Đề và đáp án về tiệm cận với hàm phân thức

Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
HDG CÁC BTVN TIỆM CẬN HÀM PHÂN THỨC
Câu 1 : Cho hàm số
( )
2
3 3
2 1
x x
y
x
− + −
=
−
(1)
a. Tìm trên đồ thị 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh sao cho AB min.
b. Tính diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và các trục tọa độ.
Giải:
a. Ta có:
( ) ( )
2
3 3 1 1
1
2 1 2 2 1
x x
y x
x x
− + − −
= = + −
− −
Gọi
1 1

1;
2 2 2
A
α
α
α
−
 
+ − +
 ÷
 
thuộc nhánh trái,
1 1
1;
2 2 2
B
β
β
β
 
−
+ − +
 ÷
 
thuộc
nhánh phải của đồ thị hàm số với
0
α β
< <
.

Ta có:
( ) ( )
2
2
2
1 1 1
4
AB
β α β α
β α
 
 
= − + − + −
 
 ÷
 
 

( )
2
2
2
1 1 1 1
1 1 4 1 1
4 4
β α αβ
αβ αβ
 
 
 

 
 ÷
= −  + − ÷≥ + +
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
 
 

1
5 2 2 2 5
αβ
αβ
= + + ≥ +
Dấu = xảy ra
4
1
1
5
5
β α
β α
αβ
= −



⇔ ⇔ = − =

=


Vậy
4 4
4 4 4 4
1 1 5 1 1 1 5 1
1; ; 1;
2 2 2 2
5 2 5 5 2 5
A B
   
− + − + + − + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
thì
min
2 2 5AB = +

b. Hàm số có TCX:
1
: 1
2
y x
−
∆ = +
.

Gọi
( )
Ox 2;0A A= ∆ ∩ ⇒
;
( )
Oy B 0;1B
= ∆ ∩ ⇒
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Nên
1
. 1
2
OAB
S OA OB
∆
= =
(đvdt)
Câu 2 : Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục
tọa độ đạt GTNN

b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm
cận đạt GTNN
c. Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
Giải:
a. Gọi
( )
0 0
0
1 3 1
; ; 0
2 4 2
M x C x
x
 
− − ∈ ≠
 ÷
 
. Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là:
0
0
1 3 1
2 4 2
d x
x
= − + −
Với
0
1 1
0 1
2 2

x d≤ ⇒ ≥ + =
Với
0 0 0
0 0
1 3 1 3
0 1 3 1
2 4 2 4
x d x x
x x
   
 
> ⇒ ≥ − + − = + − ≥ −
 ÷  ÷
 ÷
 
   
Dấu = xảy ra khi
0 0
0
3 3 3 1 3 1
;
4 2 2 2
x x M
x
 
− −
= ⇔ = ⇔
 ÷
 ÷
 

Vậy
3 1 3 1
;
2 2
M
 
− −
 ÷
 ÷
 
thì
min
3 1d = −
b. . Khoảng cách tứ M đến TCN, TCĐ làn lượt là:
1 0
d x=
;
2
0
3
4
d
x
=
⇒
1 2 0 0
0 0
3 3
2 . 3
4 4

d d d x x
x x
= + = + ≥ =
, dấu = xảy ra khi
0
3
2
x
= ±
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 3
Bài 4:Tiệm cận hàm phân thức – Khóa LT Đảm bảo – Phan Huy Khải.
Kết luận:
3 1 3 1
;
2 2
M
 
− −
 ÷
 ÷
 
hoặc
3 1 3 1
;
2 2
M
 
− − − −
 ÷
 ÷

 
là các điểm cần tìm
c . Gọi
1 3 1
;
2 4 2
A a
a
 
− −
 ÷
 
thuộc nhánh trái,
1 3 1
;
2 4 2
B b
b
 
− −
 ÷
 
thuộc nhánh phải
của đồ thị hàm số (C), với
0a b< <
. Ta có:
( ) ( )
( )
2
2

2
2
3 3 3 3 3
2
4 4 4 4 2
b a
AB b a b a
b a b a ab
−
   
= − + − ≥ − − =
 ÷  ÷
   
3 4
. 6
2
ab
ab
−
≥ =
−
Dấu bằng xảy ra
( )
2
2
3
2
3 3
3
4 4

2
b a
a
b a
b
b a

= −

= −

 
⇔ ⇔
 
 
− = −
 ÷
 
=
 



Vậy hai điểm cần tìm là:
3 1 3 1
;
2 2
A
 
− − − −

 ÷
 ÷
 
;
3 1 3 1
;
2 2
B
 
− −
 ÷
 ÷
 
thì
min
6AB =
………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 3 of 3