Đề thi HSG lớp 11 cấp trường

Câu I. (2.0 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
2
4
2
2

+
+ =


−
+ =


y xy
y xy
x
x

Câu II.(2.0 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm
x
(2010;2011)
∈
của phương trình:

|
cosx | |sinx | cos2x 1 sin 2x 0
−
− + =

Câu III. (2.0 điểm)
Cho dãy số (u
n
) xác định bởi:
1
n 1 n n n n
u 1
u
u (u 1)(u 2)(u 3) 1, n 1.
+
=



=
+ + + + ∀ >



1. Chứng minh rằng (u
n
) là dãy các số tự nhiên tăng vô hạn.
2. Đặt
n
n
i 1
i
1
S
.
u
2
=
=
+
∑
Tính
n
l
imu

Câu IV.(3.0 điểm)
1. Cho elip
2 2
x y
(
E): 1
25

9
+
=
và điểm M(2; 1). Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua
M và cắt (E) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho M là trung điểm AB.
2. Cho tứ diện ABCD, O là điểm bất kỳ nằm trong miền tam giác BCD. Từ O kẻ các
đường thẳng song song với AB, AC, AD cắt các mặt phẳng mp(ACD),mp (ABD),
mp(ABC) lần lượt tại M, N, P.
a. Chứng minh rằng:
O
M ON OP
A
B AC AD
+ + không đổi.
b. Tìm vị trí của M để tích OM.ON.OP đạt giá trị lớn nhất.
Câu IV. (1.0 điểm)
Cho a, b, c là ba c
ạnh một tam giác. Chứng minh rằng:
3
3 3 2 2 2 2 2 2
a
b c 3abc a(b c ) b(c a ) c(a b )
+ + + ≥ + + + + +

…… Hết……
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

Họ tên thí sinh:……………………………………… SBD:……………………
SỞ GD – ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LÊ XOAY

NĂM HỌC: 2010-2011
~
~~~~~~~~~~

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 11
(Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề)