BÀ TẬP VỀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

CHÀO MỪNG CÁC EM HỌC SINH
LỚP 11A
Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=

f(x) liên tục tại x
0


(a; b)

*) Các b ớc c/m hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm x
o
:
x
o
TXD, tính f(x
o
)
tồn tại
*) Hàm số f(x) vi phạm 1 trong 3 b ớc trên thì không liên tục tại 1 điểm x
o
hay gián đoạn tại điểm x
o

đó:
)(lim
0
xf
xx
)()(lim
0
0
xfxf
xx
=

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) đ ợc gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số f(x) đ ợc gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên khoảng (a; b) và
Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một đ ờng liền trên khoảng đó
*) Định lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số l ợng giác là liên tục trên tập xác định của chúng
*) Định lý 2:
Tổng, hiệu, tích, th ơng ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một điểm là liên tục tại điểm đó

)()(lim),()(lim bfxfafxf
bxax
==
+

3) Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm
f(x) liên tục trên [a ;b]

f(a).f(b) < 0
Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
o
thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục
f(x) liên tục
tại một điểm
f(x) liên tục
trên một khoảng
f(x) = 0
có nghiệm

*) Định lý 3:
BµI tËp
§3 hµm sè liªn tôc
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đ ợc chỉ ra
1)
f(x) =
3) f(x) =
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x
0


(a; b)
)x(f)x(flim
0

xx
0
=

*)Ph ơng pháp:

Tại điểm x
0
= 2
2) f(x) =
12 x
nếu x > 1
x
2
- 2 nếu x 1
Tại điểm x
0
= 1
x
1
nếu x # 0
1 nếu x = 0
Tại điểm x
0
= 0
1
1
2

+

x
x
Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài1
Bài giải: TXĐ: D =R =>xo = 2 D.
1
1
lim
2
2

+

x
x
x
= 5
f (2) = 5
=>
)2()(lim
2
fxf
x
=

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x
0
= 2

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x
0


(a; b)
)x(f)x(flim
0
xx
0
=

=
*)Ph ơng pháp:

1) f(x) =
1
1
2

+
x
x
KL:H/s gián đoạn tai x = 1
Tại điểm x
0
= 2
2)
Tại điểm x
0

= 1
TXĐ: R.
1)2lim()(lim
1
2
1
==




x
x
xxfTinh
)(lim)(lim
11
xfxf
xx
+


Ta có:
)(lim
2
xf
x
f(x) =
12 x
nếu x > 1
x

2
- 2 nếu x 1
1)12lim()(lim
1
1
==
+
+


x
x
xxfTinh
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x
0


(a; b)
*)Ph ơng pháp:

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
Bài 1:

Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x
0

(a; b)
*)Ph ơng pháp:
3) f(x) =
x
1
nếu x # 0
1 nếu x = 0
Tại điểm x
0
= 0
Bài giải: TXD: R do đó x
o
= 0 TXD
==




0
0
1
lim)(lim
x
x
x
xf
KL: Hàm số f(x) gián đoạn tại x
o
= 0
VÊn ®Ị 2: XÐt tÝnh liªn tơc cđa hµm sè trªn mét kho¶ng

*)Ph ¬ng ph¸p:
¸p dơng ®Þnh lý 1, 2: c¸c hµm sè ®a thøc, hµm sè h÷u tû,
hµm sè l ỵng gi¸c,
liªn tơc trªn tËp x¸c ®Þnh cđa chóng
*)VÝ dơ ¸p dơng

Bµi 2: XÐt tÝnh liªn tơc cđa c¸c hµm sè sau trªn tËp x¸c ®Þnh cđa chóng:

4x
16x
2
−
−
a) f( x) =
8 nÕu x = 4
nÕu x
≠
4
b) f(x) =
12 −x
nÕu x > 1
x
2
- 2 nÕu x ≤ 1
a/ Vẽ đồ thò h.s sau. Từ đó nhận xét tính liên tục trên TXĐ.
x
xx
xf
)1(
)(

−
=
b/ Khẳng đònh nhận xét trên bằng một chứng minh.
Bµi 3:
4x
16x
2


a) f( x) =
8
nếu x = 4
nếu x

4
Bài giải:
Tập xác định: D = R
Hàm số liên tục tại x = 4
Với x

4: Hàm số f(x) = liên tục trên các khoảng (-; 4) và (4; +)
Xét tại x = 4:
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R


Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
4x
16x
lim
2

4x



)4x(lim
4x
+

= = 8
f(4) = 8

)x(flim
4x
)x(flim
4x
=
= f(4)
4x
16x
2


Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng

b) f(x) =
12 x
nếu x > 1
x
2
- 2 nếu x 1

Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
Bài giải:
Tập xác định: D = R
*) Với x > 1 hoặc x < 1 thì h/s f(x) trên là các hàm đa thức nên nó liên tục trên các khoảng (-; 1) và (1; +)
*) Tai x = 1 thì h/s f(x) gián đoạn
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (-; 1) và (1; +) và gián đoạn tại x = 1.




<
>−
=
−
=
0x nếu x-1
0x ếun 1
)1(
)(
x
x
xx
xf
o
-1
1
x
y
);0( va)0;( +∞−∞

=> Hàm số liên tục trên
b/
+) Ta có: f(x) = x - 1 với x>0;
f(x) = 1 - x (x<0) là hàm đa thức
nên liên tục trên
Bµi 3: a) VÏ ®å thÞ h/sè
Bµi tËp: hµm sè liªn tơc
);0( va)0;( +∞−∞
+ T¹i x = 0 kh«ng thc TXD cđa h/s nªn h/s gi¸n
®o¹n t¹i x = 0.

Kl: Hàm số liên tục trên (-∞; 0) va (0; +∞),gi¸n ®o¹n t¹i x = 0
Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Ph ơng pháp
Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
o
thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng

Bài 4:
a) Cho ph ơng trình: x
3
- 3 x + 1 = 0
Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm ( 1; 2 )
b/
Ph ơng trình x

4
3x
3
+ 1 = 0 có nghiệm hay không trên khoảng (-1; 3)
c/ CMR :ph ơng trinh
cú nghim vi mi m
.15sin2)2cos2( += xxm
Vấn đề 3 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Ph ơng pháp
Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Ph ơng trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x
o
thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4:
a) Cho ph ơng trình: x
3
- 3 x + 1 = 0
Bài giải:
Chứng minh rằng ph ơng trình có nghiệm ( 1; 2 )
Hàm số f(x) là đa thức nên liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
f(1) =
f(2) = 3
f(1).f(2) = - 3 < 0
x
0
( 1; 2) :
f(x

0
) = 0
Kết luận: ph ơng trình có nghiệm ( 1; 2 )
-1
f(x)= x
3
- 3 x + 1

BàI tập: hàm số liên tục

b/
Hàm số f(x) = x
4
3x
3
+ 1 liên tục trên R, do đó liên tục trên khoảng ( -1; 3) và có : f( -1) = 5 ;f(1) = -1; f(3) = 1 >
0. Do đo trên khoảng (- 1; 3) thì Pt có 2 nghiệm.
15sin2)2cos2()( = xxmxf
mff <+=

0)21).(21()
4
().
4
(

l hm s xỏc nh v liờn tc trờn R nờn liờn tc trờn
v cú
. Vy pt :f(x)=0 cú nghim vi mi m
Đặt

4
;
4

c/ CMR :ph ơng trinh cú nghm vi mi m
.15sin2)2cos2( += xxm
BàI tập
Đ3 hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh ph ơng trình có nghiệm trên khoảng