Các bài toán cơ bản về tiếp tuyên

Bài 8. Tiếp tuyến
71

BÀI 8. TIẾP TUYẾN
§8.1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN
A. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG PHẲNG
Cho đồ thị (C):
y

=

f
(
x
). Gọi M
0
, M là 2 điểm phân
biệt và cùng thuộc đồ thị (C). Khi đó nếu cố định
điểm M
0
và cho điểm M chuyển động trên (C) đều
gần điểm M
0
thì vị trí giới hạn của cát tuyến
(M
0
M) là tiếp tuyến (M
0
T) tại điểm M
0
.

(
)
0
0 0
M M
lim M M (M T)
→
= TiÕp tuyÕn

B. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ TIẾP TUYẾN
I. BÀI TOÁN 1:
Viết PTTT tại 1 điểm thuộc đồ thị

1. Bài toán:

Cho đồ thị (C):
y

=

f
(
x
) và điểm
0 0 0
M ( , )
x y
∈
(C). Viết PTTT của
(C) tại điểm

0 0 0
M ( , )
x y

2. Phương pháp:

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm suy ra
phương trình tiếp tuyến tại
0 0 0
M ( , )
x y
của (C) là:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0
y y f x x x y f x x x f x
′ ′
− = − ⇔ = − +

II. BÀI TOÁN 2:
Viết PTTT theo hệ số góc cho trước

1. Bài toán:

Cho (C):
y

=

f
(
x
) và số
k
∈
»
. Viết PTTT của (C) có hệ số góc
k
.
2. Phương pháp:
2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến có hệ
số góc
k
tiếp xúc với
(C):
y

=

f

(
x
) tại điểm có hoành độ
x
i

⇒

(
)
i
f x k
′
=

⇒

i
x
là nghiệm của
(
)
f x k
′
=


Giải phương trình
(
)

f x k
′
=

⇒
nghiệm
x
∈
{
x
0
,
x
1
,…
x
i
,…
x
n
}
PTTT tại
x

=

x
i
là:
(

)
(
)
i i
y k x x f x
= − +

0
M
M
1
M
M
2
T
T
0
M
0
f(x )
0
x
O
x
y
(C): y=f(x)
x
x
0
1

x
i
x
n
x


www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
72

2.2.
Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng trong khi thi)
Xét đường thẳng với hệ số góc
k
có phương trình
y

=

kx

+

m
(ẩn
m
) tiếp xúc
(C):
y

=

f
(
x
)
⇔
phương trình
(
)
kx m f x
+ =
có nghiệm bội (nghiệm kép)
⇔
…
⇔
nói chung:
(
)
(
)
2
0
ux v m x w m
+ + =
có nghiệm kép
⇔

(

)
(
)
(
)
2
4 . 0
g m v m u w m
∆ = = − =
.
Giải phương trình
(
)
0
g m
=

⇒
các giá trị của
m

⇒
PTTT.
c) Chú ý:
Vì điều kiện
(
)
(
)
1

:
C y f x
=
và
(
)
(
)
2
:
C y g x
=
tiếp xúc nhau là hệ điều
kiện
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x

=


′ ′
=


có nghiệm chứ không phải là điều kiện
( ) ( )
f x g x
=

có
nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số

f
(
x
) mà phương trình tương giao
(
)
kx m f x
+ =
có thể biến đổi tương đương
với 1 phương trình bậc 2.
3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc k
a
) Dạng trực tiếp:
1 1
1, 2, , , 2, 3,
2 3
k = ± ± ± ± ± ±

b)
Tiếp tuyến tạo với chiều dương O
x
góc
α

⇒

k

=
tg
α
với
{
}
15 ,30 , 45 ,60 ,75 ,105 ,120 ,135 ,150 ,165
α = ° ° ° ° ° ° ° ° ° °
(*)
c)
Tiếp tuyến

với đường thẳng
( ) :
y ax b
∆ = +

⇒

k

=

a

d)
Tiếp tuyến
⊥
với đường thẳng

( ) :
y ax b
∆ = +

⇒

1
k
a
−
=
với
a

≠
0
e
) Tiếp tuyến tạo với
( ) :
y ax b
∆ = +
góc
α

⇒

tg
1
k a
ka

−
= α
+
với
(*)
α ∈

III. BÀI TOÁN 3:

Viết PTTT đi qua 1 điểm cho trước
1. Bài toán:

Cho đồ thị (C):
y

=

f
(
x
) và điểm A(
a
,
b
) cho trước.
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(
a
,
b
) đến đồ thị

(
)
(
)
:
C y f x
=

2. Phương pháp:
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến
73

2.1. Phương pháp tìm tiếp điểm:
•
Cách 1:
Giả sử tiếp tuyến đi qua A(
a
,
b
)
tiếp xúc (C):
y

=

f
(
x
) tại tiếp điểm có

hoành độ
x
i
suy ra PTTT có dạng:
(
)
(
)
(
)
(
)
:
i i i
t y f x x x f x
′
= − +

Do
(
)
(
)
,
A a b t
∈
nên
(
)
(

)
(
)
i i i
b f x a x f x
′
= − +

⇒

i
x x
=
là nghiệm của
phương trình
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
b f x a x f x f x x a b f x
′ ′

= − + ⇔ − + − =
(*)
Giải phương trình (*)
⇒
nghiệm
x
∈
{
x
0
,
x
1
,…
x
i
,…
x
n
}.
Phương trình tiếp tuyến tại
x

=

x
i
là:
(
)

(
)
i i
y k x x f x
= − +

•
Cách 2:
Đường thẳng đi qua A(
a
,
b
) với hệ số góc
k
có PT
(
)
y k x a b
= − +

tiếp xúc với đồ thị (C):
y

=

f
(
x
)
⇔

Hệ phương trình
( ) ( )
( )
f x k x a b
f x k

= − +


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)
f x f x x a b
′
= − +

⇔

(
)

(
)
(
)
0
f x x a b f x
′
− + − =
(*)
Giải phương trình (*)
⇒
nghiệm
x
∈
{
x
0
,
x
1
,…
x
i
,…
x
n
}
Phương trình tiếp tuyến tại
x

=

x
i
là:
(
)
(
)
(
)
i i i
y f x x x f x
′
= − +

2.2. Phương pháp điều kiện nghiệm kép (chưa được dùng khi đi thi)
•
Cách 3:
Đường thẳng đi qua A(
a
,
b
) với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
y k x a b
= − +

tiếp xúc (C):
y

=

f
(
x
)
⇔
phương trình
(
)
(
)
k x a b f x
− + =
có
nghiệm bội (nghiệm kép)
⇔
…
⇔
nói chung:
(
)
(
)
(
)
2

0
u k x v k x w k
+ + =
có
nghiệm kép
⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 và 4 . 0
u k g k v k u k w k
≠ ∆ = = − =

⇔

(
)
( )
2
0
. . 0

u k
g k k k

≠


= α + β + γ =


(**) Hệ sinh ra hệ số góc
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra các giá trị của k hoặc số lượng của k.
Từ đó suy ra PTTT hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(
a
,
b
).
A(a,b)
(C): y=f(x)
(C): y=f(x)
A(a,b)
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
74

§8.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HỌA VỀ TIẾP TUYẾN
I. DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI 1 ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ
Bài 1.

Cho hàm số
(

)
(
)
3
( ) : 1 1
m
C y f x x m x
= = + − +
. Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị (C
m
) tại giao điểm của (C
m
) với O
y
. Tìm
m
để tiếp
tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8.
Giải:
(
)
2
3
y x x m
′
= −
. Gọi
(
)

O
m
C y A
≡
∩

⇒

0
A
x
=
;
(
)
1 ; 0
A
y m y m
′
= − = −

Tiếp tuyến của (C
m
) tại A là:
(
)
(
)
(
)

(
)
: 0 0 0 1
t y y x y mx m
′
= − + = − + −
.
Xét tương giao:
( )
( )
( )
(
)
1
O 0,1 ; O , 0
m
t y A m t x B
m
−
≡ − ≡∩ ∩

2
1 1
. 8 1 16
2 2
OAB A B
S OA OB y x m m
∆
⇒ = = = ⇔ − =

2 2
2 2
2 1 16 18 1 0 9 4 5
2 1 16 14 1 0
7 4 3
m m m m m m
m m m m m
m

 
− + = − + = = ±
  
⇔ ⇔ ⇔
  
  
− + = − + + =
= − ±
 


Bài 2.

Cho
(
)
(
)
3 2
: 3 1
m

C y f x x x mx
= = + + +
.
a.
Tìm
m
để (C
m
) cắt đường thẳng
y

=
1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E.
b.
Tìm
m
để các tiếp tuyến với (C
m
) tại D và E vuông góc với nhau.
Giải:


Đạo hàm:

(
)
2
3 6
y x x x m
′

= + +

a.

(
)
(
)
1
m
C y
=
∩
:
( )
(
)
( )
3 2 2
2
0 C 0,1
3 1 1 3 0
3 0
x
x x mx x x x m
g x x x m

= ⇒
+ + + = ⇔ + + = ⇔


= + + =


§iÓm

Yêu cầu bài toán
⇔

x
D
,
x
E
là 2 nghiệm phân biệt khác 0 của
g
(
x
)
=
0
⇔

( )
9
9 4 0
9
0
4
4
0 0

0
m
m
m
g m
m
∆ = − >


<
 
⇔ ⇔ ≠ <
 
= ≠
≠
 


(*)
⇒

D E D E
; 3
x x m x x
+ = = −

b.
Với điều kiện
9
0

4
m
≠ <
thì các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau
⇔

( ) ( )
(
)
(
)
2 2
D E D D E E
1 3 6 3 6
y x y x x x m x x m
′ ′
− = = + + + +


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
D D E E D E
3 3 2 3 3 2 3 2 3 2
g x x m g x x m x m x m
   
= − + − + = + +
   


(
)
( )
2 2 2
D E D E
9 6 4 9 6 . 3 4 4 9
x x m x x m m m m m m
= + + + = + − + = −

⇔

2
9 65
4 9 1 0
8
m m m
±
− + = ⇔ =
(thoả mãn điều kiện (*) )
www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến

75

Bài 3.

Cho hàm số
(
)
3 2
( ) : 3 2
C y f x x x
= = − +


a)
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua
(
)
23
, 2
9
A
−
đến (C)

b)
Tìm trên đường thẳng
y

=

−
2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến
⊥
nhau
Giải:

Đạo hàm:

(
)
2
3 6 3 2
y x x x x
′
= − = −

Đường thẳng đi qua
(
)
23
, 2
9
A
−
với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
23

2
9
y k x
= − −

tiếp xúc với
(
)
(
)
:
C y f x
=

⇔
Hệ
( )
(
)
( )
23
2
9
f x k x
f x k

= − −




′
=

có nghiệm
⇒

( ) ( )
(
)
( )
(
)
3 2
23 23
2 3 2 3 2 2
9 9
f x f x x x x x x x
′
= − − ⇔ − + = − − −

⇔

( )
( )
( )
(
)
( )
( )
2 2

23
2
2 2 3 2 2 3 10 3 0
9 3
x x x x x x x x x
− − − = − − ⇔ − − + =

⇔

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
(
)
1 1
2 2
3 3
23
2 : 2 2 2
9
23
3 : 3 2 9 25

9
23 5 61
1 1
: 2
3 3 9 3 27
x x t y y x y
x x t y y x y x
x x t y y x y x

′
= = ⇒ = − − ⇔ = −


′
= = ⇒ = − − ⇔ = −


−

′
= = ⇒ = − − ⇔ = +


TiÕp tuyÕn
TiÕp tuyÕn
TiÕp tuyÕn

b)
Lấy bất kì M(
m

,
−
2)
∈
đường thẳng
y

=

−
2
Đường thẳng đi qua M(
m
,
−
2) với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
2
y k x m
= − −

tiếp xúc với
(
)
(
)
:

C y f x
=

⇔
Hệ
( ) ( )
( )
2
f x k x m
f x k

= − −


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
3 2
2 3 2 3 2 2
f x f x x m x x x x x m
′
= − − ⇔ − + = − − −

⇔

( )
(
)
( ) ( ) ( ) ( )
[
]
2 2
2 2 3 2 2 2 3 1 2 0
x x x x x x m x x m x
− − − = − − ⇔ − − − + =

⇔

(
)
( )
( )
( ) ( )
1
2
2 : 2 2 2

2 3 1 2 0
x t y y x m y
g x x m x
′

= ⇒ = − − ⇔ = −

= − − + =


TiÕp tuyÕn

Do không thể có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp tuyến
2 // O
y x
= −
nên để từ
M( , 2)
m
−
kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau đến (C) thì
g
(
x
)
=
0 phải có 2
nghiệm phân biệt
x
1

,
x
2
và các tiếp tuyến tại các điểm có hoành độ
x
1
,
x
2
vuông
góc với nhau
⇒

( ) ( )( )
2
5
3 1 16 3 5 3 3 0 1
3
g
m m m m m
∆ = − − = − + > ⇔ > ∨ < −
(*)
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
76

Khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
3 1

; 1 3 2 .3 2 1
2
m
x x x x f x f x x x x x
−
′ ′
+ = = ⇒ = − − = −

⇔

(
)
( )
[
]
1 2 1 2 1 2
9 2 4 1 9 1 3 1 4 1 54 27 1
x x x x x x m m
 
− + + = − ⇔ − − + = − ⇔ − = −
 

55
27
m⇔ =
(thoả mãn (*) ). Vậy
(
)
( )
55

M , 2 2
27
y
− ∈ = −
thoả mãn yêu cầu.
Bài 4.

Cho hàm số
(
)
3
( ) : 12 12
C y f x x x
= = − +

Tìm trên đường thẳng
y

=

−
4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Giải:

Đạo hàm:

2
3 12
y x
′

= −

Lấy bất kì M(
m
,
−
4) trên đường thẳng
y

=

−
4. Đường thẳng đi qua M(
m
,
−
4)
với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
4
y k x m
= − −
tiếp xúc với
(
)
(
)

:
C y f x
=

⇔
Hệ
( ) ( )
( )
4
f x k x m
f x k

= − −


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)
4
f x f x x m

′
= − −

(
)
( ) ( )
(
)
( )( )( )
3 2 2
12 12 3 12 4 2 2 8 3 2 2
x x x x m x x x x x x m
⇔ − + = − − − ⇔ − + − = − + −

( )
(
)
( ) ( )
[
]
2 2
2 2 8 2 3 6 3 6
x x x x x m x m
⇔ − + − = − + − −

( ) ( ) ( )
[
]
2
2 2 3 4 2 3 4 0

x x m x m
⇔ − − − − − =
. Để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) thì
(
)
(
)
(
)
2
2 3 4 2 3 4 0
g x x m x m
= − − − − =
phải có 2 nghiệm phân biệt khác 2
⇔

( ) ( )
( )
( )
2
3 4 16 3 4 0
2 8 4 3 4 0
m m
g m

∆ = − + − >


= − − ≠




⇔

( )( )
( )
4
3 3 4 4 0
4
2
12 2 0
3
m
m m
m
m
< −


− + >


⇔

< ≠

− ≠




Bài 5.

Tìm trên đồ thị
(
)
(
)
3 2
( ) : 0
C y f x ax bx cx d a
= = + + + ≠
các điểm kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
Giải:

Đạo hàm:

(
)
2
3 2
y f x ax bx c
′ ′
= = + +

Lấy bất kì M(
m
,
f

(
m
))
∈
(C):
y

=

f
(
x
). Đường thẳng đi qua M(
m
,
f
(
m
) với hệ
số góc
k
có phương trình:
(
)
(
)
y k x m f m
= − +
tiếp xúc với
(

)
(
)
:
C y f x
=

⇔
Hệ
( ) ( ) ( )
( )
f x k x m f m
f x k

= − +


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)

(
)
f x f x x m f m
′
= − +

(
)
( )
3 2 2 3 2
3 2
ax bx cx d ax bx c x m am bm cm d
⇔ + + + = + + − + + + +

(
)
(
)
( )
(
)
( )
3 3 2 2 2
3 2
a x m b x m c x m ax bx c x m
⇔ − + − + − = + + −

www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến
77

( ) ( ) ( )
[
]
( ) ( )
2
2
2 0 2 0
x m ax am b x m am b x m ax am b
⇔ − − − − − + = ⇔ − + + =

⇔

2
am b
x m x
a
+
= ∨ = −
. Từ điểm M(
m
,
f
(
m
)) kẻ được đúng 1 tiếp tuyến
đến (C)
⇔

3

2 3
am b b
m am b m
a a
+ −
− = ⇔ = − ⇔ =

Vậy
(
)
M ,
3 3
b b
f
a a
 
− −
 
 

∈
(C) là điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bình luận
:

( )
6 2 0
3
b
f x ax b x

a
−
′′
= + = ⇔ =

⇒
Điểm uốn
(
)
,
3 3
b b
U f
a a
 
− −
 
 

Bài 6.

Cho đồ thị (C):
( )
2
2
x mx m
y f x
x m
− +
= =

+
.

1)
Chứng minh rằng: Nếu (C
m
) cắt Ox tại x
0
thì tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm
đó có hệ số góc là
0
0
0
2 2
x m
k
x m
−
=
+


2)
Tìm m để (C
m
) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C
m
) tại 2 điểm

đó vuông góc với nhau.
Giải:
1)
Giả sử
( )
( )
2
2
0 0
0 0
0 0
0
0
2 0
2
O , 0 0
x mx m
x mx m
C x x y
x m
x m

− + =
− +

≡ ⇒ = = ⇔

+
≠ −



∩
(*)
Tiếp tuyến của (C
m
) tại giao điểm của (C
m
) với O
x
có hệ số góc là:
( )
(
)
(
)
(
)
( )
2
0 0 0 0
0
0 0
2
0
0
do (*)
2 2 2
2 2
x m x m x mx m
x m

k y x
x m
x m
− + − − +
−
′
= = =
+
+
(đpcm)
2)
Giả sử (C
m
) cắt O
x
tại 2 điểm phân biệt
⇒

(
)
2
2 0
g x x mx m
= − + =
có 2
nghiệm phân biệt
x
1
,
x

2
thoả mãn:
1 2 1 2 1 2
2 ; ; ,
x x m x x m x x m
+ = = ≠ −
. Tiếp
tuyến tại
x
1
,
x
2
vuông góc nhau
⇔

1 2
1 2
1 2
2 2 2 2
1
x m x m
k k
x m x m
− −
= ⋅ = −
+ +

(
)

(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
4 0
x m x m x m x m
⇔ − − + + + =

⇔

(
)
2
1 2 1 2
5 3 5 0
x x m x x m
− + + =

(
)
(
)
2
5 3 2 5 0 5 0
m m m m m m
⇔ − + = ⇔ − =

⇔

{
}
0;5
m ∈
.
Với
m

=
0 thì
(
)
2
1 2
0 0
g x x x x
= = ⇔ = =
(loại)
Với
m

=
5 thì
( )
2
1,2
10 5 0 5 2 5
g x x x x m

= − + = ⇔ = ± ≠ −
(thoả mãn)
Vậy để (C
m
) cắt O
x
tại 2 điểm phân biệt và tiếp tuyến của (C
m
) tại 2 điểm đó
vuông góc với nhau thì
m

=
5.
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
78

Bài 7.

Cho đồ thị
(
)
2 2
2 2 1
( ) :
m
mx m x m
C y
x m

+ − − −
=
−
. Tìm
m
để hàm số có cực
trị. Chứng minh rằng: Với m tìm được, trên đồ thị hàm số luôn tìm được
2 điểm mà tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau
.
Giải:



Đạo hàm:

1
2y mx
x m
= + −
−

⇒

( )
2
1
y m
x m
′
= +

−

Hàm số có cực trị
⇔

0
y
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

m
< 0

Với
m
< 0, chọn
2
m
k
=
. Xét PT:
(
)
y x k
′
= ⇔

( )

2
1
2
m
m
x m
+ =
−

( )
( )
2
2
1 2 2 2
2
m
x m x m x m
m m m
x m
−
− − −
⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ± ⇔ = ±
−
.
Xét PT:
( )
1
y x
k
−

′
= ⇔

( )
2
1 2
m
m
x m
−
+ =
−

( )
(
)
2
2
2
1
m
m
x m
− +
⇔ =
−

( )
2
2 2

2 2
m m
x m x m
m m
− −
⇔ − = ⇔ − = ±
+ +

2
2
m
x m
m
−
⇔ = ±
+
.
Vậy với
m
< 0 và
2
m
k
=
thì các PT
(
)
y x k
′
=

có nghiệm
x
1
và
( )
1
y x
k
−
′
=
có
nghiệm
x
2
nên
(
)
(
)
1 2
. 1
y x y x
′ ′
= −
, tức là luôn tìm được 2 điểm thuộc đồ thị mà
tiếp tuyến với đồ thị tại 2 điểm đó vuông góc với nhau.
Bài 8.

Cho

2
2
( ) :
1
x x
C y
x
+ +
=
−
. Tìm A
∈
(C) sao cho tiếp tuyến tại A vuông góc
với đường thẳng đi qua A và tâm đối xứng của (C)
Giải:


( )
2
2
4
2
1 1
x x
y f x x
x x
+ +
= = = + +
− −

⇒

TCÐ: 1
TCX : 2
x
y x
=


= +


⇒
TĐX: I(1, 3)


Đạo hàm:

( )
2
4
1
1
y
x
′
= −
−

⇒

( )
( )
2
4
1
1
y a
a
′
= −
−
. Gọi
(
)
4
, 2
1
A a a
a
+ +
−
∈
(C)
⇒
Đường thẳng (AI) có hệ số góc là:
( )
2
4
1

1
A I
A I
y y
k
x x
a
−
= = +
−
−

Do tiếp tuyến tại A vuông góc với đường thẳng (AI) nên
(
)
. 1
y a k
′
= −

⇔

( )
( )
(
)
( )
44 4 4
4
4

4
4 4 4
1 8 1 8,3 2 2 8
16
1 1 1 8
1
1 8 1 8,3 2 2 8
a A
a
a
a A

= − ⇒ − − −

− = − ⇔ − = ⇔

−
= + ⇒ + + +


www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến
79

Bài 9.

Tiếp tuyến của
1
( ) :C y x
x

= +
cắt Ox, Oy tại A(
α
, 0) và B(0,
β
).
Viết phương trình tiếp tuyến khi
αβ

=
8
Giải:

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
x
0
là:
( )
( )( ) ( )
2
0
0 0 0
2 2
0 0
0 0
1
1 2 2
: 1
x
t y y x x x y x y x y x

x x
x x
−
 
′
= − + ⇔ = − + ⇔ = ⋅ +
 
 

( )
( )
0
2
0
2
O ,0 ;
1
x
t x A
x
= α ⇔ α =
−
∩
( )
( )
0
2
O 0,t y B
x
= β ⇔ β =∩

αβ

=
8
⇔

0
2 2
0
0 0
2
2 4
8 8
1 1
x
x
x x
⋅ = ⇔ =
− −

2 2
0 0 0
1 1 1
1
2 2
2
x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = ±

Vậy PTTT là:

2 2
y x= − ±

Bài 10.

Cho đồ thị
( )
2
3 4
:
2 2
x x
C y
x
− +
=
−
và điểm M bất kì
∈
(C). Gọi I là giao
của 2 tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

a)
Chứng minh rằng: M là trung điểm của AB.

b)
Chứng minh rằng: Tích khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là không đổi

c)
Chứng minh rằng:

IAB
S const
∆
=
.

d)
Tìm M để chu vi
∆
IAB nhỏ nhất.
Giải
•
2
3 4
1
1
2 2 2 1
x x x
y
x x
− +
= = − +
− −

(
)
1
TCÐ: 1; TCX : 1 1,
2 2
x

x y I
−
⇒ = = − ⇒

( )
( )
2
1 1
2
1
y x
x
′
= −
−

⇒

( )
( )
2
1 1
2
1
y m
m
′
= −
−

với
(
)
1
M , 1
2 1
m
m
m
− +
−
∈
(C). Tiếp tuyến tại M là (t):
( )( ) ( )
( )
( )
2
1 1 1
1
2 2 1
1
m
y y m x m y m y x m
m
m
 
′
= − + ⇔ = − − + − +
 
−

−
 

( ) ( )
(
)
( )
(
)
(
)
3
2 1
TCÐ: 1 1, ; TCX : 1 2 1,
1 2 2 2
x
t x A t y B m m
m
= ≡ − = − ≡ − −
−
∩ ∩

M
x
B

2
B
A
x

y

O
y
A

I
−
1
H
α

ϕ

1
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
80

a)
Do
M
2
A B
x x
m x
+
= =
và A, M, B thẳng hàng

⇒
M là trung điểm của AB.
b)

1 2
2 2
. 1
5. 1 5
d d m
m
= − ⋅ =
−

c)
BH
⊥
AI
⇒

1 1 1 2 1
. . . 2 2 4 2
2 2 2 1 2
IAB A I B H
S IA BH y y x x m
m
∆
= = − − = − = ⋅ =
−

d)

Gọi góc giữa 2 tiệm cận là
α
, góc giữa tiệm cận xiên với chiều dương O
x
là
ϕ

⇒

α

+

ϕ

=

2
π
. Do TCX:
1
2
x
y
= −
có hệ số góc là
1
2
nên
1

tg
2
ϕ =

2
2
sin sin
1 1
cos 2 4
cos
ϕ ϕ
⇔ = ⇒ =
ϕ
ϕ

2
2 2
sin
1 1 2
sin ; cos
1 4
sin cos
5 5
ϕ
⇔ = ⇒ ϕ = ϕ =
+
ϕ + ϕ

Ta có chu vi
∆

IAB là:
2 2
2 . cos
P IA IB AB IA IB IA IB IA IB
= + + = + + + − α

(
)
2 . 2 . 2 . sin 2 . 2 1 sin
IA IB IA IB IA IB IA IB
≥ + − ϕ = + − ϕ

( )
2 .
2 1 sin
sin
IA BH
= + − ϕ
α
( )
8
2 1 sin
cos
= + − ϕ
ϕ

4
2 20 2 5 1
= ⋅ + −

⇒

4
Min 2 20 2 5 1
P
= ⋅ + −
. Dấu bằng xảy ra
⇔

4
20
. .cos 4
IA IB
IA IB
IA IB
=

⇔ = =

α =


⇔

4
4 4
2 4 4
20 1 1
5 5
1

m m
m
= ⇔ − = ⇔ = ±
−

Bài 11.

Cho đồ thị:
( )
2
3
:
2
x x
C y
x
− +
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C) tạo với đường thẳng
(
)
: 1
y x
∆ = − +
góc 60
°
.
Giải


Do tiếp tuyến của (C) tạo với
(
)
: 1
y x
∆ = − +
góc 60
°
nên hệ số góc
k
của tiếp
tuyến thoả mãn
( )
( )
( )
( )
1 3 1 2 3
1
tg 60 3
1 . 1
1 3 1 2 3
k k k
k
k
k k k
 
+ = − = −
− −
= ° = ⇔ ⇔

 
+ −
 
+ = − = +
 



2
3 5
1
2 2
x x
y x
x x
− +
= = + +
− −

⇒

( )
( )
2
5
1
2
y x
x
′

= −
−

- Xét
2 3
k = +
, khi đó hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:

( )
2
5
1 2 3
2x
− = +
−

⇔

( )
(
)
2
5 1 3
2 0
2
x
−
− = <
(Vô nghiệm)
www.VNMATH.com

Bài 8. Tiếp tuyến
81

- Xét
2 3
k = −

⇒
hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình:
( )
2
5
1 2 3
2x
− = −
−

⇔

( )
(
)
2
5 1 3
2
2
x
+
− =

⇔

(
)
1,2
5 1 3
2
2
x x
+
= = ±

( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
: 2 3 2 3 2 3 1 2 5 3 1
t y x x y x y x
t y x x y x y x
= − − + ⇔ = − + − − −
= − − + ⇔ = − + − + −

Bài 12.

Chứng minh rằng: Từ điểm A(1,
−
1) kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc
nhau đến đồ thị (C):
( )
2
1
1
x x
y f x
x
+ +
= =
+

•
Cách 1:
Đường thẳng đi qua A(1,
−
1) với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
1 1
y k x
= − −
tiếp xúc với (C)
⇔

Hệ
( ) ( )
( )
1 1
f x k x
f x k

= − −


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)
. 1 1
f x f x x
′
= − −

⇔
…

⇔

(
)
2
3 1 0
g x x x
= + + =

1,2
3 5
2
x x
− ±
⇔ = =

( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
( )
( )( )
2 2

1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
2 2 2 2
1 2
1 2 1 2
1 1
2 2
1
1
1 1
1 1 1 1
g x x g x x
x x x x
f x f x
x x
x x x x
− + − +
+ +
′ ′
= ⋅ = ⋅ = = −
+ +
+ + + +
•
Cách 2:
Đường thẳng đi qua A(1,
−
1) với hệ số góc
k
có phương trình

(
)
1 1
y k x
= − −
tiếp xúc với (C)
⇔

( )
2
1
1 1
1
x x
k x
x
+ +
− − =
+
có nghiệm kép
⇔

( )
[
]
( )
(
)
2
1 1 1 1

k x x x x
− − + = + +
hay
(
)
(
)
2
1 2 2 0
k x x k
− − − + =
có nghiệm kép
(
)
2
1 và 1 0
k g k k k
′
⇔ ≠ ∆ = = + − =
. Ta có:
1 4 5 0
g
∆ = + = >
nên
(
)
0
g k
=
có 2

nghiệm phân biệt
k
1
,
k
2
thoả mãn
1 2
1
k k
= −
. Từ đó suy ra từ A(1,
−
1) luôn kẻ
được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau đến đồ thị (C).
Bài 13.

Viết PT tiếp tuyến đi qua A(6, 4) đến (C):
( )
2
2 1
2
x x
y f x
x
− +
= =
−

Giải:

Đường thẳng đi qua A(6, 4) với hệ số góc
k
có phương trình
(
)
6 4
y k x
= − +
tiếp xúc với (C)
⇔
Hệ
( ) ( )
( )
6 4
f x k x
f x k

= − +


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(

)
(
)
. 6 4
f x f x x
′
= − +

⇔

(
)
(
)
( )
( )
2
2
1 3
2 1
6 4
2
2
x x
x x
x
x
x
− −
− +

= ⋅ − +
−
−

www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
82

⇔
…
⇔

2
3 0
x x
− =

⇔

x

=
0
∨

x

=
3. Từ đó suy ra có 2 tiếp tuyến.
( )

( ) ( ) ( )
1
3 3
1
: 0 6 4 6 4
4 4 2
t y f x x y x
′
= − + = − + ⇔ = −
và
(
)
(
)
(
)
(
)
2
: 3 6 4 0 6 4 4
t y f x x y
′
= − + = ⋅ − + ⇔ =

Bài 14.

Cho họ
( )
2
2

( ) :
1
m
x mx m
C y f x
x
+ +
= =
+
và điểm A(0, 1). Tìm
m
để:

1)
Từ A không kẻ được tiếp tuyến nào đến (C
m
)

2)
Từ A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C
m
)

3)
Từ A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C
m
)

4)
Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến (C

m
)

5)
Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến
⊥
với nhau đến (C
m
)

6)
Từ A kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến
⊥
TCX của (C
m
)

7)
Từ A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C
m
)
Giải:
• Đường thẳng đi qua A(0, 1) với hệ số góc
k
có phương trình
1
y kx
= +

tiếp xúc với (C)

⇔
Hệ
( )
( )
1
f x kx
f x k

= +


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
. 1
f x f x x
′
= +

⇔

(

)
( )
2
2
2
2 2
2
1
1
1
x x x
x mx m
x
x
+
+ +
= +
+
+

(
)
( ) ( ) ( )
2
2 2
2 1 2 2 1
x mx m x x x x⇔ + + + = + + +

⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 2 1 1 0
h x m x m x m
= − + − + − =

Với
m

=
3 thì
(
)
4 2
h x x
= +

⇒

h
(
x
)

=
0 có đúng 1 nghiệm
1
2
x
−
=

1)
Qua A(0, 1) không kẻ được tiếp tuyến nào đến (C
m
)
⇔

h
(
x
)
=
0 vô nghiệm

⇔

(
)
3 và 2 1 0
h
m m
′
≠ ∆ = − <

⇔

m
< 1
2)
Qua A(0, 1) kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C
m
)
⇔

h
(
x
)
=
0 có nghiệm

⇔

( )
3
1
3 và 2 1 0
m
m
m m
=

⇔ ≥


′
≠ ∆ = − ≥


3)
Qua A(0, 1) kẻ được đúng 1 TT đến (C
m
)
⇔

h
(
x
)
=
0 có đúng 1 nghiệm
⇔

( )
3
3
1
3 và 2 1 0
m
m
m
m m
=
=



⇔


′
=
≠ ∆ = − =



www.VNMATH.com
Bài 8. Tiếp tuyến
83

4)
Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị (C
m
)
⇔

(
)
0
h x
=
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

(

)
3 và 2 1 0 1 3
m m m
′
≠ ∆ = − > ⇔ < ≠

5)
Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến
⊥
đến đồ thị (C
m
)
⇔

(
)
0
h x
=
có 2 nghiệm phân biệt
x
1
,
x
2
thoả mãn
(
)
(
)

1 2
. 1
f x f x
′ ′
= −

⇔

1 3
m
< ≠
và
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
4 2 2 1 1
x x x x x x+ + = − + +


