Dao động điều hòa dùng đồ thị

TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1

BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
A. PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: Dựa vào đồ thị của li độ, vận tốc, gia tốc xác định:
- Biên độ A, vận tốc cực đại v
max
, , gia tốc cực đại a
max
.
- Xác định chu kỳ dao động
2
T
T

   .
Bước 2: Dựa vào đồ thi xem tại thời điểm ban đầu t = 0

các yếu tố ban đầu của bài toán.
Bước 3: Dựa vào vòng tròn lượng giác xác định các đại lượng vật lý cần tìm.
Bước 4: Vận dụng các công thức của dao động điều hòa để tìm các yếu tố cần tìm khác.
B. MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ:
Bài 1: Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị như hình vẽ.
a. Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của chất điểm.
b. Tìm phương trình dao động của vật.
c. Xác định thời điểm vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần thứ 20.
d. Xác định tốc độ trung bình từ thời điểm vật qua ly độ
1

x 2cm
 theo chiều âm
đến thời điểm vật qua ly độ
2
x 2 2cm
  theo chiều dương trong một chu kỳ.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ta có: A = 4cm, T = 1s
Do đó:
2
2 rad /s
T

   
Vận tốc cực đại
max
v A 8 cm /s.
   
Gia tốc cực đại:
2 2 2
max
a A 16 cm /s
   
b. Phương trình dao động


x Acos t
   

Dựa vào đồ thị khi t = 0: x 4cm;v 0

      

Vậy phương trình dao động là:


x 4cos 2 t cm
   
c. Dựa vào vòng tròn lượng giác thời điểm đầu tiên vật qua M
1
:
1
t 0,25s
2
 
    


Mỗi chu kỳ chất điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương 1 lần. Vậy thời điểm vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần
thứ 20:
1
t t 19T 19,25s.
  
d. Dựa vào vòng tròn lượng giác:
2
1
x
x 1 2
sin ;cos
A 2 6 A 2 4
 

           

11 11
t s
2 12 24
  
         


Quãng đường vật đi được:
1 2
s x A A x 12,83cm
    
Tốc độ trung bình:
TB
s
v 28cm /s
t
 
Bài 2: Cho đồ thị dao động điều hòa của một chất điểm như hình vẽ , biết vật nặng có khối
lượng m = 0,5kg, lấy
2
10
 
.
a. Tính động năng tại vị trí có ly độ x = 2cm
4
x(cm)
t(s)
1/4

0,5
1
- 4
M
1

M
2

α
β
t(s)

0,5

x(cm)
10

-
10

1

TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

2

b. Tìm phương trình dao động của chất điểm.
c. Tìm tỉ số giữa động năng và thế năng tại li độ x = 5cm

d. Xác định thời điểm chất điểm qua ly độ x = 5cm lần thứ 2011.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ta có: A = 10cm, T = 1s
Do đó:
2
2 rad /s
T

   
Động năng của vật nặng tại ly độ x = 2cm:
 
2 2 2
đ
1
W m A x 0,096J
2
    .
b. Phương trình dao động của vật:


x Acos t
   

Dựa vào đồ thị tại thời điểm t = 0: x = 0; v > 0
x 10cos 2 t cm
2 2
 
 
       
 

 

c. Ta có:
2 2
đ t
2
t t
W W W
A x
3
W W x


  

d. Thời điểm đầu tiên vật qua M
1
:
1
x 1
sin t 0,25s
A 2 2
 
        


Mỗi chu kỳ chất điểm qua ly độ x = 5cm 2 lần. Vậy lần thứ 2011:
1
t t 1005T 1005,25s
  

Bài 3: Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị dao động như hình vẽ.
a. Tìm phương trình ly độ của chất điểm .
b. Tính vận tốc của vật tại ly độ x = 5cm.
c. Tính tỉ số độ lớn lực kéo về cực đại và lực léo về tại ly độ x = 3cm
d. Tính tốc độ trung bình của chất điểm kể từ thời điểm ban đầu đến thời điểm đầu tiên
chất điểm qua ly độ x = 4cm theo chiều dương.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ta có A = 8cm; T = 0,25s
Do đó:
2
8 rad / s
T

   
Khi t = 0 vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Dựa vào vòng trong lượng giác
2

  

Vậy phương trình dao động của vật là:
x 8cos 8 t cm
2

 
  
 
 

b. Vận tốc của vật tại ly độ x = 5cm:
2 2

v A x 87cm / s
    

c. Ta có:
max
F
A 8
F x 3
 

d. Thời điểm đầu tiên vật qua ly độ x = 4cm theo chiều dương ở M
1
:
1
x 1 7 7
sin t s
A 2 6 6 48
  
               


Quãng đường chất điểm đi được:
s 2A x 20cm.
  

