giao an : Gioi han mot ben

TÝnh c¸c giíi h¹n sau
( )
2
) lim 2 3
x
a x
→
−
2
2
)
3 2
lim
2
x
b
x x
x
→
− +
−
XÐt hµm sè
2
2 3 khi x 2
( )
- 3x + 2
khi x < 2
2
x

f x
x
x
− ≥


=


−


0
x
(
0
x
x
Ta nãi:
0
x x
+
→
(
0
x
x
Ta nãi:
0
x x

−
→
xx
Khi:
0
x x
→
§5. Giíi h¹n mét bªn
a
(
a
(
(
b
(
b

Đ5. Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn
Định nghĩa
Khi đó ta viết:
( )
+
0
x x
lim Lf x

=
hoặc
( )

+
0
x khi x xf L

Khi đó ta viết:
( )
-
0
x x
lim Lf x

=
hoặc
( )
--
0
x khi x xf L


Giả sử hàm số f xác định trên (a; x
0
) .Ta nói hàm
số f có giới hạn bên trái là L khi x dần đến x
0
( hoặc tại
điểm x
0
) nếu với mọi dãy số (x
n
) trong khoảng (a; x

0
) mà
lim x
n
= x
0
, ta có lim f(x
n
) = L.
( )
0
x R
( )
0
x R

Giả sử hàm số f xác định trên (x
0
; b) .Ta nói
hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần đến x
0
(hoặc
tại điểm x
0
) nếu với mọi dãy số (x
n
) trong khoảng (x
0
; b)
mà lim x

n
= x
0
, ta có lim f(x
n
) = L.

Ví dụ 1: áp dụng định nghĩa tìm giới hạn
1
lim 1
x
x
+


Với mọi dãy số (x
n
) trong khoảng mà lim x
n
= 1
( )
1;
+
( )
lim lim 1 1 1 0
n n
f x x
= = =
Vậy
1

lim 1 0
x
x
+

=
( )
+
0
x x
lim Lf x

=
( )
-
0
x x
lim Lf x

=
Đặt
( ) 1f x x
=
Ta có
( ) 1
n n
f x x
=
và
Giải

( ) ( )
0 0
; ; ,lim
n n n
x x a x x x =
thì
lim ( )
n
f x L
=
( ) ( )
0 0
; ; , lim
n n n
x x x b x x =
thì
lim ( )
n
f x L
=

§5. Giíi h¹n mét bªn
1. Giíi h¹n h÷u h¹n
NhËn xÐt:
1) NÕu
( )
0
x x
lim Lf x
→

=
2) Ta thõa nhËn: nÕu
( )
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x
→ →
=
th× hµm sè f còng cã giíi h¹n t¹i x
0
vµ
( )
+
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
0 0
; ; , lim
n n n
x x x b x x⇔ ∀ ∈ =

th×
lim ( )
n
f x L
=
( )
-
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
0 0
; ; ,lim
n n n
x x a x x x⇔ ∀ ∈ =
th×
lim ( )
n
f x L
=
( )
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
+ -

0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x
→ →
⇔ =
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x
→ →
=
th×

( )
lim) ( ) L + Mf x g xa
 
+ =
 
0
x x→
( )
lim) ( ) L - Mf x g xb
 
− =
 
0
x x→
( )
L

: 0, lim
M
)
( )
f x
Khi M
g x
d
≠ =
0
x x→
( )
() lim ) LMf x g xc
 
=
 
0
x x→
§Þnh lÝ 2: Gi¶ sö . Khi ®ã
( )
lim Lf x
=
( )
lim) La f x
=
§Þnh lÝ 1: Gi¶ sö vµ . Khi ®ã:

( )
lim g x M
=

( )
lim Lf x
=
0
x x→
0
x x→
0
x x→
0
x x→
( )
3
3
) lim Lfb x
=
0
x x→
0
x x→
( )
lim Lf x
=
c) NÕu , trong ®ã J lµ mét kho¶ng
nµo ®ã chøa x
0
, th× vµ
{ }
0
( ) 0, \f x x J x

