Bài toán về phương trình tiếp tuyến và cát tuyến với

Bài 4: Bài toán về phương trình tiếp tuyến và và cát tuyến với ñường tròn.– Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VÀ CÁT TUYẾN
VỚI ðƯỜNG TRÒN

Bài 1: Lập phương trình ñường thẳng
(
)
∆
ñi qua gốc tọa ñộ O và cắt ñường tròn:

( ) ( )
2 2
1 3 25
x y
− + + =
theo một dây cung có ñộ dài là 8
Giải:
ðường tròn (C) có tâm I(1;3) và bán kính R=5.
Phương trình ñường thẳng qua O là:
(
)
2 2
0
ax+by=0 a b
+ >

Giả sử
(
)

∆
cắt cung (C) theo dây cung AB có ñộ dài là 8.
Kẽ
(
)
IH
∆
⊥
tại H thì H là trung ñiểm của ñoạn AB
4
2
AB
HA
⇒ = =

Tam giác IHA vuông t
ạ
i H, ta có:
2 2
25 16 3
IH IA HA
= − = − =
. M
ặ
t khác:

( )
( )
( )
( )

( ) ( )
2
2 2 2
2 2
1 2
3
3 3 9 4 3 0
0 1
0 3 4 0
4
3 4
3
a b
d I , ∆ IH a b a b a ab
a b
a : chon b
∆ : y ; ∆ : x y
b a : Chon a ;b
−
= ⇔ = ⇔ − = + ⇔ + =
+
= =


⇔ ⇒ = − =

= − = = −


Bài 2:
Trong h
ệ
t
ọ
a
ñộ
Oxy, cho
ñườ
ng tròn (C) co ph
ươ
ng trình:
2 2
2 4 20 0
x y x y
+ + − − =
và
ñ
i
ể
m
A(3;0). Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
ñườ
ng th
ẳ
ng

(
)
∆
ñ
i qua A và c
ắ
t
ñườ
ng tròn (C) theo m
ộ
t dây cung
MN sao cho:
a)

MN có
ñộ
dài l
ớ
n nh
ấ
t.
b)

MN có
ñộ
dài nh
ỏ
nh
ấ
t.

Giải:
a)
ðườ
ng tròn (C) có tâm I(-1;2), bán kính R=5.
Dây MN l
ớ
n nh
ấ
t khi MN là
ñườ
ng kính c
ủ
a (C).
Do
ñ
ó
(
)
∆
là
ñườ
ng th
ẳ
ng
ñ
i qua 2
ñ
i
ể

m A,I.
Ph
ươ
ng trình c
ủ
a
(
)
∆
là:
3
2 3 0
1 3 2
x y
x y
−
= ⇔ + − =
− −

b)

Ta có:
4 2 2 5
IA ( ; ) IA= − ⇒ =


Kẽ
IH MN
⊥
tại H. Dây MN nhỏ nhất khi IH lớn nhất.

Ta có:
2 5 2 5
Max
IH IA IH≤ = ⇒ =
khi
(
)
H A
∆ IA
≡ ⇒ ⊥
tại A
(
)
∆
qua A và nhận
IA

làm vectơ pháp tuyến có phương trình:
Bài 3: Các bài toán thiết lập phương trình ñường tròn – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2

(
)
(
)
4 3 2 0 0 2 6 0
x y x y
− − − = ⇔ − − =

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa ñộ cho Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình:
2 2
2 4 4 0
x y x y
+ − + + =

Viết PT ñường thẳng
(
)
(
)
3 4 7 0
∆ / / d : x y
+ − =
và chia ñường tròn (C) thành 2 cung có tỉ số
ñộ dài là 2.
Giải:
ðường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R=1.

(
)
(
)
3 4 0 7
∆ / /( d ) ( ∆ ) : x y c c
⇒ + + = ≠ −

Giả sử
(
)

∆
chia ñường tròn (C) thành 2 cung:



AmB và AnB
sao cho sñ

AmB
=2sñ

AnB
⇒
sñ

0
120
AnB =

Kẽ
IH AB
⊥
tại H, ta có:
0 0
1 1
60
2 2
AIH AIB IH IA.cos60
= =
⇒

= =
∡ ∡

Mặt khác:
( )
5
1 15 5
5 2 2 2
c
d I ,∆ IH c và c
−
= ⇔ = ⇔ = =

Vậy có 2 ñường thẳng cần tìm là:
( ) ( )
1 2
15 5
3 4 0 3 4 0
2 2
∆
: x y ;
∆
: x y ;
+ + = + + =





………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn