BÀI BÁO CÁO-CƠ SỞ ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

1 |
P a g e


HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG
LP D08KTDT2
BÀI TP LN C S ĐIU KHIN T ĐNG

Đ bài:

KHO SÁT PHNG TRÌNH NYQUIST VÀ MÔ T
Nhóm 3 ʹ Lp D08KTDT2
PHA̙M VŨ MINH TÚ
NGUYÊȆN HƯȅU HIÊ̙P
ĐÔȆ ĐƯǵC HA˸I
TRÂDZN LÊ KHÁNH CHI
NGUYÊȆN THI̙ NGÂN
TRÂDZN ĐƯǵC TÙNG
ĐĂ̙NG QUANG TÙNG
VŨ ANH THÙY
NGUYÊȆN CA˸NH TOÀN
NGUYÊN THU TRANG
NINH XUÂN THUÂ̙N


Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

2 |
P a g e

I: Đһt vҩn đӅ:
Điu khin t đng là mt lĩnh vc đc áp dng rng rãi trong nhiu ngành khác nhau.
Các h thng t đng có mt trong đi sng hàng ngày và trong sn xut hàng hóa. H thng t
đng đã giúp ích cho con ngi tăng năng sut lao đng, tăng đ chính xác và tăng đ tin cy
cũng nh tăng tính an toàn cho ngi vn hành. Th nên các phng pháp đánh giá n đnh
bn vng là các ch đim nghiên cu quan trng trong lĩnh vc điu khin t đng. Trong thc
t phân gii tính n đnh cho h thng, ngi ta có th dùng phng pháp sau đây mà không
cn đn vic gii các phng trình đt.
y Tiêu chun ROUTH và HURWITZ.
y Đ hình quĩ tích nghim s
y Tiêu chun NYQUIST.
y S đ Bode
y Tiêu chun MIKHAILOV
Có 2 loi tiêu chun n đnh là tiêu chun đi s và tiêu chun n đnh tân s:
_ Tiêu chun n đnh đi s : Tìm điu kin ràng buc gia các h s ca phng trình đc tính
đ h thng n đnh.Đó là tiêu chun ROUTH và HURWITZ.
_ Tiêu chun n đnh tn s: Thông qua đc tính tn s ca h thng đ xét tính n đnh. Đó là
tiêu chun n đnh Nyquist và Mikhailov.
 đây chúng ta s nghiên cu v tiêu chun n đnh Nyquist . Bng vic nghiên cu tiêu
chun n đnh Niquist chúng ta s hiu rõ hn v phng pháp s dng tiêu chun n đnh
tn s trong lĩnh vc điu khin t đng.
II: Giҧi quyӃt vҩn đӅ:
 Đnh lý Nyquist.
Ta bit rng mt h thng mt n đnh nu nh có mt cc ca hàm truyn đt
nm bên phi mt phng phc (có phn thc dng). Vì vy ta chn mt đng cong kín
(C) nm  na dng mt phng phc. Đng cong này đc gi đng cong Bromwich.

Đ quan sát s n đnh ca h kín, ch cn chng t rng
1 ( ) ( ) 0G s H s !

không có
nghim trong đng cong Bromwich, hay đn gian nht là vch qu tích ca hàm truyn
1 ( ) ( )G s H s
trong mt phng phc.
Im
O
Re
(C)
Đưͥng cong Bromwich
Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

3 |
P a g e

Theo đnh lý Cauchy, nu qu tích này không bao gc to đ, khi đó
1 ( ) ( ) 0G s s !
không có nghim trong đng cong Bromwich. Cũng có nghĩa là nu
( ) ( )G s s
không bao đim (-1 , 0) thì khi đó
1 ( ) ( ) 0G s s !
không có nghim trong
đng cong Bromwich.

T đó đnh lý Nyquist phát biu nh sau:

Mt h thng kín n đnh nu qu tích ca hàm truyn h m tng ng không
bao đim (-1 , j0 ).
Mt khác, đ G(s)H(s) không bao đim (-1 , j0) thì điu kin cn và đ là:
- S cc và s Zéro ca nó nm trong đng cong Bromwich bng 0.
- Hay là s cc dng bng s Zéro dng.

Đim (-1 , j0 ) đc gi là đim ti hn.

 Tiêu chun n đnh tn s - tiêu chun Nyquist.


