BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8

UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1. (3 điểm)
1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a,
4
x 4+
b,
( ) ( ) ( ) ( )
x 2 x 3 x 4 x 5 24+ + + + −
2. Cho
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng:
2 2 2
a b c
0
b c c a a b
+ + =
+ + +
Câu 2: (2 điểm)
1. Tìm a,b sao cho
( )
3 2
f x ax bx 10x 4= + + −

chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −
2. Tìm số nguyên a sao cho
4
a 4+
là số nguyên tố
Câu 3.( 3,5 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD.
Kẻ ME
⊥
AB, MF
⊥
AD.
a. Chứng minh: DE = CF
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Câu 4.(1,5 điểm)
Cho a, b dương và a
2000
+ b
2000
= a
2001
+ b
2001
= a
2002
+ b

2002

Tinh: a
2011
+ b
2011
HẾT
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu Đáp án Điểm
1a. x
4
+ 4 = x
4
+ 4x
2
+ 4 - 4x
2
0,5
= (x
4
+ 4x
2
+ 4) - (2x)
2
0,25
= (x
2

+ 2 + 2x)(x
2
+ 2 - 2x) 0,25
1b. ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x
2
+ 7x

+ 11 - 1)( x
2
+ 7x + 11 + 1) - 24
= [(x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 1] - 24 0,25
= (x
2
+ 7x

+ 11)
2
- 5
2
= (x
2
+ 7x

+ 6)( x
2
+ 7x

+ 16)
0,25
0,25
= (x + 1)(x + 6) )( x
2
+ 7x

+ 16) 0,25
2. Nhân cả 2 vế của:
a b c
1
b c c a a b
+ + =
+ + +

với a + b + c
0,5
rút gọn
⇒
đpcm 0,5
2
1. Ta có :
( ) ( ) ( )
2
g x x x 2= x 1 x 2= + − − +
Vì

( )
3 2
f x ax bx 10x 4= + + −
chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −
0,25
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
3 2
ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x→ + + −
0,25
Với
( )
x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1→ →
Với
( )
x=-2 2a-b+6=0 2→
0,25
Thay (1) vào (2) . Ta có :
a=2
và
b=4
0,25
2. Ta có :
( ) ( )
4 2 2
a 4= a -2a+2 a +2a+2+

0,25
Vì
2 2
a a -2a+2 ;a +2a+2Z Z Z∈ → ∈ ∈
Có
( )
2
2
a +2a+2= a+1 1 1 a+ ≥ ∀
Và
( )
2
2
a -2a+2= a-1 1 1 a+ ≥ ∀
0,25
Vậy
4
a 4+
là số nguyên tố thì
2
a +2a+2=1
hoặc
2
a - 2a+2=1
0,25
Nếu
2
a -2a+2=1 1a→ =
thử lại thấy thoả mãn
Nếu

2
a +2a+2=1 1a→ = −
thử lại thấy thoả mãn
0,25
0,25
a. Chứng minh:
AE FM DF
= =

⇒
AED DFC
∆ = ∆

⇒
đpcm
0,5
0,5
b. DE, BF, CM là ba đường cao của
EFC∆ ⇒
đpcm 1
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
2
3
ME MF a⇒ + =
không đổi 0,5
AEMF
S ME.MF⇒ =
lớn nhất
⇔
ME MF

=
(AEMF là h.v)
M⇒
là trung điểm của BD.
0,25
0,25
0,25
4
(a
2001
+ b
2001
).(a+ b) - (a
2000
+ b
2000
).ab = a
2002
+ b
2002
⇒
(a+ b) – ab = 1
⇒
(a – 1).(b – 1) = 0
⇒
a = 1 hoặc b = 1
0,25
0,25
0,25
0,25

Vì a = 1 => b
2000
= b
2001
=> b = 1; hoặc b = 0 (loại)
Vì b = 1 => a
2000
= a
2001
=> a = 1; hoặc a = 0 (loại)
Vậy a = 1; b = 1 => a
2011
+ b
2011
= 2
0,25
0,25
* Chú ý : Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
HẾT
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (1,5 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x
2
– 7x + 2; b) ( x
2

– 2x)(x
2
– 2x – 1) – 6
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A
x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x – 7| = 4.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z – 6y + 20 = 0.
b) Cho
1+ + =

x y z
a b c
và
0+ + =
a b c
x y z
. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1+ + =
x y z
a b c
.
3
Câu 4: (3 điểm)
Cho hình thang cân ABCD có góc ACD = 60
0
, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E,
F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC.
Tam giác EFG là tam giác gì? Vì sao?
Câu 5: (1 điểm)
Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
yx
z
xz
y
zy
x
+

+
+
+
+
Hết
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
4
Câu Đáp án Điểm
Câu 1
(1.5 điểm)
a) 3x
2
– 7x + 2
= 3x
2
– 6x – x + 2 = 3x(x – 2) – (x – 2)
= (x – 2)(3x – 1).
0,25
0.25
b) Đặt a = x
2
– 2x
Thì x
2
– 2x – 1 = a – 1
Do đó:( x
2

– 2x)(x
2
– 2x – 1) – 6 = a
2
– a – 6 = (a + 2) (a – 3)
Vậy: ( x
2
– 2x)(x
2
– 2x – 1) – 6 = (x + 1)(x – 3)(x
2
– 2x + 2)
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu 2
(2.5 điểm)
a) ĐKXĐ :
0
2
3
≠


