA MB MC c d
3
= + + = ΜΑ + ΜΒ=ΜΑ + Μ  ΜΑ + Β  = ΜΑ − ΜΒ; ΜΑ + Β  =ΜΑ − ΜΒ
2
uuur uuur uuur uuur uuuur r uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuuur
38.Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F chứng minh :
)
a AB DC AC DB
+ = +
uur uur uur uur

)
b AB ED AD EB
+ = +
uur uur uur uur

)
c AB CD AC BD
− = −
uur uur uur uur
)
d AD CE DC AB EB
+ + = −
uur uur uur uur uur
) AC+ DE - DC - CE + CB = AB
e
uur uur uur uur uur uur
)

f AD BE CF AE BF CD AF BD CE
+ + = + + = + +
uur uur uur uur uur uur uur uur uur
39.Cho tam giác MNP có MQ là tr.tuyến của tam giác . Gọi R Là trung điểm của MQ. Chứng
minh rằng:

;) 2 0 ) 2 4 ,
a RM RN RP b ON OM OP OD O
+ + = + + = ∀
uuur uur uur r uur uuur uur uur

c) Dựng điểm S: MNPS là hình bình hành. Chứng tỏ rằng:
2
MS MN PM MP
+ − =
uur uuur uuur uuur

d)
ON OS OM OP
+ = +
uuur uuur uuuur uuur
;
4
ON OM OP OS OI
+ + + =
uuur uuuur uuur uuur uur
WWW.ToanCapBa.Net
4
WWW.ToanCapBa.Net
40.Cho 4 điểm bất kì A,B,C,D và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD.Chứng minh rằng:

a)
2
CA DB CB DA MN
+ = + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
b)
4
AD BD AC BC MN
+ + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur

c) Gọi I là trung điểm của BC.Chứng minh rằng:
2( ) 3
AB AI NA DA DB
+ + + =
uur uur uur uur uur

41.Cho tam giác MNP có MQ ,NS,PI lần lượt là trung tuyến của tam giác .Chứng minh rằng:
) 0
a MQ NS PI
+ + =
uuur uur uur r
b)Chứng minh rằng hai tam giác MNP và tam giác SQI có cùng trọng tâm .
c)Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua N , N’ là điểm đối xứng với N qua P , P’ là điểm
đối xứng với P quaM. Chứng minh rằng với mọi điểm O bất kì ta luôn có:
' ' '
ON OM OP ON OM OP
+ + = + +
uuur uuur uuur
uur uuur uur

42. Gọi G và
G
′
lần lượt

là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác
AB C
′ ′ ′
.
Chứng minh rằng
3
AA BB CC GG
′ ′ ′ ′
+ + =
uuur uuur uuur uuuur
43. Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của AB, N là một điểm trên AC sao cho
NC=2NA, gọi K là trung điểm của MN.
1 1
) CMR: AK= AB + AC
4 6
a
uuur uuur uuur
1 1
b) KD= AB + AC
4 3
uuur uuuur uuur
Gäi D lµ trung ®iÓm cña BC, chøng minh :
35)44. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :a/
MA
→

=
MB
→
b/
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
=
0
r


c/ 0
MA MC MB
+ − =
uuur uuuur uuur r

/ 2
d MA MB MC BC
+ + =
uuur uuur uuuur uuur

e/ 2
MA MB MC CA
− + =

uuur uuur uuuur uuur
45. a) Cho MK và NQ là trung tuyến của
∆
MNP.
Hãy phân tích
, ,
MN NP PM
uuur uur uuur
theo hai véctơ
u MK
=
r uuuur
,
v NQ
=
r uuur
b) Trên đường thẳng NP của tam giác MNP lấy một điểm S sao cho
3
SN SP
=
uuur uur
.
Hãy phân tích véctơ
MS
uuur
theo hai véctơ
u MN
=
r uuuur
,

v MP
=
r uuur
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MNP .Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MG và H là
điểm trên
cạnh MN sao cho MH =
1
5
MN
.*Hãy phân tích các véctơ
, , ,
MI MH PI PH
uur uuur uur uur
theo hai véctơ
u PM
=
r uuuur
,
v PN
=
r uuur
*Chứng minh ba điểm P,I,H thẳng hàng
Hệ toạ độ Oxy
1/. Cho 3 điểm A(1,2), B(-2, 6), C(4, 4)a)Chứng minh A, B,C không thẳng hàng
b)Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB c)Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC d)Tìm
t.độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành e)Tìm toạ độ điểm N sao cho B là trung
điểm của đoạn AN
g)Tìm toạ độ các điêm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của tam giác ABH, B là trọng tâm của
tam giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK. h)Tìm t.độ T sao cho 2 điểm A và T đ.xứng
nhau qua B, qua C.

WWW.ToanCapBa.Net
5
WWW.ToanCapBa.Net
i)
3 ; 2 5
AB BU AC BU
= =
uuur uuur uuur uuur
T ì m toạ độ điểm U sao cho
j)
, theo 2 ; theo 2
AB
uuur uuur uuur uuur uuur
Hãy phân tích véc tơ AU và CB véctơ AC và CN
2/.Cho

ABC cú M(1,4), N(3,0); P(-1,1) ln lt l tr.im ca cỏc cnh: BC, CA, AB. Tỡm
to A, B, C.
3/.Trong mt phng ta Oxy.CMR cỏc im: a)
( )
1;1
A
,
( )
1;7
B

,
( )
0;4

C
thng hng. b)
( )
1;1
M

,
( )
1;3
N
,
( )
2;0
C

thng hng. c)
( )
1;1
Q

,
( )
0;3
R
,
( )
4;5
S

khụng thng hng.

4/.Cho hai im
( )
2;1
A
v
( )
6; 1
B

.Tỡm ta : a) im M thuc Ox sao cho A,B,M thng hng.
b) im N thuc Oy sao cho A,B,N thng hng. c) im P thuc hm s y=2x-1 sao cho A, B, P thng
hng.
d) im Q thuc hm s y=
2
x
2 2
x
+
sao cho A, B, Q thng hng
5/. Cho

ABC vuụng ti A, cú gúcB= 60
0
.
a) (BA, BC); (AB,BC); (CA,CB); (AC, BC);
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Xác định số đo các góc :
b) Tớnh giỏ tr lng giỏc ca cỏc gúc trờn
6/ Trong h trc
Oxy

cho cỏc vộct
(2; 1), ( 1; 3), (3;1)
a b c
= = =
r r r
.
a) Tỡm to ca cỏc vộct
, , 2 3 4 .
u a b v a b c w a b c
= + = + = +
r r r r r r r ur r r r
b) Biu din vộct
c
r
theo hai vộct
a
r
v
b
r
.
c) Tỡm to ca vộct
d
ur
sao cho
2 3
a d b c
+ =
r ur r r
.

7/ Trong h trc
Oxy
cho ba im
(2;1), ( 1;2), ( 3; 2)
A B C

.
a) Tỡm to ca cỏc vộct
, , , , ,
AB BA BC CB AC CA
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
b) Chng minh rng
, ,
A B C
l ba nh ca mt tam giỏc. V tam giỏc ú trờn h trc.
c) Tỡm to im
D
sao cho
ABCD
l hỡnh bỡnh hnh.
d) Tỡm to ca im
E
sao cho
3 2
AE AB BC CA
= +
uuur uuur uuur uuur
.
8./(H, C khi D - 2004). Trong mt phng vi h Oxy vuụng gúc cho
ABC

cú A(-1;0)
B(4;0) C(0;m)
0
m

. Tỡm to trng tõm G theo m. Tỡm m
GAB

vuụng ti G.
35) C. Trc To trờn trc:
36) 1. Trờn trc x'Ox cho 2 im A, B cú ta ln lt l 2 v 5.
a/ Tỡm ta ca
AB

.
b/ Tỡm ta trung im I ca on thng AB
c/ Tỡm ta ca im M sao cho 2
MA

+ 5
MB

=
0
r
d/ Tỡm ta im N sao cho 2
NA
+ 3
NB

= 1
35) 2.Trờn trc x'Ox cho 3 im A, B, C cú ta ln lt l a, b, c.
a/ Tỡm ta trung im I ca AB
b/ Tỡm ta im M sao cho
MA

+
MB


MC

=
0
r
c/ Tỡm ta im N sao cho 2
NA

3
NB

=
NC

35) 3.Trờn trc x'Ox cho 2 im A, B cú ta ln lt l 3 v 1.
WWW.ToanCapBa.Net
6
WWW.ToanCapBa.Net
a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3
MA

− 2
MB
= 1
c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho
NA
+ 3
NB
=
AB
35) 4.Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(−2) ; B(4) ; C(1) ; D(6)
a/ CMR :
1
AC
+
1
AD
=
2
AB
b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR :
2
.
IC ID IA
=
c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR :
. .
AC AD AB AJ
=
D. Toạ độ trên mặt phẳng:
35) 5. Viết tọa độ của các vectơ sau :

a
r
=
i
r
− 3
j
r
,
b
r
=
1
2
i
r
+
j
r
;
c
r
= −
i
r
+
3
2
j
r

;
d
r
= 3
i
r
;
e
r
= −4
j
r
.
36) 6. Viết dưới dạng
u
r
= x
i
r
+ y
j
r
, biết rằng :
u
r
= (1; 3) ;
u
r
= (4; −1) ;
u

r
= (0; −1) ;
u
r
= (1, 0) ;
u
r
= (0, 0)
35) 7. Trong mp Oxy cho
a
r
= (−1; 3) ,
b
r
= (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ :
a/
u
r
= 3
a
r
− 2
b
r
; b/
v
r
= 2
a
r

