Tiểu luận môn triết học Mối liên hệ giữa Triết học và toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN
PHỊNG ĐT SĐH – KHCN & QHĐN

Mối liên hệ giữa Triết học
và Tốn học
Bài tiểu luận mơn Triết học

HV thực hiện: Dương Hữu Phước
MSHV: CH1301105
Lớp: Cao học khóa 8 đợt 2, ngành KHMT
GVHD: TS. Bùi Văn Mưa

Tp.HCM, ngày 5 tháng 8 năm 2014


C

C

Ở ĐẦU .................................................................................................................... 2
I - VAI TRÒ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC .................................................. 3
1.

Tốn học là ế

ủ

ế

ệ

2.

Th c tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong tốn học .................................................... 6

3.

Triết học cung cấp cơng cụ để nhận thức Tốn học ............................................ 9

...................................... 3

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI
T
ÁT T Ể
T Ế Ớ
T ......................................................................................... 10
1.

Toán học

ầ

ệ

2.

Toán học

ầ đ ều chỉnh và hoàn thiện nh ng nguyên tắc Triết học ....... 12

3.

Toán học

ụ ủ

ậ

ứ

ế

ọ ..................................... 10

ứ ................................................................... 13

PHỤ LỤC - MỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TỐN HỌC THEO QUAN
Đ ỂM DUY V T BIỆN CHỨNG................................................................................... 16
1.

Cấ

2.

ố

T

ệ

ứ

phủ định của phủ định

3.
4.

ọ .................................................................................. 16

ấ

ế và

ế

ọ ................................... 17

ọ .......................................................... 19
ọ .................................................................. 21

Ệ THAM KHẢO ............................................................................................... 24

1


I

Ở ĐẦU

Triết học là b môn nghiên cứu về nh ng vấ đề
ười, thế gi i quan và vị trí củ

ơ

n của con

ười trong thế gi i quan, nh ng vấ đề có

kết nối v i chân lý, s tồn t i, kiến thức, giá trị, quy luật, ý thức, và ngơn ng .
Chính vì lẽ đ , T ết học là m t ĩ

c khoa học bao hàm các ĩ

c khoa

học khác, v i tầm bao phủ rất r ng l n.
đ , Tốn họ đ

Bên c
đời sống.

vai trị rất quan trọng trong các ĩ
ố

Triết học và Toán học

ố

ệ

ể

được vận dụ
học hiệu qu

ư

ế

ơ

để nh

ủ

ệ

ứ

ĩ

c của
ắ

ể

ệ

. Mối quan hệ này

ười học tốn (nói riêng) nghiên cứu tốn

ười (nói chung) nhận thứ được thế gi i sâu sắ

để phục vụ cho s tồn t i và phát triển của xã h i là m t vấ đề đ

ơ

được quan

tâm.
Trong n i dung bài tiểu luận này, tác gi sẽ phân tích ngắn gọn mối liên
ưởng lẫn nhau gi

hệ gi a Triết học và Toán học và s

2 ĩ

c khoa

học này.
V im t ĩ

c r ng l

ư T ết học, không ai có thể nắm được nh ng

ngun lí và kiến thức chỉ trong m t s m m t chiều, và l i càng khơng thể t m t
mình tìm hiểu nếu khơng có nh

.

đ , em

t ế

ọ

ủ

t ế

ọ , là nền t

ư ng dẫn của các vị tiền bối, các thầy/cơ
ơ

ầ đ

ề

ứ

ầ

ù

ă

ư

em thêm đ ng l

để tìm hiểu về

để em hoàn thành bài tiểu luận này.
ươ

ư c

2


I - VAI TRỊ CỦA TRIẾT HỌC ĐỐI VỚI TỐN HỌC
đ ng rất l

Triết học có

đối s hình thành và phát triển của toán học.
ươ

Triết học cung cấp thế gi i quan khoa họ
đị

chứng nhằ

ư ng và cung cấp công cụ nhận thức cho s phát triển của

toán học. Đ
.

củ

ận duy vật biện

ệm rấ

đ ển mà ta không bàn thêm về í

đ

đ

đắn

t vài khía c nh cần thiết trong việc nhận

thức toán học.
1. Toán học là

t qu củ s ph n ánh th

h ện th c

Tốn học hình thành và phát triển do nh ng nhu cầu th c tế của con
ười. Toán học nghiên cứu nh

ươ

ố ượng và các d ng không gian

của thế gi i khách quan. Qua từng thời kì lịch sử tốn họ đ

ể

đối

ượng của nó liên tục và phong phú nhờ s vậ đ ng không ngừng của các s vật
ượng trong th c tiễn. Hầu hế

hiệ
ũ

đố ượng của tốn học, khơng tr c tiếp

ếp, xuất phát từ th c tiễn.

