Chuyên đề giải tích hình học tọa độ Oxy tập 1 (Nguyễn Phú Khánh)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (666.29 KB, 23 trang )
Nguyễn Phú Khánh
505
HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TỌA ĐỘ OXY
Dạng 1. Tọa độ vectơ
1. Định nghĩa: Hệ trục tọa độ gồm hai trục vuông góc
Ox
và
Oy
với hai vectơ
đơn vị lần lượt là
i, j
. Điểm O gọi là gốc tọa độ,
Ox
gọi là trục hoành và
Oy
gọi là trục tung.
Kí hiệu
Oxy
hay
(
)
O;i, j
2. Tọa độ điểm, tọa độ vec tơ .
+ Trong hệ trục tọa độ
(
)
O;i, j
nếu
u xi yj= +
thì cặp số
( )
x; y
được gọi là tọa độ
của vectơ
u
, kí hiệu là
( )
u x; y=
hay
( )
u x; y
. x được gọi là hoành độ, y được
gọi là tung độ của vectơ
u
+ Trong hệ trục tọa độ
(
)
O;i, j
, tọa độ của vectơ
OM
gọi là tọa độ của điểm
M
, kí hiệu là
(
)
M x; y=
hay
(
)
M x; y
.
x
được gọi là hoành độ,
y
được gọi là
tung độ của điểm
M
.
Nhận xét: Gọi
H, K
lần lượt là hình chiếu của
M
lên
Ox
và
Oy
thì
( )
M x;y
OM xi yj OH OK⇔ = + = +
Như vậy
OH xi, OK yj
= =
hay
x OH, y OK= =
3. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác.
+ Cho
A A B B
A(x ; y ), B(x ;y )
và
M
là trung điểm
AB
. Tọa độ trung điểm
( )
M M
M x ;y
của đoạn thẳng
AB
là
A B A B
M M
x x y y
x , y
2 2
+ +
= =
+ Cho tam giác
ABC
có
(
)
A A B B C C
A(x ; y ), B(x ;y ), C x ; y
. Tọa độ trọng tâm
(
)
G G
G x ;y
của tam giác
ABC
là
A B C
G
x x x
x ,
3
+ +
=
A B C
G
y y y
y
2
+ +
=
4. Biểu thứ tọa độ của các phép toán vectơ.
Cho
u (x; y)=
;
u' (x';y')=
và số thực
k
. Khi đó ta có :
+
x x'
u u'
y y'
=
= ⇔
=
+
u v (x x';y y')± = ± ±
+
k.u (kx;ky)=
+
u'
cùng phương
u
(
u 0≠
) khi và chỉ khi có số k sao cho
x' kx
y' ky
=
=
)
Nguyễn Phú Khánh
506
+ Cho
A A B B
A(x ; y ), B(x ;y )
thì
(
)
B A B A
AB x x ;y y= − −
Ví dụ 1. Cho các vectơ
( ) ( ) ( )
a 2;3 ,b 1; 2 ,c 3; 5
= − = − = − −
1. Tìm các số
m,n
sao cho : c ma nb
= +
2. Tìm vectơ
u
sao cho :
a.u 15
=
và
b.u 11
= −
Lời giải
1. Ta có
( ) ( ) ( )
ma 2m; 3m ,nb n; 2n ma nb 2m n;3m 2n
= − = − ⇒ + = − + −
Vậy
2m n 3 m 11
c ma nb
3m n 5 n 19
− + = − =
= + ⇔ ⇔
− = − =
2. Gọi
( )
u x; y
( )
a.u 15 2x 3y 15 x 3
u 3;7
x 2y 11 y 7
b.u 11
= − + = =
⇔ ⇔ ⇒ =
− = − =
= −
Ví dụ 2
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
1. Cho
(
)
(
)
A 2; 2 ,B 5; 2−
. Tìm trên trục hoành điểm
C
để
ABC
∆
vuông.
2. Tìm trên trục hoành điểm
A
, cách
(
)
B 2; 3
−
, một khoảng bằng
5
.
3. Tìm trên trục tung điểm
C
cách điểm
(
)
D 8;13
−
một khoảng bằng
17
.
4. Tìm điểm
M
trên trục tung cách đều 2 điểm
(
)
A 1;3
−
và
(
)
B 1;4
.
Lời giải
1. Gọi
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0 0
C x ;0 Ox AC x 2; 2 ,BC x 5;2 ,AB 3; 4
∈ ⇒ = − − = − = −
*
ABC
∆
vuông tại A
2
AB AC AB.AC 0 C ;0
3
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ −
*
ABC∆
vuông tại B
22
AB BC AB.BC 0 C ;0
3
⇔ ⊥ ⇔ = ⇔
*
ABC∆
vuông tại C
( ) ( )
CA CB AC.CB 0 C 1;0 ,C 6;0⇔ ⊥ ⇔ = ⇔
2. Gọi
(
)
(
)
0 0
A x ;0 Ox AB 2 x ; 3 ,AB 5
∈ ⇒ = − − =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2
0
0
0
x 2
2 x 3 5 A 2;0 ,A 6;0
x 6
= −
⇔ − + − = ⇔ ⇒ −
=
3. Gọi
(
)
(
)
0 0
C x ; y Oy :CD 8;13 y ,CD 17
∈ = − − =
)
Nguyễn Phú Khánh
507
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 0
0
0
y 2
13 y 8 17 C 0; 2 ,C 0;28
y 28
= −
⇔ − + − = ⇒ ⇒ −
=
4. Gọi
( )
0
M 0;y Oy∈
. Khi đó :
2 2
MA MB MA MB= ⇔ =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
0 0 0
7 7
1 3 y 1 4 y y M 0;
2 2
⇔ − + − = + − ⇒ = ⇒
Ví dụ 3
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
c
ho điểm
(
)
A 4; 2 .
Tìm tọa
độ điểm
B
sao cho
1.
OAB
là tam giác đều,
(
)
0
OA;OB 60
=
.
2.
OAB
là tam giác cân,
(
)
0
OA;OB 45
=
Lời giải
1. Ta có :
( )
( )
0
0
0
tan tan60
tan Ox;OA tan 60
1 tan .tan60
α +
= α + =
− α
( )
1 1 2 3
tan tan Ox;OA
2
2 3
+
α = ⇒ =
−
Từ đó :
( )
0 0
1 2 3 1 2 3
OB : y x B x ; x
2 3 2 3
+ +
= ⇒
− −
Khi đó
2
2
0 0
1 2 3
OA OB x x 20
2 3
+
= ⇔ + =
−
(
)
2
2
0
x 2 3⇔ = −
Vì
(
)
0 0 0
y 0 x 0 x 2 3 B 1 3;1 3> ⇒ > ⇒ = − ⇒ − +
2. Tương tự
( )
( )
0
0
0
tan tan 45
tan Ox;OB tan 45 3
1 tan .tan45
α +
= α + = =
− α
( )
OB : y 3x⇒ =
.
( )
AB
đi qua
A
và vuông góc
OA
nên
( )
AB
có phương trình :
(
)
(
)
4 x 4 2 y 2 0 2x y 10 0
− + − = ⇔ + − =
B
là giao điểm
OB
và
AB
nên
( )
y 3x
B : B 2;6
2x y 10 0
=
⇒
+ − =
Ví dụ 4
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc Oxy,
cho
ABC
∆
biết
(
)
(
)
(
)
A 1;1 ;B 3; 2 ;C 0;1
− −
.
