TT CHƯƠNG III (TÍCH PHÂN)

GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
CHƯƠNG III: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
HÀM SỐ NGUYÊN HÀM
( )
( )
m
m
2
1) f(x) k k là hằngsố
2)f(x) x
3)f(x) x
4)f(x) ax b
1
5)f(x)
x
1
6)f(x)
x
=
=
=
= +
=
=
( )
( )
2
m 1

m 1
1)F(x) kx C
x
2)F(x) C
2
x
3)F(x) C
m 1
ax b
4)F(x) C
a m 1
1
5)F(x) C
x
6)F(x) 2 x C
+
+
= +
= +
= +
+
+
= +
+
=- +
= +
( )
( )
7)f(x) sinx
8)f(x) sin ax b

9)f(x) cosx
10)f(x) cos ax b
=
= +
=
= +
( )
( )
2
2
2
2
1
11)f(x)
cos x
1
12)f(x)
cos ax b
1
13)f(x)
sin x
1
14)f(x)
sin ax b
=
=
+
=
=
+

( )
( )
7)F(x) cosx C
1
8)F(x) cos ax b C
a
9)F(x) sinx C
1
10)F(x) sin ax b C
a
=- +
=- + +
= +
= + +
( )
( )
11)F(x) tanx C
1
12)F(x) tan ax b C
a
13)F(x) cot x C
1
14)F(x) cot ax b C
a
= +
= + +
=- +
=- + +
2
2

x
ax
1
15)f(x)
1 x
1
16)f(x)
1 x
17)f(x) e
18)f(x) e
1
19)f(x)
x
1
20)f(x)
ax b
=
-
=
+
=
=
=
=
+
21)
( )
x
f x a=
( )

( )
x
ax
15)F(x) acrsinx C acrcosx C
16)F(x) acrtanx C acrcot x C
17)F(x) e C
1
18)F(x) e C
a
19)F(x) ln x C
1
20)F(x) ln ax b C
a
= + − +
= + − +
= +
= +
= +
= + +
21)
( )
ln
x
a
F x C
a
= +
Tóm tắt chương III (GT) - Trang 1 -
GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
1. Phương pháp tích phân đổi biến số.

2 2 2 2 2 2
a
R(x, a x )dx Đặt x asint; R(x, x a )dx Đặt x ; R(x, a x )dx Đặt x atgt ;
cost
− = − = + =
∫ ∫ ∫
2. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.
= = = −
∫ ∫
Nếu u u(x),v v(x)là hai hàmsố có đạohàmliêntục thì tacó: u.dv u.v v.du
Chú ý:
∫
P(x).Q(x)dx P(x)là đathức
- Nếu Q(x) là sinx, cosx, e
x
thì ta đặt
=


=

u P(x)
dv Q(x)dx
- Nếu Q(x) là lnx thì ta đặt
=


=

u Q(x)

dv P(x)dx

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức lũy thừa)
1.1)
∫
+− dxxx )532(
2
1.2)
∫
+
dx
x
xx
2/14/3
2
1.3)
∫
+
dx
x
xx
2
2/12/5
2

1.4)
∫
+ dx
x

x
102
2
1.5)
∫
+ dxx
5
)35(
1.6)
∫
+++ dxxx
xx
)2(
2
π
π
1.7)
∫
− dxx 1040
1.8)
∫
+−+ dxxxx )1)(1(
Bài 2: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức hàm số mũ và hàm lũy thừa)
2.1)
∫
−
dxe
x 12
2.2)
∫

−
dx
x34
10
2.3)
∫
+
dx
e
x53
2
2.4)
∫
+
−
dx
x
xx
1
6
4.53
2.5)
∫
+
dx
e
e
x
x
2

2.6)
∫
−
− dxeee
xxx
)(
32
2.7)
∫
−
− dxee
xx
)1(
2.8)
∫
dx
xx
x
104
2
2.9)
∫
−+
+
dx
xx
x
22
1
36

2
2.10)
∫
+
dx
x
x
22
2
2.11)
∫
+
dx
e
x 12
1
2.12)
∫
+
dx
x 12
10
1
Bài 3: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức hàm số lượng giác)
3.1)
∫
− dxxx )2cos33sin2(
3.2)
∫
xdx

2
sin
3.3)
∫
− dxxx )5cos23sin3(
22

3.4)
∫
+ dxxtg )2007(
2
3.5)
2
tan xdx
∫
3.6)
∫
dxxx )2cos.3sin2(
3.7)
∫
dxxx )2sin.sin4(
3.8)
∫
dxxx )5cos.3cos3(
3.9)
∫
−+ dxxx )12).(cos3cos2(

3.10)
∫

xdx
3
sin
3.11)
∫
xdx
4
sin
3.12)
∫
xdx
3
cos
3.13)
∫
xdx
4
cos
3.14)
∫
+ dxxx )cos(sin
66
3.15)
tan xdx
∫
3.16)
cot xdx
∫
3.17)
∫

dx
xx
22
cossin
1
3.18)
∫
dx
x10cos
1
2
3.19)
∫
dx
x3sin
1
2
Bài 4: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức
∫
+= Cxudx
xu
xu
)(ln
)(
)('
)
Tóm tắt chương III (GT) - Trang 2 -
GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
4.1)
∫

+
dx
x 12
1
4.2)
∫
+
++
dx
xx
xx
)2(
2
4.3)
∫
−
dx
xx )2(
1
4.4)
∫
++
+
dx
xx
x
1
12
2
4.5)

∫
−
dx
xx 4
1
2
4.6)
∫
+
+
dx
xx
x
4
23
2
4.7)
∫
+−
dx
xx 34
1
2
4.8)
∫
−
dx
ax
22
1

Bài 5:Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a/ f(x) = (2x – 3) b/ f(x) = sinx.cosx c/ f(x) = (sin2x – 1)
3
cos2x
d/
( )
2
1
x
f x
x
=
+
e/
( )
2
2 3
3 1
x
f x
x x
−
=
− +
f/
( ) ( )
2
2 1
1 5
x x

f x x
+ −
= +

g/
( )
ln
2
x
f x
x
=
h/
( )
( )
3
ln 3
2
x
f x
x
+
=
i/
( )
2 3
1f x x x= +

k/
( )

2
5
3 2
f x
x x
=
− +
l/
( )
3cos
sin
x
f x e x=
m/
( )
2
sin cos
2 2
x x
f x
 
= −
 ÷
 

Bài 6 : Tính
1)
( )ax b dx+
∫
2)

1
dx
ax b+
∫
3)
, ( 0)
ax b
e dx a
+
≠
∫
4)
cos( ) , ( 0)ax b dx a+ ≠
∫
5)
sin( )ax b dx+
∫
( 0)a ≠
6)
2
1
( 0)
cos ( )
dx a
ax b
≠
+
∫
7)
2

1
( 0)
sin ( )
dx a
ax b
≠
+
∫
8)
2
1
x dx
x
 
−
 ÷
 
∫
9)
2 3
2
1 1
2x x x x dx
x x
  
+ + + +
 ÷ ÷
  
∫
10)

2
2
(2 1)x
dx
x
+
∫
11)
( )
5
2
3 2 3x x dx−
∫
12)
( )
2
3
x x dx+
∫
13)
( )
2
2x
dx
x
−
∫
14)
2
x

dx
x +
∫
15)
( )
5
1
3 2
dx
x −
∫
16)
2
( 1)
x
e dx
+
∫
17)
(
)
x x
e e dx
−
+
∫
18)
2
2
x

xe dx
∫
19)
( )
2 3
x x
e e dx
+
∫
20)
( )
2
2
1 cos (1 sin )x dx x dx+ + −
∫ ∫
21)
tan
∫
xdx
22)
cot
∫
xdx
23)
tan
2
cos
∫
x
e

dx
x
24)
2
3 1
dx
x +
∫
25)
2 3
3 1
x
dx
x
−
+
∫
26)
2
3 4
3 1
x x
dx
x
− +
+
∫
27)
( )
2

