BÀI 4. Ôn tập chương 1

Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1a

1a

1a >
(với a= sin)
Ph ơng trình
Ph ơng trình
I.
I.
Phơngtrìnhlợnggiáccơbản
Phơngtrìnhlợnggiáccơbản
PhầnII.Phơngtrìnhlợnggiác
Điều kiện xét nghiệm
Công thức nghiệm
Công thức nghiệm
1a >

PT vô nghiệm
PT vô nghiệm
( )kÂ
2
2
x k
x k

= +
= +

PT vô nghiệm
PT vô nghiệm
2
2
x k
x k







= +
= +
(với a= cos)
sinx=a
cosx=a
tanx=a
cotx=a
a Ă
2
x k

+
x k

= +
(với a= tan
(với a= tan


)
)
a Ă
x k


x k

= +
(với a= cot
(với a= cot


)
)
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác

đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

Đặt sinx = t ( | t | 1 ) . Đ a ph
ơng trình về
ph ơng trình bậc nhất ( bậc
hai) theo t
Cách giải :


ví dụ:
ví dụ:


2 sin
2
1 0; 3sin 4sin 7 0x x x+ = + =
2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
* Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
Ví dụ:
3

2sin3 3cos3
2
x x+ =
II. Phơngtrìnhlợnggiácthờnggặp
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
* Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă

Cách giải :
Cách 1.
GSử a 0, chia hai vế của ph ơng
trình(3) cho a,
đặt
b

a
= tan tađ ợc:
sinx + tan cosx =
c
a
sin
sin cos
cos
c
x x
a


+ =
sin( ) cos
c
x
a

+ =
Cách 2:Chia hai vế của ph ơng trình (3) cho
2 2
a b+
, ta đ ợc:
(*)
sin cos
2 2 2 2 2 2
a b c
x x
a b a b a b

+ =
+ + +
Vì :
2
2 2
a
a b

ữ
+

+
2
2 2
b
a b

ữ
+

= 1
Nên ta có thể đặt:
2 2
a
a b+
2 2
b
a b+
= sin
= cos ;

II. Phơngtrìnhlợnggiácthờnggặp
Cách này thích hợp nhất khi:
3
1; 3;
3
b
a






Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.

* Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
Khi đó (*) có dạng:
(**)sin( )
cos sin sin cos
2 2
2 2
x
c
x x
a b
c
a b


=+
+ =
+
+
* Chú ý :
1) Phơngtrình(3)cónghiệmkhi
vàchỉkhi:c
2

a
2
+b
2
2) Cóthểđaphơngtrình(3)vềmộtphơngtrìnhbậchai

theo
tan ( 2 )
2
x
t x k

= +
bằngcáchápdụngcáccôngthức
2
2 1
sin ;cos
2 2
1 1
t t
x x
t t

= =
+ +
phơngtrìnhtrởthành
2
( ) 2 0b c t at c b+ + =
Cáchgiảinàythờngápdụngchoptchứathamsố.
II. Phơngtrìnhlợnggiácthờnggặp
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác

Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
Bài toán : Tìm giá trị lớn nhất ,
giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+
=
+ +
Giải:
Tập xác định : D = R

Gọi y
0
là một giá trị của hàm số
0

sin 2cos 1
sin cos 2
x x
PT y
x x
+
=
+ +
Có nghi m
Ta có :
0
sin 2cos 1
sin cos 2
x x
y
x x
+
=
+ +
PT (*) có nghiệm
( )
2
2 2
1 2 ( 1) ( 2)
0
0 0
y y y +
2
2 2 4 0
0 0

y y +
sin
0
cos 2 sin 2cos 1
0 0
x
y y x y x x
+
+ = + +
1) 2) (
0
( sin ( cos 1 2 *)
0 0
y x y x y

+ =
2
2 0
0 0
y y +
( 2 2)sin cosx x +
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);

: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
2 1
0
y
Vậy: Giá trị lớn nhất của hàm số
là

1
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
2
Cách giải
Cách 1:
1 cos2
2
sin
2
x
x

=
đ a ph ơng trình về dạng:
sử dụng công thức:
1 cos2
2
cos
2
x
x
+
=
1
sin cos sin2
2
x x x=
asinx + bcosx = c
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I

1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a

0c
hoặc
Cách 2:
*
Kiểm tra
2
x k


= +
có phải là nghiệm không.
*
2
x k


+
Nếu bằng cách
chia hai vế của pt cho
2
cos x
Ta đ a pt về dạng:
2
tan tan 0A x B x C+ + =
Đ a pt bậc hai theo tanx:
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác

đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0(4)
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và

cosx
Dạng:
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
Cách giải
Cách 1: đặt
sin cos 2t x x t

ữ
ữ

= +

2
1
2
sin cos
t
x x

=
( )
2
1
5 ( ) 0
2
t
at b c

+ + =
2

2 (2 ) 0bt at c b + + =

Nghiệm
2; 2t





Nghiệm x
Cách 2:
,
4
x t

= +
Đặt
khi đó
sin cos sin cos
4 4
x x t t


ữ ữ

+ = + + +
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
(sin cos ) (cos sin )
2 2

t t t t= + +
sin 2 cos2
;sin cos
2 2
x t
x x = =
1 1
2
2
2cos 1 cos
2 2
t t

ữ

= =
Pt trở thành:
( )
2cos t=
2
2
cos 2cos 0
2
c b
b t a t

+ + =
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai

1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0(4);
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c

hoặc
Bài tập
Bài 1. Giải ph ơng trình :
4 4
sin cos cos2 (1)x x x+ =
Giải:
4 4
sin cosx x+
1
2
1 (1 cos 2 )
2
x
1
2
1 sin 2
2
x=
khi đó,
1 1
2
cos 2
2 2
x + =
2
1 cos 2 2cos2x x + =
cos2x=
2
cos2 1 0x

ữ

=
Ta có:
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx
Dạng:
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
2 2 2
(sin cos )
2 2
2sin cos
x x
x x
= +

(1)
1
2
1 sin 2
2
x
cos2x
cos2x=
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác

Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
cos2 1 2 2x x k x k

= = =
Bài 2.
2 2 2 2
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x =
Giải ph ơng trình :
Giải:
1 cos6
2
x

cos6 cos8 cos10 cos12x x x x + = +
2cos7 cos 2cos11 cosx x x x =
cos (cos11 cos7 ) 0x x x =
cos 0
cos11 cos7
x
x x




=

=
2
11 7 2
11 7 2
x k
x x k
x x k

= +
= +
= +
( )
2
9
x k
k
x k
x k

= +
=
=
Â
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
Dạng:
1 cos8
2
x
=
+
1 cos10
2
x
1 cos12
2
x

+
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác

đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
Bài 3.

Giải:
(1)
1 1 2
cos
sin2 sin4
x
x x
+ =
điều kiện
( )
*
sin4 0 cos sin2 sin4 0
4
x x k x x x


ữ


( )
1
1 1 2
cos
2sin cos 2sin2 cos2
pt
x
x x x x
+ =
1 1 1
cos

2sin cos 2sin cos cos2
x
x x x x x
+ =
2sin cos2 cos2 1x x x + =
2
2sin cos2 1 2sin 1x x x + =
sin (cos2 sin ) 0x x x =
2
2sin (2sin sin 1) 0x x x =
sin 0
sin 1
1
sin
2
x
x
x







=
=
=
thử vào đk (*):
1

sin
2
x=
thoả mãn (*)
2
6
5
2
6
x k
x k










= +
= +

4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
Dạng:
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I

1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a

0c
hoặc
Bài 4.
Giải: điều kiện
cos 0
sin 0
x
x







sin2 0x
( )
*
2
x k


Với điều kiện đó
(1) sin cos (sin cos ) (sin cos )x x x x x x + + +
đặt
Khi đó (1)
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx:
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
(1)

1 1 10
cos sin
cos
3
sin
x x
x
x
+ + + =
3sin cos (sin cos 1)x x x x + +
sin cost x x= +
2
1
sin cos
2
t
x x

=
2
1
3 1
2
t
t

ữ
ữ

+
10sin cosx x=
10
sin cos
3
x x=
2
1
2
10
t


ữ
ữ

=
( )
**
2t

ữ
ữ


2cos
4
x

ữ

=
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng
Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x

a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx:
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =
2
3 1t t

=
ữ

+
10 1
2
t


ữ

3 2
3 10 3 10 0t t t + + =
( )
2
( 2) 3 4 5 0t t t =
2

2 19
3
2 19
3
t
t
t









=

=
+
=
thử vào đk (**):
thoả mãn (**)
2 19
3
t

=

2cos

4
x


ữ


2 19
3

=
cos
4
x


ữ


2 19
3 2

=
Ôn tập ch ơng I
Ôn tập ch ơng I
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
1-Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai
đối với 1 hàm số l ợng giác
đối với 1 hàm số l ợng giác
Dạng

Dạng
: at +b = 0 (1);
: at +b = 0 (1);
0b
2
0(2)at bt c+ + =
trong đó t là một hàm số l ợng giác

2 -Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx
và cosx.
Dạng : asinx + bcosx = c (3)
2 2
, , , 0a b c a b + Ă
3. Ph ơng trình thuần nhất
bậc 2 đối với sinx và cosx.
Dạng:
2 2
sin sin cos cos 0;
, , ;
a x b x x c x
a b c
+ + =
Ă
hoặc
0a
0c
hoặc
4. Ph ơng trình đối xứng với sinx và
cosx:
(sin cos ) sin cos 0(5)a x x b x x c+ + + =

2
4
x k k



ữ

= + Â
cos
4
x


ữ


cos

=
2 19
(cos )
3 2


=
4
x

2k

= +
T/m đk (*)
Kết luận:
Ph ơng trình có hai họ nghệm
2
4
x k k



ữ

= + Â
¤n tËp ch ¬ng I
¤n tËp ch ¬ng I
BµitËpvÒnhµ:
Bµi 1.
sin sin3 1x x=−
Bµi 2.
2
(2sin 1)(2sin2 1) 3 4cosx x x− + = −
3 3
4sin .cos3 4cos sin3 3sin2x x x x x+ =
cos cos3 cos5 cos7x x x x=
Bµi 3.
Bµi 4.