Bài toán về sự tương giao giữa conic với các đường khác

Bài 7: Bài toán về sự tương giao của conic – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ TƯƠNG GIAO GIỮA CONIC
VỚI CÁC ðƯỜNG KHÁC

Bài 1: Trên mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho Hypebol:
2 2
( ) : 1
2 3
x y
H
− =
và ñiểm M(2;1). Viết phương
trình ñường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung ñiểm của AB.
HDG:
Xét ñường thẳng ñi qua M song song với Oy là d: x=2 thì:
1,2
( ) (2; 3)
d H M∩ = ±
nên trung ñiểm I (2;0) khác M (loại )
Gọi phương trình ñường thẳng cần tìm có dạng: y=k(x-2)+1 hay y= kx+1-2k
Hoành ñộ giao ñiểm của ñường thẳng này với (H) là nghiệm của phương trình:

2 2 2 2 2
1 2
2
3 2( 1 2 ) 6 (3 2 ) 4 (2 1) 2(2 1) 6 0( 0)
4 (2 1)
à 4 3
2 3

3 5 3 5 0
x kx k x k k k x k
k k
M l trung diem x x k
k
y x hay x y
− + − = ⇔ − + − − − − = ∆ >
−
⇒ + = = ⇔ =
−
⇒ = − − − =

Bài 2:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t
ọ
a
ñộ
Oxy cho:
2 2 2 2
( ) : 1 à ( ) : 1
9 1 1 4
x y x y
Elip E v Hypebol H
+ = − =

L

ậ
p ph
ươ
ng trình
ñườ
ng tròn
ñ
i qua các giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (E) và (H).

HDG:

ðặ
t:
2
2
x a
y b

=


=



2 2
45
1
77 77
37
9
( )
32
37 37
1
374
a
a
b
a b x y C
b
b
a


=
+ =

 
⇒
⇔
⇒
+ =

⇒
+ =
 
 
=
− =





V
ậ
y qu
ỹ
tích giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (E) và (H) chính là
ñườ
ng tròn (C).
Bài 3:
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng t

ọ
a
ñộ
cho Parabol (P) và
ñườ
ng th
ẳ
ng d có ph
ươ
ng trình:

2
( ) : 2 ; : 2 2 1 0
P y x d my x
= − + =

a)

CMR: V
ớ
i m
ọ
i m, d luôn
ñ
i qua tiêu
ñ
i
ể
m F c
ủ

a (P) và c
ắ
t (P) t
ạ
i 2
ñ
i
ể
m M, N
phân bi
ệ
t.
Bài 7: Bài toán v
ề
s
ự
t
ươ
ng giao c
ủ
a conic – Khóa LT
ð
H
ñả
m b
ả
o – Th
ầ
y Phan Huy Kh
ả

i.
Page 2 of 2
b)

Tìm qu
ỹ
tích trung
ñ
i
ể
m I c
ủ
a
ñ
o
ạ
n MN khi m thay
ñổ
i.
HDG:
a)

Vì:
2
1 1
4 ( ;0)
2 2
y px p F= ⇒ = ⇒
. Thay vào ta có:

1
2 .0 2. 1 0
2
m F d
− + = ⇒ ∈

Tung
ñộ
giao
ñ
i
ể
m c
ủ
a (P) và d là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình:

2 2
2
2 1 2 1 0
' 1 1 0 ( ) , ( )
y my y my
m P d M N M N
= + ⇔ − − =
∆ = + ≥ > ⇒ ∩ = ≠

b)

Vì M,N thu
ộ
c d nên trung
ñ
i
ể
m I c
ủ
a chúng c
ũ
ng thu
ộ
c d nên:
2 2 1 0
I I
my x
− + =

Nh
ư
ng:
2
1 2
1
1
2
2 2

I I
I I I
I
x my
y y
y m x y
m y

= +
+

= = ⇒ ⇒ = +


=


V
ậ
y qu
ỹ
tích trung
ñ
i
ể
m I là parabol có ph
ươ
ng trình:
2
1

2
x y
= +

……………….Hết………………


Nguồn:
hocmai.vn