toán 12 giữa kỳ 2(10-11)

đề thi giữa hk2 (2010-2011)
Môn Toán 12 ( Thời gian 90 phút )
Bài 1:(4 )điểm .Tính nguyên hàm và tích phân sau:
( )
3 2
3 1
2
2
1 0
4 3
2
3
2
2
0 0
2
1) 4 3 2)
5
3) 1 4)
5 6
sin
5) ln 1 6)
8 1 cos
x
I x x dx I e dx
x
x
I x x dx I dx
x x
x x
I x dx I dx

x


= + =
ữ


= + =
+

= + =
ữ
+




Bài 2:( 2 điểm): Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C) :
3y x
=
, d:3x+2y-15=0 và trục
Ox.
1) Tính diện tích hình (H).
2) Tính thể tích khối tròn xoay tạo ra khi quay (H) quanh Ox.
Bài 3 (4 điểm) :Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm :
A(2;0;1) ,B (-2;7;2) , C(1;5;-3) ,D( 0;0;1)
1)Viết phơng trình mặt phẳng (BCD) . Chứng minh A,B,C,D là 4 đỉnh của tứ diện.
2)Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CD.
3)Viết phơng trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
4)Viết phơng trình mặt phẳng (Q) đi qua AB ,sao cho khoảng cách từ C tới (Q)lớn nhất.

Hết
Đáp án
Bài 1
1)
( )
3 4 3
4 3x x dx x x c+ = + +

1,0
2)
2
2ln
x x
e dx e x c
x

= +
ữ


1,0
3)
3
2
1
1I x x= +

0,25
0,25
( )

2 2 2
2
2 3
2
1 1
1 2, 3 2
2
1 1
8 2 2
3 3
2
dat t x t x tdt xdx
x t x t
i t dt t
= + = + =
= = = =
= = =

4)
1 1
2
0 0
5 3 2
5 6 2 3
x
I dx dx
x x x x


= = =

ữ
+


=
1 1
9
3ln 2 2 ln 3 ln
0 0
32
x x = =
0,25
0,25
5)đặt t=1+x
4
/8
3 3
1
2
2
dt x dx dt x dx = =
,
0 1; 2 3x t x t= = = =
3
1
2 lnI tdt =

, đặt
( ) ( )
3

1
ln 3
2 ln 2 3ln 3 2
1
dt
u t
du
I t t dt
t
dv dt
v t


=
=


= =


=



=


0,25
0,25
6)biến đổi I=

( )
2
2
1 cos sin
1 cos
x x
dx
x

+

, đặt
cos sin sin , 1, 0
2
t x dt xdx dt xdx x o t x t

= = = = = = =
( )
( )
2
0 0 1
2 2
1 1 0
1
2
1 1
t
dt
I dt dt
t t

= = +
+ +

==
1
2


0,25
0,25
Bài 2
1)tìm đợc giao điểm của d và (C) là A(3;3)
Giao điểm của d và Ox là B(5;0)
(C) giao Ox tại O (0;0).
Gọi K là hình chiếu của A trên Ox
S= dt (OAK)+ dt tam giác AKB
1 3
3
2 2
0
3
1 2 1
3 3 3 2 9
0
2 3 2
S x dx AK KB x = + ì = ì + ì ì =

0,5
0,5

2)Gọi V
1
,V
2
là thể tích các khối tròn xoay do tam giác cong OAK và tam giác
vuông AKB quay quanh Ox tạ ra và V là thể tích cần tính ta có V=V
1
+V
2
2
3
1
0
2
2
3
27
3 3
0
2 2
1 1
9 2 6
3 3
27 39
6
2 2
x
xdx
AK KB
V

V
V





= = =
= ì ì = ì ì =
= + =

0,25
0,25
0,25
0,25
Bài 3
1)(BCD) chứa giá của các véc tơ không cùng phơng
( ) ( ) ( )
3; 2; 5 , 2; 7; 1BC BD BCD


có véc tơ pháp tuyến
0,5
( )
; 33; 7; 17n BC BD



= = =

mà mp(BCD) đi qua D
( )
:33 7 17 17 0pt BCD x y z + + =
Thay tọa độ của A vao pt (BCD) ( học sinh phải thay cụ thể) ta thấy VT
0

( )
A BCD
, vậy A,B,C,D không đồng phẳng hay A,B,C,D là 4 đỉnh tứ diện
0,5
0,5
2)(P) đi qua A ,
( ) ( )
P CD P
có véc tơ pháp tuyến
( )
1; 5; 4CD


Pt của (P) :
( ) ( )
1 2 5 4 1 0 5 4 2 0x y z x y z + = + + =
0,25
0,25
3)mặt cầu (S) tâm A, tiếp xúc với (BCD)

bán kính R của mặt cầu bằng k/c từ A
đến (BCD)
2 2 2

33 2 7 0 17 1 17
66
1427
33 7 17
R
ì + ì + ì
= =
+ +
( ) ( ) ( )
2 2
2
4356
: 2 1
1427
pt S x y z + + =
0,5
0,5
Gọi H là h/c của C trên đờng thẳng AB, học sinh phải c/m đợc k/c từ C đến (Q) lớn
nhất
( )
Q CH
tức (Q) nhận
CH

làm véc tơ pháp tuyến
Goi H
( ) ( ) ( )
; ; 1; 5; 3 , 2; ; 1x y z CH x y z AH x y z

+

. 0 4 7 28 0CH AB CH AB x y z

= + =
,H AB AH AB


cùng phơng
2 1
4 7 1
x y z
= =

. tổ hợp các hệ thức trên ta đợc 1 hệ
pt 3 ẩn x,y,z .Giải ra ta đợc
4 245 101 37 85 299
; ; ; ;
33 66 66 33 66 66
H CH



ữ ữ

.do vạy cũng có
thể chọn vec tơ pháp tuyến của (Q) là
( )
66 74;85; 299CH


và đợc pt của mp

(Q) là74x+85y-299z +151=0
0,25
0,5
0,25