sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian


Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình
học khơng gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả
phương pháp hình học thuần t và cả phương pháp tọa độ. Việc giải tốn
Hình học khơng gian bằng phương pháp hình học thuần túy gây rất nhiều
khó khăn cho học sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã
qn kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình trong khơng gian.
Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên
học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này khơng được
đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thơng ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải tốn Hình
học khơng gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng
kiến kinh nghiệm của mình, tơi xin trình bày một số bài tốn cụ thể về hình
chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình hộp và lăng trụ giải bằng phương
pháp tọa độ.
Trong q trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng song khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của
đồng nghiệp và Hội đồng chun mơn của nhà trường để các đề tài sau của
tơi được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Quảng Ngãi, tháng 03/2008
Người thực hiện đề tài
Ngơ Văn Hải
A. Cơ sở lý thuyết
Để giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta
thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Đề-cac thích hợp.

Sáng kiến kinh nghiệm Trang 1 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Bước 2: Dựa vào các điều kiện của bài tốn để xác định tọa độ các
điểm, phương trình của đường thẳng và mặt phẳng cần thiết; xác định điều
kiện ràng buộc giữa các điểm, phương trình các đường và mặt.
Bước 3: Sử dụng các kiến thức về hình học giải tích trong khơng gian
để giải quyết bài tốn.
Việc chọn một hệ trục tọa độ Đề – các thích hợp sẽ làm cho bài tốn
trở nên quen thuộc và có hướng giải rõ ràng hơn. Thơng thường gốc và trục
toạ độ gắn liền với điểm và các đường đặc biệt của bài tốn như: Tâm
đường tròn ngoại tiếp đáy, đỉnh của góc tam diện vng
Ngồi ra, để sử dụng phương pháp này một cách hiệu qủa, học sinh
cần nắm vững lý thuyết hình học lớp 12 về “ Phương pháp tọa độ trong
khơng gian “ và một số khái niệm, định lý cơ bản của hình học khơng gian.
Sau đây là một số bài tốn hình học khơng gian giải bằng phương
pháp tọa độ mà trước đó nhiều tác giả đã giải bằng phương pháp hình học
thuần t.

B. Các ví dụ minh họa:
I/ Các bài tốn về hình chóp tam giác:
Bài tốn 1:
Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giac vng cân AB=AC=a,
SA vng góc với mặt phẳng (ABC) và
2
2a
SA =
.
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC)

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung
điểm của cạnh BC.
 Lời giải:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Do AB, AC, AS đơi một vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O
)0;0;0(A≡
, B(a;0;0), C(0;a;0),
)
2
2
;0;0(
a
S
( xem hình 1 ).
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là
)0;0;1(=i
Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:
)
2
2
;;0();
2
2
;0;(
a

aSC
a
aSB −=−=

Ta có
[ ]
)2;1;1(
2
2
;
2
2
;
2
2
,
2
2
22
a
a
aa
SCSB =









=
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
)21;1(=n
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
0
60
2
1
211
1
.
.
cos =⇒=
++
==
ϕϕ
ni
ni
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:
Vì I là trung điểm của BC







⇒ 0;
2
;
2
aa
I
nên ta có:
[ ]
[ ]
[ ]
2
488
,
4
2
.,
2
2
;0;0,
2
;
4
2
;
4
2
,,
2
2
;;0,0;

2
;
2
2444
3
222
aaaa
SCAI
a
ASSCAI
a
AS
aaa
SCAI
a
aSC
aa
AI
=++=
=⇒








=









−=








−=






=
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC là:

[ ]
2
2
.

4
2
,
.,
),(
2
3
a
a
a
SCAI
ASSCAI
SCAId ==






=
Bài tốn 2: ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2002 )
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a
diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với
mặt phẳng (SBC).
 Lời giải:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 GV: Ngô Văn Hải
z
x
y

A
S
B
C
I
(Hình 1)

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Gọi H là hình chiếu vng góc của S trên mặt phẳng (ABC) thì H là
trọng tâm ( cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp ) của tam giác ABC. Giả
sử SH = h.
Gọi K là trung điểm của BC ta có:
6
3
;
3
3
;
2
3 a
HK
a
AH
a
AK ===
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
)0;0;0(HO ≡
( xem hình 2 )
Ta có:

)0;
2
;
6
3
(),0;
2
;
6
3
(),0;0;
3
3
(
aa
C
aa
B
a
A −−−








−
−









−
−
2
;
4
;
12
3
,
2
;
4
;
12
3
),0;0;
6
3
(),;0;0(
haa
N
haa

M
a
KhS
Suy ra :








−−=








−=
2
;
4
;
12
35
2
;

4
;
12
35
haa
AN
haa
AM
Mặt phẳng (AMN) có vectơ pháp
tuyến
[ ]








==
24
35
;0;
4
,
2
1
aah
ANAMn
.









