Một số bài tập về giới hạn

BÀI TẬP (tt)
.
KiN THC CN NH
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
Giới hạn của dãy số (t2)
Định lý 1:
a) Nếu lim và lim thì
n n
u a v b= =
( )
lim
n n
u v =
( )
lim
n n
u v ì =
lim
n
n
u
v
=
0b) Nếu n và lim thì
n n
u u a =
0 và lim
n
a u a =
2 1

6 5
2 3
3 2 3
VD6: Tìm:
2 5
a) lim - ; b) lim
n n n
n n n n


ữ
+

a b
a bì
(nếu 0)
a
b
b

2 2
3 2 3 2
Giải:
2 5 2 5
a) lim - = lim -lim
n n n n
n n n n

ữ

5
2
2
= lim -lim
n
5 5= 0- =
3
3
2
2
1
1
2
2
2 1
5
5
6 5
6
6
3
3
3
b) Chia cả tử và mẫu của phân thức cho ta có:
lim
lim lim
lim
n
n
n

n
n n
n
n



ữ


= =

+
+
+
ữ

3
2
1
2
2 0 2 1
5
6 0 6 3
6
lim lim
lim lim
n
n

= = = =
+
+
KiẾN THỨC CẦN NHỚ
II. ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n h÷u h¹n:
II. ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n h÷u h¹n:
Giíi h¹n cña d·y sè (t2)
§Þnh lý 1:
a) NÕu lim vµ lim th×
n n
u a v b= =
( )
lim
n n
u v• ± =
( )
lim
n n
u v• × =
lim
n
n
u
v
• =
0b) NÕu n vµ lim th×
n n
u u a≥ ∀ =
0 vµ lim

n
a u a≥ =
4
5 2 3
2 1
2
2
2
VD7: T×m:
a) lim ; b) lim
3
n n
n
n
− +
−
+
a b±
a b×
(nÕu 0)
a
b
b
≠
KiN THC CN NH
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
Giới hạn của dãy số (t2)
Định lý 1:
a) Nếu lim và lim thì

n n
u a v b= =
( )
lim
n n
u v =
( )
lim
n n
u v ì =
lim
n
n
u
v
=
0b) Nếu n và lim thì
n n
u u a =
0 và lim
n
a u a =
a b
a bì
(nếu 0)
a
b
b

IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


1
Cấp số nhân vô hạn có công bội q,
v cấp số nhân lới q đgl ùi vô hạn.

<
( )
1
1
1
Công thức tính tổng của n số hạng đầu của CSN

n
n
u q
S
q

=

( )
1
1
Tổng của CSN lùi vô hạn là:
S=
1-
u
q

q

<
KiẾN THỨC CẦN NHỚ
:
II. ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n h÷u h¹n:
II. ®Þnh lý vÒ Giíi h¹n h÷u h¹n:
Giíi h¹n cña d·y sè (t2)
§Þnh lý 1:
a) NÕu lim vµ lim th×
n n
u a v b= =
( )
lim
n n
u v• ± =
( )
lim
n n
u v• × =
lim
n
n
u
v
• =
0b) NÕu n vµ lim th×
n n
u u a≥ ∀ =
0 vµ lim

n
a u a≥ =
a b±
a b×
(nÕu 0)
a
b
b
≠
IiI. Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n
IiI. Tæng cña cÊp sè nh©n lïi v« h¹n


1
CÊp sè nh©n v« h¹n cã c«ng béi q,
v cÊp sè nh©n líi q ®gl ïi v« h¹n.
•
<
( )
1
1
Tæng cña CSN lïi v« h¹n lµ:
S=
1-
u
q
q
•
<
1

5
2
1
VD8: TÝnh tæng cña cÊp sè nh©n v« h¹n cã
µ q= . u v=
KiN THC CN NH
:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
Giới hạn của dãy số (t2)
Định lý 1:
a) Nếu lim và lim thì= =u a v b
n n
( )
lim
n n
u v = ă
( )
lim
n n
u v ì =
lim
n
n
u
v
=
0b) Nếu n và lim thì
n n
u u a =

0 và lim
n
a u a =
a b
a bì
(nếu 0)
a
b
b

IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


1
Cấp số nhân vô hạn có công bội q,
v cấp số nhân lới q đgl ùi vô hạn.

<
( )
1
1
Tổng của CSN lùi vô hạn là:
S=
1-
u
q
q

<

IV. Giới hận vô cực:
IV. Giới hận vô cực:
1. Định nghĩa: (sgk)
2. Giới hạn đặc biệt:
*
a) lim (với )= + Ơ
k
n k
b) lim (với >1)= +
n
q q
3 1
3
VD9: Tính
2n
lim
+ +n
n
KiN THC CN NH
:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
Giới hạn của dãy số (t2)
Định lý 1:
a) Nếu lim và lim thì= =u a v b
n n
( )
lim
n n
u v = ă

( )
lim
n n
u v ì =
lim
n
n
u
v
=
0b) Nếu n và lim thì
n n
u u a =
0 và lim
n
a u a =
a b
a bì
(nếu 0)
a
b
b

IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


1
Cấp số nhân vô hạn có công bội q,
v cấp số nhân lới q đgl ùi vô hạn.

<
( )
1
1
Tổng của CSN lùi vô hạn là:
S=
1-
u
q
q

<
IV. Giới hận vô cực:
IV. Giới hận vô cực:
1. Định nghĩa: (sgk)
2. Giới hạn đặc biệt:
*
a) lim (với )= + Ơ
k
n k
b) lim (với >1)= +
n
q q
3. nh lý 2:
0a) Nếu lim và lim thì lim= = =
n
n n
n
u

u a v
v
0b) Nếu lim và lim thì lim= = =
n
n n
n
u
u a v
v
c) Nếu lim và lim thì lim= = =
n n n n
u v a u v
( )
2
3 2 1
1
3 2
3
2
VD10: Tính
a) lim 2n ;
2n
b) lim ;
+
+
+
n n
n
n
KiN THC CN NH

:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
II. định lý về Giới hạn hữu hạn:
Giới hạn của dãy số (t2)
Định lý 1:
a) Nếu lim và lim thì= =u a v b
n n
( )
lim
n n
u v = ă
( )
lim
n n
u v ì =
lim
n
n
u
v
=
0b) Nếu n và lim thì
n n
u u a =
0 và lim
n
a u a =
a b
a bì
(nếu 0)

a
b
b

IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
IiI. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn


1
Cấp số nhân vô hạn có công bội q,
v cấp số nhân lới q đgl ùi vô hạn.

<
( )
1
1
Tổng của CSN lùi vô hạn là:
S=
1-
u
q
q

<
IV. Giới hận vô cực:
IV. Giới hận vô cực:
1. Định nghĩa: (sgk)
2. Giới hạn đặc biệt:
*
a) lim (với )= + Ơ

k
n k
b) lim (với >1)= +
n
q q
3. nh lý 2:
0a) Nếu lim và lim thì lim= = =
n
n n
n
u
u a v
v
0b) Nếu lim và lim thì lim= = =
n
n n
n
u
u a v
v
c) Nếu lim và lim thì lim= = =
n n n n
u v a u v
Bài tập về nhà
( )
3 2
2
2 1 5 2 1
2 3 3 4
3 2 5

3
3 1
2 2
Bài tập 1: Tính
7
a) lim ; a) lim ;
) lim ; d) lim 3n+1
+ +
+
+ +
+

n n n n
n n
n n
c n
n
3 1 1 2
3 1 3
2
3
2
Bài tập 2: Tính
4n
a) lim ; b) lim ;
c) lim
3n+1
+ +
+
+

n n
n n
n