+
b
r
; c/
w
r
= 4
a
r
−
1
2
b
r
35) 8. Trong mp Oxy cho A(1; −2) , B(0; 4) , C(3; 2)
a/ Tìm tọa độ của các vectơ
AB
→
,
AC
→
,
BC
→
b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB
c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho :
CM
→
= 2
AB

→
− 3
AC
→
d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho :
AN
→
+ 2
BN
→
− 4
CN
→
=
0
r
35) 9. Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(4; 3) , B(−1; 2) , C(3; −2).
a/ CMR : ∆ABC cân. Tính chu vi ∆ABC.
b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
35) 10. Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; −1).
a/ CMR : ∆ABC vuông. Tính diện tích ∆ABC.
b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng.
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
35) 11. Trong mp Oxy cho ∆ABC có A(−3; 6) , B(9; −10) , C(−5; 4).
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và tính bán kính đường tròn đó.
35) 12. Trong mp Oxy cho A(−3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục Ox các điểm M sao cho ∆ABM
vuông tại M.

36) 13. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5)
a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ∆ABC cân tại C.
b/ Tính diện tích ∆ABC.
WWW.ToanCapBa.Net
7
WWW.ToanCapBa.Net
c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
35) 14. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(−1; −1) , C(6; 0)
a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng.
b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC.
c/ CMR : ∆ABC vuông cân.
d/ Tính diện tích ∆ABC.
35) 15. Cho ∆ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM.
a/ CMR : 2
IA
→
+
IB
→
+
IC
→
=
0
r
; b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2
OA
→
+
OB

→
+
OC
→
= 4
OI
→
35) 16. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ∆ABC.
a/ CMR : 2
AI
→
= 2
AO
→
+
AB
→
; b/ CMR : 3
DG
→
=
DA
→
+
DB
→
+
DC
→
35) 17. Cho ∆ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho

BC
→
= 3
BN
→
. Tính
AN
→
theo
AB
→
và
AC
→
36) 18. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD.
a/ CMR :
AI
→
=
1
2
(
AD
→
+ 2
AB
→
)
b/ CMR :
OA

→
+
OI
→
+
OJ
→
=
0
r
c/ Tìm điểm M thỏa :
MA
→
−
MB
→
+
MC
→
=
0
r
35) 19. Cho ∆ABC và 1 điểm M tùy ý.
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho
MD
→
=
MC
→
+

AB
→
,
ME
→
=
MA
→
+
BC
→
và
MF
→
=
MB
→
+
CA
→
. CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M.
b/ CMR :
MA
→
+
MB
→
+
MC
→

=
MD
→
+
ME
→
+
MF
→
35) 20. Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện :
a/
MA
→
=
MB
→
b/
MA
→
+
MB
→
+
MC
→
=
0
r
c/ 
MA

→
+
MB
→
 = 
MA
→
−
MB
→

d/ 
MA
→
+
MB
→
 = 
MA
→
 + 
MB
→

e/ 
MA
→
+
MB
→

 = 
MA
→
+
MC
→

35) 21. Cho ∆ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi
AD
→
= 2
AB
→
,
AE
→
=
2
5
AC
→
a/ Tính
AG
→
,
DE
→
,
DG
→

theo
AB
→
và
AC
→
; b/ CMR : D, E, G thẳng hàng.
WWW.ToanCapBa.Net
8
WWW.ToanCapBa.Net
35) 22. Cho ∆ABC. Gọi D là điểm xác định bởi
AD
→
=
2
5
AC
→
và M là trung điểm đoạn BD.
a/ Tính
AM
→
theo
AB
→
và
AC
→
.; b/ AM cắt BC tại I. Tính
IB

IC
và
AM
AI
35) 23. Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2).
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích ∆ OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm ∆ OAB.
d/ Đường thẳng AB cắt Ox và Oy lần lượt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng
AB theo các tỉ số nào ?
e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E.
f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành.
BÀI TẬP: Tìm toạ độ điểm, véctơ.
Bài 1: Cho
(1;2); ( 3;1); ( 4; 2)
a b c
= = − = − −
r r r
a) Tìm:
2 3
x a b c
= − +
r r r r
và tìm
x
r
; b) Tìm các số m,n để:
a mb nc
= −
r r r

Bài 2: Tìm toạ độ vectơb
u
r
biết:
a)
0
u a
+ =
r r r
với
(2; 3)
a
= −
r
; b)
u a b
+ =
r r r
với
(2;0); (1;1)
a b
= =
r r
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-1;3), B(2;4), C(0;1). Tìm toạ độ đỉnh D.
Bài 4: Cho A(3; 2), B(4; 1), C(1; 5). Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Bài 5:Trong hệ trục 0xy cho
ABC
∆
có A(10; 5), B(3; 2), C(6;-5).
Tìm toạ độ điểm D sao cho

