Giới hạn một bên

KIỂM TRA BÀI CŨ
KIỂM TRA BÀI CŨ
Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn của
hàm số tại một điểm?
Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x
0
và f là
một hàm số xác định trên tập hợp (a; b)\{x
0
}.
( ) ( )
( )
0
0
0
, ; ,
lim ( )
lim lim
n n n
x x
n n
x x a b x x
f x L
x x f x L
→

∀ ∈ ≠

= ⇔


= ⇒ =


1. Giới hạn hữu hạn:
Định nghĩa 1:
Giới hạn bên phải của hàm số tại điểm x
0
Định nghĩa 2:
Giới hạn bên trái của hàm số tại điểm x
0
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x
0
; b).

( ) ( )
( )
0
0
0
, ;
lim ( )
lim lim
x x
n n
x b
f x L
x x f x L
+

→
∀ ∈

= ⇔

= ⇒ =


n n
x x
(

)
x
0
b
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; x
0
).

( ) ( )
( )
0
0
0
, ;
lim ( )
lim lim
x x
n n

a x
f x L
x x f x L
−
→
∀ ∈


= ⇔

= ⇒ =


n n
x x
(

)
a x
0
Nhac lai
x
y
0
•
1
-1
1. Giới hạn hữu hạn:
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN

Ví dụ 1: (sgk.tr 156) Gọi d là hàm dấu
( )
( ) ( ) ( )
0
0 0
1
lim , lim , lim
x
x x
d x
d x d x d x
− +
→
→ →
−


=



vôùi x < 0
0 vôùi x = 0
1 vôùi x > 0
Tìm (neáu coù).
Đồ thị
4
2
-2
-4

-6
-10 -5 5 10
0
-1
Tìm giới hạn bên phải, giới hạn bên trái và giới hạn
(nếu có) của hàm số
( )
3
2
1,
2 3
x x
f x
x

< −

=

− ≥


vôùi
vôùi x -1
khi x dần đến −1.
1. Giới hạn hữu hạn:
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
H1
GSP1

1. Giới hạn hữu hạn:
§5. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§5. GIỚI HẠN MỘT BÊN
2. Giới hạn vô cực:
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (x
0
; b).

( ) ( )
( )
0
0
0
, ;
lim ( )
lim li m
x x
n n
x b
f x
x x f x
+
→
∀ ∈

= +∞ ⇔

= ⇒ = +∞



n n
x x
(

)
x
0
b
0
1
lim
x
x
+
→
Tính ?
GSP
2
1
lim .
2
x
x
−
→
−
Tìm
2
1
lim

2
x
x
−
→
= +∞
−
( ) ( )
, ; 2
1
lim 2 lim
2
n n
vôùi moïi daõy x x
vì
n
n
x
x
∈ −∞



= ⇒ = +∞

−

1. Giới hạn hữu hạn:
§5. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§5. GIỚI HẠN MỘT BÊN

2. Giới hạn vô cực:
H2
Hướng dẫn
8
LxflyùÑònh
ax
=∃
→
)(lim:
Lxfxf
axax
==∃⇔
−+
→→
)(lim)(lim
9
Các ví dụ:





≤+
>
−
=
135
1
12
)(

xnếux
xnếu
x
x
xf
Cho hàm số :
Tìm giới hạn bên trái ,giới hạn bên phải và giới hạn hàm số
( nếu co ù)khi x→1
10
Các ví dụ:





<+
>
−
−
=
12
1
1
1
)(
3
xnếuax
xnếu
x
x

xf
Cho hàm số :
tạitồnxfđểònh
x
)(lim
1→
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Bài 27/sgk. Tìm các giới hạn sau (nếu có)
2
2
) lim
2
x
x
a
x
+
→
−
−
2
2
) lim
2
x
x
b
x
−

→
−
−
2
2
) lim
2
x
x
c
x
→
−
−
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
Bài tập 28/sgk. Tìm các giới hạn sau
0
2
) lim
x
x x
a
x x
+
→
+
−
2
2

3
7 12
) lim
9
x
x x
b
x
−
→
− +
−
Hướng dẫn giải:
( )
( )
( )
( )
2 2
lim lim 2 | | 1 3
x x
f x x
− −
→ − → −
= − =
Bài tập 29/sgk. Cho hàm số:
( )
2
2 | | 1 , 2
2 1 , 2
x x

f x
x x
− ≤ −


=

+ > −


( )
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
lim , lim , lim
x
x x
f x f x f x
− +
→−
→ − → −
Tìm (nếu có).
( )
( )
( )
2
2 2
lim lim 2 1 2.4 1 3

x x
f x x
+ +
→ − → −
= + = + =
( )
2
lim 3.
x
f x
→−
=
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
§2. GIỚI HẠN MỘT BÊN
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Kiến thức:
-
Nắm được định nghĩa giới hạn bên phải, giới hạn bên trái
của hàm số tại một điểm.
-
Quan hệ giữa giới hạn của hàm số tại một điểm với các
giới hạn một bên của hàm số tại điểm đó.
Kỹ năng: Áp dụng định nghĩa giới hạn một bên và vận
dụng các định lí về giới hạn hữu hạn để tìm giới hạn một
bên của hàm số.
Bài tập về nhà: Các bài tập 30, 31, 32 /SGK/trang 159.
3. Một số định lí về giới hạn hữu hạn:
ĐỊNH LÍ 1:
( )

0
lim
x x
f x L
→
=
( ) ( )
0
lim , , .
x x
g x M L M
→
= ∈¡
Giả sử: và Khi đó:
( ) ( )
0
) lim ;
x x
a f x g x L M
→
+ = + 
 
( ) ( )
0
) lim ;
x x
b f x g x L M
→
− = − 
 

( ) ( )
0
) lim ;
x x
c f x g x LM
→
= 
 
( )
( )
0
) lim ; 0
x x
f x
L
d M
g x M
→
= ≠
( )
0
lim ; c: haèng soá
x x
cf x cL
→
= 
 
ĐỊNH LÍ 2:
( )
0

lim
x x
f x L
→
=
Giả sử: khi đó:
( )
0
) lim | | | | ;
x x
a f x L
→
=
( )
0
3
3
) lim ;
x x
b f x L
→
=
⇐
c) Nếu f(x) ≥0 với mọi x∈J\{x
0
}, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
x
0
thì L≥0 và
( )

0
lim
x x
f x L
→
=