1. Tìm tọa độ trực tâm
H
của
ABC∆
;
2. Tìm tọa độ chân đường cao
A'
vẽ từ
A
.
)
Nguyễn Phú Khánh
508
Lời giải
1. Gọi
(
)
H x; y
là trực tâm
AH.BC 0
ABC
BH.AC 0
=
∆ ⇔
=
(
)
I
( ) ( ) ( ) ( )
AH x 1;y 1 ,BH x 3; y 2 ,BC 3;3 ,AC 1;0= − − = + + = = −
Khi đó
( )
(
)
(
)
( )
( )
3 x 1 3 y 1 0
x 3
I H 3;5
y 5
x 3 0
− + − =
= −
⇔ ⇔ ⇒ −
=
− + =
2. Gọi
( )
A' a;b
là chân đường cao
AA' AA'.BC 0⇔ =
và
BA'
cùng phương
BC
(
)
(
)
(
)
AA' a 1;b 1 ,BA' a 3; b 2 ,BC 3;3
= − − = + + =
Khi đó, ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
1
a
3 a 1 3 b 1 0
1 3
2
A' ;
3
2 2
3 b 2 3 a 3 0
b
2
=
− + − =
⇔ ⇒
+ − + =
=
Ví dụ 5
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
(
)
A 2;1 ,
(
)
B 3; 1 ,
−
( )
C 2;3−
. Tìm điểm
E Oy
∈
để
ABEC
là hình thang có 2 đáy
AB
và
CE
với
K
là giao
điểm
K
của
AC
và
BE
.
Lời giải
• Gọi
( )
E 0,e Oy
∈
ABEC
là hình thang có
2
đáy
AB
và
CE AB⇒
cùng phương
CE
(
)
*
( ) ( )
AB 1; 2 ,CE 2;e 3
= − = +
. Thì
( )
*
( )
e 3 4 0 e 7 E 0; 7
⇔ + + = ⇒ = − = −
•
K AC BE
= ∩
A,C,K
⇒
thẳng hàng và
B,E,K
thẳng hàng
( )
AC AK
BE BK
↑↑
⇔ ∗∗
↑↑
(
)
(
)
(
)
(
)
K K K K
AC 4; 4 ,AK x 2;y 1 ,BE 3; 6 ,BK x 3;y 1
= − − = − − = − − = − +
Khi đó
( )
( ) ( )
( ) ( )
K K
K K K
K K K
K K
4 y 1 4 x 2 0
x y 1 x 6
2x y 7 y 5
3 y 1 6 x 3 0
− − + − =
− = =
∗∗ ⇔ ⇔ ⇒
− = =
− + + − =
(
)
K 6;5
⇒
Ví dụ 6
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
1. Cho
( )
A 3;0
và
( )
C 4;1
− là đỉnh đối nhau của hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại.
2. Cho
( )
A 2; 1
− và
( )
B 1; 3
− là 2 đỉnh liên tiếp hình vuông. Tìm 2 đỉnh còn lại.
)
Nguyễn Phú Khánh
509
3. Cho
( ) ( )
A 2; 4 ;B 1;1
. Tính tọa độ
C,D
biết
ABCD
là hình vuông.
Lời giải
1. Gọi
1 1
I ;
2 2
−
là trung điểm
AC
, gọi
(
)
B a; b
Ta có
BI AC
1
BI AC
2
⊥
=
( )
2 2
BI.AC 0
I
1
BI AC
4
=
⇒
=
, trong đó
( )
1 1
BI a ;b ,AC 7;1
2 2
= + − = −
Từ
( )
( )
2
2 2
2
1 1
7 a b 0
2 2
a 0,y 4
a a 0
I
a 1,b 3
b 7a 4
1 1 1
a b 5 2
2 2 4
− + + − =
= =
+ =
⇔ ⇔ ⇔
= − = −
= +
+ + − =
Vậy
(
)
B 0; 4
hoặc
(
)
B 1; 3
− −
;
(
)
D 0;4
hoặc
(
)
D 1; 3
− −
2. Gọi
(
)
C c;d
là đỉnh đối diện
A
. Ta có
( )
2 2
AB BC
AB BC
II
AB BC
AB.BC 0
=
=
⇔
⊥
=
( ) ( )
AB 3;4 ,BC c 1;d 3= − = + −
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
C 3;6
c 3,d 6
c 1 d 3 25
II
c 5,d 0
C 5;0
3 c 1 4 d 3 0
= =
+ + − =
⇔ ⇔ ⇒
= − =
−
− + + − =
Vì
ABCD
là hình vuông
AD BC=
( )
* C 3;6
, ta có:
( )
( )
( )
BC 4; 3
x 2 4
D 6;2
y 1 3
AD x 2; y 1
= −
− =
⇒ ⇒
+ =
= − +
(
)
* C 5;0 ,
−
ta có:
( )
( )
( )
BC 4; 3
x 2 4
D 2; 4
y 1 3
AD x 2; y 1
= − −
− = −
⇒ ⇒ − −
+ = −
= − +
Vậy,
( ) ( )
C 3;6 ;D 6;2
hoặc
( ) ( )
C 5;0 ,D 2; 4− − −
3. Gọi
(
)
C x; y
, ta có:
( ) ( )
2 2
2
BA 10,BC x 1 y 1= = − + −
ABCD
là hình vuông
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1. x 1 3 y 1 0
BA BC
BA BC
x 1 y 1 10
− + − =
⊥
⇒ ⇒
=
− + − =
x 4
y 0
=
⇔
=
hoặc
x 2
y 2
= −
=
TH1 :
(
)
(
)
C 4;0 AB DC D 5;3
⇒ = ⇒
)
Nguyễn Phú Khánh
510
TH2:
(
)
(
)
C 2;2 AB DC D 1;5
− ⇒ = ⇒ −
Ví dụ 7
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 2 điểm
(
)
(
)
M 1;1 ,N 7; 5
và đường thẳng
(
)
d : x y 8 0
+ − =
.
1. Tìm điểm
( )
P d∈
sao cho
PMN∆
cân đỉnh
P
2. Tìm điểm
(
)
Q d
∈
sao cho
QMN
∆
vuông đỉnh
Q
Lời giải
1.
( ) ( )
0 0 0 0
P x ;y d : x y 8 0∈ + − =
PMN
∆
cân đỉnh
P PM PN
⇔ =
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
0 0 0 0
x 1 y 1 x 7 y 5⇔ − + − = − + −
Ta có hệ :
( ) ( ) ( ) ( )
( )
0 0
0
2 2 2 2
0
0 0 0 0
x y 8 0
x 2
P 2;6
y 6
x 1 y 1 x 7 y 5
+ − =
=
⇔ ⇒
=
− + − = − + −
2.
(
)
(
)
1 1 1 1
Q x ; y d : x y 8 0
∈ + − =
.
(
)
1 1
QM 1 x ;1 y
= − −
,
(
)
1 1
QN 7 x ;5 y
= − −
QMN
∆
vuông đỉnh
( )( ) ( )( )
1 1 1 1
Q QM QN 1 x 7 x 1 y 5 y 0⇔ ⊥ ⇔ − − + − − =
Ta có hệ
( )( ) ( )( )
( )
1 1
1
1 1 1 1
1
x y 8 0
x 7
Q 7;1
1 x 7 x 1 y 5 y 0
y 1
+ − =
=
⇔ ⇒
− − + − − =
=
Ví dụ 8
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
ABC
∆
biết
(
)
A 3;1 ,
( )
B 1; 3−
trọng tâm
G
của
ABC∆
nằm trên
Ox
. Tìm tọa độ đỉnh
C
biết diện tích
ABC
∆
bằng 3.