Tiêu chun Niquist theo đc tính tn s biên pha:
1. Phát biu:
͞Điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh͟
- Khi h n đnh (hoc  gii hn n đnh) là đc tính tn s biên ʹ pha ca h h
ܹ
௛
ሺ
݆߱
ሻ
không bao đim (-1,j0).
- Khi h thng n đnh là đc tính tn s biên ʹ pha ca h thng h bao đim (-1,j0) m/2
vòng kín nu ߱ bin đi t 0 đn λ (trong đó m là s nghim ca phng trình đc tính
ca h h có phn thc dng) ͞
2.Chng minh
y Nguyên lý bao và không bao:
Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

4 |
P a g e

_ Nu mt đim M không ri vào trong mt đng cong kín l, ta nói rng đng cong l không
bao dim M nh hình v a) di đây:

T đim M k tip 2 đng tip tuyn vào đng cong l. T A1 đn A2 theo mũi tên véc t MA
quay 1 góc là -߮ còn t A2 đn A1 theo mũi tên, vec t MA quay 1 góc là + ߮ . Do đó đu mũi A

ca vecto MA trt trên c đng cong kín l theo chiu mũi tên thì góc quay tng ca MA là
-߮ + + ߮ = 0
_ Nu mt đim M ri vào trong mt đng cong l, ta nói rng đng cong kín l bao quanh đim
M, nh hình v b)
Nu véc t MA có 1 đu mút chy trên c đng cong theo 1 chiu mũi tên thì góc quay tng
ca MA là 2ߨ.
y Nguyên lý góc quay:
Đi vi phng trình đc tính:
ܽ
଴
݌
௡
൅ܽ
ଵ
݌
௡ିଵ
൅ǥǥǤ൅ܽ
௡
ൌ Ͳ (1)
Có n nghim, nu thay p = ݆߱ ta có:
ܽ
଴
ሺ
݆߱ െ݌
ଵ
ሻሺ
݆߱െ݌
ଶ
ሻ
ǥǥǤǤ

ሺ
݆߱െ݌
௡
ሻ
ൌ Ͳ (2)
Gi s trong phng trình (1) có m nghim có phn thc dng còn (n-m) nghim có phn thc
âm tng ng các nghim phân b  bên phi và nêm trái trc o nh hình di đây:
Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

5 |
P a g e


Nu nghim ݌
௜
 bên trái trc o, đi vi các vecto ܯܺ
ത
ത
ത
ത
ത
ൌሺ݆߱ െ݌
௜
)
Khi ߱ chy t -ьđ ݊൅ь:
ο
ିьஸఠஸь
ሺ݆߱ െ݌
௜
ሻ ൌ ൅ߨ (3)

Nu nghim ݌
௝
nm  bên phi trc o đi vi vecto ܰܺ
ത
ത
ത
ത
ൌ ሺ݆߱ െ݌
௜
ሻ
Khi ߱ chy t -ьđ ݊൅ь:
ο
ିьஸఠஸь
ሺ݆߱ െ݌
௜
ሻ ൌ െߨ (4)
Phng trình (2) có th đc vit nh sau:
ܽ
଴
ෑ
ሺ
݆߱ െ݌
௜
ሻ
Ǥ
௡ି௠
௜ୀଵ
ෑ
൫
݆߱ െ݌

௝
൯
ൌ ͲǤ
௠
௝ୀଵ

Khi đó: T(3) và (4) ta có:
ο
ିьஸఠஸь
 ෑ
ሺ
݆߱ െ݌
௜
ሻ
Ǥ
௡ି௠
௜ୀଵ
ൌ൅ሺ݊െ݉ሻߨ
ο
ିьஸఠஸь
ෑ
൫
݆߱ െ݌
௝
൯
ൌെߨǤ
௠
௝ୀଵ

 Khi h h n đnh:

Xét véc t MA trên hình di đây:
Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

6 |
P a g e


MA = 1 + OA = 1 + Wh
Vì theo hình 3-3:
ܹ
௛
ൌ
ܤ
ሺ
݌
ሻ
ܦ
ሺ
݌
ሻ
݊²݊ǣ
ܯܣ ൌ ͳ൅
ܤሺ݌ሻ
ܦሺ݌ሻ
ൌ
ൌ
ܦ
ሺ
݌
ሻ

൅ܤ
ሺ
݌
ሻ
ܦ
ሺ
݌
ሻ
ൌ
ܣ
ሺ
݌
ሻ
ܦ
ሺ
݌
ሻ
Ǣ
Trong đó bc ca B(p) <= bc ca D(p)
D(p) = 0 là phng trình đc tính h h có bc n:
ܹ
௞
ሺ
݌
ሻ
ൌ
ܹ
௛
ሺ
݌

ሻ
ͳ൅ܹ
௛
ሺ
݌
ሻ
ൌ
ܤ
ሺ
݌
ሻ
ܦ
ሺ
݌
ሻ
൅ܤ
ሺ
݌
ሻ
ൌ
ܤ
ሺ
݌
ሻ
ܣ
ሺ
݌
ሻ

A(p) = D(p) + B(p) = 0 là phng trình đc tính h kín cũng có bc n:
Do đó ܯܣ
ത
ത
ത
ത
ത
ൌ
஺
ሺ
௣
ሻ
஽
ሺ
௣
ሻ
ൌ
0௔௧௛௖¯௖௧À௡௛௛௞À௡௕௖௡
0௔௧௛௖¯௖௧À௡௛௛௛௕௖௡
(1)
Vecto ܯܣ
ത
ത
ത
ത
ത
ni đim M (-1,j0) vi 1 đim A chy trên đng cong ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ, có liên h vi h
kín và h h qua biu thc trên. Nu đc tính ܹ