≠ ±


≠


x
x
x
2 2 2 2
(2 ) 4 (2 ) (2 )
.
(2 )(2 ) ( 3)
+ + − − −
=
− + −
x x x x x
A
x x x x

2
4 8 (2 )
.
(2 )(2 ) 3
+ −
=
− + −
x x x x
x x x

2
4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
+ −

= =
− + − −
Vậy với
0, 2, 3≠ ≠ ± ≠x x x
thì
2
4x
3
=
−
A
x
.
0,25
0,25
0,25
0,25
b)Với
2
4
0, 3, 2 : 0 0
3
≠ ≠ ≠ ± > ⇔ >
−
x
x x x A
x

3 0⇔ − >x
3( )⇔ >x TMDKXD

Vậy với x > 3 thì A > 0.
0,25
0,25
0,25
c)
7 4
7 4
7 4
− =

− = ⇔

− = −

x
x
x

11( )
3( )
=

⇔

=

x TMDKXD
x KTMDKXD
Với x = 11 thì A =
121

2
0,5
0,25
Câu 3
(2.0 điểm)
a) 9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔
(9x
2
– 18x + 9) + (y
2
– 6y + 9) + 2(z
2
+ 2z + 1) = 0
⇔
9(x – 1)
2
+ (y – 3)
2
+ 2 (z + 1)
2
= 0 (*)
Do :
2 2 2

( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0− ≥ − ≥ + ≥x y z
Nên:(*)
⇔
x = 1; y = 3;
z = -1
Vậy (x,y,z) = (1; 3; -1).
0,25
0,25
0,25
0,25
b)Từ:
ayz+bxz+cxy
0 0
+ + = ⇔ =
a b c
x y z xyz
⇔
ayz + bxz + cxy
= 0
Ta có :
2
1 ( ) 1+ + = ⇔ + + =
x y z x y z
a b c a b c
2 2 2
2 2 2
2 1
+ +
⇔ + + + =
x y z cxy bxz ayz

abc
a b c
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dpcm
a b c
⇔ + + =
0,25
0,25
0,25
0,25
- Hình vẽ
- Chứng minh:
∆ = ∆ACD BDC
(c.g.c)
⇒
·
·
=ACD BDC
và
·
0
60=ACD
0, 5
0, 5
0,25
0,25
5

=
=
X
X
//
//
G
F
E
O
A
B
D
C
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN THI: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử
a) (x – 3y)
2
– 3(x – 3y)
b) x
2
– 12x + 35
c) x
3
+ 2x
2

+ 2x + 1
Bài 2: (1,5điểm) Thực hiện phép tính
a) (2n
3
– 5n
2
+1) : (2n – 1)
b)
2 2
3
6 1 10
: 2
4 6 3 2 2
x x
x
x x x x x
   
−
+ + − +
 ÷  ÷
− − + +
   
c) (1- 3x)
2
+ 2(3x – 1)(3x +4) + (3x +4)
2
Bài 3:( 2,0 điểm)
a) Cho a là một số tự nhiên và a > 1. Chứng minh rằng:
A = (a
2

+ a + 1)(a
2
+ a + 2) – 12 là hợp số
b) Tính B =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 1006
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1+ + + + + +K
c) Tìm dư khi chia x + x
3
+ x
9
+ x
27
cho x
2
– 1
Bài 4: (2,0 điểm)
a) Cho abc = 1. Rút gọn biểu thức: M =
a
ab+a+1 1 1
b c
bc b ac c
+ +
+ + + +
b) Cho a +b +c
≠
0 và a
3
+ b

3
+ c
3
= 3abc. Tính N =
( )
2013 2013 2013
2013
a b c
a b c
+ +
+ +
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho hình thang ABCD có
µ
µ
A D=
= 90
0
, CD = 2AD = 2AB. Gọi H là hình chiếu của D lên
AC; M, N, P lần lượt là trung điểm của CD, HC và HD.
a) Chứng minh tứ giác ABMD là hình vuông và tam giác BCD là tam giác vuông cân.
b) Chứng minh tứ giác DMPQ là hình bình hành
c) Chứng minh AQ vuông góc với DP
d) Chứng minh
6
ABCD ABC
S S=
H ẾT
6
=

=
X
X
//
//
G
F
E
O
A
B
D
C
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Bài Đáp án Điểm
Bài 1
(1,5 đ)
a) = (x – 3y)(x – 3y – 3) 0,5
b) = x
2
– 5x – 7x + 35 = x(x – 5) – 7(x – 5)
= (x – 5)(x – 7)
0,25
0,25
c) = x
3
+ 1 + 2x

2
+2x = (x + 1)(x
2
– x + 1) + 2(x +1)
= (x + 1)(x
2
– x + 3)
0,25
0,25
Bài 2
(1,5 đ)
a) Thực hiện phép chi theo cột dọc đúng
Kết quả (2n
3
– 5n
2
+ 1) : (2n – 1) = n
2
– 2n -1
0,25
0,25
b)
( )
( )
( )
2 2
2
2
6 1 10
: 2

3 2 2 2
4
2 2 2
( 2)( 2) 10
:
( 2)( 2) 2
6 2 1 1
.
( 2)( 2) 6 2 2
x x
x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x
x x x x
 
 
−
 ÷
= + + − +
 ÷
 ÷
− + +
−
 
 
− + + −

− + + −
=
+ − +
− + −
= = =
+ − − −
0,1
0,2
0,2
c) = (1- 3x + 3x + 4)
2
= 5
2
= 25 0,5
Bài 3
(2,0 đ)
a) Đặt x = a
2
+a +1
⇒
a
2
+a +2 = x +1
A = x(x + 1) – 12 = x
2
+ x – 12 = (x +4)(x – 3)
Thay x = a
2
+a +1 vào A ta có: A = (a
2

