Bài thuyết trình-Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng

Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI
Ngày 18 tháng 12 năm 2014
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Cấu trúc của bài thuyết trình
Điểm bất động
Ánh xạ co
Nguyên lý ánh xạ co Banach
Ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Cấu trúc của bài thuyết trình
Điểm bất động
Ánh xạ co
Nguyên lý ánh xạ co Banach
Ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Cấu trúc của bài thuyết trình
Điểm bất động
Ánh xạ co
Nguyên lý ánh xạ co Banach
Ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Cấu trúc của bài thuyết trình
Điểm bất động
Ánh xạ co
Nguyên lý ánh xạ co Banach
Ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Cấu trúc của bài thuyết trình
Điểm bất động
Ánh xạ co

Nguyên lý ánh xạ co Banach
Ứng dụng
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Định nghĩa 1 :
Điểm x ∈ X được gọi là một điểm bất động của ánh
xạ f từ không gian metric X vào chính nó nếu
f (x) = x.
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Định nghĩa 2 :
Ánh xạ f từ không gian metric (X,ρ) vào chính nó
gọi là một ánh xạ co nếu có số k , 0  k < 1 sao cho
ρ(f (x), f (y))  kρ(x, y) với mọi x, y ∈ X
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Nguyên lý ánh xạ co Banach
Một ánh xạ co từ không gian metric đầy X vào
nó bao giờ cũng có một điểm bất động duy nhất.
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Chứng minh:
Giả sử (X , ρ) là một không gian đầy và f : X −→ X là một ánh xạ thoả mãn:
ρ(f (x), f (y )) ≤ kρ(x, y), ∀x, y ∈ X
với hằng số k nào đó , 0  k < 1.
Lấy điểm x
0
∈ X bất kì. Ta xây dựng dãy {x
0
} xác định bởi.
x
n
= f (x
n−1

), n  1.
Do f là ánh xạ co , từ định nghĩa ta suy ra được :
ρ(x
n
, x
n+1
) = ρ(f (x
n−1
), f (x
n
))  kρ(x
n−1
, x
n
), ∀n ≥ 1
Sử dụng liên tiếp ta nhận được :
ρ(x
n
, x
n+1
)  kρ(x
n−1
, x
n
)  k
2
ρ(x
n−2
, x
n−1

)   k
n
ρ(x
0
, x
1
), ∀n ≥ 1
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
=> với mọi n, p ≥ 1 ta có:
ρ(x
n
, x
n+p
) ≤ ρ(x
n
, x
n+1
) + ρ(x
n+1
, x
n+2
) + + ρ(x
n+p−1
, x
n+p
) ≤
≤ (k
n
+ k
n+1

+ + k
n+p−1
)ρ(x
0
, x
1
)
= k
n
.
1−k
p
1−k
ρ(x
0
, x
1
) ≤ k
n
.
ρ(x
0
,x
1
)
1−k
→ 0(n → ∞)
=> x
n
là một dãy Cauchy trong X. Mặt khác X lại là không gian đầy nên x

n
→ x ∈ X.
Lấy giới hạn hai vế của dãy trên khi cho n → ∞. Do f liên tục nên ta nhận được :
x = f (x)
Do đó x là một điểm bất động của f.
Điểm bất động là duy nhất. Thật vậy, giả sử có 1 điểm bất động khác y = x. Ta có :
0 < ρ(x, y) = ρ(f (x), f (y )) ≤ kρ(x, y) => vô lý. => Đpcm.
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân
Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân
Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng

Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân
Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân
Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân

Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Một số ứng dụng của Nguyên lý ánh xạ co Banach
Trong giải tích, nguyên lý này có rất nhiều ứng dụng , nó cung
cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự tồn tại
và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau
như :
Phương trình đại số
Phương trình vi phân
Đạo hàm riêng, tích phân
Tích phân
. . .
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Chứng minh sự tồn tại và duy nhất của phương trình vi
phân thường.
Bài toán : Cho f là hàm số xác định và liên tục trong một tập mở
G ⊂ R
2
nào đó chứa điểm (x
0
, y
0
) và thoả mãn điều kiện Lipschitz theo
y, tức là tồn tại số thực dương M sao cho :
| f (x, y
1
) −f (x, y
2
)|  M|y

1
− y
2
|,(x, y
1
), (x, y
2
) ∈ G
Xét phương trình vi phân
dy
dx
= f (x, y ) (I)
với điều kiện y(x
0
) = y
0
(II)
Chứng minh trên doạn x − x
0
  d nào đó , tồn tại một và chỉ một
nghiệm y = ϕ(x) của phương trình (I) thoả mãn điều kiện (II) . (Định lý
Picard).
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Chứng minh
Hệ phương trình gồm phương trình (I)và (II) tương đương với phương
trình tích phân sau : ϕ(x) = y
0
+
x


x
0
f (t, ϕ(t))dt (III)
Do tính liên tục của hàm số f ,tồn tại số dương K và tập mở G

chứa
điểm(x
0
, y
0
) sao cho G

⊂ G và |f (x, y) ≤ K | với mọi (x, y) ∈ G

. Chọn
d>0 sao cho thoả mãn đồng thời :
1) (x, y) ∈ G

nếu |x − x
0
| ≤ d, |y − y
0
| ≤ Kd
2) Md < 1
Gọi C
∗
là không gian xác định trên đoạn |x − x
o
| ≤ sao cho
|ϕ(x) −y

