Giới hạn một bên

Hàm số luỹ thừa - hàm số mũ
A. kiến thức cần nhớ
I- Mở rộng khái niệm luỹ thừa
1) Định nghĩa
a) Luỹ thừa với số mũ nguyên dơng.
a
n
=
. . ....
n thuứa soỏ
a a a a
14 2 43
( n

*
Ơ
)
.
b) Luỹ thừa với số mũ nguyên âm:
a
n
=
1
n
a
( a

0, n

*
Ơ

)
.
c) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
m
n m
n
a a=
( m

Â
, n

*
Ơ
,
a > 0)
d) Luỹ thừa với số mũ vô tỉ:
lim ( 0, lim , )
n
r
n n
a a a r r

= > =
Ô
.
Chú ý : a
0
= 1 ( a

0).
2) Các tính chất của luỹ thừa với số mũ thực
Cho a > 0, b > 0, a, b, x, t

R
. Ta có các tính chất sau :
a
x
.a
t
= a
x + t
x
x t
t
a
a
a

=
(
x
a
)
t
=
x
a
t
(a.b)

x
= a
x
.b
x
x
x
x
a a
b b

=
ữ

0 < a < b

( 0)
( 0)
x x
x x
a b x
a b x

< >

> <


a > 1

x
a
> a
t
0 < a < 1

x
a
< a
t
( vụựi x >
t)
II- Hàm số luỹ thừa
a) Định nghĩa : Hàm số y =
x

, trong đó

là một số thực tuỳ ý , đợc gọi là hàm số luỹ thừa
.
.
b) Tính chất :
Hàm số luỹ thừa xác định với mọi x > 0. khi

= 0 thì y = x
0
= 1 với mọi x > 0.
Khi a

0 thì

x

> 0.
Khi

> 0 thì y =
x

là một hàm số đồng biến .
Khi

< 0 thỡ y =
x

là một hàm số nghịch biến.
II. hàm số mũ
1) Định nghĩa: Hàm số mũ là hàm số có dạng y = a
x
(0 < a

1)(a gọi là cơ số ).
2) Các tính chất
a
x
> 0 với mọi x, suy ra đồ thị của hàm số y = a
x
luôn luôn nằm ở phía
trên của trục hoành
a
0

= 1, suy ra đồ thị của hàm số y = a
x
luôn luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bẳng 1.
Hàm số y = a
x
đồng biến khi a > 1, tức là nếu
x
1
< x
2


1 2
x x
a a
<
.
Hàm số y = a
x
nghịch biến khi 0 < a < 1, tức là nếu x
1
< x
2


1 2
x x
a a
>
.

1
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
Nhận xét : Đồ thị hàm số y = a
x
và đồ thị hàm số y = a
x
đối xứng nhau qua trục tung .
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
B.các dạng bài tập áp dụng lý thuyết
1. Tính các giá trị sau :
2
3
2


ữ

; ( 4)
3
; ( 5,2)

0
; (5a + 2)
0
;
3
4
81
.
2. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) A = (a + 1)
1
+ (b + 1)
1
khi a =
1 1
(2 3) (2 3)vaứ b

+ =
;
b) B =
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
a a a a

+

+



;
c) C =
( )
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
1
4
a x a x
xa ax
a x a x




+
+ +
ữ
+

( ax

0; x

a).
3. Khi và chỉ khi nào các đẳng thức sau luôn đúng :
a)
4 2 2
9 3x y x y=
; b)
2
(5 2 ) 5 2a a+ =
;
c)
3 6 9 2 3
27 3a b a b
=
; d)
12 6 2
6
( 6) ( 2)x x x x+ = +
?
4. Viết các số sau dới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ cơ số 2
3
1
4.
2
;
3
4
5

6
7
2 2. 32 16 128
32 2
.
5. Viết các số sau dới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỷ
a) A =
5
3
3
12
:a a a a a
; b) B =
2
5
3
a b
b a

ữ

.
6. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau :
a) y= (2,5)
x
; b) y =
5
x

ữ

; c) y = 5
x
; d) y = (0,6)
x
.
7. Chứng minh các bất đẳng thức sau :
a)
1
70
50
5 7 2+ >
; b)
1
0,002 0,01
78
3 4 9