ù

ười có khám phá ra hay

khơng thì chúng vẫn tồn t i. í ụ:
 Các con số ươ

ứng v i m
ươ ă

trong l

ọ

học sinh m i vào thì số ươ
ằ
í
 C
ươ

ù
ệ

ố

ượ

đ
, ươ

đố ượng hình họ

ấ

37 được. T

ơ
ư

ư

ứng v i số 35, nếu thêm m t

ứng sẽ là 36, không thể

đờ ở
ư

vật trong th c tế

ế

ấ

, đượ

.

ư đường tròn, elip, hyperbol, parabol lầ

ứng v i nh ng hình nh trong th c tế

ư

trong ly (hình trụ trịn) khi nghiêng, bóng của ngọ đè

ặ

ă
ầu hắ

,

ặ

ượt
ư c
ường,

sợi dây bị võng xuống,...

3


Đối v i hình họ , C.

Ă

e

ằng: “Các kết quả của hình

học khơng phải cái gì khác là những thuộc tính tự nhiên của các đường, của bề
mặt và của các vật thể, cũng như của những tổ hợp của chúng mà đại bộ phận đã
có trong tự nhiên từ lâu trước khi loài người xuất hiện” [2].
Đề

đ đượ

ư
đ

sinh, từ tr

đế

m ứng dụng trong việc d y toán cho học

ư

ừ

ượng. Chẳng h n: d y phép c ng

qua việ đếm các que tính, dùng hình nh nền nhà mơ phỏng mặt phẳng,
ụ ờ đứ

ườ

ỏ

đường thẳng vu ng g c với mặt

phẳng,...
đ ểm toán học xuất phát từ th c tiễn ta có thể liên hệ v i th c tế

Từ

nh ng vấ đề toán họ để dễ dàng nắm bắ
bắt khái niệm đa tạp,


ệ

ơ .

để nắm

t ví dụ khá tr

hàm s :

ười ta cần kh o sát các họa tiết trên m t chiếc bình gốm cổ. K
bình gốm khơng phẳng nên ta không thể in m
lên m t tờ giấ

ư

giấ .

ượt tất c họa tiết của nó

ể in từng phần họa tiết của bình gốm lên mặt

ư ậy ở đ

t im

đ

ể xem bề mặt bình gốm là đa tạp 2 chiều vì

để

ù

ă

ứ để

đ

ươ

ứng (đồng

phơi) v i m t vùng trên tờ giấy (không gian Euclide 2 chiều).
 K

Đ

ồ,

ườ

in lên tờ giấy thì ta có s
m

đ ểm trên tờ giấ . Đ

ươ

đe

được phủ m c

n khắc g bứ

ứng 1-1 gi a m i đ ểm trên b n g v i
t biểu hiện th c tiễn của khái niệm hàm

số.
Qua việc quan sát cẩn thận th c tiễ

ư

ọ

ũ

ắ

và cịn có thể phát hiện ra nh ng kiến thức toán học m i, có thể là m
b n thân ũ

đề

í

đ

ơ ở

đầ cho

ơ

đối v i

toán học.

4


ũ

Tuy nhiên, khơng ph
ượng tốn học, bở

: đặ đ ể

đặ

được m

ư

ủ đố ượng tốn học là tính trừu

ượng rất cao. Tính trừu ượng này thể hiệ
họ ,

đối

ư c hế

được trừu xuất từ các s vật, hiệ

í

đố ượng tốn

ượng trong th c tiễn chứ khơng

ượng cụ thể nào (ví dụ: đ ể , đường thẳng, mặt

ph i luôn là m t s vật, hiệ

đế

phẳng,...). Toán học chỉ

ươ

an số ượng và d ng khơng gian

của chúng. Các khái niệm, tính chất trong tốn họ được trình bày cho nh
ượ

được trừu xuấ
e

đối

í

đắn của các mệ

đề tốn họ được chứng

ừ í

ư

đ
đ

đắn của các mệ

đề chứ không qua s kiện

th c tiễn.
ượng này ngày càng cao cùng v

Tính trừ

đ phát triển của tốn

được sức m nh của nó. V i các

học, nhất là từ khi các kí hiệu tốn họ

ười ta có thể trình bày nh ng vấ đề tốn học mà khơng dùng

kí hiệu toán họ

đến s liên hệ th c tế

. Đ ều này thể hiện m nh mẽ trong việc nhóm Bourbaki

muốn trình bày tất c các kiến thức tốn học ư i d ng
ượng của tốn học rấ

Mặc dù, tính trừ
ù

từ th c tiễn và cuố
ọ

ế

tầng l p.