≥ ∀ ∈
0L
≥
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+

→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
+
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0

x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→
0
x x
−
→

Đ5. Giới hạn một bên
1. Giới hạn hữu hạn
Nhận xét:
1) Nếu thì
( )
0

x x
lim Lf x

=
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x

=
2) Ta thừa nhận: nếu
( )
0
x x
lim Lf x

=
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x

=
thì hàm số f cũng có giới hạn tại x
0
và
3) Các định lí 1 và định lí 2 trong Đ4 vẫn đúng khi ta thay x ->
x

0
bởi x -> x
0
+
, hoặc x -> x
0
-
( )
+
0
x x
lim Lf x

=
( ) ( )
0 0
; ; , lim
n n n
x x x b x x =
thì
lim ( )
n
f x L
=
( )
-
0
x x
lim Lf x

=
( ) ( )
0 0
; ; ,lim
n n n
x x a x x x =
thì
lim ( )
n
f x L
=

VÝ dô 2: Cho hµm sè
T×m
( )
x 2
lim f x
→
( ) ( )
x 2 x 2
lim lim 2 3 1f x x
+ +
→ →
= − =
( )
2
x 2 x 2
3 2
lim lim 1
2

x x
f x
x
− −
→ →
− +
= =
−
Gi¶i
Ta cã:
V×
( ) ( )
x 2 x 2
lim lim 1f x f x
− +
→ →
= =
( )
x 2
lim 1f x
→
=
nªn
2
2 3 khi x 2
( )
- 3x + 2
khi x < 2
2
x

f x
x
x
− ≥


=


−

VÝ dô 3: XÐt sù tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè sau t¹i x = -1
3
2
khi x < -1
( )
2x - khi x -11
x
f x


=

≥


Bµi to¸n: T×m m ®Ó hµm sè sau cã giíi h¹n t¹i x = - 1
3
2
khi x < -1

( )
2x - m khi x -1
x
f x


=

≥


( )
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = Lf x f x
→ →
⇔ =
( ) ( )
x 2 x 2
lim lim 2 3 1f x x
+ +
→ →
= − =

( )
2
x 2 x 2
3 2
lim lim 1
2
x x
f x
x
− −
→ →
− +
= =
−
Ta cã:
V×
( ) ( )
x 2 x 2
lim lim 1f x f x
− +
→ →
= =
( )
x 2
lim 1f x
→
=
nªn
Ta cã thÓ
thay 1 trong

hµm sè f(x)
b»ng sè thùc
nµo ®Ó f(x)
lµ mét hµm
sè cã giíi
h¹n t¹i - 1 ?

( )
1
f x
x
=
O
x
y
XÐt hµm sè

§5. Giíi h¹n mét bªn
2. Giíi h¹n v« cùc
( )
-
0
x x
lim f x
→
=+∞
( )
-
0
x x

lim f x
→
=−∞
( )
+
0
x x
lim f x
→
=+∞
( )
+
0
x x
lim f x
→
=−∞
( )
+
0
x x
li Lm f x
→
=
( ) ( )
0 0
; ; , lim
n n n
x x x b x x
⇔ ∀ ∈ =

th×
lim ( )
n
f x L
=
( )
-
0
x x
lim Lf x
→
=
( ) ( )
0 0
; ; , lim
n n n
x x a x x x
⇔ ∀ ∈ =
th×
lim ( )
n
f x L
=
1. Giíi h¹n h÷u h¹n
NhËn xÐt:
( )
0
x x
lim f x
→

=+∞
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = +f x f x
→ →
⇔ = ∞
( )
0
x x
lim f x
→
=−∞
( ) ( )
+ -
0 0
x x x x
lim lim = -f x f x
→ →
⇔ = ∞