+ + <
;
2
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
x
y
c)

5
1,1 1,2 2+ >
; d)
3 7
5
3
4
32 256>
8. Chứng minh rằng
(
)
3
2 3 4 2 2 3 2 4 3 2 3 2
a a b b a b a b
+ + + = +
.
9. Vẽ đồ thị hàm số y =
1
4
x

ữ

.Từ đó , suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y = 4
x
vaứ y = 4
x
.
10. Vẽ đồ thị hàm số y = 3
x

. Từ đó , suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y =
3
x
.
11. Giải các phơng trình sau :
a) 2.2
x

=
2
8
x
; b)
2
1 1
64 8
x


=
ữ

;
c)
1
2
3 9 0
x

=

; d)
4
4 9
1
2
2
x
x



=
ữ

;
e)
( )
13
3
1
2
32
x+
=
; f)
2 9 81
3 8 256
x x

=

ữ ữ

;
g) 2
x
.3
x
= 6
36 6
; h) 6
3 x
.6
4 + x
=
3
216
x
.
12. Giải các bất phơng trình sau :
a)
3
6 36
x
>
; b)
5
1024 4
x

;

c) 7
x + 2
.
3
49 343

; d)
3
2 512 2 2
x
<
;
e) 25.5
2x

3
3
5
75.
3

; f)
3 1
2 5 125
5 2 8
x
+

>
ữ

;
g)
2
1 1
9
3 27
x+


ữ

; h)
3 1
1 1
4
2 32
x


ữ

.
LOGARIT
A. kiến thức cần nhớ
I.Định nghĩa. Cho 0 < a

1 và b > 0. Logarit cơ số a của b ký hiệu là log
a
b, Là số M sao cho

a
M
= b. Vậy : log
a
b = M

a
M
= b
II. Các tính chất : vụựi 0 < a < 1.
1) log
a
a = 1;
2) log
a
1 = 0;
3) log
a
b
n
= nlog
a
b
(b

0). Nếu b > 0 thì log
a
b
n
= nlog

a
b;
4)
log log
n
m
a
a
m
b b
n
=
( b > 0, n

0);
5)
log
a
b
a b
=
( b > 0);
log log
b b
c a
a c=
(c > 0 và a > 0);
6) Nếu x
1
> 0 vaứ x

2
> 0 thì log
a
(x
1
.x
2
) = log
a
x
1
+ log
a
x
2
;
Chú ý
a) Nếu x
1
vaứ x
2
Cùng dấu thì log
a
(x
1
.x
2
) =
1 2
log log

a a
x x+
;
b) Bằng quy nạp ta mở rộng đợc kết quả sau nếu x
1
> 0, x
2
> 0, , x
n
> 0 thỡ log
a
(x
1
.x
2
x
n
) =
log
a
x
1
+ log
a
x
2
+ + log
a
x
n

.
7)
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
=
;
8) Công thức đổi cơ số :
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
(và 0 < a, c

1 và b > 0 ).
Hệ quả:
3
log
a

b. log
b
a = 1 hay log
a
b =
1
log
b
a
III. Hàm số logarit.
1) Định nghĩa : Cho 0 < a

1 và x > 0. Hàm số logarit với cơ số a, biến số x
là hàm số có dạng y = log
a
x.
2) Tính chất : Xét hàm số có dạng y = log
a
x (*) . Khi đó :
a) (*) có miền xác định là D = (0; +

) và có miền giá trị là
R
;
b) (*) Đồng biến khi a > 1, tức là

x
1
, x
2

> 0 và x
1
> x
2
thì log
a
x
1
> log
a
x
2
;
c) (*) Nghịch biến khi 0 < a < 1, tức là

x
1
, x
2
> 0 và x
1
> x
2
thì log
a
x
1
< log
a
x

2
;
c) (*) liên tục trên miền xác định D = (0; +

).
d) Vì log
a
a = 1 nên đồ thị hàm số (*) luôn luôn đi qua điểm M(a; 1).
3) Sự biến thiên và đồ thị
a) Sự biến thiên
Tr ờng hợp 1: a > 1
x 0 1 a +

y = log
a
x
Tr ờng hợp2 : 0 < a < 1
x 0 a 1 +

y = log
a
x
b) Đồ thị của hàm số logarit
a > 1 0 < a < 1
* Lu ý :đồ thị của hàm số y = log
a
x và đồ thị hàm số y = a
x
đối xứng nhau qua phân giác thứ
nhất y= x