+a +5) (a
2
+a – 2)
Vì a
∈
N và a > 1 nên a là số tự nhiên. Ngoài ước là
±
1 và chính A, nó còn
có thêm 2 ước là (a
2
+a +5) và (a
2
+a – 2)
Do đó A là hợp số
0,25
0,25

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
(
)
2 4 8 1006
2 2 4 8 1006
4 4 8 1006
2
1006 2012
) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 1 2 1 1
2 1 1 2
b B = − + + + + + +
= − + + + + +
= − + + + +
= = − + =
K
K
K
K
0,75
c) Vì đa thức x
2
– 1 có bậc là 2, nên đa thức dư có dạng
r(x) = ax + b.
Gọi thương của phép chia trên là q(x), ta có:
x + x
3
+ x
9
+ x
27
= (x – 1)(x + 1).q(x) + ax + b (1)
Đẳng thức (1) đúng với mọi x, với x = 1 ta có : a + b = 4 (2)
với x = 2 ta có : - a + b = -4 (3)
Từ (2) và (3)
⇒
b = 0 và a = - 4
Vậy dư của phép chia x + x

3
+ x
9
+ x
27
cho x
2
– 1 là: – 4x

0,25
0,25
0,25
Bài 4
(2,0 đ)
a) Thay abc = 1 vào
1
c
ac c+ +
, nhân cả tử và mẫu của
1
b
bc b+ +
với a ta có:
( )
a
ab+a+1 1
a 1 ab+a+1
1
ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1 ab+a+1
ab c

M
a bc b ac c abc
ab
= + +
+ + + +
= + + = =
0,5
0,5
B) a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
7
( )
3 3 3
3 3 3
3
3
2 2 2
2 2 2
3 0
3 ( ) 3 ( ) 3 0
3 ( ) 0
( )( 2 ) 3 ( ) 0
( )( ) 0
a b c abc
a b ab a b c ab a b abc

a b c ab a b c
a b c a ab b ac bc c ab a b c
a b c a b c ab ac bc
⇒ + + − =
⇒ + + + + − + − =
⇒ + + − + + =
⇒ + + + + − − + − + + =
⇒ + + + + − − − =
⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
– ab – ac – bc = 0 ( vì a +b +c
≠
0)
⇒
2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
– 2ab – 2ac –2bc = 0
⇒
(a – b)
2
+ (b – c)

2
+ (c – a)
2
= 0
Vì (a – b)
2

≥
0
∀
a, b; (b – c)
2

≥
0
∀
b,c; (c – a)
2

≥
0
∀
a, c.
Nên (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2

≥
0
∀
a, b,c ;
Do đó (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= 0
∀
a, b,c
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
⇒
a = b = c
Mà a +b +c
≠
0
⇒
a = b = c
≠
0 (*)
Thay (*) vào N ta có:
( ) ( )
2013 2013 2013 2013 2013
2013 2013
2013
3 3 1
27 9

3
a a a a a
N
a
a a a a
+ +
= = = =
+ +
0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 5
(3,0đ)
Hình vẽ
a) +/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có 4 cạnh bằng nhau
lại có
µ
A
=90
0
nên ABMD là hình vuông.
+/
∆
BMD có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh DC và
BM =
1
2
DC
⇒

∆
BMD vuông tại B
lại có
·
BDM
= 45
0

⇒

∆
BMD vuông cân tại B
0,5
0,25
0,25
b) tứ giác DMPQ có PQ // DM và PQ = DM
⇒
tứ giác DMPQ là hình bình hành
0,25
0,25
c) Chứng minh Q là trực tâm của tam giác ADP
⇒
AQ
⊥
DP
0,25
0,25
Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)
ABC AMC
S S⇒ =

mà
2
AMC
1 1
S .
2 4
AD MC AD= =
Lại có
2 2 2
1 3
2 2
ABCD ABMD BCM
S S S AD AD AD= + = + =
2
2
3
2
6 6
1
4
ABCD
ABCD ABC
ABC
AD
S
S S
S
AD
= = ⇒ =
0,25

0,25
0,25
0,25
8
Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho đủ điểm
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8
Thời gian: 120’
I. Đề bài:
Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
a) x
2
- (a+b) xy + aby
2
b) a
2
- b
2
– 2a + 1
c) a
3
– 19a + 30
Bài tập 2:
a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x
4
+ a x
2
+ bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)
3
b) cho a + b + c = 2012
Chứng minh rằng :

3 3 3
2 2 2
3a b c abc
a b c ab ac bc
+ + −
+ + − − −
= 2012
Bài tập3:
a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến
P =
2
2 2 8 4
( ) :
2 4 2 4 2 2
x x
x x x x
+ −
− +
− + − −
b) Cho Q =
2013 2013 2013
1 1 1x xy y yz z zx
+ +
+ + + + + +

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME
⊥
AB; MF
⊥

AD.Chứng minh
a) CF = DE; CF
⊥
DE
b) CM = FE ; CM
⊥
FE
c) CM,BF,DE đồng qui.
9
III.Đáp án:
Bài tập Đáp án điểm
Bài 1
(2,5điểm)
a) = x
2
– a xy – bxy – aby
2
= x(x-by) – ay( x-by)
= ( x- ay)(x – by)
b) = (a
2
– 2a + 1) – b
2
= ( a – 1)
2
– b
2
= ( a -1- b)( a – 1 + b)
c)= a