Lời giải
*
(
)
G x;0 Ox
∈
,
G
là trọng tâm
2
ABC AG AM 3AG 2AM
3
∆ ⇔ = ⇔ =
2AG 3AM⇔ =
;
( ) ( )
M M
AG x 3; 1 ,AM x 3;y 1= − − = − −
( ) ( )
( )
( )
( )
M
M
M
M
3
x x 1
3 x 3 2 x 3
3 1
2
2AG 3AM M x 1 ;
1
2 2
3 2 y 1
y
2
= −
− = −
= ⇔ ⇔ ⇒ − −
− = −
= −
* Mặt khác
M
là trung điểm
BC
)
Nguyễn Phú Khánh
511
( )
( )
B C C
M
C
B C C C
M
x x 1 x
3
x x 1
x 3x 4
2 2 2
C 3x 4;2
y y 3 y y 2
1
y
2 2 2
+ +
= − =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −
+ − + =
= − =
( )
( )
B C C
M
C
B C C C
M
x x 1 x
3
x x 1
x 3x 4
2 2 2
C 3x 4;2
y y 3 y y 2
1
y
2 2 2
+ +
= − =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ −
+ − + =
= − =
(
)
(
)
CA 7 3x; 1 ,CB 5 3x; 5
= − − = − −
(
)
( ) ( )
ABC
1
S 3 3 det CA,CB 6 5 7 3x 5 3x
2
∆
= ⇔ = ⇔ = − − + −
2x 5 1 x 3
⇔ − = ⇔ =
hoặc
x 2=
Vậy,
( )
C 2;2
hoặc
( )
C 3;2
là tọa độ cần tìm.
Ví dụ 9
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho hình thoi
ABCD
biết
( ) ( )
A 3;1 ,B 2;4−
và giao điểm
I
của 2 đường chéo nằm trên
Ox
. Hãy xác định tọa độ
điểm
C
và
D
.
Lời giải
Gọi
( ) ( ) ( )
0 0 0
I x ;0 Ox AI x 3; 1 ,BI x 2; 4∈ ⇒ = − − = + −
I
là giao điểm 2 đường chéo hình thoi
(
)
(
)
(
)
(
)
AI BI x 3 x 2 1 4 0
⇔ ⊥ ⇔ − + + − − =
( )
x 1,x 2 I 1;0⇔ = − = ⇒ −
hoặc
( )
I' 2;0
*
(
)
I 1;0
−
.
I
là trung điểm
( )
C I A
C I A
x 2x x 5
AC C 5; 1
y 2y y 1
= − = −
⇔ ⇒ − −
= − = −
và
I
là trung điểm
( )
D I B
D I B
x 2x x 0
BD D 0; 4
y 2y y 4
= − =
⇔ ⇒ −
= − = −
*
(
)
(
)
(
)
I 2;0 C 1; 1 ,D 6; 4
⇒ − −
Ví dụ 10
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
1. Cho tứ giác
ABCD
có
( ) ( ) ( ) ( )
A 2;14 ,B 4; 2 ,C 6; 2 ,D 6;10− − −
. Tìm tọa độ
M
giao
điểm 2 đường chéo
AC
và
BD
.
2. Cho
ABC∆
với
( ) ( ) ( )
A 3;5 ,B 5;1 ,C 5; 9− −
. Tính góc
BAD
,
AD
là trung tuyến.
)
Nguyễn Phú Khánh
512
Lời giải
1.
( )
( )
( ) ( )
M M
M M M M
BM x 4; y 2
12 x 2 2 y 2 0 6x y 26 0
BD 2;12
= − +
⇒ − − + = ⇔ − − =
=
( )
( )
( ) ( )
M M
M M M M
CM x 6;y 2
16 x 6 8 y 2 0 2x y 10 0
CA 8;16
= − +
⇒ − + + = ⇔ + − =
= −
Ta có :
M M
M
M M
M
9
6x y 26 0
x
9
M ;1
2
2x y 10 0
2
y 1
− − =
=
⇒ ⇒
+ − =
=
2.
( )
D 1; 4−
có
( ) ( )
AB 8; 4 ,AD 3; 9= − − = − −
(
)
0
AB.AD 24 36 1
cos BAD cos AB;AD BAD 45
AB.AD
4 5.3 10 2
+
= = = = ⇒ =
Ví dụ 11
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
c
ho điểm
( )
A a; b
và
(
)
b 0;a 3 b−
với
a,b 0
≠
. Tìm điểm
C
trên trục
Ox
sao cho
ABC
∆
cân tại
C
. Khi
đó chứng tỏ
ABC
còn là tam giác đều.
Lời giải
Gọi
( )
0
C x ;0 Ox∈
Do
ABC
là tam giác cân tại
C
2 2
AB BC AC BC⇔ = ⇔ =
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
2
2 2 2
0 0 0
x a 0 b x 0 0 a 3 b x 3b a C b 3 a;0⇔ − + − = − + − + ⇔ = − ⇒ −
Với
( )
2 2 2
2 2
2 2 2
AB 4a 4ab 3 4b
C b 3 a;0 AB AC AB AC
AC 4a 4ab 3 4b
= − +
− ⇒ ⇒ = ⇒ =
= − +
Vậy
ABC
∆
là tam giác đều
Ví dụ 12
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
1. Cho 4 điểm
(
)
(
)
(
)
(
)
A 2; 6 ,B 4; 4 ,C 2; 2 ,D 1; 3
− − − − − −
. Chứng minh rằng tam giác
ABC
vuông và tứ giác
ABCD
là hình thang.
2. Cho
(
)
(
)
M 1;1 cosa ,N 3;4
−
. Tính
OM,MN
. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
2 2
y cos a 2cosa 2 cos a 6cosa 13= − + + + +
Lời giải
)
Nguyễn Phú Khánh
513
1.
( )
( )
( )
AC 4;4
AC.BC 4 2 4.2 0 AC BC
BC 2;2
=
⇒ = − + = ⇒ ⊥
= −
hay
ABC
∆
vuông tại
C
Ta có
( ) ( )
( )
AB 6;2 2 3;1
AB 2DC AB CD
DC 3;1
= =
⇒ = ⇒
=
hay
ABCD
là hình thang
2.
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2
2
OM 1 1 cosa cos a 2cosa 2
MN 3 1 4 1 cosa cos a 6cosa 13
= + − = − +
= − + − + = + +
Vì
0 1 cosa 2
≤ − ≤
nên
M
di động trên
1 2
M M
với
(
)
(
)
1 2
M 1;0 ,M 1;2
và
y OM MN ON= + ≥
2 2
min y ON 3 4 5⇒ = = + =
khi :
O,M,N
thẳng hàng
( )
2
2
1 1
OM M N 1 3 1 4 1 20+ = + − + = +
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
OM M N 1 2 3 1 4 2 5 8+ = + + − + − = +
1 1
y OM MN OM M N 1 20 1 2 5 Max y 1 2 5= + ≤ + = + = + ⇒ = +
Khi
(
)
1
M M 1;0
≡
Ví dụ 13
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
1. Cho
ABC∆
có các đỉnh
( ) ( ) ( )
A 2;6 ,B 3; 4 ,C 5;0− −
. Xác định tọa độ chân đường phân
giác
AD
.