௛
ሺ݆߱ሻ không bo đim M(-1,j0) tc là

Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

7 |
P a g e

ο
ିஶஸఠஸஶ
ܯܣ ൌ Ͳ
Khi h h n đnh, phng trình D(p) =0 có nghim  bên trái trc o.
ο
ିஶஸఠஸஶ
ܦ
ሺ
݆߱
ሻ
ൌ෍ο
ିஶஸఠஸஶ

ሺ
݆߱െ݌
௜
ሻ
௡
௜ୀଵ
ൌ൅݊ߨ
H thng kín mun n đnh, phng trình A(p) = 0 có n nghim  bên trái trc o nên:
ο

ିஶஸఠஸஶ
ܣ
ሺ
݆߱
ሻ
ൌ ൅ ݊ߨ
Tính góc quay ca MA theo công thc (1)

ο
ିஶஸఠஸஶ
ܯܣ ൌο
ିஶஸఠஸஶ
ܣ
ሺ
݆߱
ሻ
െο
ିஶஸఠஸஶ
ܦ
ሺ
݆߱
ሻ
= nߨ െ݊ߨ =0
ൌ൐ ሺ݄ܶܽ݉݊¯݅ݑ݇݅݊ሻ

Vy khi h h n đnh, h kín mun n đnh đc tính ca ܹ
௛
ሺ
݆߱
ሻ

phi không bao đim có
ta đ (-1,j0)
 Khi h h không n đnh:
Trong phng trình đc tính D(p) = 0 có m nghim bên phi trc o và (n ʹ m) nghim  bên
trái trc o. Ta có:
ο
ିஶஸఠஸஶ
ܦ
ሺ
݆߱
ሻ
ൌ
ሺ
݊െʹ݉
ሻ
ߨ
H kín mun n đnh thì: 
ο
ିஶஸఠஸஶ
ܣ
ሺ
݆߱
ሻ
ൌ ൅ ݊ߨ
Do đó : ο
ିஶஸఠஸஶ
ܯܣ ൌ ݊ߨ െ
ሺ
݊ െʹ݉
ሻ

ߨ ൌ ݉ʹߨ
Vì đc tính ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ đi xng qua trc hoành đi vi nhánh có ߱= 0 -> λ và nhánh có
߱= -λ -> 0 cho nên
ο
଴ஸఠஸஶ
ܯܣ ൌ
ଵ
ଶ
݉ʹߨ ൌ
௠
ଶ
vòng tròn
Điu này chng t đc tính ܹ
௛
ሺ
݆߱
ሻ
bao đim M (-1,j0) m/2 vòng kín khi ߱= 0 -> λ


Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

8 |
P a g e


Nhn xét:
Trc khi dùng tiêu chun Nyquist cn phi xét xem h h có n đnh hay không ( có th s

dng các tiu chun đi s đ xét đ n đnh)
Đc tính tn s ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ thng là đng cong không khép kín vì ch chy t 0 đn cho nên
nhn dng vic bao ca nó đi vi mt đim trong trng hp phc tp là rt khó khăn. Đ d
dàng ta chuyn sang mt cách biu din khác. Hình  di đây là trng hp h n đnh nu h
h n đnh

Ta thy đc tính tn ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ không bao đim M(-1,j0) nu giao đim ca ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ vi trc
thc trong khong (െλ ,-1) không có hoc là s giao đim chuyn đi dng ܥ
ା
( tc là đi
t âm sang dng ) bng s giao đim chuyn đi âm ܥ
ି
(tc là đi t chiu dng sang âm theo
chiu tăng ca tn s ). Hay điu kin không bao ca ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ vi M (-1, j0):
ܥ
ା
ൌ ܥ
ି

Nu không tha mãn điu kin trên thì đc tính tn s ܹ
௛
ሺ݆߱ሻ bao đim M (-1, j0) có ܥ

ା

=3.͙ ; ܥ
ି
= 1. Nh hình v sau đây:


Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

9 |
P a g e


Tiêu chun Nyquist ʹ Theo đc tính tn s Logarit
Theo đc tính tn s Logarit ta có: L(߱) = 20 lgA(߱)
Vì L(߱) = 20 lgA(߱) nu A(߱)
1 thì L(߱) 0. Ti sao các giao dim chuyn đi thì
argܹ
௛
ሺ݆߱ሻ = െߨ . Da vào kt qu ca tiêu chun Nyquist theo đc tính tn s biên ʹ pha, ta
cn xét phm vi A (߱)  trong khong (െλ ,-1), khi h h n đnh nu
ܥ
ା
ൌ ܥ
ି
thì h kín n đnh
Qua hình di đây, đi chiu đc tính tn s biên pha vi đc tính tn s Logarit  trng
thái n đnh và không n đnh ca h thng

Trên đc tính tn logarit, các đim chuyn đi là giao đim ca ߮ሺ߱ሻ vi đng thng െߨ

(kí hiu là ܥ
ା
)
Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

10 |
P a g e

Quy c: đim chuyn đi dng (kí hiu là ܥ
ା
) là giao đim ca đc tính ߮ ,vi đng thng
െߨ , khi ߱ tăng thì ߮ሺ߱ሻ ct t trên xung di đng thng െߨ còn đim chuyn đi
âm (kí hiu là ܥ
ି
) là giao đim ca ߮ሺ߱ሻ vi đng thng െߨ khi ߱ tăng thì ߮ሺ߱ሻ ct t
di lên trên đng thng
Phát biu: điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh khi h thng h n đnh là s giao đim
chuyn đi âm bng s giao đim chuyn đi âm ca đc tính ߮ vi đng thng െߨ trong
phm vi tn s െߨ đ L(߱) >0


III: Minh hӑa, mô phӓng:
Ta xét VD sau :

VD 1 :
G(s) =
 st1s
k

(k = 10, t = 1)

Nhn xét
: hàm truyn vòng h có 1 cc nm bên phi mt phng phc và 1 cc nm ti gc ta đ. Biu
đ Nyquist không bao đim A (-1+j0).
Đim ʹ1 ký hiu () nm trên trc thc âm (Real Axis) , đim 0 nm trên trc o (Imaginary Axis).
Kt lun
: h không n đnh.
Re al A x is
Im a gin ary A x is
Ny q u i st Dia gra m s
0 2 4 6 8 10
-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000

Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

11 |
P a g e

GH(s) =
  1st1st

k
21

(k =10, t
1
= 1, t
2
= 2)
 VD2: GH(s) =
  1st1st
k
21

(k =10, t
1
= 1, t
2
= 2)

Nhn xét
: hàm truyn vòng h có 2 cc nm bên trái mt phng phc. Biu đ Nyquist không bao đim
A (-1+j0).
Đim ʹ1 ký hiu () nm trên trc thc âm (Real Axis) , đim 0 nm trên trc o (Imaginary
Axis).
Kt lun
: h thng n đnh

IV: KӃt luұn:
Thông qua tiêu chuҭn әn đӏnh Nyquist ta có thӇ khҧo sát đưӧc sư әn đӏnh cӫa mӝt hӋ thӕng, dӵa
trên đưӡng cong Bromwich.

Mӝt hӋ thӕng:
- Đưӧc gӑi là әn đӏnh khi đưӡng đһc tính tҫn sӕ - pha cӫa hӋ hӣ không bao quanh điӇm M
(-1,j0)
Re al A x is
Im a gi n a r y A x is
Ny qu ist Dia gr a m s
0 2 4 6 8 10
-6
-4
-2
0
2
4
6

Bài tp ln C s điu khin t đng-Nhóm 3-D08KTDT2

12 |
P a g e

- Đưӧc gӑi là không әn đӏnh khi đưӡng đһc tính tҫn sӕ - pha cӫa hӋ bao quanh điӇm M (-
1,j0)
- Đưӧc gӑi là nҵm trên biên giӟi әn đӏnh khi đưӡng đһc tính tҫn sӕ - pha cӫa hӋ đi qua
điӇm M (-1,j0)
Tiêu chuҭn Nyquist đưӧc xác đӏnh có 2 dҥng:
+ Tiêu chuҭn әn đӏnh theo đһc tính tҫn sӕ biên pha:
Điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh͟
- Khi h n đnh (hoc  gii hn n đnh) là đc tính tn s biên ʹ pha ca h h
ܹ
௛

ሺ
݆߱
ሻ
không bao đim (-1,j0).
- Khi h thng n đnh là đc tính tn s biên ʹ pha ca h thng h bao đim (-1,j0) m/2
vòng kín nu ߱ bin đi t 0 đn λ (trong đó m là s nghim ca phng trình đc tính
ca h h có phn thc dng) ͞
+ Tiêu chuҭn әn đӏnh theo Lo garit:
- Điu kin cn và đ đ h thng kín n đnh khi h thng h n đnh là s giao đim
chuyn đi âm bng s giao đim chuyn đi âm ca đc tính ߮ vi đng thng െߨ
trong phm vi tn s െߨ đ L(߱) >0