Tốc độ trung bình:
TB
s
v 137,14m / s.
t

 
Bài 4: Cho đồ thị của một dao động điều hòa của một chất điểm như hình vẽ.
M
0

M
1

8

-
8

x(cm)

t(s)

0,25

M
0

M
1

x(cm)
1/6

t(s)
10

11/12
5
TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

3

a. Tìm phương trình dao động của vật.
b. Tính vận tốc của chất điểm tại ly độ x = - 6cm.
c. Tính tốc độ trung bình của chất điểm từ thời điểm ban đầu đến thời điểm qua vị trí cân bằng theo chiều dương lần đầu
tiên.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ta có A = 10cm
Tại thời điểm t = 0: x = 5cm; v > 0. Dựa vào vòng trong lượng giác ta có:
x 1
cos
A 2 3

      

Vậy phương trình dao động là:
x 10cos 2 t cm
3

 
  
 
 
.
b. Vận tốc của chất điểm tại ly độ x = - 3cm:

2 2
v A x 50,27cm / s
    
c. Dựa vào vòng tròn lượng giác:
5 5
2 t s
3 3 6
  
       


Quãng đường chất điểm đi được:
s 3A A Acos 35cm
3

 
   
 
 

Tốc độ trung bình:
TB
s
v 42cm /s.
t
 
Bài 5: Một vật dao động điều hòa theo quy luật:


x Acos t

   
. Đồ thị biến
thiên của li độ x theo thời gian như hình vẽ.
a. Tính số đo của vận tốc cực đại và gia tốc cự đại.
b. Viết phương trình li độ x.
c. Tính vận tốc tại ly độ x = 2cm.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thi li độ theo thời gian ta có: A = 4cm,
2
T 1s 2 rad / s
T

     
Vận tốc cực đại:
max
v A 8 cm /s
   
Gia tốc cực đại:
2 2 2
max
a A 8 cm / s
   
b. Phương trình dao động :


x Acos t
   

Dựa vào đồ thi khi


x 4cm
t 0:
v 0
 
    


Vậy phương trình dao động là :


x 4cos 2 t cm
   
c. Vận tốc của vật tại ly độ x = 2cm:
2 2
v A x 21,77cm /s
     .
Bài 6: Đồ thị ly độ của một dao động điều hòa có dạng như hình vẽ. Phương
trình tổng quát của ly độ:


x Acos t
   

a. Viết phương trình ly độ của vật.
b. Viết phương trình vận tốc.
c. Viết phương trình gia tốc.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị ly độ theo thời gian ta có:
2
A 3 2cm;T 0,5s 4 rad /s

T

      
x
M
0

φ
x(cm)
+4
-4
0,25
0,5
0,75 1
t(s)
3 2

3 2


1/8
2/8 3/8
1/2
t(s)
x(cm)
TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

4

Khi t = 0:

x 0
v 0
2


   


Vậy phương trình ly độ là:
x 3 2cos 4 t cm
2

 
  
 
 
.
b. Phương trình vận tốc:
,
v x 12 2 sin 4 t cm / s
2

 
     
 
 
.
c. Phương trình gia tốc:

, 2
a v 48 2 cos 4 t cm
2

 
      
 
 

Bài 7: Một vật dao động điều hòa theo quy luật


x Acos t
   
có đồ thị
biến thiên của ly độ theo thời gian như hình vẽ.
a. Viết phương trình ly độ theo thơi gian.
b. Viết phương trình vận tốc theo thời gian.
c. Xác định thời điểm vật qua ly độ x = 1cm lần thứ 21.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị li độ theo thời gian:
2
A 2cm,T 2s 2 rad /s
T

      
Khi t = 0:

x 2cm
0

v 0

  


Vậy phương trình ly độ:


x 2cos 2 t cm
 
.
b.Phương trình vận tốc theo thời gian:


,
v x 2 2 sin 2 t cm /s.
    

c. Dựa vào vòng tròn lượng giác, thời điểm ban đầu vật ở M
1
:
1
x 1 1
cos t s
A 2 3
3 2
 
        


Mỗi chu kỳ vật qua ly độ x = 1cm 2 lần. Vậy lần thứ 21:
1
t t 10T 14,38s
  
Bài 8: Một vật dao động điều hòa theo quy luật


x Acos t
   
. Đồ thị li độ
theo theo thời gian như hình vẽ.
a. Viết phương trình li độ theo thời gian.
b. Viết phương trình gia tốc
c. Xác định thời điểm vật qua vị trí động năng bằng thế năng lần thứ 41.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị li độ theo thời gian:
2
A 4 3cm;T 2s rad /s
T

      
Khi t = 0:

x 2 3cm
v 0


, dựa vào vòng tròn lượng giác ta có:
x 1
cos

A 2 3

     

Vậy phương trình li độ:
x 4 3cos t cm
3

 
  
 
 

b. Phương trình gia tốc:
,, 2 2
v x 4 3 cos t cm /s
3

 
     