ũ

ủ
ệ

ườ
ệ

ở , ậ đ
đố ượ

ấ
đ

ọ
ấ

ề

ế
ư

ệ

ị

e

ừ

,

ườ

ố

ồ

ũ

ệ

ấ

ừ
, í

ễ .Ởđ
ậ ,

ẫ đ

ượng hóa nhiều

ừ

ụ ,…

ế. C ẳ

ù

ệ

ấ

ọ

ệ

ề

ế được trừ

,

ậ
đ đ

ừ

đượ

ề

đều bắt nguồn

e

.T

ỉ
ấ

ấ

e

ậ

K

ư

ẽ phục vụ cho th c tiễn.
ệ

í ụ:

đề, kí hiệu.

ư
đ

ễ .C
ấ
ấ

ế

ễ

ắ

đ đượ

ầ
ề

ọ

ứ

đề

ẽ

.
5


C

ể thử tách toán học khỏi th c tế (m t cách triệ để

ũ

đến th c tiễn)

ư c

ư ùng các kí hiệu (khơng thể hiện

cho bất cứ cái gì trong th c tế) và nêu ra nh ng quy tắ , định lí, tính chất hồn
ư

tồn khơng có trong th c tế

đ ều này khơng giúp ích gì lắm cho s phát

triển của tốn học bởi vì nó

ưở

ph

ượng vì nế

ưở
ũ

ưở

ượ

ư

đ ều vốn biết là không thể

ận dụng quy luật phủ định. M t cơng trình mà về
đến th c t ễ (hoặc phục vụ cho phát triển ư

b n chất không liên quan
ũ

ượng (mọi thứ đều

ượng mà dùng nh ng suy luậ

vẫn dùng thì l i quay về th c tế). Nế
đ ều có thể

ưở

thiên về việ

) thì

phát triển lâu dài.
Toán họ
ĩ

và kh

ển do nh ng yêu cầu n i t i củ
đ ểm th c tế

mâu thuẫn v
chủ

ũ

ơ ở của lí luận vì bên c

ật biện chứng cịn khẳ
ă

đ

. Đ ều này khơng

đị

í

đ c lậ

ươ

đ ểm này,
đối của lí luận

ư c th c tế của lí luận. S phát triển này xuất phát từ nh ng

mâu thuẫn n i t i trong tốn học, tính trừ

ượng ngày càng cao củ

ư

học,... Hình học Lobachevsky là m t ví dụ.
Trong việc d y tốn, tùy tình hình cụ thể, kiến thức cụ thể mà chọn cách
trình bày kiến thức tốn học. Ví dụ: học sinh m i học tốn cần có nh ng liên hệ
th c tế (nh ng thứ mà học sinh mắt thấ ,

e để học sinh dễ nắm bắt. Khi

lên các l p trên, tập cho học sinh quen dần v

ư

ũ

ươ

ừ

ượng vì khơng ph i

được mơ hình th c tế để minh họa kiến thức (lí luậ đ c lập

đối v i th c tiễ

đ

tri thức toán ọ cao cấ

ũ

ệc làm cần thiế để học sinh tiếp thu các

ơ .

2. Th c t ễn là t êu chuẩn chân lí tron tốn học
Từ ch tốn học bắt nguồn từ th c tiễ , í

đ

đắn củ

ũ

được

kiểm tra theo tiêu chuẩn xuất phát từ th c tiễn. Các cơng trình toán học, xét cho
cùng, sẽ đượ

ười sử dụng để nhận thức và c i t o thế gi i, đ

để th c tiễn kiểm tra l

í

đ

ũ

đắn của tri thức tốn học.
6


M t trong nh ng tiêu chuẩ để xét giá trị của m t cơng trình tốn học là
kh

ă

ứng dụ

đời sống. Tất nhiên, việc ứng dụng là tr c tiếp hay gián

tiế , ư i hình thứ
ù

,

ường hợ .