2. cho
ABC
∆
có
(
)
(
)
(
)
A 5;4 ,B 1;1 ,C 3; 2 ,M
− −
là điểm di động thỏa
MA MB 0
α + β =
(
)
2 2
0α +β >
. Xác định
M
để
MA MC+
nhỏ nhất.
Lời giải
1.
( ) ( )
2 2
AB 5 10 5 5,= − + − =
( ) ( )
2 2
AC 3 6 3 5= + − =
BD AB 5 5
DB DC
DC AC 3 3
= = ⇒ = −
,
D
chia
BC
theo tỉ
5
k
3
= −
Vậy
D
D
5
3 .5
3
x 2
5
1
3
3
D 2;
5
2
4 .0
3
3
y
5
2
1
3
− +
= =
+
⇒ −
− +
= = −
+
)
Nguyễn Phú Khánh
514
2. Nếu
0
0
β ≠
α ≠
thì
AB MA
M
AB MB
α +β
= −
β
⇒
α + β
=
α
nằm trên
AB
.
Gọi
I
là trung điểm
AC
thì
MA MC 2MI MA MB+ = ⇒ +
nhỏ nhất khi
2MI
nhỏ
nhất. Do
I
cố định nên
MI
nhỏ nhất khi
M
là hình chiếu của
I
trên
AB
( )
( )
M M
M M
M M
x 5 y 4
AM AB x 2y 3 0
6 3
IM AB IM.AB 0; I 4;1 2x y 9 0
− −
⇔ = ⇒ − + =
− −
⊥ ⇒ = ⇔ + − =
Vậy , tọa độ điểm
M
là nghiệm hệ:
( )
M M M
M M M
x 2y 3 0 x 3
M 3;3
2x y 9 0 y 3
− + = =
⇔ ⇒
+ − = =
Ví dụ 14
. Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho đường thẳng
( )
d : 2x y 2 0− + =
và 2 điểm
( ) ( )
A 4;6 ,B 0; 4−
. Tìm trên đường thẳng
( )
d
điểm
M
sao cho vectơ :
AM BM+
có độ dài nhỏ nhất.
Lời giải
Gọi
(
)
(
)
(
)
0 0 0 0 0 0 0 0
M x ;y d : 2x y 2 0 y 2x 2 M x ;2x 2∈ − + = ⇒ = + ⇒ +
Ta có
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
AM x 4; y 6
AM BM 2x 4;2y 2
BM x ;y 4
= − −
⇒ + = − −
= +
( ) ( )
2 2
2
0 0 0 0
AM BM 2x 4 2y 2 20x 32x 20⇒ + = − + − = − +
Cách 1 :
(
)
2
0 0 0
f x 20x 32x 20= − +
là hàm bậc 2, có hệ số
a 5 0= >
nên
( )
0 0 5 0
b 32 4 18 4 18
min f x x x y M ;
2a 20 5 5 5 5
⇔ = = − = = ⇒ = ⇒
Cách 2 : Đặt
(
)
2
0 0 0
f x 20x 32x 20= − +
có
( )
0 0 0
4
f' x 40x 32 0 x
5
= − = ⇔ =
( )
0
36
min f x
5
⇒ =
tại
0 0
4 18
x y
5 5
= ⇒ =
0
x
−∞
4
5
+∞
( )
0
f' x
−
0
+
+∞
+∞
( )
0
f x
36
5
)
Nguyễn Phú Khánh
515
Vậy
4 18
M ;
5 5
thì độ dài
36 6 5
AM BM
5 5
+ = =
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập tự luyện
Bài tập 1.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a.
Cho
( ) ( )
A 1;2 ,B 3; 1
− và hình vuông
ABCD
theo chiều dương. Tìm tọa độ đỉnh
C,D.
b. Cho 2 điểm
(
)
(
)
A 4; 3 ,B 2;5
. Tìm trong mặt phẳng một điểm
C
để tam giác
ABC
là tam giác vuông cân.
Bài tập 2.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a.
C
ho tam giác
ABC
có
(
)
A 1; 1 ,−
(
)
B 5; 3−
và
C Oy∈
, trọng tâm
G
của tam giác ở
trên
Ox
. Xác định tọa độ
C
và
G
.
b. Cho 4 điểm
(
)
(
)
(
)
(
)
A 3;2 ,B 7;4 ,C 4; 5 ,D 2;4
. Chứng minh
ABCD
là hình thang
vuông. Tính chu vi và diện tích
ABCD
.
Bài tập 3.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho điểm
( )
A 3;2 ,
−
( )
B 4;3
.
a. Tìm điểm
M Ox∈
sao cho
MAB∆
vuông tại
M
.
b. Gọi
C
là điểm nằm trên
Oy
và
G
là trọng tâm
ABC
∆ . Tìm tọa độ điểm
C
, biết
G
nằm trên
Ox
.
Bài tập
4.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 2 điểm
( ) ( )
B 2;1 ,C 6;1
a. Tìm điểm
(
)
(
)
A x;y , x 0,y 0> >
sao cho tam giác
ABC
đều.
b. Tìm
A'
đối xứng với
A
qua
C
.
c. Tìm tọa độ điểm
D
sao cho
AD 3BD 4CD 0− + =
.
d. Tìm điểm
M
sao cho tứ giác
ABCM
là hình bình hành. Xác định tâm của nó.
Bài tập
5.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho tứ giác
ABCD
có
(
)
(
)
(
)
(
)
A 2;14 ,B 4; 2 ,C 5; 4 ,D 5;8− − −
. Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường chéo
AC
và
BD.
Bài tập
6.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
tam giác
ABC
có trung
điểm các cạnh
BC,AC,AB
lần lượt là
(
)
(
)
(
)
M 2;4 ,N 3;0 ,P 2;1−
a. Tìm tọa độ đỉnh của tam giác
ABC
.
b. Tìm tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC
; chứng mình
G
cũng là trọng tâm của
tam giác
MNP
.
)
Nguyễn Phú Khánh
516
Bài tập
7.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 3 điểm
( ) ( )
A 1; 2 ,B 2;3 ,
−
( )
C 1; 2
− − . Tìm điểm
D
trên
Oy
sao cho
ABCD
là hình thang có
cạnh đáy là
AD
. Tìm giao điểm
I
của 2 đường chéo.
Bài tập 8.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 4 điểm
(
)
A 2; 3 ,− −
( )
B 4; 1 ,
−
( ) ( )
C 2;1 ,D 1;0
−
a. Chứng minh
ABCD
là hình thang
b. Tìm giao điểm của
AB
với
Ox
c. Tìm điểm
M
trên đường thẳng
CD
, biết
M
y 2=
. Khi đó
ABMD
là hình gì ?
d. Tìm giao điểm của
AC
và
BD
Bài tập
9.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
ABC
∆ , biết
( )
A 4;6 ,
(
)
(
)
B 4;0 ,C 1; 4− − −
a. Tìm tọa độ trực tâm
H
, trọng tâm
G
, tâm
I
và bán kính
R
đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
b. Kẻ đường cao
AD
. Tìm tọa độ
D
c. Tìm độ dài trung tuyến
BE
Bài tập
10.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
(
)
A 2; 3 ,−
(
)
B 2;5
.