0
)| ≤ Kd,với metric:
(ϕ
1
, ϕ
2
) = sup
|x−x
0
|≤d
|ϕ
1
− ϕ
2
|
Không gian C
∗
là đầy vì nó là không gian con đóng của không gian đầy
C [x
0
− d, x
0
+ d]
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Xét ánh xạ A : C
∗
→ C[x
0
− d, x
0

+ d] xác định bởi công thức
A(ϕ)(x) = y
0
+
x

x
0
f (t, ϕ(t))dt
trong đó |x − x
0
| ≤ d . Ta có A(C
∗
) ⊂ C
∗
. Thật vậy, giả sử
ϕ ∈ C
∗
, |x − x
0
| ≤ d, ta có
A(ϕ)(x) −y
0
=
x

x
0
f (t, ϕ(t))dt ≤ Kd
do đó , A(ϕ

1
) ∈ C
∗
. Ta có thể coi A là ánh xạ từ C
∗
vào chính nó . Mặt
khác ,
A(ϕ
1
)(x) − A(ϕ
2
)(x) =
x

x
0
|f (t, ϕ
1
(t)) − f (t, ϕ
2
(t))dt ≤ Md sup
|x−x
0
|≤d
ϕ
1
(x) − ϕ
2
(x)
Vì Md < 1 nên A là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co Banach, ánh

xạ A có điểm bất động duy nhất hay phương trình (III) có một và chỉ
một nghiệm trong không gian C
∗
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân
Fredholm.
Xét phương trình tích phân Fredholm:
ϕ(x) = f (x) + λ

b
a
ψ(x, s)ϕ(s)d(s)
Trong đó f là hàm liên tục trên [a , b] , ψ liên tục trên [a, b]x[a, b].
Nếu |λ| <
1
M(b−1)
, trong đó M = max{|ψ(x, s)| : (x, s) ∈ [a, b]x[a, b]
thì phương trình trên có nghiệm duy nhất.
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân
Fredholm.
Chứng minh Xét ánh xạ : T : C
[a,b]
−→ C
[a,b]
cho bởi công thức :
ϕ(x) = f (x) + λ

b
a

ψ(x, s)ϕ(s)d(s)
là ánh xạ co vì :
ρ(T ϕ, T η) ≤ θρ(ϕ, η), ∀ϕ, η ∈ C
[a,b]
trong đó θ = |λ|M(b − a) .
Áp dụng nguyên lý điểm bất động , tồn tại duy nhât ϕ , sao cho :
T ϕ = ϕ
Tức là
ϕ(x) = f (x) + λ

b
a
ψ(x, s)ϕ(s)d(s)
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Ứng dụng trong toán phổ thông
Trong các bài toán về dãy, các bạn phổ thông thường gặp dạng cho dãy
x
n+1
= f (x
n
), chứng minh x
n
hội tụ. Cách giải ở phổ thông thương là xét
dãy tăng hay giảm và bị chận, hay xét riêng dãy chẵn và lẻ. Nếu áp dụng
định lý Banach ta có một cách rất hệ thống và hiệu quả để giải những
bài như vậy.
Ví dụ 1: Cho x
n+1
= cos(x
n

) với n = 1, 2, 3, . . . Chứng minh x
n
hội tụ.
Giải: Nhận xét −1 <= x
n
<= 1 với n = 2, 3, Do đó 0 <= x
n
<= 1 với
n = 3,
Dãy trên có dạng x
n+1
= f (x
n
), f : [0, 1]− > [0, 1], f (x) = cosx
Trên [0,1] ta có f

(x) = −sin x, do đó |f

(x)| = |sin x| ≤ 1 (nếu
|f

(x)| ≤ a < 1 thì f là ánh xạ co). Vậy áp dụng định lý ánh xạ co ta có
x
n
hội tụ tới x
0
thỏa x
0
= f (x
0

) = cos(x).
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Ứng dụng trong toán phổ thông
Ví dụ 2 : Cho x
n+1
= 2
√
x
n
− 1 với x
1
= 3. Chứng minh rằng dãy {x
n
}
hội tụ.
Hướng dẫn: Nhận xét x
n
≥ 2, ∀n ≥ 1
f : [2, 3] → [2, 3]
x → 2
√
x − 1 Ta có : |f

(x)| ≤ a < 1 =⇒ f là ánh xạ co. Áp dụng
nguyên nguyên lý ánh xạ co ta có x
n
hội tụ đến x
0
. và khi đó f (x) = x
giải ra, ta được x = 2 do đó, ta có thể chỉ ra dãy x

n
trên hội tụ tới điểm
x = 2
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng
Bài toán Cho f là ánh xạ từ không gian metric compact X vào chính nó
thoả mãn điều kiện :
ρ(f (x), f (y)) < ρ(x, y ) ∀ x, y ∈ X .
thì f có điểm bất động là duy nhất. Khi đó, giả thiết Compact là không
thể bỏ được.
KHỔNG VĂN HẢI Nguyên lý ánh xạ co Banach và ứng dụng