ĩ

ứ đ

c nào,

ư

i phục vụ được cho việc c i

ười (ngay c phát triể

t o thế gi i củ

thì khác

ọ vẫn có giá trị th c tiễn ở m t mứ

ư

,

ục vụ cho n i b

đấy).

đ ều này trong việc học toán ra sao?

Vận dụ

 Ở mứ đ đơ

,

đ
đ

ường kiể

t số ví dụ:
ập hay khơng

được m t mơ hình th c tế thể hiệ được suy luận và kết

bằng cách

ặ trong chứng minh khẳ

qu của mình.

đị

đ

ường cố gắng tìm m t mơ hình th c tế đ

tìm ph n ví dụ,

đ ề được phát biểu.

v

 Trong thuậ

ư

ễn C nh Toàn

c tiễn là tiêu chuẩn chân lí trong tốn họ .
đ

thuậ

í ụ để làm rõ
đ

bác bỏ phỏ
đ

đ

để

ọc toán của học sinh (xem [4]) thể hiệ

phát triển kh nă

; ếu ví dụ

phỏ

đ

đ

đ ểm

ư c thứ 6 và 7 trong
: ếu ví dụ là sai thì

ủng cố thêm kh

ă

ỏng

.

đ ểm có thể thấy là trong các chứng minh tốn học, nếu tìm thấy m t

M

ư

mơ hình trong th c tế trái v i lí luận thì lí luận bị
nhiề đ ề đ

ể
ế

ằng cách

3. Đ

ư

c tế
n3  n

í

ế

3

ứ

ếu ta chỉ ra rất

được lí luậ
ằ

ụ

Th c tiễn có thể kiể

ậ,

í

đ

ệ

ượ

. T

n3  n

, 2, 3,…,

đặc thù của tốn học, dùng suy luậ

ứ

đ

để chứng minh
ụ

ể.

đắn của các lí thuyết tốn học ở nh ng

hình thức khác nhau, mứ đ khác nhau, thời gian khác nhau. Đ ều này dễ nhận
thấy vì các s vật, hiệ

ượng rấ đ

ng và phong phú, toán học xuất phát từ
7


ũ

th c tiễ

ều n

đ

toán họ

, đặ đ ểm khác nhau. Nhiều kết qu của

ờ để

ư

đ

ờ đ ểm khác.

Tuy ta vẫn thấy có nh ng cơng trình tốn họ
ư

trong th c tiễn hiện t i

đ được chứ

tốn học thì có thể

đ

ứng dụ

ư

được (th c tiễ

ư được ứng dụng gì
đ

đắn bằng lí luận

ển nhanh quá mức mà
ể

được hoặc nh

ười
ườ

ư

ể

ư

ận

được) chứ không hẳn nó sai và tách khỏi th c tiễn hồn tồn. Ví dụ: hình học
Lobachevsky
đ

đầu s

đời của nó bị cho là quái gở

t phát minh rất quan trọ

ư

ề

được

. Đ ều này cho ta m t luậ đ ểm quan

trọng trong nhận thức tốn học:
Một lí thuyết tốn học, dù kì quặc đến đâu, cũng c quyền tồn tại nếu nó
đứng vững về mặt toán học, nghĩa là n phù hợp với logic; logic lại không phải
từ trên trời rơi xu ng, mà từ thực tiễn mà ra; cho nên phù hợp với logic chính là
phù hợp với thực tiễn, nếu khơng phải là thực tiễn ngày nay thì là một thực tiễn
trong tương lai. Những lí thuyết kì quặc là những lí thuyết phù hợp với một thực
tiễn trong tương lai mà hiện nay chưa ai biết. [4]
Trong toán học cầ đ

gì th c tiễ đ

ểm nghiệ

ln ln học hỏ ,

, lậ đ ật l i vấ đề,
đ

ị

ị để hồn thiệ
ưở

nhất) là nguyên tử. Nế

ơ

ư

ĩ

ức, phát triển sâu sắ
đ

đ

ườ
ườ

đ

ư

,

ứng minh

ĩ ằng nó là nhỏ

ười ta chấp nhận, khơng có m t s

ờ

ể biết rằng ngun tử cịn có thể chia nhỏ n a. Hoặc

khoa họ
nế

để làm n . Đ ề

đ ều gì. Ví dụ: ư

được s tồn t i của h t vật chất nhỏ nhấ

ĩ ằng cái

ĩ ằng hình họ E

ượ

e đ đủ để biểu thị mọi mối quan hệ gi
đ

ọc Lobachevsky,

siêu phi Euclide. Chính s nghi ngờ và tị mị khoa họ đ

đối
ọ

ẫ đến nhiều phát

minh tốn học.
8


3. Tr t học cun cấp côn cụ để nhận thức Toán học
T ế

ọ

ể

ệ

ậ

ư

ườ . T

đầ
triể

ấ

ọ

ườ

ủ

ế

ể

ườ .

ọ .

ậ

,

ế
ậ

ư
ứ

ủ

ủ

ằ

,

ụ để

ủ

đ

ấ ủ
ế

ụđ

ệ

ọ

ấ

T

ầ đế

ụđ
C

ụ để

ậ

ậ

ứ

ệ

ọ

ứ

ượ

ươ

,

ậ

ứ

ư

ọ . ị

ửđ

ứ

ệ

ễ C

ậ

T

ứ

ơ ở

ọ .
ệ

ủ

ũ

ậ

ệ

đượ

ù

để

ò ủ

ệ

ứ

ọ .

đ

ứ

ươ

ọ

đ

đượ

đ

ậ.
ấ

ườ .

ể

ư

ứ

ậ

ậ đố

ọ

ệ

ấ
ỉ

ệ
ồ

ố

ứ

ậ

ủ

ậ : Mọi phát minh tốn học khơng phải là

một việc ngẫu nhiên mà là một bước nhảy vọt tất yếu kết thúc một q trình tích
lũy xã hội thơng qua một cá nhân hay tập thể và đều là kết quả của sự đấu tranh
giữa hai mặt đ i lập. [4]
Từ

ệ

ể ế

ồ

ố

ệ

ụ

ể ậ

ủ

ể

ọ

í
ậ

ể

ọ ,
ọ . Cụ

ụ

ứ

ể

đượ
ọ

ủ

ọ
ụ

ườ ở
,

ế ệ

,

í

ệ

ứ

.

Ngày nay, nhiều nhà toán học, nhiều

ầ

giáo d y t

các vấ đề Triết học trong toán họ để

ươ

nghiên cứu toán. Ở ư c ta có thể kể đế

ư

đ

ứu

ọc tốn, d y tốn và
ễn C

T

,

ườ đ

có nhiều cơng trình nghiên cứu về vấ đề triết học và toán học cùng nh ng ứng

dụng trong nghiên cứu, gi ng d

đời sống. Ông rất

đến mối liên hệ
9


đ

gi a toán học v i th c tiễn,

ểu và vận dụng rất thành công mối liên

hệ này và phép biện chứng duy vật trong việc học tập, gi ng d y và nghiên cứu
toán. Tác phẩm Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên
ư

cứu toán học củ

ễn C nh Tồn là tài liệu rất có giá trị trong việc

học và d y toán. (xem [5])
T

đời số

ường ngày chúng ta vẫn vận dụng nh ng quy luật triết
ư

học vào trong nhận thức toán học hoặc vận dụ
nh ng vấ đề trong cu c số

ư
đ ,

nhiều khi khơng nhận ra.

tốn họ để nhận thức

ở nh ng mứ đ và hiệu qu khác nhau,

ệc nghiên cứu triết học sẽ cho chúng ta m t s

chủ đ ng trong việc nắm bắt và vận dụng các quy luật của triết học trong nhận
đ

thức toán học và

ườ

.

II - TÁC ĐỘNG CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI S

H NH TH NH V

PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN DU V T
đ ểm duy vật biện chứ

đẩy tốn học tiế

T

p phần hồn th ện nh n tr thức tr t học

ọ

ung cấp cho triết học nh ng tri thức về mặt số ượng và hình
ượng ở

thức không gian của các s vật, hiệ
đố ượ

ươ

ượ . T

ệ

ọ đ

ằ
í
ệ

đắ

ượ
ể

ụ

ứ

ể

.

ừ

ứ

ặ ượ

ủ
ĩ

ị

ấ

ử

ủ

.T

ọ

ứ

ậ,

đố ượ

ượ

ấ

ọ

ọ
ờ

í

đặ đ ể

đ ,

ủ
ừ

ề

ứ
í

ủ

ứ

ố ượng và d ng không gian ủ

ươ
đ

ược l i các

đ ểm duy vật biện chứng.

phát minh toán học củng cố
1. Toán học

.