3 2
AD AB AC
= −
uuur uuur uuur
Bài 6: Trong hệ trục 0xy cho: M(3;2), N(-1;3), P(-2;1).
a)Tìm toạ độ điểm I sao cho:
3
IM IN
=
uuur uur
b) Tìm đoạ điểm Q sao cho MNPQ là hình bình hành.
c) Tìm toạ độ vectơ:
3 2
u MN MP
= +
r uuuur uuur
;
2 3
v MN MP
= −
r uuuur uuur
BÀI TẬP: Toạ độ trung điểm, trọng tâm
Bài 1: Cho
ABC
∆
có A(-3; 6), B(9; -10), C(-5; 4). tính toạ độ :
a) Trung điểm I của đoạn thẳng AB.
b) Trọng tâm G của
ABC
∆

.
c) Tâm O của đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
.
Bài 2: Cho A(-2; 1), B(4; 5).
a) Tìm toạ độ trung điểm I của AB;
b) Tìm toạ độ điểm C để OABC là hình bình hành với O là gốc toạ độ.
Bài 3: Cho
ABC
∆
với A(1;2), B(-2; 6), C(4; 4).
a) Xác định toạ độ diểm D để ABCD là hình bình hành.
b) Xác định toạ độ giao điểm I của AC và BD.
Bài 4: Cho
ABC
∆
có M(1; 1), N(2; 3), P(0; -4) lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
Tính toạ độ các đỉnh của
ABC
∆
.
Bài 5: Cho
ABC
∆
có A(-5; 6), B(-4; -1), C(4; 3).
a) Tìm toạ độ trung điểm I của AC.
WWW.ToanCapBa.Net
9
WWW.ToanCapBa.Net

b) Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
Bài 6: Cho
ABC
∆
có A(-3; 6), B(9; -10), C(-5; 4).
a) Tìm toạ độ trong tâm G của
ABC
∆
;
b)Tìm toạ độ điểm D để BGCD là hình bình hành.
Bài 7: Cho
ABC
∆
với A(2; 4), B(-3; 1), C(3; -1).
a) Tính toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành.
b) Tính toạ độ trọng tâm G của
ABC
∆
;
c) Tính toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC
∆
Bài 8: trong hệ toạ độ 0xy cho A(1; -2), B(-3; -4), G(1; 1). CMR:
a) A, B, G không thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ điểm C để G là trọng tâm
ABC
∆
Bài 9: Cho A(2; 0), B(0; 4), C(1; 3)
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính độ dài trung tuyến CM của

ABC
∆
.
c) Tìm toạ độ trọng tâm G của
ABC
∆
.
Bài 10: Cho A(-1; -2), B(3; 2), C(4; -1).
a) CMR: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
b) Tính chu vi
ABC
∆
.
c) Tính độ dài trung tuyến AM của
ABC
∆
Bài 11: Cho A(-3; 4), B(1; 1), C(9; -5).
a) CMR: A, B, C thẳng hàng.
b) Tìm toạ độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD.
c) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua gốc toạ độ.
Bài 12: Cho A(-4; 1), B(2; 4), C(2; -2).
a) CMR: A, B, C không thẳng hàng.
b) Tính chu vi
ABC
∆
.
c) Tìm toạ độ trung điểm I của BC.
d) Tìm toạ độ trọng tâm G của
ABC
∆

Bài 13: Cho
ABC
∆
có A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3).
a) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Tìm toạ độ tâm I của hình bình hành.
c) Tim toạ độ điểm E sao cho
3 2
AE AB AC
= −
uuur uuur uuur
Bài 14: Cho A(-2; 2), B(1; 1).
a) Tìm toạ độ điểm M trên 0x cách đều A và B.
b) Tìm toạ độ điểm N trên 0x sao cho A, B, N thẳng hàng.
Bài 15: Cho 4 điểm A( -1; 1), B(0; 2), C(3; 1), D(0; 2). CMR: ABCD là hình thang .
Bài kiểm tra :
Bài 1: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Chỉ ra các véc tơ cùng hớng với
AB
uuur

b) Chỉ ra các véc tơ đối của
OB
uuur
WWW.ToanCapBa.Net
10
WWW.ToanCapBa.Net
c)Xác định điểm M để
BM FO
=

uuuur uuur
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O , với điểm E tuỳ ý
Chứng minh :
EB ED EA EC
+ = +
uuur uuur uuur uuur

Bài 3: Cho P, Q là trung điểm các cạnh AB , CD của tứ giác ABCD .
Chứng minh :
2
AC BD PQ
+ =
uuur uuur uuur
.
Chủ đề: Giải tam giác
Bài 1: Cho tam giác ABC. Biết a=17,4;
·
·
0 0
44 30'; 64
B C
= =
. Tính góc A và các cạnh b,c
của tam giác đó.
Bài 2: Cho tam giác ABC biết a=49,4; b=26,4;
·
0
47 20'
C
=