4. Hai logarit đặc biệt .
a) Logarit thập phân .
+ Định nghĩa : Logarit thập phân là logarit cơ số 10. Logarit thập phân của số x > 0, ký hiệu lgx.
Ta hiểu log
10
x = lgx (x > 0).
4

0
1
+
+
1
0

1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
1 2 3
-3
-2
-1
1
2

3
x
y
+ Tính chất : Vì logarit thập phân của số x > 0 là logarit cơ số 10 nên các công thức của logarit
với cơ số a (0 < a

1) đều đúng.
Chẳng hạn : lg1 = 0, lg10 = 1, lg(x
1
.x
2
) = lgx
1
+ lgx
2
(x
1
> 0, x
2
> 0, y = lgx là hàm đồng biến trên
miền D = (0; +

).
b) Logarit tự nhiên ( logarit Nêpe)
+ Định nghĩa : Logarit tự nhiên là logarit cơ số e

2,71828. Logarit tự nhiên của số x > 0 ký hiệu
lnx.
+ Tính chất : ln1 = 0, lne = 1, y = lnx là hàm đồng biến trên miền xác định D = (0; +

),
B. câu hỏi và bài tập áp dụng
1. Chứng minh các mệnh đề sau là sai :
a) log
3
(x
1
x
2
) = log
3
x
1
+ log
3
x
2
;
b) log
2
1 2 2 1 2 2
log logx x x x= +
;
c)
1 1 2 1 1 1 2
5 5 5
log ( ) log logx x x x
= +
.
Tìm điều kiện để mỗi mệnh đề trên là đúng .

2. Hãy tìm chỗ sai của các phép biến đổi sau và sửa lại cho đúng :
a)
3
3
1 3 3 3 3
3
27
log 2 log 8 log 2 log 2 3log 2 3log 2 0

+ = + = + =
(!);
b) log
3
63 = log
3
9.7 = log
3
9. log
3
7 = log
3
3
2
. log
3
7 = 2 log
3
7 (!).
3. Hai cách viết sau :
a)

2 2 2
3 3
log 2 loga a
=
;
b)
2 2 2
3 3
log 2 loga a=
.
Cách nào đúng cách nào sai? Nếu cả hai cùng sai thì viết lại cho đúng ?
4. Hãy chứng tỏ mệnh đề sau là sai: log
ab
c = log
a
c.log
b
c
với a, b, c > 0 vaứ a, b

1
5. Tính
a) log
2
64; b) lg0,01; c)
1
3
log 81
;
d)

3
9
log 27
; e)
1
16
2
log
2
; f)
2 5 3
3
log
a
a a
a

ữ
ữ

.
g) log
2
log
3
4
4
3
; h) log
8

log
7
2
4
8
1
7


ữ

.
6. Tính các giá trị sau :
a)
6
log 5
36
; b)
5
1
log 10
3
1
25

ữ

; c)
5
2 3 log 4

5
+
;
d)
3 81
2 log 2 4 log 5
9
+
; e)
3log 2
a
a
; f)
4
1
lg 4
2
100

.
7. Tìm x biết rằng :
a) log
0,01
x = 3; b) log
81
x =
1
4
; c)
3

log 1x
=
;
d) log
4
(log
3
(log
2
x)) = 0;e) log
2
{1 + log
3
[1 + log
4
( 1 + log
5
x)]} = 0;
8. Đơn giản các biểu thức sau :
a) A =
2 2
3 3
log (3 ) logx x

vụựi x > 0;
b) B = log
2
(ab) + log
4
(a

2
) + log
4
(b
2
), với ab > 0.
Tính bất đẳng thức của logarit và dấu log
a
b.
a) Tính bất đẳng thức của logarit xem tính chất của logarit ;
b) Dấu của số log
a
b.
5
Nếu cả hai số a và b cùng lớn hơn 1 hay cùng nhỏ hơn 1 lớn hơn 0 thì log
a
b > 0.
Nếu một trong hai số a hoặc b lớn hơn 1 Và số còn lại lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1 thì log
a
b < 0.
9. So sánh các số sau :
a) log
2
7
vaứ log
2
2,5; b)
4
1 1
3 3

log 21 log 5vaứ
;
c) log
2
7

vaứ log
3
7; d)
0,3 0,2
2 2
log log
2 2
vaứ
.
10. Xét dấu các số sau :
a) A =
2 1
log 5.log ( 7 1)