 
 

x(cm)
+2
- 2
2
4

2

2

3 2
4

2

t(s)
x(cm)
4 3

2 3

4 3

1/6
4/6
7/6 10/6 2
t(s)
TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

5

c. Tại thời điểm động năng bằng thế năng
A 4 3
x
2 2
   
Dựa vào vòng tròn lượng giác thời điểm đầu tiên vật qua M

1
:
x
2 5
sin
A 2 4 2 12
  
            
1
5
t s
12

  


Mỗi chu kỳ vật qua vị trí động năng bằng thế năng 4 lần, vậy lần thứ 41
1
t t 10T 20,42s
  
Bài 9: Cho hai dao động điều hòa


1 1 1
x A cos t
   
;


2 2 2

x A cos t
   

có đồ thị biến thiên như hình vẽ x
1
có biên độ lớn hơn x
2
. Một vật thực hiện đồng thời
hai dao động trên
a. Tính độ lệch pha
1 2
   
giữa hai dao động.
b. Tính vận tốc cực đại của mỗi dao động.
c. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị li độ theo thời gian:
1 2
2
A 3 2cm;A 2 2cm;T 0,8s 2,5 rad / s
T

       
Xét dao động 1, dựa vào đồ thị khi t = 0:

1
1
1
x 0
v 0

2


   


Xét dao động 2, dựa vào đồ thị khi t = 0:
2
2
2
x 2 2cm
v 0

 
   




Vậy độ lệch pha giữa hai dao động:
1 2
3
2

     
b. Vận tốc cực đại của mỗi dao động:
1max 1 2max 2
v A 33,3cm / s;v A 22,2cm /s.
     

c. Phương trình dao động tổng hợp:


1 2
x x x Acos t
     

Vì x
1
vuông pha với x
2
nên:
2 2
1 2
A A A 5,1cm
  
1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin 3
tan 4,124rad
A cos A cos 2
  
     
  

Vậy phương trình dao động tổng hợp là


x 5,1cos 2,5 t 4,124 cm
  

Bài 10: Cho hai dao động điều hòa


1 1 1
x A cos t
   
;


2 2 2
x A cos t
   
có đồ thị biến thiên như hình vẽ x
1
có biên độ lớn hơn
x
2
. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động trên.
a. Tính độ lệch pha
1 2
   
giữa hai dao động.
b. Tìm phương trình dao động tổng hợp.
c. Tính tỉ số giữa động năng và thế năng của vật tại ly độ 1,5cm.
Hướng dẫn giải:
M
0

M
1

β
φ
x(cm)
3 2

2 2

2 2

3 2

0,2
0,4
0,6
0,8
t(s)
x(cm)
3

2

2

3

0,3
0,6
0,9 1,2
t(s)

TRẦN NGHĨA HÀ - PLEIKU – ĐIỆN THOẠI 0989 821244
BÀI TẬP ĐỒ THỊ TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

6

a. Dựa vào đồ thị li độ the thời gian của hai dao động:
1 2
2 5
A 3cm;A 2cm;T 1,2s rad /s
T 3
 
      
Xét dao động 1, dựa vào đồ thị khi t = 0:

1
1
1
x 0
v 0
2


   


Xét dao động 2, dựa vào đồ thị khi t = 0:
2
2
x 2cm
0

v 0


  




Vậy độ lệch pha giữa hai dao động là:
1 2
2

     

b. c. Phương trình dao động tổng hợp:


1 2
x x x Acos t
     

Vì x
1
vuông pha với x
2
nên:
2 2
1 2
A A A 5cm
  

1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin 6 51
tan rad
A cos A cos 2 180
   
      
  

Vậy phương trình dao động tổng hợp là:
5 51
x 5 cos t cm
2 180
 
 
 
 
 

c. Tỉ số giữa động năng và thế năng tại li độ x = 1,5cm:
2 2
đ
2
t
W
A x 11
W x 9

 

Bài 11: Một vật dao động điều hòa có đồ thị vận tốc theo thời gian như hình vẽ
như hình vẽ.
a. Viết phương trình dao động của vật.
b. Viết phương trình vận tốc của vật.
c.Tính vận tốc của vật tại li độ x = 2cm.
Hướng dẫn giải:
a. Dựa vào đồ thị vận tốc theo thời gian:
max
2 5
v 4 cm /s;T 1,6s rad
T 4
 
      
max
v
A 3,2cm
  


Dựa vào vòng tròn lượng giác. Khi t = 0 :

max
v
1
v 2 cm /s
sin
x 0
v 2 6

  

      


Vậy phương trình dao động của vật là :
5
x 3,2cos t cm
4 6
 
 
 
 
 
.
b. Phương trình vận tốc của vật là:
,
5
v x 4 sin t cm /s
4 6
 
 
    
 
 

c. Vận tốc của vật tại ly độ x = 2cm:
2 2
v A x 9,8cm /s.
    
Chúc các em thành công
4π

2π
-2π
-4π
0,8
1,6
t(s)
v(cm/s)