−−−=








−−= h
aa
SCh
aa
SB ;
2
;
6
3
;;
2
;
6

3
. Mặt phẳng (SBC) có véctơ pháp
tuyến
[ ]








−==
6
3
;0;,
2
2
a
ahSCSBn
.
Theo giả thiết:
0
48
5
4
0.)()(
422
21
=+−⇔=⇒⊥

aha
nnSBCAMN
6
15a
h =⇒
.
Vậy
[ ] [ ]
16
10
,
2
1
24
35
;0;
24
15
,
222
a
ANAMS
aa
ANAM
AMN
==⇒









=
∆
* Bài tập tham khảo:
1) Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC);
AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt
phẳng (BCD). ( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2002 )
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và
SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 4 GV: Ngô Văn Hải
z
x
y
A
C B
S
K
H
N M
( Hình 2 )

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

vng góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp
S.BCNM. ( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2006 )
3) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy
ABC có cạnh bằng

62
. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh
AC và AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp
hình chóp đó.
II/ Các bài tốn về hình chóp tứ giác:
Bài tốn 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
aSAaADaAB === ;2;
và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M; N
lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng
minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích khối tứ diện ANIB.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2006 )
 Lời giải:
Theo giả thiết ta có AS, AB, AD đơi một
vng góc, nên ta chọn hệ tọa độ Oxyz
sao cho
)0;0;0(AO ≡
, ( xem hình 3 )
Khi đó ta có:
M là trung điểm của AD
)0;
2
2
;0(
a
M⇒
N là trung điểm của SC
)
2

;
2
2
;
2
(
aaa
N⇒
I là giao điểm của AC và BM nên
I là trọng tâm của tam giác ABD








⇒ 0;
3
2
;
3
aa
I
* Chứng minh
)()( SBMSAC ⊥
Ta có :
[ ]
)0;;2(,)0;2;(),;0;0(

22
1
aaACASnaaACaAS −==⇒==
[ ]








==⇒−=−=
2
2
;;
2
2
,);
2
2
;0(),;0;(
2
2
2
2
a
a
a
SMSBna

a
SMaaSB
mà
21
, nn
lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBM)
đồng thời
0
2
2
.0.
2
2
.2.
2
22
2
2
21
=++−=
a
aa
a
ann
nên
)()( SBMSAC ⊥
(đpcm).
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 5 GV: Ngô Văn Hải
z
S

x
B
C
y
D
N
MA
I
( Hình 3 )
);0;0(),0;2;(),0;2;0(),0;0;( aSaaCaDaB

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

* Tính
ANIB
V
?
Ta có :
[ ]








−=⇒









=








= 0;
6
;
6
2
,0;
3
2
;
3
,
2
;
2
2

;
2
22
aa
AIAN
aa
AI
aaa
AN
)0;0;(aAB =
Suy ra thể tích của khối chóp AINB là:

[ ]
36
2
.
6
2
6
1
.,
6
1
32
a
a
a
ABAIANV
AINB
=−==

Bài tốn 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Gọi M,
N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC và CD. Chứng minh rằng
AM vng góc với BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP.
( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2007 )
 Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AD, vì tam giác SAD đều nên SH
⊥
AD.
Măt khác (SAD)
⊥
(ABCD) nên SH
⊥
(ABCD). Suy ra HS, HA và HN đơi
một vng góc. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
)0;0;0(HO ≡
(hình 4)
Khi đó ta có :
)0;
2
;
2
(
)
4
3
;
2
;

4
(),0;;0(),0;;
2
(
)0;;
2
(),
2
3
;0;0(),0;0;
2
(),0;0;
2
(
aa
P
aaa
MaNa
a
C
a
a
B
a
S
a
D
a
A
−

−
−
* Chứng minh AM
⊥
BP:
Ta có
)
4
3
;
2
;
4
(
aaa
AM −=
)0:
2
;(
a
aBP −−=
Suy ra :
BPAMa
aaaa
aBPAM ⊥⇒=+−−−= 0
4
3
.0
2
.

2
)
4
.(.
(đpcm)
* Tính thể tích khối chóp CMNP:
Ta có:
[ ]
)
4
;
8
3
;0(,)
4
3
;
2
;
4
(),
4
3
;
2
;
4
3
(
22

aa
MNMC
aaa
MN
aaa
MC −=⇒−−=−−=
)
4
3
;0;
4
3
(
aa
MP −−=

Suy ra thể tích khối chóp CMNP:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 6 GV: Ngô Văn Hải
x
z
S
C
y
N
B
M
D
H
P
A


Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

[ ]
96
3
16
3
6
1
.,
6
1
33
aa
MPMNMCV
CMNP
=−==
.
* Bài tập tham khảo:
1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE,
N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vng góc với BD và tính
( theo a ) khoảng cách giữa MN và AC.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2007 )
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
aADaBCBABADABC 2,,90
0
=====
∧∧

, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy và
2aSA =
. Gọi H là hình chiếu vng góc của A trên SB . Chứng minh rằng
tam giác SCD vng và tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng
(SCD).
( Trích đề thi Đại học khối D – năm 2007 )
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, Cạnh AB
= a, AD = b, SA vng góc với mặt đáy và SA = 2a. Gọi N là trung điểm
của SD .
a. Tính d(A,(BCN)) và d(SB,CN)
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)
c. Gọi M là trung điểm của SA. Tìm điều kiện của a và b để
3
1
cos =
∧
CMN
, trong trường hợp đó tính V
S.BCM
III/ Các bài tốn về hình hộp và lăng trụ:
Bài tốn 5:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có thể tích bằng 1 . Gọi I,
J, K lần lượt là trung điển của các đoạn thẳng AA’, CD và A’D’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BIJK.
b) Biết BK vng góc với mặt phẳng (A’C’D). Tính độ dài các cạnh
của hình hộp .
c) Tính giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và
A’J.
 Lời giải:
Gọi a,b,c là 3 kích thước của hình hộp chữ nhật, ta có a.b.c = 1. Xét

hệ trục Đề –các vng góc Axyz với tọa độ các điểm là :



Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7 GV: Ngô Văn Hải
x
B
B’
A’
z
C’
D’
D
y
C
A
I
J
K

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

);
2
;0(),0;;
2
(
)
2
;0;0(),;;0('),;;('),;0;('),;0;0('),0;;0(),0;;(),0;0;(),0;0;0(

c
b
Kb
a
J
c
IcbDcbaCcaBcAbDbaCaBA
a) Gọi V là thể tích củan tứ diện BIJK ta có:
[ ]
[ ]
8
5
82
6.,6
);
2
;(
;
4
;
2
,)0;;
2
(),
2
;0;(
abc
abc
abcabc
VBKBJBIV

c
b
aBK
ab
acbc
BJBIb
a
BJ
c
aBI
=−−=⇔=⇒
−=






−−−=⇒−=−=
Vậy
48
5
=V
( vì a.b.c =1 )
b) Ta có






=
=
⇔





⊥
⊥
⇔⊥
0'.
0''.
'
''
)''(
DABK
CABK
DABK
CABK
DCAmpBK
(1)
Với
);;0('),0;;(''),;
2
;( cbDAbaCAc
b
aBK −==−=
Thế vào hệ (1) ta được
6

2
2
2
2
2
1
2
0
2
0
2
===⇔







=−
=+−
b
ca
c
b
b
a
, từ đó suy ra độ dài
các cạnh của hình hộp chữ nhật.
c) Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J là h , ta có;

[ ]
[ ]
222
222222
944
1
944
',
'.',
bca
caabcb
abc
JACI
IAJACI
h
++
=
++
==
Ap dụng BĐT Cơ si với a.b.c = 1 ta có:
3
max
144.3
1
=h
đạt được khi
3
12
1

322
===
bca
Bài tốn 6:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vng
cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’,
C’B’. Tính khoảng cách giữa DE và A’F.
 Lời giải :
Xét hệ trục Đề –các vng góc A’xyz với tọa độ các điểm là :
[ ]
)
8
3
;0;
2
3
(',
)0;
4
3
;
4
('),0;
2
3
;0(');

4
3
;
4
(
)0;
4
3
;
4
((),;
2
3
;0(),0;
2
3
;0(),0;0;0('
aa
FAED
aa
EA
a
FAa
aa
ED
aa
Ea
a
D
a

FA
−=⇒
==−=⇒
Ta có :
[ ]
[ ]
17
64
3
0
4
3
8
3
',
'.',
)',(
22
2
a
aa
a
FAED
EAFAED
FADEd =
++
==
Vậy khỏang cách giữa hai đường thẳng DE và A’F là
17
17a

* Bài tập tham khảo:
1) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ =
b. Gọi M là trung điểm của CC’.
a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b.
b) xác định tỉ số
b
a
để hai mặt phẳng (A’BD) và(MBD) vng góc
với nhau.
( Trích đề thi Đại học khối A – năm 2003 )
2) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a .
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D.
b) Gọi M, N, P lẩn lượt là trung điểm của các cạnh BB’,CD, A’D’.
Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2002 )
3) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình
thoi cạnh a, góc
.60
0
=
∧
BAD
Gọi m, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’.
Chứng minh rằng B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài
cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vng.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2003 )
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 9 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian


---  ---
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Qua nhiều năm cơng tác, trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn lớp 12, tơi
nhận thấy sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian là
một phương pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh
chuẩn bị thi vào các trường Đại học- Cao đẳng, đặc biệt là các kỳ thi gần
đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện kỳ thi “Ba chung” . Nên bản
thân tơi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tơi, mong đóng góp cùng
đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh có thêm phương pháp giải tốn, rèn
luyện tư duy, sáng tạo trong học tốn làm cơ sở cho các kỳ thi cuối cấp.
---  ---
Quảng Ngãi, Tháng 3 năm 2008
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 GV: Ngô Văn Hải