Nguyên hàm lượng giác - Phần 1

I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG


 Các hằng đẳng thức lượng giác:
2 2
2
2
2
2
sin cos 1
1
1 tan
cos
1
1 cot
sin
tan .cot 1
x x
x
x
x
x
x x
+ =
= +
= +

=



 Công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
sin2 2sin .cos
x x x x x
x x x
= − = − = −
=




 Công thức hạ bậc hai:
2
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
sin
2
x
x
x
x
+

=
−
=



 Công thức cộng:
( )
( )
sin sin .cos sin .cos
cos cos .cos sin .sin
a b a b b a
a b a b a b
± = ±
± = ∓

(Sin thì cùng dấu khác loài, Cos thì khác dấu nhưng loài giống nhau)


Chú ý:
- Trong trường hợp a = b ta được công thức góc nhân đôi:
2 2 2 2
sin 2 2sin .cos
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
a a a
a a a a a
=


= − = − = −



- Trong trường hợp 2a = b ta được công thức góc nhân ba:
3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
a a a
a a a

= −


= −





 Công thức biến đổi tích thành tổng:
[ ]
[ ]
[ ]
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1

sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
= + + −
= − − +
= + + −


Chú ý:
( )
( )
sin sin
cos cos
x x
x x

− = −


− =



07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P1






 Công thức biến đổi tổng thành tích:
sin sin 2sin .cos
2 2
sin sin 2cos .cos
2 2
cos cos 2cos .cos
2 2
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b a b
a b
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −



 Công thức biến tính theo

2
2
2
2
2
sin
sin 2
1
tan tan
2 cos
1
1
cos
1

=

+

= ⇒ ⇒ = =

−
−

=

+

t
x

x x t
t
t x
x
t
t
x
t



 Một số các công thức cần nhớ nhanh
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )+ = + −
x x x x x x
;
3 3
sin cos (sin cos )(1 sin .cos )− = − +
x x x x x x

4 4 2 2 2
1 3 1
sin cos 1 2sin .cos 1 sin 2 cos4
2 4 4
+ = − = − = +
x x x x x x

6 6 2 2 2
3 5 3
sin cos 1 3sin .cos 1 sin 2 cos4

4 8 8
+ = − = − = +
x x x x x x

π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
   
+ = + = −
   
   
x x x x ;
π π
sin cos 2sin 2 cos
4 4
   
− = − = − +
   
   
x x x x
cos( )
1 tan .tan
cos .cos
−
+ =
a b
a b
a b
;
2

tan cot
sin 2
+ =x x
x

II. CÁC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG SỬ DỤNG

1
sin cos
I xdx x C
= = − +
∫




( )
( )
8
2
1
tan
cos
dx
I ax C
ax a
= = +
∫


( ) ( )
2
1
sin cos
I ax dx ax C
a
= = − +
∫



9
2
cot
sin
dx
I x C
x
= = − +
∫




3
cos sin
I xdx x C
= = +

∫




( )
( )
10
2
1
cot
sin
dx
I ax C
ax a
= = − +
∫




( ) ( )
4
1
cos sin
I ax dx ax C
a
= = +
∫


11
sin
tan ln cos
cos
xdx
I xdx x C
x
= = = − +
∫ ∫




2
5
1 os2 sin 2
sin
2 2 4
c x x x
I xdx dx C
−
= = = − +
∫ ∫



12
cos

cot ln sin
sin
xdx
I xdx x C
x
= = = +
∫ ∫




2
6
1 cos2 sin 2
cos
2 2 4
x x x
I xdx dx C
+
= = = + +
∫ ∫




2
13
2
1
tan 1 tan

cos
I xdx dx x x C
x
 
= = − = − +
 
 
∫ ∫




7
2
tan
cos
dx
I x C
x
= = +
∫


2
14
2
1
cot 1 cot
sin
I xdx dx x x C

x
 
= = − = − − +
 
 
∫ ∫





III. CÁC DẠNG NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Dạng 1. Nguyên hàm dùng công thức lượng giác thuần túy
Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1
sin 2
I xdx
=
∫
b)
2
2
cos 4
I xdx
=
∫
c)
2 4

3
cos .sin=
∫
I x xdx

Hướng dẫn giải:
a)
( )
2
1
1 cos4 1 1 1 1
sin 2 1 cos4 sin4 sin 4 .
2 2 2 4 2 8
x x
I xdx dx x dx x x C x C
−
 
