Tài liệu Các bài toán về sự tương giao giữa conic với các đường khác (Bài tập và hướng dẫn giải) docx

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 29 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 29-04
Bài toán về sự tương giao giữa cônic với các đường khác.
Bài 1:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol:
2 2
( ) : 1
2 3
x y
H − =
và điểm M(2;1). Viết
phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho m là trung điểm của
AB
Bài 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho:
2 2 2 2
( ) : 1 à ( ) : 1
9 1 1 4
x y x y
Elip E v Hypebol H
+ = − =
Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình:
2
( ) : 2 ; : 2 2 1 0P y x d my x
= − + =
a) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2
điểm M, N phân biệt.
b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi.

………………….Hết…………………
BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 27-04
Bài 1:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip:
2 2
( ) : 1
8 4
x y
E + =
F
1
; F
2
lần lượt là tiêu điểm
phải và trái của (E). Tìm điểm M trên (E) sao cho MF
1
- MF
2
=2
HDG:
Gọi M(x
0

;y
0
) Vì MF
1
- MF
2
=2 nên:
0 0
0
2
2
0
0 0
1 2
2 2
2 2
2
1
4(1 ) 4(1 ) 3 3
8 4
( 2; 3); ( 2; 3)
cx cx
a
a a x
a a c
x
y y
M M
   
+ − − = ⇔ = = =

 ÷  ÷
   
⇒ = − = − = ⇒ = ±
⇒ −
Bài 2:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy hãy lập phương trình chính tắc cuả Elip (E) có độ dài
trục lớn là
4 2
, các đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm cùng nằm trên một đường
tròn.
HDG:
Do
2
2 4 2 2 2 8a a a
= ⇒ = ⇒ =
Ví các đỉnh của trục nhỏ và 2 tiêu điểm cùng nằm trên một đường tròn nên :
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 8 4 ( ) : 1
8 4
b c
x y
b b E
a b c

=

⇒ = ⇒ = ⇒ + =


= +


Bài 3:
Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) có phương trình: y
2
= x và điểm I(0;2). Tìm
tọa độ 2 điểm M,N trên (P) sao cho:
4IM IN
=
uuur uur
HDG:
Gọi:
Page 2 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
2
2
2 2
2
2
( ; 2)
( ; )
4
( ) ( ; 2)
2 4 8
( ; )
4

2 6 (36;6)
4 6 3 (9;3)
2 2 (4; 2)
4 6 1 (1;1)
IM m m
M m m
m n
P IN m m
m n
N n n
IM IN
m n m M
m n n N
m n m M
m n n N

−



=
 
∈ ⇒ − ⇒
  
− = −




=



 = = −
  
⇔ ⇔
  

= − =
  

⇔

= − = − −
  

⇔ ⇔
  
= − =

  

uuur
uur
uuur uur
• BTVN NGÀY 29-04
Bài 4:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho Hypebol:
2 2
( ) : 1
2 3

x y
H − =
và điểm M(2;1). Viết
phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A và B sao cho M là trung điểm của
AB.
HDG:
Xét đường thẳng đi qua M song song với Oy là d: x=2 thì:
1,2
( ) (2; 3)d H M
∩ = ±
nên trung điểm I (2;0) khác M (loại )
Gọi phương trình đường thẳng cần tìm có dạng: y=k(x-2)+1 hay y= kx+1-2k
Hoành độ giao điểm của đường thẳng này với (H) là nghiệm của phương trình:

2 2 2 2 2
1 2
2
3 2( 1 2 ) 6 (3 2 ) 4 (2 1) 2(2 1) 6 0( 0)
4 (2 1)
à 4 3
2 3
3 5 3 5 0
x kx k x k k k x k
k k
M l trung diem x x k
k
y x hay x y
− + − = ⇔ − + − − − − = ∆ >
−
⇒ + = = ⇔ =

−
⇒ = − − − =
Bài 5:
Page 3 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho:
2 2 2 2
( ) : 1 à ( ) : 1
9 1 1 4
x y x y
Elip E v Hypebol H
+ = − =
Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
HDG:
Đặt:

2
2
2 2
45
1
77
37
9
32
37
1
37

4
77
( )
37
a
a
b
x a
a b
b
y b
b
a
x y C


=
+ =



=
  
⇒ ⇔ ⇒ + =
  
=


 
=

− =




⇒ + =
Vậy quỹ tích giao điểm của (E) và (H) chính là đường tròn (C).
Bài 6: Trên mặt phẳng tọa độ cho Parabol (P) và đường thẳng d có phương trình:
2
( ) : 2 ; : 2 2 1 0P y x d my x
= − + =
c) CMR: Với mọi m, d luôn đi qua tiêu điểm F của (P) và cắt (P) tại 2
điểm M, N phân biệt.
d) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN khi m thay đổi.
HDG:
a) Vì:
2
1 1
4 ( ;0)
2 2
y px p F
= ⇒ = ⇒
. Thay vào ta có:
1
2 .0 2. 1 0
2
m F d− + = ⇒ ∈
Tung độ giao điểm của (P) và d là nghiệm của phương trình:
2 2
2

2 1 2 1 0
' 1 1 0 ( ) , ( )
y my y my
m P d M N M N
= + ⇔ − − =
∆ = + ≥ > ⇒ ∩ = ≠
b) Vì M,N thuộc d nên trung điểm I của chúng cũng thuộc d nên:
2 2 1 0
I I
my x
− + =
Page 4 of 5
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 28 tháng 02 năm 2010
Nhưng:
2
1 2
1
1
2
2 2
I I
I I I
I
x my
y y
y m x y
m y


= +
+

= = ⇒ ⇒ = +


=

Vậy quỹ tích trung điểm I là parabol có phương trình:
2
1
2
x y
= +
• BTVN NGÀY 03-05
Bài 1:
Cho đường tròn:
2 2
( ) : ( 2) 36C x y
+ + =
và điểm F
2
(2;0). Xét các đường tròn tâm M
đi qua F
2
và tiếp xúc với (C). Tìm quỹ tích tâm M
HDG:
Trước hết ta xét vị trí tương đối giữa F
2
và (C), ta có:

2
IF 4 6R
= < =
nên F
2
nằm bên trong đường tròn và sự tiếp xúc nói đến ở
đây chính là tiếp xúc trong.Ta có:
2
6MF MI MI MK IK R
+ = + = = =
Vậy quỹ tích điểm M chính là Elip có 2 tiêu điểm là I và K ( K là điểm tiếp
xúc của 2 đường tròn). Trục thực có độ dài: 2a=6 nên a=3.
Nhưng: F
2
(2;0) nên c=2. Và ta có: b
2
=5 hay Elip có PT là:
2 2
1
9 5
x y
+ =
………………….Hết…………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang


Page 5 of 5