;
b) B =
3
log 2
3
2
1
log 2.log

2

ữ

;
11. So sánh
a) log
2
7
và log
0,5
2
; b)
6
6
1
log
log 3
2
2 3vaứ
.
12. Hãy tính
a) log
30
8 theo a = log
30
5 vậy b = log
30
3; Đáp số : log
30

8 =
3(1 )a b

.
b) log
5
30 qua a = log
3
20 vậy b = lg3; Đáp số : log
5
30 =
1
2
b
ab
+

.
13. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây :
a) y = log
3 x
(x
2
8x + 12);
b) y =
2
1 2
log (4 3 5)
x
x x

+
.
Đáp số : a) (2; +

); b)
3 33
5;
2

+
ữ
ữ

.
Phơng trình mũ - phơng trình logarit .
I/ Ph ơng trình mũ :
Ví dụ mở đầu : tìm x biết 2
x
= 32 (1)
Ta có : (1) 2
x
= 2
5
x = 5
II/ Vài cách giải ph ơng trình mũ :
1/ Đ a về cùng cơ số :
Ta có công thức : a
f(x)
= a

g(x)
f(x) = g(x)

Ví dụ 1: Giải phơng trình :
2
5 9
7 343
x x +
=
(2)
(2)
2
5 9 3
7 7
x x +
=
x
2
5x + 9 = 7 (2)
Nghiệm : x = 2; x = 3
Ví dụ 2: Giải phơng trình :
5 17
7 3
32 0 25 128
x x
x x
, .
+ +

=

(3)
Giải :
Điều kiện : x 7 vaứ x 3
(3)
( ) ( ) ( )
5 17
5 2 7
7 3
2 2 2
x x
x x
.
+ +


=

5 17
5 2 7
7 3
2 2
x x
x x
+ +

+
ữ ữ


=

5 25 5 125
7 3
x x
x x
+ +
=

(3)
Nghiệm: x = 10
2/ Dùng ẩn phụ :
Ví dụ 1: Giải phơng trình :
2 2
2 2
4 9 2 8 0
x x
.
+ +
+ =
(4)
Giải :
Đặt : t =
2
2
2
x +
. Điều kiện : t > 0
(4) thành t
2

9t + 8 = 0 (4)
6
Ta đợc t = 1; t = 8
Nên :
2
2
2
x +
= 1
2
2
2
x +
= 2
0
(a)
Vậy:
2
2
2
x +
= 2
3
(b)
Nghiệm: x = 1 và x = 1
Ví dụ 2: Giải :
( ) ( )
1
3 2 2 3 2 2
x x

+ = (5)
Giải :
Đặt : t =
( )
3 2 2
x

Khi đó :
( )
1
3 2 2
x
+
=
( )
1
3 2 2t
3/ Dùng tính đơn điệu :
Ví dụ : Giải phơng trình : 3
x

+ 4
x
= 5
x
(6)
Giải :
Ta có x=2 là nghiệm .
Mặt khác : (6)
3 4

5 5
x x

+
ữ ữ

= 1
3 4
5 5
x x

+
ữ ữ

=
0
3
4

ữ

Vì y =
3 4
5 5
x x

+
ữ ữ

giảm nên :

Khi x < 2
3 4
5 5
x x

+
ữ ữ

<
2
3
4

ữ

Khi x > 2
3 4
5 5
x x

+
ữ ữ

>
2
3
4

ữ

4/ Logarit hoá:
Ví dụ : Giải :
2
3 2 1
x x
. =
(7)
Giải :
(7)
( )
2
3
3 2 0
x x
log . =
x + x
2
log
3
2 = 0
x = 0 và x = log
2
3
Bài tập tự làm
Bài 1 : Giải phơng trình sau :
1)
2
5
6
2