Đỉnh C nằm trên đường thằng
x 3y 5
− =
. Tâm
( )
I 1; 2
đường tròn ngoại tiếp tam
giác .
a. Tìm tọa độ
C
.
b. Tìm tọa độ trọng tâm
G
, trực tâm
H
. Chứng minh rằng :
G,H,I
thằng hàng.
Bài tập
11.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho điểm
(
)
A 2;1
. Tìm
tọa độ điểm
B
biết rằng đường thẳng
AB
cắt
Oy
tại
C
chia đoạn
AB
theo tỉ số
2
3
và đường thẳng
AB
cắt
Ox
tại
D
chia đoạn
AB
theo tỉ số
3
4
−
.
Bài tập
12.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 3 điểm
(
)
A 3;6 ,−
( )
B 1; 2 ,
−
( )
C 6;3
.
a. Chứng minh
A, B,C
là 3 đỉnh của một tam giác.
b. Tìm tọa độ chân đường cao
A'
xuất phát từ
A
.
c. Tính tọa độ trọng tâm
G
, trực tâm
H
và tâm
I
của tam giác
ABC
.Có nhận xét gì
về điểm
G,H,I
?
Bài tập
13.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho điểm
( )
A 0;4
, và
)
Nguyễn Phú Khánh
517
đường thẳng
y 8=
. Tìm trên đường thẳng
y 0=
điểm
(
)
B
B x ;0
và trên đường thẳng
y 8
=
điểm
( )
C
C x ;8
sao cho
AB AC
= và tam giác
ABC
có diện tích bằng
24
.
Bài tập
14.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
3 điểm
(
)
(
)
(
)
A 3;5 ,B 1;2 ,C 5;1
a. Tìm tọa độ trọng tâm
G
, trực tâm
H
, tìm chân đường cao
A'
của
AA'
.
b. Xác định tọa độ tâm
I
đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
. Chứng minh
G,H,I
thẳng
hàng.
Bài tập
15.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho 3 điểm
(
)
A 3;1 ,
( )
B 1; 1 ,
− −
( )
C 6;0
. Tìm tọa độ đỉnh
D
của hình thang cân cạnh đáy
AB,CD
.
Bài tập
16.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a. Cho 2 điểm
(
)
(
)
A a;0 ,C 2a; 3a
. Đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
AC
cắt
đường thẳng
x 2a 0
+ = tại điểm
B
. Chứng minh tam giác
ABC
là tam giác cân.
b. Cho 2 đường thẳng
3x 4y 6 0− + =
và
4x 3y 9 0− − =
. Tìm một điểm
M
trên trục
Oy
cách đều 2 đường thẳng ấy.
c. Cho
ABC∆
với
(
)
(
)
(
)
A 1; 3 ,B 0;1 ,C 4; 1− −
. Tìm tọa độ chân đường cao
H
kẻ từ
A
d. Tìm tọa độ
A, B
, biết đường thẳng
( )
d
đi qua
( )
M 4; 3
− và cắt trục hoành, trục
tung lần lượt tại
A, B
thỏa
AM :MB 3 : 5=
Bài tập
17.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a. Cho 3 điểm
( ) ( ) ( )
A 2; 3 ,B 1;4 ,C x; 2
− − . Xác định hoành độ của điểm
C
để tổng
AC CB+
đạt giá trị nhỏ nhất.
b. Cho 2 điểm
( ) ( )
A 1; 1 ,B 5; 3
− − và đường thẳng
( )
: 5x 12y 32 0
∆ − + = . Tìm
M
để
MA MB=
và khoảng cách từ
M
đến
(
)
∆
bằng 4.
Bài tập
18.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho đường thẳng
( )
: 2x y 2 0
∆ + − = và 3 điểm
( ) ( ) ( )
A 8;1 ,B 3;2 C 1;4
−
a. Tìm trên
(
)
∆
một điểm
M
để tổng
MA MB+
có độ dài nhỏ nhất.
b. Tìm trên
( )
∆ một điểm
N
để tổng
NA NC
+ có độ dài nhỏ nhất.
Bài tập
19.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a. Trên đường thẳng
x 2y 10 0
− + =
, tìm điểm
M
sao cho
AM BM
+
có độ dài nhỏ
nhất, với
(
)
(
)
A 6; 5 ,B 4; 5
−
)
Nguyễn Phú Khánh
518
b. Cho
(
)
(
)
A 1; 2 ,B 2;4
. Tìm trên trục hoành điểm
P
sao cho
(
)
AP PB+
nhỏ nhất.
c. Cho đường thẳng
( )
d : x 2y 2 0
− + = và
( ) ( )
A 0;6 ,B 2;5
. Tìm trên
( )
d
điểm
M
sao
cho
MA MB−
lớn nhất;
(
)
MA MB+
nhỏ nhất.
Bài tập
20.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
(
)
(
)
A 1;6 ,B 3; 4− −
và
đường thẳng
( )
: 2x y 1 0
∆ − − = . Tìm điểm
M
trên
( )
∆ sao cho vectơ :
AM BM
+
có
độ dài nhỏ nhất.
Bài tập
21.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
(
)
: 2x y 1 0∆ + + =
,
(
)
(
)
M 0;3 ,N 1; 5
.
a. Tìm
I
∈∆
sao cho :
(
)
IM IN min+
.
b. Tìm
J∈∆
sao cho :
JM JN max
− .
Bài tập
22.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
đường thẳng
( )
T : 2x y 1 0
− − = và 5 điểm
( ) ( ) ( ) ( )
1
A 0; 1 ,B 2;3 ,C ;0 ,E 1;6 ,F 3; 4
2
− − −
a. Tìm trên
( )
T
điểm
D
sao cho 4 điểm
A, B,C,D
lập thành hàng điểm điều hòa.
b. TÌm điểm
M
trên
(
)
T
sao cho
EM FM+
có độ dài nhỏ nhất.
Bài tập
23.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
a. Cho 2 điểm
(
)
(
)
A 1; 3 ,B 5; 1− −
. Tìm
M
trên
Ox
sao cho
AM BM+
ngắn nhất.
b. Tìm trên trục hoành sao cho tổng khoảng cách từ
M
đến 2 điểm
( ) ( )
A 1; 2 ,B 3;4
là
nhỏ nhất.
c. Cho 2 điểm
(
)
(
)
A 0;5 ,B 4;1
và đường thẳng
(
)
: x 4y 7 0∆ − + =
. Tìm một điểm
C
trên
( )
∆ sao cho
ABC
∆ là tam giác cân, đáy
AB
.
Bài tập
24.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
tam giác
ABC
, biết
( ) ( ) ( )
A 6;4 ,B 4; 1 ,C 2; 4
− − −
a. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong
AD
của góc
A
. Tính độ dài
AD
.
b. Tìm tâm đường tròn nội tiếp tam giác
ABC
.