. Tính hai góc B, C và cạnh c.
Bài 3: Cho tam giác ABC. Biết a=24; b=13; c=15. Tính các góc A, B, C
Bài 4: Đường dây cao thế nối thẳng tù vị trí A đến vị trí B dài 10km, từ vị trí A đến vị trí C dài
8km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằn 75
0
. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C
Bài 5: Một ngời ngồi trên tàu hoả đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua ống nhòm ngời
đó nhìn thấy một tháp C. Hớng nhìn từ ngời đó đến tháp tạo với hớng đi của tàu một góc 60
0
.
Khi tàu đỗ ở ga B, ngời đó nhìn lại vẫn thầy tháp C, hớng nhìn từ ngời đó đến tháp tạo với h-
ớng ngợc với hớng đi của tàu một góc 45
0
. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B
dài 8 km.
Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C là bao nhiêu?
Bài 6: Cho hai điểm phân biệt P và Q. Tìm tập hợp các điểm M sao cho MP
2
+MQ
2
=k
2
, trong
đó k là số cho trớc.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(3;4) và B(6;0)
a) Nhận xét gì về tam giác OAB? Tính diện tích tam giác đó
b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB
c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB
d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB
Chủ đề: Phương trình đường thẳng

WWW.ToanCapBa.Net
11
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 1: Lập phương trình tổng quát đường thẳng:
a) Đi qua hai điểm A(1; 2); B(5;-1);
b) Đi qua A(2;1) và song song với đường thẳng (D):
2 1 0
x y
+ − =
;
c) Đi qua M(1;1) và vuông góc với đường thẳng (D):
3 2 0
x y
+ + =
;
d) Đi qua N(1;1) và vuông góc
2 5
3
x t
y t
= − +


=

;
e) Đi qua B(2; 5) và có hệ số góc k= 3;
f) Đường trung trực MN biết M(7;6), N(5;2);
g) Đi qua giao điểm của 2 đường thẳng: x + 2y - 4 = 0; 2x + y + 1 = 0 và song song với
đường thẳng

2 3
1 4
x t
y t
= − −


= +

.
Bài 2: Cho điểm M(1;3) và đường thẳng d có phương trình
2
4 2
x t
y t
= −


= +

a) Điểm M có nằm trên đường thẳng d hay không?
b) Viết phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng d
1
đi qua điểm M và
song song với đường thẳng d;
c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d
2
đi qua điểm M và
vuông góc với đường thẳng d;
d) Tính diện tích tam giác tạo bởi d với hai trục toạ độ.

Bài 3. Cho đường thẳng d có phương trình 3x+4y-10=0
1. Viết phương trình tham số của đường thẳng d;
2. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d
1
đi qua M và song
song với d;
3. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d
2
đi qua M và vuông
góc với d;
4. Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên d;
5. Tìm toạ độ của điểm M' đối xứng với M qua d.
Bài 4: Cho đường thẳng
: 3 4 2 0
x y
∆ − + =
a) Viết phương trình của
∆
dưới dạng tham số;
WWW.ToanCapBa.Net
12
WWW.ToanCapBa.Net
b) Viết phương trình của
∆
dưới dạng phương trình theo đoạn chắn;
c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm M(3;5), N(-4;0), P(2;1) tới
∆
và xét xem đường thẳng
∆
cắt

cạnh nào của tam giác MNP;
d) Tính các góc hợp bởi
∆
với mỗi trục toạ độ.
Bài 5: Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB, BC, CA là
:2 3 1 0
: 3 7 0
:5 2 1 0
AB x y
BC x y
CA x y
− − =
+ + =
− + =
a) Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
b) Cho hai điểm P(4;0), Q(0;-2). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm B
và song song với đường thẳng PQ.
c) Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Bài 6: Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M (2;1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Bài 3: Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4); C(0;6) và các điểm: M trên cạnh AB, N trên cạnh
BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông
Tìm toạ độ các điểm M, N, P, Q.
Bài 4: Lập phương trình đường thẳng
∆
đi qua P(6;4) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 2.
Bài 5: Cho đường thẳng
∆

có phương trình tham số
2
1 2
x t
y t
= +


= −

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của
∆
b) Tìm các điểm của
∆
tương ứng với các giá trị t = 0; t = -4; t =
1
2
c) Điểm nào trong các điểm sau thuộc
∆
: M(3;3), N(1; 5), P(0;1), Q(5;4).
Bài 6: Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) và phương trình tổng quát
của đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm B(2;-1) và song song với trục tung;
WWW.ToanCapBa.Net
13
WWW.ToanCapBa.Net
b) Đi qua điểm C(2;1) và vuông góc với đường thẳng d: 5x-7y+2=0.
Bài 7: Hãy viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có), phương trình tổng
quát của đường thẳng đi qua hai điểm A = (-3;0) và B = (0;5).
Bài 8: Cho điểm A(-5;2) và đường thẳng

