Các phương pháp tính tích phân của các hàm số căn thức docx

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM
SỐ CĂN THỨC
Nguyễn Văn Trung
Tổ trưởng tổ toán trường THPT Phong Điền
Trong những năm gần đây trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng và THCN chúng ta thường thấy có một bài toán tính phân mà phần lớn
là tính tích phân của các hàm số căn thức, để giúp các em học sinh lớp 12 ôn
tập tốt các bài toán tích phân của các hàm số căn thức một cách hệ thống,
bản thân đã mạnh dạn viết một cách hệ thống các phương pháp tính tích
phân của các hàm số căn thức, một phần nào đó nhằm giúp các em học sinh
đạt kết quả tốt trong kỳ thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN năm học
2008 - 2009.
Dạng 1:
∫
++ cbxax
dx
2
Ví dụ : 1.Tính tích phân
∫
−
++
=
0
1
2
4xx
dx
I

Đặt

4
2
+++= xxxt

∫
+
=⇒
2
1
12
2
t
dt
I
Tổng quát : Tính tích phân
0;
2
>
++
=
∫
a
cbxax
dx
I
Đặt
cbxaxxat +++=
2
2.Tính tích phân
∫∫

−−
=
++−
=
2
1
2
2
1
2
)1(34163 x
dx
xx
dx
I
Đặt






−∈=−
2
;
2
,sin2)1(3
ππ
ttx
Tổng quát : Tính tích phân

222
2
0;
numcbxax
a
cbxax
dx
I
−=++
<
++
=
∫
Đặt






−∈=
2
;
2
;sin.
ππ
ttmun
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
1

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
Dạng 2:
∫
++
+
cbxax
dxnmx
2
)(
Ví dụ : Tính tích phân
∫
+−
+
=
1
0
2
1
)34(
xx
dxx
I
(x
2
– x + 1)’ = 2x – 1
4x + 3 = 2(2x – 1) + 5

∫∫
+−
+

+−
−
=⇒
1
0
2
1
0
2
1
5
1
)12(
2
xx
dx
xx
dxx
I
Tổng quát : Tính tích phân
∫
++
+
=
cbxax
dxnmx
I
2
)(
TS = A(2ax + b) + B

∫∫
++
+
++
+
=⇒
cbxax
dx
B
cbxax
dxbax
AI
22
)2(
Dạng 3:
∫
++
3
))(( dcxbax
dx
Ví dụ : Tính tích phân

∫
∫
+
+
+
=
++

=
3
0
2
3
0
3
1
32
)1(
)1)(32(
x
x
x
dx
xx
dx
I
Đặt :
1
32
+
+
=
x
x
t
Tổng quát : Tính tích phân
( ) ( )
∫

−
++
n
knk
dcxbax
dx
2

k
n
dcx
bax
dcxMS )()(
2
+
+
+=
Đặt :
n
dcx
bax
t
+
+
=
Dạng 4:
dx
dcx
bax
∫

+
+
Ví dụ : Tính tích phân
∫
+
−
=
1
0
1
3
x
x
I
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
2
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
Đặt :
dttdx
x
x
xt
2
42
1
3
1 −=
+
−
⇒+=

Tổng quát : Tính tích phân
dx
dcx
bax
∫
+
+
Đặt :
dcxt
dcx
bax
t +=
+
+
= ;
Dạng 5:
dx
axx
dx
∫
+
2
Ví dụ : Tính các tích phân :
∫∫
−
=
−
=
6
2

22
6
2
2
33 xx
xdx
xx
dx
I
J =
∫
+
32
5
2
4xx
dx
(ĐT TSĐH KA 2003)
Giải :
Đặt :

tdtxdx
xdxtdt
txxt
xt
=⇒
=⇒
+=⇒−=⇒
−=
22

33
3
2222
2
Do đó :
∫∫
+
=
+
=
3
1
2
3
1
2
3)3( t
dt
tt
tdt
I

Tổng quát :
dxaxx
axx
dx
∫∫
+
+
2

2
;
Đặt :
axt +=
2
Dạng 6 :
dx
cbax
xP
∫
++
)(
Ví dụ : Tính các tích phân sau :

dx
x
x
I
∫
−+
=
2
1
11
(ĐTĐH KA 2004)

dx
x
x
J

∫
++
−
=
1
0
132
34

Tổng quát :
dx
cbax
xP
∫
++
)(
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
3
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
Đặt
cbaxt ++=
Ta được :
0≥−=+ ctbax

dtct
a
dx
bcctt
a
x

ccttbax
)22(
1
)2(
1
;2
22
22
−=
−+−=
+−=+
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+
=
3
0
2
16x
dx
I
2)
∫
+
=
4
0
2

9x
dx
J

Bài 2 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+−
=
1
0
2
1xx
dx
I
2)
∫
+−−
=
1
0
2
32xx
dx
J
Bài 3 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+−
−

=
3
2
2
54
)63(
xx
dxx
I
2)
∫
−
−−
−
=
0
1
2
1
)82(
xx
dxx
J
Bài 4 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
−
++
=
0

2
3
42
)1()12( xx
dx
I
2)
∫
++
=
2
0
3
)1)(14( xx
dx
J
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+
=
8
3
1
3
x
xdx
I
2)
∫

+
=
4
0
1x
dx
J
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
4
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
3)
dx
xx
x
K
∫
+
+
=
4
1
1
4)
∫
+
=
2
1
12xx
dx

L
Bài 5 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
+
=
2
1
2
1 xx
dx
I
2)
dx
x
x
J
∫
+
=
3
1
2
2
1
3)
dxxxK
2
1
0

2
1−=
∫
4)
∫
−
=
22
2
2
2xx
dx
L
Bài 6 : Tính các tích phân sau :
1)
∫
++
=
7
2
12 x
dx
I
2)
∫
+
=
1
0
12x

xdx
J
3)
∫
+++
=
6
2
1412 xx
dx
K
4)
∫
−−
=
10
5
12 xx
dx
L

Trên đây là một số dạng toán về các tích phân của các hàm số căn thức
thường gặp trong kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng và THCN môn toán,
người viết đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy, một số dạng toán
này người viết đã đem ra giảng dạy ở các lớp 12 trường THPT Phong Điền
trong những năm gần đây, một phần nào đó đã giúp cho các em học sinh ôn
tập về tích phân của các hàm số căn thức một cách có hệ thống và đạt kết
quả cao trong kì thi Đại học, Cao đẳng và THCN.
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
5

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
LỜI CẢM ƠN
Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong
Điền đã quan tâm giúp đỡ, về mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn các ý
kiến đóng góp hết sức thiết thực của quí thầy cô giáo trong tổ toán, để bài
viết được hoàn thành.

Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2009
Người viết sáng kiến kinh nghiệm
NGUYỄN VĂN TRUNG



NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
6
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm n¨m häc 2008 - 2009
NguyÔn V¨n Trung gi¸o viªn trêng THPT Phong §IÒn
7