Bài tập
25.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy
)
Nguyễn Phú Khánh
519
a. Cho tam giác
ABC
với
(
)
(
)
(
)
A 1; 5 ,B 4; 5 ,C 4; 1− − −
.Tìm tọa độ chân đường phân
giác trong và ngoài góc
A
. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp
ABC
∆ .
b. Cho điểm
(
)
(
)
A 4; 3 ,B 3;1−
. Tìm điểm
M
trên trục
Ox
sao cho
AMB
4
π
=
.
c. Cho các điểm
( ) ( ) ( ) ( )
A 2;1 ,B 0;1 ,C 3;5 ,D 3; 1
− − . Tính tọa độ các đỉnh hình vuông
có 2 cạnh song song đi qua
A
và
C
, 2 cạnh song song còn lại đi qua
B
và
D
, biết
rằng tọa độ các đỉnh hình vuông đều dương.
Bài tập
26.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
ABC∆
có
(
)
A 3;6 ,−
( )
B 1; 2
− . Đỉnh
C
có tọa độ thỏa
C C
x 2y 0− =
. Tâm đường tròn ngoại tiếp là
( )
I 1; 3
.
Tìm tọa độ đỉnh
C
và bán kính nội tiếp
ABC∆
.
Bài tập
27.
Trong mặt phẳng toạ độ đề các vuông góc
Oxy,
cho
( )
ABC,A 1; 6 ,
∆
(
)
B 4; 4 ,− −
(
)
C 4;0
. Tìm tọa độ chân đường phân giác trong và ngoài góc
A
và tọa độ
tâm đường tròn nội tiếp
ABC
∆ .
Hướng dẫn giải
Bài tập
1. a.
( )
AB 2; 3
= −
mà
( ) ( )
D
D
x 4
AD AB
AD 3;2 D 4;4
AD AB y 4
=
=
⇒ = ⇒ ⇒
⊥ =
( )
C
C
x 6
DC AB C 6;1
y 1
=
= ⇒ ⇒
=
b. *
ABC∆
vuông cân tại
2 2
CA CB
CA.CB 0
C
CA CB
CA CB
⊥
=
⇔ ⇔
=
=
2 2
x y 6x 8y 23 0
x y 1 0
+ − − + =
⇔
− + =
(
)
C 4; 5⇒
và
(
)
C' 2;3
*
ABC∆
vuông tại
(
)
( )
C 6;5
CA BA
A
CA BA
C' 2;1
⊥
⇔ ⇔
=
*
ABC∆
vuông cân tại
( ) ( )
B C 0;3 ,C' 4;7⇔
Bài tập
2. a. Gọi
(
)
(
)
G x;0 ,C 0;y
. Trung điểm
I
của
AB
:
(
)
I 3; 2⇒ −
Ta có
(
)
( )
(
)
( )
3 3 x 3 G 2;0
x 2
IC 3IG
y 4
y 2 3 0 2 C 0;4
− = −
=
= ⇔ ⇔ ⇒
=
+ = +
)
Nguyễn Phú Khánh
520
b.
AB 2DC
AB 2 5,CD AD 5,BC 10 ABCD
AD.AB 0
=
= = = = ⇒ ⇒
=
là hình thang
vuông.
( )
1 15
P AB BC CD AD 4 5 10,S AB CD .AD
2 2
= + + + = + = + =
Bài tập
3. a.
(
)
(
)
(
)
M Ox M m;0 MB 4 m;3 ,MA 3 m; 2∈ ⇒ ⇒ = − = − −
MAB∆
vuông tại
M
( )( )
MA.MB 0 4 m 3 m 6 0⇔ = ⇔ − − − + =
(
)
( )
2
M 4;0
m 4
m m 12 0
m 3
M 3;0
=
⇔ − − = ⇔ ⇒
= −
−
b.
( )
C
C Oy C 0; y∈ ⇒
,
( )
G
G Ox G x ;0∈ ⇒
G
là trọng tâm
ABC∆
, ta có
G A B C G
G
G A B C C
C
1
3x x x x 3x 3 4
x
3
3y y y y 0 2 3 y
y 5
= + + = − +
=
⇔ ⇒
= + + = + +
= −
( )
1
G ;0 ,C 0; 5
3
⇒ −
.
Bài tập
4.a Tam giác
ABC
đều
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
x 2 y 1 4
AB BC
AC BC
x 6 y 1 4
− + − =
=
⇔ ⇔
=
− + − =
( )
x 4
A 4;1 2 3
y 1 2 3
=
⇔ ⇒ +
= +
b.
A'
đối xứng
A
qua
( )
C C 6;1⇔
là trung điểm
A A'
C
A A'
c
x x
x
2
A'
y y
y
2
+
=
⇔
+
=
A'
A'
x 8
y 1 2 3
=
⇒
= −
c.
(
)
( ) ( )
AD x 4; y 1 2 3 ,BD x 2; y 1 ,CD x 6; y 1= − − − = − − = − −
AD 3BD 4CD 0 x 11,y 1 3− + = ⇔ = = − −
d.
ABCM
là hình bình hành
(
)
( )
AM BC,AM x 4;y 1 2 2 ,BC 4;0⇔ = = − − − =
Vậy
AM BC x 8,y 1 2 3= ⇔ = = +
Gọi
I
là tâm hình bình hành
ABCM
khi
I
là trung điểm
AC
)
Nguyễn Phú Khánh
521
Bài tập
5. Gọi
(
)
I x; y
là giao điểm 2 đường chéo
AC,BD
AI AC
BI BD
↑↑
⇔
↑↑
với
( ) ( )
( ) ( )
AI x 2;y 4 ,AC 7; 18
BI x 4; y 2 ,BD 1;10
= + + = −
= − + =
( ) ( )
( ) ( )
89
x
7 y 14 18 x 2 0
89 17
22
I ;
17
22 11
10 x 4 y 2 0
y
11
=
− + + =
⇔ ⇔ ⇒ −
− − + =
= −
Bài tập
6a. Ta có
A A
A A
x 2 3 2 x 3
PA MN
y 1 0 4 y 3
− = − − = −
= ⇔ ⇔
− = − = −
( ) ( ) ( )
: A 3; 3 ;B 7;5 ;C 3;3− − −
b. Gọi
M
là trung điểm
BC
. Ta có :
(
)
(
)
( ) ( )
G
G
2 3 3 2 x
1 5
AM 3GM G ;
3 3
4 3 3 4 y
− − = −
= ⇔ ⇒
− − = −
GM GN GP 0 G+ + = ⇒
là trọng tâm
MNP∆
.
Bài tập
7. Ta có
( )
( )
AB 1; 5
2 0
AB
1 5
AC 2;0
=
−
⇒ ≠ ⇒
= −
không cùng phương
AC
. Do đó
A, B,C
không thẳng hàng.
( )
0
D 0;y Oy∈
( ) ( )
0
CB 3;5 ;AD 1;y 2= = − +
*
ABCD
là hình thang có đáy
AD AD⇔
cùng phương
CD
( ) ( )
0 0
11 11
3. y 2 1 .5 0 y D 0;
3 3
− −
⇔ + − − = ⇒ = ⇒
Gọi
( )
I a,b
là giao điểm 2 đường chéo
AC
và
BD
Ta có :
( ) ( ) ( )
20
AC 2;0 ;AI a 1;b 2 ;BD 2; ; BI a 2; b 3
3
−
= − = − + = − = − −
I
là giao điểm
AC
và
BD
A,I,C⇔
thẳng hàng và
B,I,D
thẳng hàng
AC⇔
cùng
phương
AI
và
BD
cùng phương
BI
( )
A C
I
I
A C
I
I
x x
x
x 5
2
I 5;1 3
y y
y 1 3
y
2
+
=
=
⇔ ⇔ ⇒ +
+
= +
=
)
Nguyễn Phú Khánh
522
(
)
(
)
( ) ( )
2. b 2 0. a 1 0
1
a
1
I ; 2
2
20
2
2. b 3 . a 2 0
b 2
3
− + − − =
=
⇔ ⇔ ⇒ −
− − + − =
= −
Bài tập
8a.