2 3
:
1 2
x y
− +
∆ =
−
. Hãy viết phương trình đường
thẳng
a) Đi qua A và song song với
∆
;
b) Đi qua A và vuông góc với
∆
.
Bài 9: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P = (3;-2) trên đường thẳng
1
:
3 4
x y
−
∆ =
−
Bài 10: Hãy tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
∆
trong mỗi trường hợp sau
( )
( )
) 3;4 ; : 4 3 15 0
7 2

) 5;1 ; :
4 3
a M x y
x t
b M
y t
∆ − + =
= −

∆

= − +

Bài 11: Cho tam giác ABC có các đỉnh là A=(1;0) , B(2;-3), C(-2;4) và đường thẳng
∆
có ph-
ương trình x-y+1=0. Xét xem
∆
cắt cạnh nào của tam giác
Bài 12: Cho tam giác ABC với
( ) ( )
7
;3 , 1;2 , 4;3
4
A B C
 
−
 ÷
 
Bài 13: Cho biết phương trình của hai đường thẳng

∆
và
'∆
lần lượt là
7 2
5
x t
y t
= −


= −

và
1 '
2 3 '
x t
y t
= +


= +

Tìm toạ độ vectơ chỉ phương của hai đường thẳng và tìm góc hợp bởi hai đường thẳng đó.
Bài 14: Cho 3 điểm A(4;-1), B(-3;2), C(1;6)
a) Tính góc BAC
b) Tính góc (AB,AC)
Bài 17: Viết phương trình các đường trung trực của tam giác ABC biết M(-1;1), N(1;9) và
P(9;1) là các trung điểm của ba cạnh tam giác.
Bài 18: Cho điểm A(-1;3) và đường thẳng

∆
có phương trình x-2y+2=0
Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B,C nằm trên
∆
và các toạ độ của đỉnh C đều d-
ương
WWW.ToanCapBa.Net
14
WWW.ToanCapBa.Net
a) Tìm toạ độ các đỉnh B, C, D;
b) Tính chu vi và diện tích của hình vuông ABCD.
Bài 19: Cho tam giác ABC có A(0;0), B(2;4); C(0;6) và các điểm: M trên cạnh AB, N trên
cạnh BC, P và Q trên cạnh AC sao cho MNPQ là hình vuông
Tìm toạ độ các điểm M, N, P, Q.
Bài 20: Lập phương trình đường thẳng
∆
đi qua P(6;4) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác
có diện tích bằng 2.
Bài 21: Cho hai đường thẳng d
1
:2x-y-2=0 , d
2
: x+y+3=0 và điểm M(3;0)
a) Tìm toạ độ giao điểm của d
1
và d
2
b) Viết phương trình đường thẳng
∆
đi qua M, cắt d

1
và d
2
lần lượt tại điểm A và B sao cho M
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Bài 22: Cho 2 đường thẳng song song: 3 x + y – 5 = 0 và 6x + 2y – 15 = 0.
a) Tìm qũy tích các điểm cách đều 2 đường thẳng trên.
b) Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng trên. Tính diện tích hình vuông có 2 cạnh nằm
trên hai đường thẳng.
Bài 23: Cho HCN có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng có phương trình 2x - y + 5 = 0 và x +
2y + 7 = 0. Biết 1 đỉnh là A(1;2). Tính diện tích HCN và lập phương trình các cạnh còn lại.
Bài 24: Lập ptts của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a. d đi qua điểm A(-5 ; 2) và có vtcp
u
r
(4 ; -1).
b. d đi qua hai điểm A(-2 ; 3) và B(0 ; 4)
Bài 25: Lập pttq của đường thẳng
∆
trong mỗi trường hợp sau:
a.
∆
đi qua M(2 ; 1) và có vtpt
n
r
(-2; 5).
b.
∆
đi qua điểm (-1; 3) và có hsg k =
1

2
−
.
c.
∆
đi qua hai điểm A(3; 0) và B(0; -2).
Bài 26: Cho đường thẳng
∆
có ptts
2 2
3
x t
y t
= +


= +

a. Tìm điểm M nằm trên
∆
và cách điểm A(0 ;1) một khoảng bằng 5.
b. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng
∆
với đường thẳng x + y + 1 = 0.
c. Tìm điểm M trên
∆
sao cho AM là ngắn nhất.
Bài 27: Lập phương trình ba đường trung trực của một tam giác có trung điểm các cạnh lần
lượt là
M(-1; 0) ; N(4 ; 1); P(2 ;4).