3
-4a -15a -30
= a(a
2
-4)-(15a-30)
= a(a-2)(a+2)-15(a-2)
= (a-2) (a
2
-2a-15)
= (a-2)( a
2
+3a-5a-15a)
= (a-2)(a+3)(a-5)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 2
(1,5điểm)
a) = x
4
+a x
2
+bx+c=(x-3)

3
(x+d)
= (x
3
-9x
2
+27x-27)(x+d)
= x
4
+(d-9)x
2
+(27-9d)x
2
+(27d-27)x-27d
cân bằng hệ số ta có
d-9=0
⇒
d=9
-27d = c
⇒
c=-243
27d-27=b
⇒
b=216
27-9d=a
⇒
a=-54
Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x
4
+a x

2
+bx+c chia hết cho
(x-3)
3
b)Ta có a
3
+b
3
=(a+b)
3
-3a
2
b-3ab
2
⇒
a
3
+b
3
+c
3
-3abc = (a+b)
3
-3a
2
b-3ab
2
+c
3
-3abc

= (a+b)
3
+c
3
-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)
= (a+b+c)( a
2
+b
2
+c
2
-ab –ac-bc)
Vậy
3 3 3
2 2 2
3a b c abc
a b c ab ac bc
+ + −
+ + − − −
=
2 2 2
2 2 2
( )( )a b c a b c ab ac bc

a b c ab ac bc
+ + + + − − −
+ + − − −
= a+b+c = 2013
025đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
Bài 3
(2điểm)
a) P=
2 2
( 2) ( 2) 16 4 8 16 4
: :
2( 2)( 2) 2 2( 2)( 2) 2
4 4
: 1
2 2
x x x
x x x x x x
x x
+ − − + +
=
− + − − + −
= =
− −
b) Q =
2013 2013 2013
1 1 1x xy y yz z zx

+ +
+ + + + + +
= 2013(
2
1
1
z xz
z xz xyz xz xyz z xy z xz
+ +
+ + + + + +
)
= 2013(
1
1 1 1
z xz
z xz xz z z xz
+ +
+ + + + + +
) = 2013
0,75đ
0,25đ
0,5đ
0,5đ
10
Bài 4
(4 điểm)
F
E
M
D

C
B
A
I
N
a) AEMF là hình chữ nhật
⇒
AF=EM
∆
EBM cân tại E vì
·
EBM
= 45
0

⇒
EB =EM
⇒
AF= EB mà AB = AD
⇒
AE=FD
⇒
∆
ADE =
∆
DCF (c,g,c)
⇒
FC=DE và
·
AED

=
·
CFD
mà
·
AED
+
·
ADE
=90
0
⇒
·
CFD
+
·
ADE
=90
0
⇒
·
FID
=90
0
⇒
CF
⊥
DE
b)
∆

MEF =
∆
GMC(c.g.c)
⇒
CM = FE và
·
EFM
=
·
MCG
ta lại có
·
MFC
=
·
FCD
(so le trong)
mà
·
FCD
+
·
FCM
+
·
MCG
=90
0
⇒
·

EFM
+
·
MFC
+
·
FCM
=90
0
⇒
·
CNF
=90
0

⇒
CM
⊥
FE
c)Xét
∆
EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao
thứ 3 n ên CM,BF,DE đồng qui.
0,5 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,5 đ
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu1 (3,0 điểm):
1) Cho biểu thức:
65
2
2
2
++
−+
=
xx
xx
A
a- Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn A.
b- Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
2) Giải phương trình:
13 +=− xx

Câu 2 (2,0 điểm):
a) Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b

2
+ c
2
= 14
Tính giá trị của biểu thức B = a
4
+ b
4
+ c
4
b) Tìm số nguyên dương n để n
5
+1 chia hết cho n
3
+1
Câui3 (1,0 điểm)
Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng biểu thức:
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1 là bình phương của 1 số nguyên.
Câu 4 (1,0 điểm):
Cho tam giác ABC có diện tích S, trung tuyến AM. Gọi N là trung điểm của AM, BN cắt
cạnh AC tại E, CN cắt cạnh AB tại F. Tính diện tích tứ giác AFNE theo S.
Câu 5 (3,0 điểm):
Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ một đường thẳng tuỳ ý cắt BD, BC, CD lần lượt tại E,
K, G. Chứng minh:
11
G
a)
EGEKAE .
2
=

b)
AGAKAE
111
+=
c) Khi đường thẳng đi qua A thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi.
HẾT
12
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu
Ý
Yêu cầu nội dung Điểm
Câu1
3,0đ
1a
a- ĐKXĐ:
( )( )
3;2032065
2
−≠−≠⇒≠++⇔≠++ xxxxxx
0,25 đ
( )( )
( )( )
3
1
32
21
65

2
2
2
+
−
=
++
+−
=
++
−+
=
x
x
xx
xx
xx
xx
A
0,75 đ
1b
3
4
1
3
1
+
−=
+
−

=
xx
x
A
0,25 đ
Để A nguyên thì
3
4
+x
nguyên hay x+3
∈
Ư(4)
0,25 đ
Suy ra:
x+3 -4 -2 -1 1 2 4
x -7 -5 -4 -2 -1 1
Vì ĐKXĐ: x
≠
-2
0,25 đ
Vậy x nhận các giá trị: -7;-5;-4;-1;1
0,25đ
2
* Xét khoảng x
0
≥
phương trình đã cho trở thành:
13
+=−
xx