1
3
dx
x −
∫
28)
( )
3
4
x x x dx+ +
∫
29)
( )
4
2
5x x dx−
∫
30)
2
2sin
4
x
dx
∫
31)
2
3
4
2 1x x
dx

x
− +
∫
32)
(5 3 )
x x
dx+
∫
33)
3
1
1
x
x
e
dx
e
+
+
∫
34)
2
1
3 2
dx
x x− +
∫
Tóm tắt chương III (GT) - Trang 3 -
GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
VẤN ĐỀ 2: TÍCH PHÂN

A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1. Phương pháp tích phân đổi biến số.
2 2 2 2 2 2
a
R(x, a x )dx Đặt x asint; R(x, x a )dx Đặt x ; R(x, a x )dx Đặt x atgt ;
cost
− = − = + =
∫ ∫ ∫
2. Phương pháp tích phân từng phần.
[ ]
b b
b
a
a a
Nếu u u(x),v v(x)là hai hàmsố có đạohàmliêntụctrên a;b thìtacó: u.dv u.v v.du= = = −
∫ ∫
Chú ý:
∫
b
a
P(x).Q(x)dx P(x)là đathức
- Nếu Q(x) là sinx, cosx, e
x
thì ta đặt
=


=

u P(x)

dv Q(x)dx
- Nếu Q(x) là lnx thì ta đặt
=


=

u Q(x)
dv P(x)dx
B. BÀI TẬP ÁP DUNG.
Bài 1: Tính các tích phân ( Sử dụng phương pháp đổi biến số)
5.1)
1
4
0
(2 1)x dx−
∫
5.2)
∫
−
2
0
2
4 dxx
5.3)
/4
0
tan xdx
π
∫

5.3)
/4
/6
cot xdx
π
π
∫
5.5)
∫
+
2/
0
cos31
sin
π
dx
x
x
5.6)
∫
−
1
0
2
dxe
x
5.7)
∫
+
e

dx
x
x
0
ln1
5.8)
/4
tan
2
0
cos
x
e
dx
x
π
∫
5.9)
∫
2/
0
3
cossin
π
xdxx
5.10)
∫
2/
0
3

cos
π
xdx
5.11)
∫
2/
0
3
sin
π
xdx
5.12)
∫
2/
0
5
cos
π
xdx
5.13)
∫
2/
0
5
sin
π
xdx
5.14)
∫
2/

0
sin
cos
π
xdxe
x
5.15)
2
/2
cos
0
sin2
x
e xdx
π
∫
5.16)
∫
+
6/
0
cossin41
π
xdxx
5.17)
∫
+
a
dx
ax

0
22
1
(a>0) 5.18)
∫
−
2/
0
22
1
a
dx
xa
(a>0)
5.19)
∫
3/
6/
sin
1
π
π
dx
x
5.20)
∫
2/
0
63
cossin

π
xdxx
5.21)
∫
2/
4/
22
cossin
π
π
xdxx
5.22)
∫
2/
0
55
cossin
π
xdxx
5.23)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
5.24)
2

5 2
0
1x x dx+
∫
Bài 2:Tính các tích phân: (Sử dụng công thức tích phân từng phần)
6.1)
∫
−
1
0
)12( dxex
x
6.2)
∫
−
1
0
22
)12( dxex
x
6.3)
∫
2/
0
cos
π
xdxx
6.4)
∫
+

1
0
)sin()12( dxxx
π
6.5)
∫
2/
0
2
)2sin(
π
dxxx
6.6)
∫
2/
0
22
cos
π
xdxx
6.7)
∫
2
1
5
ln
dx
x
x
6.8)

∫
e
xdx
1
ln
Tóm tắt chương III (GT) - Trang 4 -
GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
6.9)
∫
+
2
1
)1ln( dxx
6.10)
∫
e
xdx
1
2
ln
6.11)
∫
−
5
2
)1ln(2 dxxx
6.12)
∫
2
/1

2
ln
e
e
xdxx
6.13)
∫
2/
0
cos
π
xdxe
x
6.14)
∫
2/
0
sin
π
xdxe
x
6.15)
∫
−
1
0
2
dxex
x
6.16)