⇔

1 3
m
< ≠
và
( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 4 1 0
x x x x x x x x x x

   
+ + + + + + + =
   


⇔

1 3
m
< ≠
và
(
)
( )
2
2
4 10 10
0
3
m m
m
− +
=
−

⇔

5 15
m = ±

6)

2
2
2
( ) : 2 2
1 1
m
x mx m
C y x m
x x
+ +
= = + − +
+ +

⇒
TCX: y
=
2
x

+

m

−
2
( )
1
2

f x
−
′
=

⇔

(
)
( )
2
2
2 2
1 2
0 5 10 1 0 1
2
5
1
x x
x x x
x
+
+ = ⇔ + + = ⇔ = − ±
+

Qua A(0, 1) kẻ được 2 tiếp tuyến, trong đó có 1 tiếp tuyến
⊥
TCX của (C
m
)

⇔

(
)
0
h x
=
có 2 nghiệm phân biệt với 1 nghiệm là nghiệm của:
( )
1
2
f x
−
′
=

⇔

1 3
m
< ≠
và
2 2
1 1 0
5 5
h h
   
− − − + =
   
   

⇔

1 3
m
< ≠
và
(
)
(
)
2 11 4 5 2 11 4 5 0
m m
− − − + =

⇔

11 4 5
2
m
±
=

7)
Do
(
)
0
h x
=

là phương trình bậc 2 nên không thể có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy từ A(0, 1) không thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C
m
)
∀
m
.
Bài 15.

Tìm trên O
y
các điểm có thể kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến đồ thị
(C):
( )
2
1
1
x x
y f x
x
− +
= =
−

Giải:
•
( ) ( )
( )
2
2

1
1 1
1
1 1
1
x x
f x x f x
x x
x
− +
′
= = + ⇒ = −
− −
−
.
Lấy bất kì điểm A(0,
a
)
∈
O
y
. Đường thẳng đi qua A(0,
a
) với hệ số góc
k
có
PT
y kx a
= +
tiếp xúc với (C)

⇔
Hệ
( )
( )
f x kx a
f x k

= +


′
=


có nghiệm
www.VNMATH.com
Chương I. Các bài giảng trọng tâm về hàm số – Trần Phương
84

⇒

(
)
(
)
.
f x f x x a
′
= +

⇔

( )
2
1 1
1
1
1
x x a
x
x
 
+ = − +
 
−
−
 

⇔

( )
2
1
1
1
x
a
x
x
+ =

−
−

⇔

( )
2
2 1
1
x
a
x
−
=
−

⇔

(
)
2
2 1 1 0
ax a x a
− + + + =
(1)
Qua A kẻ được ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔
Phương trình (1) có nghiệm
⇔

0 và 1 0
1
0 và 1 0
a a
a
a a
= + ≠

⇔ ≥ −

′
≠ ∆ = + ≥


Bài 16.

Tìm trên O
x
các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến
2
3
( ) :
2
x x
C y
x
+ −
=
+

Giải:
•
2
3
1
1
2 2
x x
y x
x x
+ −
= = − −
+ +

⇒

( )
2
1
1
2
y
x
′
= +
+
.
Lấy bất kì điểm A(
a
, 0)

∈
O
x
. Đường thẳng đi qua A(
a
, 0) với hệ số góc
k
có
phương trình
(
)
y k x a
= −
tiếp xúc với (C)
⇔
Hệ
( ) ( )
( )
f x k x a
f x k

= −


′
=


có nghiệm
⇒

(
)
(
)
(
)
f x f x x a
′
= −

⇔

( )
( )
2
1 1
1 1 0
2
2
x x a
x
x
 
− − − + − =
 
+
+
 

⇔

( )
2
2 2
1 0
2
x a
a
x
− +
+ − =
+
(1). Nếu
a

=

−
2 thì (1)
⇔

8
2
3 0
2 3
x
x
+ = ⇔ = −
+

Xét
a

≠

−
2, khi đó (1)
⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 2 3 2 6 5 0
g x a x a x a
= − + − + − =
(2)
Qua A kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)
⇔

g
(
x
)

=
0 có đúng 1 nghiệm
⇔

( )
2
1 0 và 3 2 0
1 0; 3 0
g
a a
a a a
− = − ≠


′
− ≠ ∆ = − + − =


1
1 13
2
a
a
=


⇔
− ±

=



.
Vậy từ 4 điểm
( ) ( )
1 2 3 4
1 13 1 13
2,0 ; 1, 0 ; , 0 ; ,0
2 2
A A A A
   
− − − +
−
   
   
∈
O
x
kẻ
được đúng 1 tiếp tuyến đến (C).
Bài 17.

Cho đồ thị
2
2 1
( ) :
1
x x
C y
x

− +
=
−
. Chứng minh rằng: Trên đường thẳng
(
∆
):
y

=
7 có 4 điểm sao cho từ mỗi điểm đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp
tuyến lập với nhau góc
45
°
.
www.VNMATH.com