(1)
Với
3
≥
x
pt (1) trở thành: x-3=x+1, vô nghiệm 0,25đ
Với
30
<≤
x
pt (1) có nghiệm x=1 thuộc khoảng đang xét 0,25đ
* Xét khoảng x< 0 pt đã cho trở thành:
13
+=+
xx
(2)
Với
03
<≤−
x
pt (2) có dạng: x+3= x+1, vô nghiệm
0,25đ
Với
3
−<
x
pt (2) có nghiệm x=-2 (không thuộc khoảng
đang xét)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S =
{ }

1
0,25 đ
Câu2
2 đ
a
Ta có:
( )
2
2222
14 cba ++=
222222444
222196 bccabacba +++++=⇔
( )
222222444
2196 cbbacacba ++−=++⇔
0,25 đ
Lại có: a+ b+ c = 0
( )
0
2
=++⇒ cba
0222
222
=+++++⇒ bcacabcba
7−=++⇒ bcacab
( )
49
2
=++⇒ bcacab
49222

222222222
=+++++⇒ bcaabccabcbcaba
49)(2
222222
=+++++⇒ cbaabccbcaba
0,5đ
13
Do đó :
49
222222
=++⇒ cbcaba
⇒
B = a
4
+ b
4
+ c
4
= 196-2.49 = 98
0,25 đ
b
( ) ( )
11111
323235
+−−+⇔++ nnnnnn 
( )( ) ( )
( )
1111
2
+−+−+⇔ nnnnn 

11
2
+−−⇔ nnn 
(vì
01 ≠+n
)
0,5 đ
Nếu n=1 thì được 0 chia hết cho 1
Nếu n> 1thì n-1< n(n-1)+1=n
2
-n+1 nên (n-1) không thể
chia hết cho n
2
-n+1
Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1
0,5 đ
Câu3
1,0 đ
P= ( a+ 1)( a+2)( a+3)( a+4)+1
= (a
1)65)(45
22
+++++ aaa
Đặt a
xa =++ 45
2
ta có:
P = x( x+ 2)+1= x
2
+ 2x + 1= (x + 1)

2
. Thay a
xa =++ 45
2
ta được P = ( a
)55
2
++ a
2
Vì a là số nguyên
nên ( a
)55
2
++ a
2
là số nguyên, do đó
p =( a
)55
2
++ a
2
là bình phương của một số nguyên.
Suy ra điều phải chứng minh.
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
Câu4
1đ
K
F

E
N
M
C
B
A
Vẽ MK//CF 0,25 đ
FAKFBK ==⇒
AFNAKM
SS 4=
;
AFNBKM
SS 2=
0,25 đ
AFNABM
SS 6=⇒
mà
2
S
S
ABM
=
12
S
S
AFN
=⇒
0,25 đ
Tương tự có:
612

S
S
S
S
AFNEANE
=⇒=
0,25 đ
Câu5
3 đ
G
K
E
B
C
D
A
Do BK//AD, nên
ED
BE
AE
EK
=
(1)
0,5 đ
Do AB//DG, nên
ED
BE
EG
AE
=

(2)
0,25 đ
14
Từ (1)(2)
EGEKAE
EG
AE
AE
EK
.
2
=⇒=⇒
0,25đ
Ta có:
DB
DE
AK
AE
EB
DE
EK
AE
=⇒=
(3)
0,25 đ
Tương tự:
BD
BE
AG
AE

=
(4)
0,5 đ
Công từng vế của (3) và (4) ta có:
1==+=+
BD
BD
BD
BE
DB
DE
AG
AE
AK
AE
hay
AGAKAE
111
+=
0,5 đ
Đặt AB=a; AD=b thì:
CG
a
KC
BK
=
và
DG
CG
b

KC
=
0,5 đ
Nhân theo từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:
abDGBK
DG
a
b
BK
=⇒= .
có giá trị không đổi
0,5 đ
…………………HẾT…………………
Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (2.0 Điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a)
2
7 6x x+ +
b) a(x
2
+1) – x(a
2
+ 1)
c) x – 1 + x
n + 3

- x
n
Bài 2: (3,0 Điểm)
1. Cho đa thức f(x) = 2x
3
– 3ax
2
+2x + b
Xác định a và b để f(x) chia hết cho x – 1 và x + 2
2. So sánh A và B biết:
15
32
−=A
và
)15)(15)(15)(15)(15.45(
168422
+++++−=B
3. Cho a, b, c là các số thỏa mãn abc = 1. Tính giá trị của biểu thức:
acc
c
bcb
b
aba
a
A
++
+
++
+
++

=
111
Bài 3: (1,5 Điểm) Thực hiện phép tính:
a)
xy
y
yx
x
yx
yx
yx
xy
−
+
+








+
−
+
−
2
.
22

2
22
b)
252
155
.
3
1
2
2
2
2
2
++
+






+
−
−
xx
xx
xx
x
Bài 4: (2,5 Điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của BA lấy một điểm E, trên tia đối của CB lấy một

điểm F sao cho AE = CF.
1) Chứng minh tam giác DEF vuông cân.
2) Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD, gọi I là trung
điểm của EF
15
Chứng minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 5: (1,0 Điểm) Một đa giác đều có tổng số đo tất cả các góc ngoài và một góc trong của
đa giác bằng 504
0
. Hỏi đa giác có mấy cạnh
HẾT
16
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu Đáp án Điểm
1
a/=x
2
+ 6x + x +6 = (x + 6)( x + 1) 0,5đ
b/=ax
2
+ a – a
2
x – x
=ax(x – a) – (x – a)
= (x – a)(ax - 1)
0,25đ
0,25đ

