Một số bài tập về mặt cầu

Bài tập mặt cầu
1. Cho 2 na ng thng Ax v By vuụng gúc vi nhau v nhn AB = a ( a > 0) l on
vuụng gúc chung. Ly im M trờn Ax v im N trờn By sao cho AM = BN = 2a. Xỏc
nh tõm I v tớnh theo a bỏn kớnh R ca mt cu ngoi tip t din ABMN. Tớnh khong
cỏch gia 2 ng thng AM v BI.
2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng a và mặt chéo SAC là tam giác
đều.
a. Tìm tâmvà bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b. Qua A dựng mp(

) vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mp(

) và hình
chóp .
3. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = CA = AD = DB = a
2
và CD = 2a.
a. CMR AB

CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CM H là trực tâm tam giác ABC.
4. Cho tứ diện SABC có các cạnh bên SA = SB = SC = d và

ASB = 120
o
,

BSC = 60
o

,

ASC = 90
o
.
a. CM tam giác ABC vuông.
b. Tính thể tích tứ diện SABC.
c. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC.
5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đờng cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng
62
.
Điểm M, N là trung điểm các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp SAMN và bán kính hình
cầu nội tiếp hình chóp đó.
6. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đờng thẳng d đi qua A và
vuông góc với mp(ABC), lấy một điểm S khác A.
a. CMR tứ diện SABC chỉ có một cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
b. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC. Tính bán kính mặt cầu này trong
trờng hợp mp(SBC) tạo với mp(ABC) một góc 30
o
.
c. Tìm quỹ tích tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC khi S chạy trên d (S

A).
d. Lấy S đối xứng với S qua A, gọi M là trung điểm của SC. Xác định thiết diện tạo
bởi mp đi qua S, M và song song với BC cắt tứ diện SABC. Tính diện tích của thiết diện đó
khi SA =
2
a
.
7. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm I (A đối diện với C). Các nửa đờng thẳng Ax, Cy

vuông góc với mp(ABCD) và ở về cùng một phía với mp đó. Cho điểm M không trùng với A
trên Ax, cho điểm N không trùng với C trên Cy. Đặt AM = m, CN = n.
a. Tính thể tích của hình chóp B.AMNC (Đỉnh B, đáy AMNC).
b. Tính MN theo a, m, n và tìm điều kiện đối với a, m, n để góc

MIN vuông
8. Cho góc tam diện Sxyz với

xSy = 120
o
,

ySz = 60
o
,

zSx = 90
o
. Trên các tia Sx, Sy,
Sz theo thứ tự lấy các điểm A, B, C sao cho SA = SB =SC = a.
a. CMR tam giác ABC vuông. Xác định hình chiếu vuông góc H của S lên mp(ABC).
b. Tính bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện SABC theo a.
c. Tính góc phẳng của nhị diện [(SAC),(BAC)].
9. Trên mp(

) cho góc

xOy. Đoạn SO = a vuông góc với mp(

). Các điểm M, N chuyển

động trên Ox, Oy sao cho ta luôn có : OM + ON = a.
a. Xác định giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện SOMN.
b. Tìm quỹ tích tâm I của mặt cầu nhoại tiếp tứ diện SOMN. CMR khi tứ diện có thể tích
lớn nhất thì nó lại có bán kính mặt cầu ngoại tiếp nhỏ nhất.
10. Cho đờng tròn tâm O bán kính R. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mp đáy
(S và A cố cố định), SA = h cho trớc, đáy ABCD là một tứ giác tuỳ ý nội tiếp đờng tròn đã
cho mà các đờng chéo AC và BD vuông góc với nhau
a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
b. Hỏi đáy ABCD là hình gì để thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất.
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân, AB = AC = a, mp(SBC)

mp(ABC)
và SA = SB = a.
a. CMR tam giác SBC vuông tại S.
b. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, biết SC = x.
12. Trong mp(P) cho đờng thẳng d và điểm A nằm ngoài d. Một góc

xAy di động quanh
A, cắt d tại B và C. Trên đờng thẳng qua A và vuông góc với (P) lấy một điểm S. Gọi H, K là
các hình chiếu vuông góc của A lên SB và SC.
a. CMR A, B, C, H, K thuộc một mặt cầu.
b. Tính bán kính mặt cầu trên biết AB = 2, AC = 3,

BAC = 60
o

c. Giả sử tam giác ABC vuông tại A. CMR mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCHK luôn
luôn đi qua một đờng tròn cố định khi S thay đổi.
13. Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AD = CA = DB = a
2

và CD = 2a.
a. CMR AB vuông góc với CD. Hãy xác định đờng vuông góc chung của AB và CD.
b. Tính thể tích tứ diện ABCD.
c. Xác định tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mp(ABC). CMR H là trực tâm tam giác ABC.
14. Xác định tâm và bán kính đờng tròn nội và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD, cạnh a.
15. Cho tứ diện SABC, dáy là tam giác cân ABC, cạnh đáy BC = 2a, góc BAC = 2

; cạnh bên
SA hợp với đáy góc

sao cho hình chiếu của S xuống mặt đáy trùng với tâm O của đờng
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
SABC.
16. Cho hình chóp tứ giác SABCD, đay ABCD là hình thang vuông tại A và B, với AB = BC =
a, AD = 2a, SA = a và SA vuông góc A (ABCD). Gọi E là trung điểm của AD. Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SECD.
17. Cho chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2a, tâm O, mặt bên (SAB) là tam giác
đều và (SAB) vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hìn
chóp.
18. Cho tam giác ABC cân, góc ở đỉnh BAC = 30
0
, cạnh đáy BC = 4. Một mặt cầu O, bán kín
R = 5 chứa đờng trìn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
19. Cho tứ diện ABCD, AD = BC = 5, DB = AC = 12 và AD vuông góc với (ABC). Kẻ AH và
Ak lần lợt vuông góc với DB và DC. HK cắt (ABC) tại E. Chứng minh có một mặt cầu ngoại
tiếp chóp ABCKH và nhận EA làm tiếp tuyến.
20. Cho chóp tam giác đều SABC , đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy
1 góc

(0 <

<180
0
)
1. Tính thể tích khối chóp
2. Tính diện tích toàn phần của hình nón đỉnh S, đáy là đờng tròn ngoại tiếp

ABC.
3. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp chóp SABC.