Đề + Đáp án HSG Toán 8 hay

Sở Giáo dục - đào tạo
Thái Bình
****
Đề chính thức
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Môn thi: Toán
(thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 ( 5điểm)
Cho biểu thức A = a
4
+ b
4
+ c
4
2(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ c
2
a
2
)
1. Phân tích A thành tích các thừa số.
2. Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác.
Bài 2 ( 4điểm)

Chứng minh không thể tìm đợc số nguyên x , y , z thoả mãn:

x y 3 y z 5 z x 2003 + + =
Bài 3 (3điểm)
Cho x + y = 2.
Chứng minh rằng x
2003
+ y
2003


x
2004
+ y
2004
.
Bài 4 ( 5điểm)
Đờng thẳng d đi qua trọng tâm G của
V
Abc lần lợt cắt các cạnh AB, AC và tia
CB tại M, N, và P. Chứng minh:
1)
AB AC
3
AM AN
+ =
2)
2 2 2
AB AC BC
9

AM.BM AN.CN BP.CP
+ = +
Bài 5: (3điểm)
Cho hai điểm A và B cố định . Điểm M di động sao cho
V
MAB có 3 góc nhọn. Gọi
H là trực tâm của
V
MAB, K là chân đờng cao vẽ từ M xuống cạnh AB của
V
MAB
Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất.
Hớng dẫn giải và biểu điểm
Bài ý Nội dung Điểm
Bài
1
1 A = a
4
+ b
4
+ c
4
+ 2a
2
b
2
2a
2
c
2

2b
2
c
2
4a
2
b
2
= (a
2
+ b
2
- c
2
)
2
(2a
2
b
2
)
2

= (a
2
+ b
2
- c
2
- 2a

2
b
2
) (a
2
+ b
2
- c
2
+ 2a
2
b
2
)
= [(a- b)
2
c
2
)] [(a + b)
2
c
2
)]
= (a - b c)(a b + c)(a + b- c)(a + b + c)
0,5
1
1
1
2 Do a b c < 0
a b + c > 0 ; a + b c > 0; a + b + c > 0

=> A > 0
1.5
Bài
2
+.Ta có
2x x y
x y x y
0 x y


+ =

<

Vậy
x y x y +
luôn chẵn
+ Tơng tự
y z y z; z x z x + +
luôn chẵn
+.
x y 3 y z 5 z x x y y z z x (x y y z z x) 2 y z 4 z x
+ + = + + + + + + +
luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm)
1
1
2
Bài
3
Xét ( x

2004
+ y
2004
) (x
2003
+ y
2003
) = x
2003
(x 1) + y
2003
( y 1)
= x
2003
(1 y) + y
2003
( y 1)
(do x 1 = 1 y)
Vậy ( x
2004
+ y
2004
) (x
2003
+ y
2003
) = (1 y) ( x
2003
y
2003

)
+.Giả sử x

y => x
2003


y
2003
và x

1

y
do đó (1 y) ( x
2003
y
2003
)

0 (đpcm)
+. Tơng tự nếu y

x => y
2003


x
2003
và y

1

x
do đó (1 y) ( x
2003
y
2003
)

0 (đpcm)
(dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)
0,5
1
1
0,5
Bài
4
1
+.Vẽ thêm CC
2
, AA
1
; BB
1
nh hình vẽ
+.Chứng minh
V
BB
1

D =
V
CC
1
D
=>
1 1
AB AC
AB AC 2AD 2.3AG
3
AM AN AG AG AG 2AG
+ = + = = =
2
2
+. Chứng minh tơng tự đợc :
CA CB
3
CN CP
+ =
+.Ta tính :
( ) ( )
1 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2
A A BA A C BA
BA BC BA BC 2BA
BA BC
3
BM BP BG BG BG BG BG
+

= = = = =
=>
AB AC CA CB BA BC
9
AM AN CN CP BM BP
+ + + + =
( ) ( ) ( )
AB AM BM AC AN CN BC BP CP
9
AM.BM AN.CN CP.BP
+ +
+ + =
2 2 2
AB AC BC
9
AM.BM AN.CN CP.BP
+ = +
Bài
5
+)
V
AKH ~
V
MKB
+) KM.KH = KB.KA
A2
M
A
C
B

P
C2
D
G
N
B1
C1
H
A
B
M
K
+)
2
2
KA KB AB
KA.KB
2 4
+

=
ữ

+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng
2
AB
4
khi
K là trung điểm của BC
+.M nằm trên đờng trung trực của AB

cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng
lớn hơn
AB
2
để
V
MAB nhọn.