0,25đ
c/ = (x – 1) + (x
3
– 1)(x
n
)
= (x – 1)
[ ]
n
xxx )1(1
2
+++
= (x – 1)(1 + x
n
+ x
n+2
+ x
n+1
)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2
1/ Để f(x) chia hết cho 2 đa thức x – 1 và x + 2 ta có
f(x) = (x – 1)(x + 2). Q(x)
+ Với x = 1 => 2 – 3a + 2 + b = 0 => b = 3a (1)
+ Với x = 2 => -1b -12a – 4 + b = 0 => b = 12a + 20 (2)
+ Kết hợp (1) và (2) ta có a =
9
20−

; b =
3
20−
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
2/ ta có A = (5
16
– 1)(5
16
+ 1) = …
= 24(5
2
+1)(5
4
+1)(5
8
+ 1)(5
16
+ 1)
Do 24 > 6 => A > B
0,5đ
0,5đ
3/ Thay abc = 1 vào biểu thức A ta có
A =
abcbcb
bc
bcb
b

abaabc
a
++
+
++
+
++ 1
=
1
111
1
=
++
+
++
+
++ bbc
bc
bbc
b
bbc
0,5đ
0,5đ
3

( )
( )
( )
( ) ( )
1

2
2
2
2
2.2
2
.
22
2
/
2
2
22
2
22
=
−
−
=
−
−
+
−+
+
=
−
+
+
−
−+

=
−
+
+








+
−
+
−
yx
yx
yx
y
yxyx
yxx
xy
y
yx
x
yx
yxxy
xy
y

yx
x
yx
yx
yx
xy
a
0,25đ
0,5đ
2
5
252
)3(5
.
)3)(2(
252
)
2
1
)(2(
)3(5
.
)3)(2(
)2()3(2
252
)3(5
.
)3(
1
2

2
/
2
2
2
−
=
++
+
+−
++
=
++
+
+−
−−+
=
++
+








+
−
−

=
x
xx
xx
xxx
xx
xx
xx
xxx
xxx
xx
xx
xxx
b
0,25đ
0,5đ
4
-Vẽ hình đảm bảo
D
E
F
I
O
C
A
B
0,25đ
17
a/ Chứng minh
∆

DEF vuông cân
∆
ADF =
∆
CDF (c.g.c) => DE = DF (1)
AE//DC => ADE = D
1
( so le trong)
Mà ADE = D
2
(do
∆
ADE =
∆
CDF)
=> ADE + AED = D
1
+ D
2

Hay EDF = 90
0
(2).
Từ (1) và (2) suy ra
∆
DEF vuông cân.
0,5đ
0,5đ
0,25đ
b/ O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của EF.

- Ta có ID =
2
1
EF; IB =
2
1
EF( Tính chất trung tuyến ứng
với cạnh huyền trong tam giác vuông)
=> ID = IB, Vậy 3 điểm O, C, I cùng thuộc đường trung trực
của BD nên ba điểm này thẳng hàng.
0,5đ
0,5đ
5
- Gọi đa giác cần tìm có n cạnh
- Tổng số đo các góc của tam giác đó là ( n – 2).180
0
=> số đo một góc trong của tam giác đó là:
n
n
0
180).2( −
- Do tổng số đo các góc ngoài của một tam giác là 360
0
nên
ta có 360
0
+
n
n
0

180).2( −
= 504
0
=> n = 10
- Vậy đa giác cần tìm là thập giác đều.
HẾT
UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,5 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
201120102011
24
+++ xxx
b) Tìm các số nguyên
yx;
sao cho:
33
3
=+ xyx
.
c) Tìm các hằng số a và b sao cho
baxx ++
3
chia cho
1
+
x

dư 7;
chia cho
2−x
dư 4.
Câu 2: (1,5 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức:
A=
xyyxyxyx 2)1(425
222
+−+−−−+++
với
5032011
16;2 == yx
b) Tìm
x
để B có giá trị nhỏ nhất:

2
2
2 2011− +
=
x x
B
x
với x>0
Câu 3: (2 điểm)
Chứng minh rằng:
a)
20002011
112011

20002011
112011
33
33
+
+
=
+
+
b) Nếu
;m n
là các số tự nhiên thỏa mãn :
nnmm +=+
22
54
thì :
m-n và
5 5 1+ +m n
đều là số chính phương.
Câu 4: (4 điểm)
18
Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình thang ABCD (AB//CD).
Đường thẳng qua O song song với AB cắt AD và BC lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh OM=ON.
b) Chứng minh
MNCDAB
211
=+
.
c) Biết

.;
22
bSaS
CODAOB
==
Tính
ABCD
S
?
d) Nếu
0
90
ˆ
ˆ
<< CD
. Chứng minh BD > AC.
HẾT
19
UBND HUYỆN THỦY NGUYÊN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TOÁN 8
Câu Đáp án Điểm
1
a/
201120102011
24
+++ xxx
=
)1()1(2010

32234
−−+++++ xxxxxx
0,5
=
( )( )
20111
22
+−++ xxxx
0,25
b/
33
3
=+ xyx
( )
33
2
=+⇔ yxx
. Do
yx;
là các số nguyên nên ta có:
TH1:



=
=
⇔




=+
=
0
1
33
1
2
y
x
yx
x
(thỏa mãn) hoặc
2
3
3
26
3 1
x
x
y
x y
=
=


⇔
 
= −
+ =



(thỏa mãn)
0,25
0,25
TH2:



−=
−=
⇔



−=+
−=
6
1
33
1
2
y
x
yx
x
(thỏa mãn) hoặc
2
3
3
28

3 1
x
x
y
x y
= −
= −


⇔
 
= −
+ = −



(thỏa mãn)
0,5
c/ Vì
baxx ++
3
chia cho
1
+
x
dư 7 nên ta có:
baxx ++
3
=
( )

7)(.1 ++ xQx

do đó với
1−=x
thì -1-a+b=7, tức là a-b = -8 (1).
0,25
Vì
baxx ++
3
chia cho
2
−
x
dư 4 nên ta có:
baxx ++
3
=
( )
4)(.2 +− xPx
do đó với
2
=
x
thì 8+2a+b=4, tức là 2a+b=-4 (2).
0,25
Từ (1) và (2) suy ra a=-4;b=4. 0,25
2
a/ Ta có:
( ) ( )
021425

22
22
≥−++=−+++ yxyxyx
với mọi
yx;
nên ta có:
0,25
A=
( )
xyyxyxyx 21425
2
22
+−+−−+++

=
4)2(242422221425
2222
+−=+−=+++−−−−−+++ yxyxxyyxxyyxyxyx
0,25
Thay
( )
2012
503
45032011
2216;2 ==== yx
vào A ta có: A=
( )
4422.2.2
20122011
=+−

0,25
b/ B=
2
2
20112
x
xx +−
=
2
22
2011
20112011 22011
x
xx +−
0,25
=
( ) ( )
2011
2010
2011
2011(
2011
2010
2011
20112010
2
2
2
2
2

≥
−
+=
−+
x
x
x
xx
. 0,25
Dấu “=” xảy ra khi
2011=x
.
0,25
Vậy GTNN của B là
2011
2010
đạt được khi
2011
=
x
.
3
a/ Đặt a=2011; b=11; c=2000. Khi đó ta có a=b+c.
Xét vế phải đẳng thức ta có:
( )
( )
( )
( )
22
22

33
33
33
33
20002011
112011
cacaca
bababa
ca
ba
+−+
+−+
=
+
+
=
+
+
0,25
Thay a=b+c vào
( ) ( )
222
2
22
cbcbbbcbcbbaba ++=++−+=+−
0,25

( ) ( )
222
2

22
cbcbcccbcbcaca ++=++−+=+−
0,25
Nên
2222
cacababa +−=+−
.
0,25
Vậy:
( )
( )
( )
( )
20002011
112011
20002011
112011
22
22
33
33
33
33
+
+
=
+
+
=
+−+

+−+
=
+
+
=
+
+
ca
ba
cacaca
bababa
ca
ba
b/Ta có
nnmm +=+
22
54
( )
( )( )
2222
1555 mnmnmmnmnm =++−⇔=−+−⇔
(*)
0,5
Gọi d là ƯCLN(m-n;5m+5n+1)
⇒
(5m+5n+1)+5m-5n

d
⇒
10m+1


d
Mặt khác từ (*) ta có:
2
m

d2
⇒
m

d. Mà 10m+1

d nên 1

d
⇒
d=1
0,25
20
N
M
O
D
C
A
B
Vậy m-n;5m+5n+1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau,
thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương.
0,25
4

hình vẽ 0,25
a/ Ta có
BD
OB
AC
OA
=
Do MN//DC
⇒
DC
ON
DC
OM
=
⇒
OM=ON.
0,5
0,5
b/ Do MN//AB và CD
⇒
AD
AM
CD
OM
=
và
AD
DM
AB
OM

=
. Do đó:

1
OM OM AM MD
DC AB AD
+
+ = =
(1)
0,25
Tương tự:
1=+
AB
ON
DC
ON
(2)
0,25
Từ (1);(2)
⇒
2=+
AB
MN
DC
MN
0,25
⇒
MNABDC
211
=+

0,25
c/ Hai tam giác có cùng đường cao thì tỉ số diện tích 2 tam giác bằng tỉ số giữa 2
cạnh đáy tương ứng. Do vậy :
OD
OB
S
S
AOD
AOB
=
và
OC
OA
S
S
COD
AOD
=

0,25
Nhưng
OC
OA
OD
OB
=
⇒
COD
AOD
AOD

AOB
S
S
S
S
=
⇒
222
baSSS
CODAOB
AOD
==
nên
abS
AOD
=
.
Tương tự
abS
BOC
=
.Vậy
( )
2
baS
ABCD
+=
0,5
0,25
d/ Hạ AH, BK vuông góc với CD tại H và K

Do
0
90
ˆ
ˆ
<< CD
nên H, K nằm trong đoạn CD
Ta có
AEADDCDCBDEA >⇒>==
ˆ
ˆˆ
ˆ
.
Tứ giác BCEA là hình bình hành nên BC=AE
Vậy AD>BC
⇒
DH>KC
⇒
DK > CH.
0,25
0,25
Theo định lý pitago cho tam giác vuông BKD ta có :
2 2 2 2 2 2
DB BK DK AH CH AC= + > + =
(Do
2 2
)AH BK BD AC= ⇒ >
0,25
HS làm các cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa
21

