Một số bài tập về mặt cầu (Hình giải tích)

MẶT CẦU
Bài 1. (ĐH-D-2004) Cho ba điểm
( )
2;0;1A
,
( )
1;0;0B
,
( )
1;1;1C
và mặt phẳng (P):
2 0x y z+ + − =
. Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và có tâm thuộc (P).
Bài 2. (ĐH-B-2005) Trong không gian cho hình lăng trụ đứng ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
với
( )
0; 3;0A −
,
( )
4;0;0B
,
( )
0;3;0C
,

( )
1
4;0;4B
.
1. Tìm tọa độ các đỉnh A
1
, C
1
.
2. Viết phương trình mặt cầu tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng BCC
1
B
1
.
Bài 3. (ĐH-D-2008) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm
( )
3;3;0A
,
( )
3;0;3B
,
( )
0;3;3C
,
( )
3;3;3D
.
1. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D.
2. Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 4. Cho hai đường thẳng:

1
2
:
4
x t
d y t
z
=


=


=

và
2
3 0
:
4 4 3 12 0
x y
d
x y z
+ − =


+ + − =

1. Chứng minh d
1

và d
2
chéo nhau.
2. Lập phương trình mặt cầu (S) nhận đoạn vuông góc chung của d
1
và d
2
làm đường kính.
Bài 5. Cho đường thẳng d:
1 2
3 1 1
x y z− +
= =
và mặt phẳng (P):
2 2 2 0x y z+ − + =
1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với (P) và có bán kính bằng 1.
2. Gọi M là giao điểm của (d) với (P), T là tiếp điểm của (S) với (P). Tính MT.
Bài 6. Lập phương trình mặt cầu có tâm tại điểm
( )
2;3; 1I −
và cắt đường thẳng (d) có phương
trình:
11 2
25 2
x t
y t
z t
= +



=


= − −

tại hai điểm AB sao cho AB = 16.
Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm
( )
0;0;4A
;
( )
2;0;0B
. Viết phương trình
mặt cầu qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P):
2 5 0x y z+ − − =
.
Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
( )
2 0
:
2 6 0
x y
d
x y
− − =


− − =

và mặt cầu (S):

2 2 2
2 2 2 1 0x y z x y z+ + + − + − =
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) sao cho giao tuyến của
mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r = 1.
Bài 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm
( )
1; 1;2A −
,
( )
1;3;2B
,
( )
4;3;2C
và
( )
4; 1;2D −
.
Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy. Viết phương trình mặt cầu (S) qua A’, B, C, D.
Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) tại điểm A’.
Bài 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 2 4 3 0x y z x y z+ + − + + − =
và
hai đường thẳng
( )
1
2 2 0
:
2 0
x y

x z
+ − =

∆

− =

,
( )
2
1
:
1 1 1
x y z−
∆ = =
−
Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S), biết nó song song với (∆
1
) và (∆
2
).
Bài 11. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm
( )
1;0;3I
và cắt đường thẳng:
1 1 1
:
2 1 2
x y z− + −
∆ = =

Tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông.
Bài 12. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm
( )
4;1;1I −
và cắt mặt phẳng
( )
: 2 2 1 0x y z
α
+ − + =
theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
2 2
.
Bài 13. Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d:
1 0
2 0
x z
y
+ − =


− =

và cắt mặt phẳng (P)
theo thiết diện là đường tròn lớn có bán kính bằng 4, ở đây (P):
0y z− =
.
Bài 14. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 11 0x y z x y z+ + − − − − =
và mặt phẳng (P):

2 3 20 0x y z− + − =
. Hãy tìm tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P).
Bài 15. Cho mặt cầu (S):
2 2 2
6 2 4 5 0x y z x y z+ + − − + + =
và mặt phẳng
( )
: 2 1 0P x y z+ + − =
.
1. Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S).
2. Chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S)
3. Tìm tâm và bán kính đường tròn là giao tuyến của (S) và (P).
Bài 16. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
8 11 8 30 0
2 0
x y z
x y z
− + − =


− − =

và tiếp xúc với mặt
cầu
2 2 2
2 6 4 15 0x y z x y z+ + + − + − =
.
Bài 17. Lập phương trình mặt cầu có tâm
( )
2;3; 1I −

, cắt đường thẳng d:
5 4 3 20 0
3 4 8 0
x y z
x y z
− + + =


− + − =

tại
hai điểm A, B sao cho
16AB
=
.
Bài 18. Cho (S):
2 2 2
10 2 26 170 0x y z x y z+ + − + + =
;
1
∆
:





+−=
−=
+−=

tz
ty
tx
213
31
25
và
2
∆
:





=
−−=
+−=
8
21
7
1
1
z
ty
tx
Viết phương trình
)(
α
tiếp xúc mặt cầu (S) và song song với

1
∆
và
2
∆
.