2 16 2

=
x x
; 2)
10 5
10 15
16 0,125.8
+ +

=
x x
x x
;
1) 0,125.
2 3
2
4
8



=
ữ
ữ

x
x
; 4)
5 17

7 3
32 0,25.128
+ +

=
x x
x x
;
5)
3 2 1
2 .3 .5 4000
+ +
=
x x x
; 6)
1 1
3 6 .2 .3
+
=
x x x x
;
7)
1 1 2 1 2
2 2 2 3 3 3
+
+ + = +
x x x x x x
;
8)
1 2 1 2

2 2 2 7 7 7

+ + = + +
x x x x x x
;
9)
2
3 5 6
2 5
+
=
x x x
; 10)
2
3 7 12
3 5
+
=
x x x
;
11)
2 1
1
5 .2 50

+
=
x
x
x

; 12)
1
3 .8 36
+
=
x
x
x
.
Đáp số :
1)
1
7
=


=

x
x
2)
0,
20;
=


=

x
x

3) x = 6;
4) x = 10; 5) x = 2; 6) x = 2;
7
7)
3
2
99
log
28
; 8)
7
2
343
log
228
; 9)
5
3,
2 log 2;
=


= +

x
x
10)
5
x 3,
x 4 log 3;

=


= +

11)
5
x 2,
x log 10;
=


= −

12)
3
x 2,
x log 6.
=


= −

Bµi 2: Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau :
1) 4
x
+ 5.2
x
– 6 = 0; 2) 9
x

– 5.3
x
+ 6 = 0;
3)
1 1
4 5.2 4 0
x x
− + =
; 4) 4
x
– 10. 2
x – 1
= 6;
5)
2 8 5
3 4.3 27 0
+ +
− + =
x x
; 6) 4
x + 3
+ 2
x + 7
= 17;
7)
2 1
1
1 1
3. 12
3 3

+
   
+ =
 ÷  ÷
   
x x
; 8)
2 2
sin x cos x
9 9 10+ =
.
§¸p sè :
1) x = 0; 2)
3
x 1,
x log 2;
=


=

3) x = 2;
4) x = log
2
6; 5)
x 3,
x 2;
= −



= −

6) x = – 3;
7) x = – 1; 8) x = k
2
π
.
Bµi 3: Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau :
1) 4
x
– 13.6
x
+ 6.9
x
= 0; 2) 3.16
x
+ 2.81
x
= 5.36
x
;
3)
1 1 1
x x x
9.4 5.6 4.9
+ =
; 4)
1 1 1 2
1
x 2 x x

25 3.10 2 0
+ +
+ − =
;
5) 125
x
+ 50
x
= 2
3x + 1
; 6) 8
x
+ 18
x
= 2.27
x
.
§¸p sè :
1) x =
±
1; 2)
1
x ,
2
x 0;

=


=



3) x =
1
2
;
4) x = – 1 ; 5) x = 0; 6) x = 0.
Bµi 4: Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau :
1)
x x
(4 15) (4 15) 62
+ + − =
;
2)
x x
( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − =
;
3)
x x
( 6 35 ) ( 6 35 ) 12+ + − =
;
4)
x x x 3
(5 21) 7(5 21) 2
+
− + + =
;
§¸p sè :
1) x =
±

2; 2) x =
±
2; 3) x =
±
2; 4)
5 21
2
1
x log ,
7
x 0.
+

 
=
 ÷

 


=

Bµi 5: Gi¶i c¸c ph ¬ng tr×nh sau ::
1) 3
x
+ 4
x
= 5
x
; 2) 5

x
+ 12
x
= 13
x
;
3) 3
x
– 4 =
x
2
5
; 4) 1 +
3
x
7
= 2
x
;
5) 4
x
+ (2x – 5) 2
x
+ 6x – 24 = 0;
6) 3.25
x – 2
+ (3x – 10)5
x – 2
+ 3 – x = 0.
§¸p sè :

1) x = 2; 2) x = 2; 3) x =2 ;
8