= = = − = − + = − +
 
 
∫ ∫ ∫

b)
( )
2
2
1 cos8 1 1 1 1
cos 4 1 cos8 sin8 sin8 .
2 2 2 8 2 16
x x

I xdx dx x dx x x C x C
+
 
= = = + = + + = + +
 
 
∫ ∫ ∫

c)
S
ử
d
ụ
ng liên ti
ế
p các công th
ứ
c h
ạ
b
ậ
c hai cho sin
2
x và cos
2
x ta
đượ
c:
( )
2

2
2
2 4 2 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos2 1 cos 2 1 cos2
cos .sin cos . sin . . .
2 2 2 2 2 4 2
x x x x x x x
x x x x
+ − + − − − −
 
= = = = =
 
 

( )
2 2 2
1 1 1
sin 2 . 1 cos2 sin 2 sin 2 .cos2
8 8 8
x x x x x
= − = −
Khi đó
( )
2 4 2 2 2
3
1 1 1 1 cos4 1
cos .sin sin 2 sin 2 .cos2 sin 2 sin2
8 8 8 2 16
−
= = − = − =

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
x
I x xdx xdx x xdx dx xd x

3
3
6
1 1 1 sin 2 1 1 1
sin 4 . sin 4 sin 2 .
16 64 16 3 16 64 48
x
x x C I x x x C
= − − + → = − − +

Ví dụ 2:
Tính các nguyên hàm sau:
a)
7
sin3 .cos
I x xdx
=
∫
b)
8
cos2 .cos3
I x xdx
=
∫
c)
9

sin3 sin
dx
I
x x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
S
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c bi
ế
n
đổ
i tích thành t
ổ
ng ta
đượ

c
( )
1
sin3 .cos sin4 sin 2
2
x x x x
= +

T
ừ

đ
ó
( ) ( )
7
1 1 1 1 1 1 1
sin4 sin2 sin4 sin 2 os4 cos2 os4 cos2 .
2 2 2 4 2 8 4
I x x dx x x dx c x x C c x x C
 
= + = + = − − + = − − +
 
 
∫ ∫

b)
( )
8
1 1 1 1 1
cos2 .cos3 cos5 cos sin5 sin sin5 sin .

2 2 5 10 2
I x xdx x x dx x x C x x C
 
= = + = + + = + +
 
 
∫ ∫

c)
( )
9
2 2 2
2 2
1 sin 1 (cos )
sin3 sin 2sin2 .cos 4sin .cos 4 sin .cos 4
1 cos .cos
dx dx dx xdx d x
I
x x x x x x x x
x x
= = = = = −
+
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Đặt
( )
( )
( )
2 2

9
2 2
2 2 2 2
1
1 1 1
cos
4 4 4 1
1 . 1 .
t t
dt dt dt
x t I dt
t t
t t t t
− +
 
= → = − = − = − +
 
−
− −
 
∫ ∫ ∫ ∫

Mà
( ) ( )
( )( )
1
2
9
2
2

1
1 1 1 1
ln .
1 1
1 1 1 1
4 2 1
ln
1 2 1 1 2 1 1 2 1
dt
C
t t
t
I C
t t
dt dt dt t
t t
dt C
t t t t t t
= − +
 
+
→ = − − + +
 
− + +
+
 
−
 
= = + = +
 

− − + + − −
 
∫
∫ ∫ ∫ ∫

Thay t = cosx vào ta
đượ
c
9
1 1 1 1 cos
ln .
4 cos 2 1 cos
x
I C
x x
 
+
= − − + +
 
−
 



Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin .sin 2 .cos5=
∫
I x x xdx

b)
2
sin3 .cos4
tan 2 cot 2
=
+
∫
x x
I dx
x x
c)
3
3
sin
3sin4 sin6 3sin 2
=
− −
∫
x
I dx
x x x

Ví dụ 4:
Tính các nguyên hàm sau:
a)
3
1
cos .cos3=
∫
I x xdx

b)
2
2
cos .cos2=
∫
I x xdx

c)
4 4 6 6
3
(sin cos )(sin cos )= + +
∫
I x x x x dx

Ví dụ 5:
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin cos2=
∫
I x xdx
b)
2
sin3 cos=
∫
I x xdx

c)
2 2
3

(2sin sin .cos cos )= − −
∫
I x x x x dx