Bài 28: Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau vuông góc:
1
∆
: mx + y + q = 0
2
∆
: x –y + m = 0
WWW.ToanCapBa.Net
15
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 29Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a. d:
1 5
2 4
x t
y t
= − −


= +

và d’:
6 5
2 4
x t
y t
= − +


= −


b. d:
1 4
2 2
x t
y t
= − −


= +

và d’ 2x + 4y -10 = 0
c. d: x + y - 2=0 và d’: 2x + y – 3 = 0
Bài 30: Tìm góc giữa hai đường thẳng:
d: x + 2y + 4 = 0
d’: 2x – y + 6 = 0
Bài 31: Tính bán kính của đường tròn có tâm là điểm I(1;5) và tiếp xúc với đường thẳng
∆
: 4x
– 3y + 1 = 0.
Bài 32: Lập phương trình đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng:
d: 2x + 4y + 7 = 0
d’: x- 2y - 3 = 0
Bài 33Cho tam giác ABC biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao
AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường
thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác.
Bài 34: Tìm phương trình của tập hợp các điểm cách đều hai đường thẳng:
d: 5x+ 3y - 3 = 0 và d’: 5x + 3y + 7 = 0
Chủ đề: Đường tròn
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc với đường tròn

(C)
2 2
3 0
x y x y
+ − + =
.
Bài 2: Tính bán kính đường tròn tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng 5x + 12y-10 = 0. Từ
đó lập phương trình đường tròn trên.
Bài 2: Cho đường tròn
2 2
2 4 20 0
x y x y
+ − + − =
và điểm M(4;2)
a) Chứng tỏ rằng điểm M nằm trên đường tròn đã cho
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn
( ) ( )
2 2
2 3 1
x y
− + + =
, biết tiếp tuyến
đó song song với đường thẳng
: 3 2 0
x y
∆ − + =
Bài 4: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A = (3; 5) và đường thẳng
∆
: 2x – y + 3 = 0

1) Viết phương trình đường thẳng m đi qua A và vuông góc
∆
2) Viết phương trình đường tròn tâm A, tiếp xúc với
∆
WWW.ToanCapBa.Net
16
WWW.ToanCapBa.Net
3) Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với A qua
∆
4) Viết phương trình đường thẳng
'
∆
đi qua A sao cho (
∆
;
'
∆
) = 60
0

Bài 5: Cho phương trình: x
2
+ y
2
+ 2mx – 4my – (m-4) = 0 (1)
a) Tìm m để (1) là phương trình của đường tròn (C
m
)
b) Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C
2

)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
0
)
+ Tại điểm A = (1;
3
)
+ Đi qua điểm B = (-2;3)
d)Tìm quỹ tích tâm của (C
m
)
Bài 6: Cho ba điểm A(4 ;6), B(-3 ;5), C(1 ;7).
a) Viết phương trình đường tròn (T) đi qua ba điểm A, B, C. Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính
của đường tròn (T).
b) Trong các điểm sau đây điểm nào nằm trên, nằm trong hoặc nằm ngoài đường tròn (T) : D(-
2 ;2) E(2 ;8), F(2 ;0), G(1 ;-3) ?
c) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn song song với trục toạ độ.
d) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với đường thẳng OI.
e) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B. Tìm toạ độ giao điểm của hai
tiếp tuyến đó.
g) Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn đi qua E(2 ;8) và tìm góc giữa hai tiếp
tuyến đó
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(4;6), B(6;4), C(1;7).
1.Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc(nếu có) đường
cao BH.
2. Tính góc BCA và góc giữa hai đường thẳng CB,CA
3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A,B,C. Xác định tâm và bán kính đường
tròn đó
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(2;7)
Bài 8: Trong mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(4;6), B(6;4), C(1;7).

1.Viết phương trình tổng quát, phương trình tham số, phương trình chính tắc(nếu có) đường
cao AH.
2. Tính góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB,AC
3. Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A,B,C. Xác định tâm và bán kính đường
tròn đó
4. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(1;2)
Bài 9: Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình: (x – 3)
2
+ ( y + 2)
2
= 25.
WWW.ToanCapBa.Net
17
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 10: Cho họ đường tròn (C): x
2
+ y
2
+ 2x – 4y – 20 = 0.
a) Xác định tâm và bán kính đường tròn.
b) Viết pttt của đường tròng tại điểm A(3; -2).
c) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + 4y – 1 = 0.
d) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5x + 12y – 3 = 0.
e) Viết pttt của (C) biết tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua B(-6;5).
Bài 11: Xác định tâm và bán kính đường:
a) (x – 3)
2
+ ( y + 2)
2
= 16 b) x

2
+ y
2
– 2x – 2y – 2 = 0 c) x
2
+ y
2
– 3x + 4y + 12 =
0.
Bài 12: Viết phương trình đường tròn:
a) Đi qua 3 điểm: M(4 ; 3) ; N (2 ; 7) ; P (-3 ; -8)
b) Đi qua 2 điểm A (0 ; -2) ; B (4 ; 0) và có tâm nằm trên đường thẳng (∆) : x + 2y = 0
Bài 13: Tính bán kính đường tròn tâm I(1;2) và tiếp xúc với đường thẳng 5x + 12y-10 = 0.
Bài 14: Cho ba đường tròn (C
1
), (C
2
), (C
3
) lần lượt có phương trình:
( )
( )
( )
2 2
1
2 2
2
2 2
3
: 8 10 16 0