( )
( )
AB 6;2
AB 2DC AB,DC
DC 3;1
=
⇒ = ⇒
=
cùng phương hay
ABCD
là hình
thang.
b.
( ) ( )
0
AB Ox N x ;0 AN∩ = ⇔
cùng phương
AB
với
( ) ( )
0
AN x 2; 3 ; AB 6;2= + =
(
)
(
)
0 0
AN AB 2 x 2 3.6 0 x 7 N 7;0⇔ + − = ⇔ = ⇒
c.
( )
M CD CM∈ ⇔
cùng phương
CD
với
( ) ( )
CM x 2;1 ;CD 3; 1= − = − −
( ) ( )
x 2 1
x 5 M 5;2 DM 6;2 AB
3 1
−
= ⇔ = ⇒ ⇒ = =
− −
ABMD⇒
là hình bình hành.
d. Tương tự trên
2 1
I ;
3 3
−
Bài tập
9a.
( )
* H x; y
là tọa độ trực tâm
H
của
ABC∆
, ta có
( )
AH BC AH.BC 0
I
BH AC
BH.AC 0
⊥ =
⇔
⊥
=
mà
( )
( )
AH x 4; y 6
BC 3; 4
= − −
= −
;
( )
( )
BH x 4;y
AC 5; 4
= +
= − −
và
( )
(
)
(
)
( )
3 x 4 4 y 6 0
I
5 x 4 10y 0
− − − =
⇔
− + − =
( )
x 4
H 4;0 : H B ABC
y 0
= −
⇔ ⇒ − ≡ ⇒ ∆
=
vuông tại B
* Trọng tâm
G B C
G
A B C
G
x x x
1
x
1 2
3 3
G : G ;
y y y
3 3
2
y
3 3
+ +
= = −
⇒ −
+ +
= =
* Tọa độ tâm
(
)
I a; b
của đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
là giao điểm của 2 đường
trung trực
Gọi
M,N
lần lượt là trung điểm
AB,BC
, ta có
( )
( )
M A B
M A B
1
x x x 0
2
1
y y y 3
2
= + =
= + =
)
Nguyễn Phú Khánh
523
( )
( )
( )
N B C
N B C
1
x x x
5
2
M 0;3 ;N ; 2
1
2
y y y
2
= +
⇒ − −
= +
Theo bài toán ta có :
( )
MI AB MI.AB 0
II
NI BC
NI.BC 0
⊥ =
⇔
⊥
=
mà
( )
MI a;b 3
5
NI a ;b 2
2
= −
= + +
(
)
(
)
AB 8; 6 ;BC 3; 4= − − = −
Vậy
( )
( )
( )
4a 3 b 3 0
3
a
3
II I ;1
2
5
2
3 a 4 b 2 0
b 1
2
+ − =
=
⇔ ⇔ ⇒
+ − + =
=
* Do
ABC∆
vuông tại
B
nên
1 5 5
R AC
2 2
= =
b. Gọi
D
là tọa độ chân đường cao thì :
AD BD
AD CD
⊥
⊥
Ta có hệ
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
x 16 0
x 4 x 4 y y 6 0
AD.BD 0
3
x 4 x 1 y 4 y 6 0
y 3 x
AD.CD 0
4
− =
− + + − =
=
⇔ ⇔
− + + + − =
= +
=
(
)
( )
( )
x 4; y 0; B 4;0
D B 4;0
x 4;y 6;A 4;6
= − = −
⇒ ⇒ ≡ = −
= =
Cách khác : Do
ABC∆
vuông tại
B
, nên
D B≡
c.
E
là trung điểm
BC
nên
3
E ;1 ;E I
2
≡
và
11 5 2
BE ;1 BE R
2 2
= ⇒ = =
Chú ý : học sinh làm lại bài này nếu thay tọa độ
A, B,C
là
(
)
(
)
(
)
A 2; 2 ,B 5;1 ,C 3; 5− −
Bài tập
10.
(
)
(
)
C C C C C C
C x ; y x 3y 5 x 5 3y C 5 3y ; y∈ − = ⇒ = + ⇒ +
a.
I
là tâm đường trong ngoại tiếp
ABC IA IC∆ ⇔ =
( )
1
2
IA 10,=
( ) ( )
2 2
2
C C
IC 6 3y y 2= + + −
( )
1
( ) ( )
2 2
2 2 2
C C C C
IA IC 6 3y y 2 10 y 2y 1 0⇔ = ⇔ + + − = ⇔ + + =
(
)
C C
y 1 x 2 C 2; 1⇔ = − ⇒ = ⇒ −
b. Trọng tâm G :
G
G
2
x
2 7
3
G ;
7
3 3
y
3
=
⇒
=
)
Nguyễn Phú Khánh
524
Trực tâm H :
( )
( ) ( )
H
H H
6 y 3 0
AH.BC 0
4 x 2 4 y 5 0
BH.AC 0
− =
=
⇔ ⇔
− − − =
=
( )
H
H
y 3
H 0;3
x 0
=
⇔ ⇒
=
( )
( )
1 1 1
IG ; 1;1
3 3 3
2 2 2
GH ; 1;1
3 3 3
= − = −
= − = −
GH 2IG I,H,G⇒ = ⇒
thẳng hàng.
Bài tập
11.
Gọi
( )
C 0;c Oy,∈
ta có :
B
A B
C B
2
2 .x
x k.x
CA 2
3
x 0 x 3
2
3 1 k
CB
1
3
−
−
= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
−
−
(
)
D d;0 Ox∈
, ta có:
A B
D B
y ky
DA 3 4 4
y y B 3;
DB 4 1 k 3 3
−
= − ⇒ = ⇔ = − ⇒ −
−
Bài tập
12a.
( )
( )
AB 4; 8
AC 9; 3
= −
= −
và
4 8
A,B,C
9 3
−
≠ ⇒
−
không thẳng hàng.
b.
( )
( ) ( )
BC 5;5
BA' a 1; b 2 ; A' a; b
=
= − +
Vì
( ) ( )
( )
a 1 b 2
BC BA' a 3
A' 3;0
5 5
b 0
AA'.BC 0
a 3 .5 b 6 .5 0
− +
=
=
⇔ ⇔ ⇒
=
=
+ + − =
c.
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
H H
H H
5 x 3 5 y 6 0
AH BC AH.BC 0
H 2;1
BH AC
9 x 1 3 y 2 0
BH.AC 0
+ + − =
⊥ =
⇔ ⇔ ⇒
⊥
− + − + =
=
A B C
G
A B C
G
x x x
4
x
4 7
3 3
G ;
y y y
3 3
7
y
3 3
+ +
= =
⇒
+ +
= =
I
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC IA IB IC∆ ⇒ = =
( )
2 2
I
2 2
I
x 1
IA IB
I 1; 3
y 3
IA IC
=
=
⇔ ⇔ ⇒
=
=
Ta có :
( )
( )
IH 1; 2
IG IH
1 2 1 1
IG ; 1; 2 IH
3 3 3 3
= −
⇒
−
= = − =
. Hay
G,H,I
thẳng hàng.