E
K
H
D
C
A
B
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TO ÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x
2
– 7x + 2; b) a(x
2
+ 1) – x(a
2
+ 1).
Câu 2: (2,0 điểm)
Cho biểu thức :
2 2
2 2 3
2 4 2 3
( ) : ( )
2 4 2 2
x x x x x
A

x x x x x
+ − −
= − −
− − + −
d) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
e) Tìm giá trị của x để A > 0?
f) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4.
Câu 3: (2,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0.
b) Cho
1
x y z
a b c
+ + =
và
0
a b c
x y z
+ + =
. Chứng minh rằng :
2 2 2
2 2 2
1

x y z
a b c
+ + =
.
Câu 4. (4,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD. Kẻ ME
⊥
AB, MF
⊥
AD.
a. Chứng minh:
DE CF
=
b. Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy.
c. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Hết
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG
MÔN: TO ÁN 8
§¸p ¸n Điểm
Bài 1 a/ 3x
2
– 7x + 2 = 3x
2
– 6x – x + 2 = 0,5
= 3x(x -2) – (x - 2) 0,25
= (x - 2)(3x - 1). 0,25
b/ a(x
2

+ 1) – x(a
2
+ 1) = ax
2
+ a – a
2
x – x = 0,25
22
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1). 0,25
Bài 2:
a/ ĐKXĐ :
2
2
2 3
2 0
4 0 0
2 0 2
3
3 0
2 0
x
x x
x x
x
x x
x x

− ≠


− ≠ ≠


 
+ ≠ ⇔ ≠ ±
 
 
≠
− ≠



− ≠

0,25
2 2 2 2 2 2
2 2 3
2 4 2 3 (2 ) 4 (2 ) (2 )
( ) :( ) .
2 4 2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
+ − − + + − − −
= − − = =
− − + − − + −
0,25
=
2
4 8 (2 )

.
(2 )(2 ) 3
x x x x
x x x
+ −
=
− + −
2
4 ( 2) (2 ) 4
(2 )(2 )( 3) 3
x x x x x
x x x x
+ −
= =
− + − −
Vậy với
0, 2, 3x x x≠ ≠ ± ≠
thì
2
4x
3
A
x
=
−
. 0,25
b/ Với
2
4
0, 3, 2: 0 0

3
x
x x x A
x
≠ ≠ ≠ ± > ⇔ >
−
0,25
3 0x⇔ − >
3( )x TMDKXD⇔ >
0,25
Vậy với x > 3 thì A > 0.
c/
7 4
7 4
7 4
x
x
x
− =

− = ⇔

− = −

0,25
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
=


⇔

=

0,25
Với x = 11 thì A =
121
2
0,25
Bài 3 2,0
a/ 9x
2
+ y
2
+ 2z
2
– 18x + 4z - 6y + 20 = 0
⇔
(9x
2
– 18x + 9) + (y
2
– 6y + 9) + 2(z
2
+ 2z + 1) = 0
0,25
⇔
9(x - 1)
2

+ (y - 3)
2
+ 2 (z + 1)
2
= 0 (*)
Do :
2 2 2
( 1) 0;( 3) 0;( 1) 0x y z− ≥ − ≥ + ≥
0,25
Nên : (*)
⇔
x = 1; y = 3; z = -1 0,25
Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25
b/ Từ :
ayz+bxz+cxy
0 0
a b c
x y z xyz
+ + = ⇔ =
0,25
⇔
ayz + bxz + cxy = 0
Ta có :
2
1 ( ) 1
x y z x y z
a b c a b c
+ + = ⇔ + + =
0,25
2 2 2

2 2 2
2( ) 1
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
⇔ + + + + + =
0,25
2 2 2
2 2 2
2 1
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
+ +
⇔ + + + =
2 2 2
2 2 2
1( )
x y z
dfcm
a b c
⇔ + + =
0,25
23
Bài 4
HV + GT + KL
0,5
a. Chứng minh:
AE FM DF= =
⇒
AED DFC
∆ = ∆

⇒
đpcm
1,0
b. DE, BF, CM là ba đường cao của
EFC∆ ⇒
đpcm 1,0
c. Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a⇒ + =
không đổi
AEMF
S ME.MF⇒ =
lớn nhất
⇔
ME MF=
(AEMF là hình vuông)
M⇒
là trung điểm của BD.
1,5
HẾT
UBND HUYỆN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Bài 1( 2,0 điểm): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
a) ( x
2
+ y
2

)
2
- 4x
2
y
2
b) (x-2)(x-1)(x+1)(x+2) - 10
c) x
2
- 4x -5
Bài 2( 1,5 điểm): Thực hiện phép tính
a)
( ) ( )
2 2
2y x y
x xy y xy x y x y
− −
+ − − +
b)
2 2
1 1 1 1
:
3 3 6 9 6 9x x x x x x
   
+ −
 ÷  ÷
+ − + + − +
   
Bài 3(1,5 điểm):
a) Chứng minh:

( ) ( )
4
1 1 1
1 1
4 2 2
n n n n n
   
+ = − + + +
   
   
b) Áp câu a thu gọn phân thức:
4 4 4
4 4 4 4
1 1 1
1 3 13
4 4 4
1 1 1 1
2 4 6 14
4 4 4 4
    
+ + +
 ÷ ÷  ÷
    
     
+ + + +
 ÷ ÷ ÷  ÷
     
Bài 4( 3,5 điểm): Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường
thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.

b, Chứng minh rằng
MNCDAB
211
=+
.
24
c, Biết S
AOB
= 2008
2
(đơn vị diện tích); S
COD
= 2009
2
(đơn vị diện tích). Tính S
ABCD
.
Bài 5(1,5 điểm): Cho 2x
2
+2y
2
= 5xy và 0< x < y. Tính giá trị của
.
x y
E
x y
+
=
−
Hết

25