: 6 8 0
: 2 12 12 0
C x y x y
C x y x y
C x y x y
+ − − + =
+ + − =
+ − − + =
a) Tìm toạ độ tâm và bán kính của mỗi đường tròn đó
b) Chứng tỏ ba đường tròn đó cùng đi qua một điểm , ta gọi điểm đó là I, tìm toạ độ điểm đó.
c) Viết phương trình đường tròn đi qua tâm của (C
1
), (C
2
), (C
3
)
d) Gọi A, B, C lần lượt là ba giao điểm khác của các cặp đường tròn (C
1
)và (C
2
), (C
2
)và (C
3
),
(C
3
) và (C
1

). Tìm toạ độ của A, B, C
Chủ đề: Elip
Bài 1: Cho ba điểm
( ) ( )
( )
1 2
5;0 ; 5;0 ; 0;3
F F I
−
. Hãy viết phương trình chính tắc của
elíp có tiêu điểm là F
1
, F
2
và đi qua điểm I. Khi M chạy trên elíp đó, khoảng cách MF
1
lớn nhất
và nhỏ nhất khi nào ?
Bài 2: Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng là 20m, mặt cắt đứng của đường hầm có
dạng nửa elip nh hình 84 của SGK. Biết rằng tâm sai của elip là e gần bằng 0,5. Hãy tìm chiều
cao của đường hầm
WWW.ToanCapBa.Net
18
WWW.ToanCapBa.Net
Bài 3: Tìm toạ độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trụclớn, trục bé của mỗi elip có phương trình
sau
2 2 2 2
) 1; ) 1
25 4 9 4
x y x y

a b
+ = + =
Bài 4: Cho elip có phương trình
2 2
2 2
4 4 1
4 1
x y
x y
+ = ⇔ + =

Tìm toạ độ các tiêu điểm, tâm sai, toạ độ các đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục bé.
Bài 5: Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau
a. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai
3
2
e
=
b. (E) có một tiêu điểm
( )
3;0
F
và đi qua điểm M
3
1;
2
 
 ÷
 
c. (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tiêu cự bằng 4.

Bài 6: Cho elip (E) có phương trình:
2 2
1
9 1
x y
+ =
a) Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vuông góc với trục tiêu ( đoạn thẳng
nối hai điểm của (E) gọi là dây cung của elip, trục chứa các tiêu điểm gọ là trục tiêu của
elip)
b) Tìm trên (E) điểm M sao cho MF
1
=2MF
2
, trong đó F
1
, F
2
lần lượt là các tiêu điểm của (E)
nằm bến trái và bên phải trục tung.
Bài 7: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy,cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm B chạy trên trục Oy
nhng độ dài đoạn AB bằng a không đổi . Tìm tập hợp các điểm M thuộc AB sao cho
MB=2MA.
Bài 8: Xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, đỉnh, độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ, phương trình
hình chữ nhật cơ sở và phương trình đường tròn ngoại tiếp HCN cơ sở của các Elip sau:
a)
2 2
1
169 25
x y
+ =

b) 9x
2
+ 25y
2
= 225 c) 4x
2
+ 9y
2
= 5 d) 4x
2
+ y
2
= 1
Bài 9: Lập phương trình chính tắc của Elip biết:
a) Độ dài trục lớn bằng 20 và độ dài trục nhỏ bằng 16.
b) Một tiêu điểm có toạ độ (-5;0) và một đỉnh có tọa độ (13;0)
c) Trục lớn có độ dài bằng 10 và tiêu cự bằng 8.
WWW.ToanCapBa.Net
19
WWW.ToanCapBa.Net
d) Độ dài trục lớn bằng 26 và tâm sai bằng
12
13
e) Có tiêu cự bằng 16 và tâm sai bằng
4
5
.
f) Một đỉnh trên trục lớn là (-5;0) và đi qua điểm
( 15; 1)−
g) Có hai cạnh HCN cơ sở có phương trình

4 0; 3=0
x y
± = ±
h) Đi qua 2 điểm
(4; 3) (2 2;3)
A B
− ;
Bài 9: Cho (E):
2 2
1
50 32
x y
+ =
. Viết pttt của (E) tại M(-5; 4).
Bài 9: Cho (E):
2 2
1
25 9
x y
+ =
. Viết pttt của (E) biết tiếp tuyến.
a) Song song với đường thẳng 2x + 3y -8 = 0 b) Vuông góc với đường thẳng x - 5y + 3
= 0.
c) Biết tiếp tuyến đi qua M(-5; 6) d) Biết tiếp tuyến đi qua N(-7; 3)
e) Biết tiếp tuyến đi qua K(-8; 6)
WWW.ToanCapBa.Net
20