∫
2/
3/
2
sin
π
π
dx
x
x
6.17)
∫
4/
0
2
cos
π
dx
x
x
6.18)
∫
+
4/
0
2
sin)cos(
π
xdxxx
6.19)

∫
2/
0
2
sin
π
xdxx
6.20)
∫
2/
0
2
cos
π
xdxx
6.21)
(
)
1
2
0
1
x
e x xdx+ +
∫
VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1. Diện tích giới hạn bởi.
1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số: y = f(x), x = a; x = b, trục Ox là :
=

∫
b
a
S f(x) dx
1.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hàm số: x = f(y), y = a; y = b, trục Oy là :
=
∫
b
a
S f(y) dy
1.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số: y = f(x), y=g(x), x = a; x = b là :
= −
∫
b
a
S f(x) g(x) dx
1.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số: x = f(y), x=g(y), y = a; y = b là :
= −
∫
b
a
S f(y) g(y) dy
1.4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y
1
= f
1
(x) và y
2
= f
2

(x)
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm f
1
(x)= f
2
(x), tìm cận tích phân.
+ p dụng công thức
= −
∫
b
1 2
a
S y y dx
2. Thể tích.
2.1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x);x = a; x = b
quay quanh trục Ox là :
= π
∫
b
2
a
V f (x)dx
2.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y); y = a; y = b
quay quanh trục Oy là :
= π
∫
b
2
a
V g (y)dy

2.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f(x) và y = g(x)
quay quanh trục Ox.
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm tìm cận tích phân
Tóm tắt chương III (GT) - Trang 5 -
GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
+ Tính
[ ] [ ]
b b
2 2
1 2
a a
V f(x) dx và V g(x) dx= π = π
∫ ∫
Kết luận:
1 2
V V V= −
.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
A/
2
y x 2
y x

= − +

=

B/
4 2

y x 2x 1
y 0

= − − −

=

C/
2
y 4x
y 2x 4

=

= −

D/
2
2
y 2x
x 2y

=


=


D/
1

y 1;y 0
x 1
x 0;x 2

= + =

+


= =

E/
2
x 1
y ;y 0
x
x 1;x 2

−
= =



= =

F/
2
y x ;y 0
x 1;x 1


= =

= = −

G/
3
y x ;y 0
x 1;x 1

= =

= = −

H/
3
y x
y x

=

=

I/
3
y x
y 8;x 0

=

= =


J/
2 2
2
x y 8
y 2x

+ =


=


K/
2
3x
y 2x 4;y 5
2
y 2;y 2

= + = −



= − =

Câu 2: Tính thể tích khi quay quanh Ox hình phẳng (S) giới hạn bởi:
A/
x
y x.e

x 1;x 0

=

= =

B/
y ln x
x 1;x 2
=


= =

C/
6 6
y cos x sin x
x 0;x
2

= +


π
= =


D/
4 4
y cos x sin x

x ;x
2

= +


π
= = π


E/
3
y x
x 1;x 2

=

= =

F/
2
y x
y 2x

=

=

G/
3

2
y x
y 2x

=


=


Câu 3: Tính thể tích khi quay quanh Oy hình phẳng (S) giới hạn bởi:
A/
2 3
y x
y 0;x 1

=

= =

B/
3
y x
x 1;x 2

=

= =

Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sinx, y = 0, x = 0,

x 2
= π

Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x
3
, y = 0, x = -1, x= 2
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x
2
– 2x, y = -x
2
+4x
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x
3
, y = 4x, x = -1, x= 2
Câu 8: Tính thể tích do S giới hạn bởi: y = 3x, y = x, x = 0, x = 1 quay quanh Ox
Câu 9: Tính thể tích do S giới hạn bởi:
2
x
y
2
=
, y = 2, y = 4, x = 0 quay quanh Oy
Câu 10: Tính thể tích do S giới hạn bởi: y
2
= (x – 1)
3
, x = 2 và y = 0 quay quanh Oy
Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y = x
3
– 2x

2
– x +2 và trục hoành
Câu 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = -x
2
– 2x, y = -x -2
Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = -x
2
– 2x, y = -3x, x = 0, x = 2

Tóm tắt chương III (GT) - Trang 6 -