㻐
ͽ
Nguyễn Phú Khánh
525
Bài tập
13. Với
( )
( )
2
B
B
2 2
B C
2
C
C
B x ;0 y 0
AB x 16
AB AC x x 0
C x ;0 y 8
AC x 16
∈ =
= +
⇒ ⇒ = ⇔ − =
∈ =
= +
( ) ( )
B
B C B C
C
x 4
1
AB x ; 4 ,AC x ;4 S 24 x x 24
x 4
2
−
= − = ⇒ = = ⇔ + =
−
Vậy,
2 2
B
B C
C
B C
x 6
x x 0
x 6
x x 14
=
− =
⇔
=
+ =
hoặc
(
)
( )
B
C
B 6;0
x 6
x 6
C 6;8
= −
⇒
= −
hoặc
(
)
( )
B' 6;0
C' 6;8
−
−
Bài tập
14. a. * Tọa độ trọng tâm
G
của tam giác
ABC :
A B C
G
A B C
B
x x x
x 3
8
3
G G 3;
y y y
3
8
y
3 3
+ +
= =
⇒
+ +
= =
*
( )
H x; y
là tọa độ trực tâm của tam giác
ABC
với
( ) ( )
( ) ( )
AH x 3;y 5 ;BC 4; 1
BH x 1;y 2 ;AC 2; 4
= − − = −
= − − = −
Thỏa:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
17
x
4 x 3 y 5 1 0
AH.BC 0
17 19
7
H ;
19
7 7
2 x 1 y 2 4 0
BH.AC 0
y
7
=
− + − − =
=
⇔ ⇔ ⇒
− + − − =
=
=
*
( )
A' x; y
là chân đường cao
AA'
khi
AA' BC⊥
và
BC
cùng phương
BA'
( )
∗
Với
(
)
(
)
(
)
AA' x 3;y 5 ;BC 4; 1 ,BA' x 1;y 2= − − = − = + −
( )
( ) ( )
( ) ( )
4 x 3 y 5 0
AA'.BC 0 4x y 7 0
x 4y 9 0
4 y 2 x 1 0
BC BA'
− − − =
= − − =
∗ ⇔ ⇔ ⇔
+ − =
− + − =
↑↑
37 99
A' ;
7 7
⇒
b. *
( )
I x; y
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC∆
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
23
x
x 3 y 5 x 1 y 2
IA IB
23 37
7
I ;
37
7 14
IA IC
x 3 y 5 x 5 y 1
y
14
=
− + − = − + −
=
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
=
− + − = − + −
=
*
8 17 19 23 37
G 3; ,H ; ,I ;
3 7 7 7 14
4 1
BH ;
7 21
4 1 1 6
GH.HI 0
7 14 21 7
6 1
HI ;
7 14
= −
⇒ = − − − =
= −
끀
ο
Nguyễn Phú Khánh
526
GI⇒
và
HI
cùng phương hay
G,H,I
thẳng hàng.
Bài tập
15. Gọi
(
)
D x;y
.
(
)
(
)
(
)
(
)
CD x 6;y ,BD x 1; y 1 ,AB 4; 2 ,AC 3; 1= − = + + = − − = −
Bài toán
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 x 6 4.y 0
x 2
CD AB
D 2; 4
y 4
BD AC
x 1 y 1 10
− − + =
= −
⇔ ⇔ ⇔ ⇒ − −
= −
=
+ + + =
Bài tập
16.a.
(
)
2 2 2
B 2a; a ,AB AC 10a− − = =
b.
( )
3
M 0;15 ,M' 0;
7
−
c. Gọi
(
)
H a;b
, ta có :
(
)
(
)
( ) ( )
AH BC
4 a 1 2 b 2 0
8 9
H ;
5 5
2 a 0 4 b 1 0
BH BC
⊥
− + − =
⇔ ⇔
− − − =
↑↑
d.
( ) ( )
A a;0 ,B 0;b .MA :MB 3 : 5 5AM 3MB= ⇔ =
(
)
(
)
( )
32
5 OM OA 3 OB OM 5OA 3OB 8OM A ;0 ,B 0;8
5
⇔ − = − ⇒ + = ⇒ −
Bài tập
17.a.
AC CB+
nhỏ nhất khi
A, B,C
thẳng hàng và
C
x 17=
b.
( )
180 208
M 4;0 ,M' ;
19 19
Bài tập
18. a.
( )
min
MA MB+
khi
A,M,B
thẳng hàng và
( ) ( )
1 12
AB M ;
7 7
∆ ∩ =
b. Gọi
A'
đối xứng
A
qua
(
)
∆
thì
( ) ( )
1 40
A'C N ;
19 19
∩ ∆ = −
Bài tập
19.a.
(
)
min
AM MB+
khi
2 1
M 1 ;
5 5
+
b. Gọi
(
)
0
P x ;0
, có
( ) ( )
2 2
0 0
AP PB x 1 4 x 3 16+ = − + + − +
Xét
(
)
(
)
0 0
a x 1;2 ,b 3 x ;4= − = −
Ta có
( )
min
AP PB a b a b 2 10 AP PM 2 10+ = + ≥ + = ⇒ + =
Khi
0 0
0
x 2 3 x
5 5
a b x P ;0
2 4 3 3
− −
↑↑ ⇔ = ⇔ = ⇒
Bài tập
22. a.
A, B,C,D
lập thành điểm điều hòa
CA DA
CB DB
⇔ = −
với
1
CA ; 1
2
3
CB ;3
2
= − −
=
匀
ς
Nguyễn Phú Khánh
527
( )
A B
D
A B
D
x k.x
x 1
DA 1 1
1 k
; k D 1; 3
y k.y
3 3
DB
y 3
1 k
−
= = −
−
⇒ = = ⇔ ⇒ − −
−
= = −
−
b. Gọi
(
)
(
)
0 0
M x ; y T∈
,
0 0 0 0
2x y 1 0 y 2x 1− − = ⇔ = −
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
EM x 1; y 6
EM FM 2x 2;2y 2
FM x 3; y 4
= − −
⇒ + = + −
= + +
( ) ( )
2
2 2
0 0 0
3 16
EM FM 2x 2 2y 2 2 5. x
5 25
⇒ + = + + − = − +
;
0 0
y 2x 1= −
Vậy
min
8 5
EM FM
5
+ =
khi
2
0 0 0
3 3 1 3 1
x 0 x y M ;
5 5 5 5 5
− = ⇔ = ⇒ = ⇒
Bài tập
23. a.
(
)
M 4;0
b.
5
M ;0
3
c.
(
)
C 1;2
Bài tập
24. a.
2 8 20
D ; ,AD 2
3 3 3
− − =
b.
( )
I 1; 1−
Bài tập
25. a.
( ) ( )
5
1; , 16;5 , 1;0
2
b.
11 33
M ;0
2
+
Bài tập
27.
B C
D
B C
D
x k.x 3
D 1;
x
2
1 k
y k.x
AB 5
y
k
1 k
AC 3
−
−
=
−
⇒
−
=
= =
−
,
( )
( )
A D
J
A D
J
x k'.x
I 1;1
x
1 k'
E 16;6
BA
y k'.y
k' 2
y
BD
1 k'
−
=
−
⇒ ⇒
−
= = −
=
−