ế

.

ụ
ủ

ễ

ậ,
đe

ụ

ụ

.
ọ

ắ ,

đố ượ

.
ủ đờ

ố

đ ,

ọ
ệ

í
ấ

ứ

. Cơ ọ
10


ă

ọ

ử ụ

ụ

ứ

ọ , đị

ưở

ủ

ọ

í,

ọ

ừ

ư

ù

ẫ

đ

ủ

ậ
 T

ă
ươ

ấ

ổ

đế

ễ

ấ .T

ọ đượ

ế .

ọ

ử

ĩ

ư ă

ọ ,

ọ ,

ọ . í ụ:

ọ ,

để

đề

ă
ể

ấ

ệ

ừ

ủ

đ

ặ

đồ

ă

ệ

ậ

ủ

.
 T

ọ ,
ủ

ườ

đ

ươ
ứ

ụ
e

ấ
.T

ượ
ứ

ọ

đố ượ

ụ

ố ,

ấ

ậ

ệ ươ
ĩ

ệ

ố .

ủ đờ ố
ủ
ứ

ủ

.

.Đề

ể .

ứ
.

ệ

ứ

ĩ

ấ
.

ố

ệ

ệ ố ượ

ụ ở

ầ

ọ

ươ

ọ đ
ĩ

ặ ượ

ấ

ụ
đe

ặ

ù

ò
ấ

ứ

đố ượ

ỉ đơ

ụ

ề

ọ

ọ

ĩ
ể ậ

ứ

ấ

ọ

ọ

ă

ỏ ồ

.

ằ
ọ

ù

.

ĩ

đ

T

ề

ặ í

,

đ

ậ

ể

ỉ ệ

ệ ươ

đ .

ệ

ấ

ứ

ù

ừ

ừ
e

í ụ

ệ

ứ
ứ

ườ

ừng ơ, ơ đượ

ọ để
ủ

ừđ

ủ
ườ

ậ,

ươ

ử ụ
ọ ,

ứ
ứ

ứ

ừ

 Trong

ử ụ

ổ ư

: ừ

C ẳ

ườ

ứ

ề

ề

ươ

í ụ:

ứ

ề

ậ

ụ

ườ
ế

đ

ố, í

ặ ố ượ
,

ứ
ấ

ư

ố
ứ

đượ
để

ă

ọ

ệ
11

ề

,… Tấ
ủ

ọ

ứ

ầ đượ

ể

ố

ủ

ườ ,
ứ

ọ ,

ụ

ề

í

ươ

để ậ

ụ

í

, ù

ù

ợ .

ọ

ấ ầ

ế

,

ề

ườ

ọ , ư

2. Toán học

ế

ế

ệ

ũ
ệ

ứ

ư

.

ầ đế

ố

ọ

ế đố

ế

ấ
ọ

ườ .

p phần đ ều chỉnh và hoàn th ện nh n n uyên tắc Tr t

học
T

ố

ể ,

ỉ

ệ

ắ

đị

:T

ọ

ủ

ọ

ậ

đ
,

ọ

, í

ượ

ủ

ặ

đắn

ấ

đ

ượ

ế
ầ

ứ

ế

ứ

ề

ị ố
ứ .

ẽ ơ .

,… Đ ề
ệ

đ

ơ ở ủ

í

T ờ
ể

ọ để phù hợp và ph

ầ

ậ đượ

ầ đề

ượng.

b n chất của s vật hiệ
T ờ

ế

ọ đ

:
đổ

,
ề

ụ ,

ấ ư

í
ọ ,

.

“Mỗi lần có một phát minh vạch thời đại, ngay cả trong lĩnh vực khoa học
tự nhiên, thì chủ nghĩa duy vật khơng tránh khỏi thay đổi hình thức của nó.” [1]
Ví dụ: Nhà tốn học Godel đ
đơ

n là tốn mệ

ứ

được rằng trừ hai hệ hình thức

đề và tốn tân từ (và các hệ hình thứ

ươ

đươ

đầ đủ (tức khơng x y ra nghịch lí) cịn các hệ hình thức phức t

i
ơ

đề về số học, về tập hợp,... đều không thể trở thành hệ đầ đủ (nếu ta bổ

(hệ

đề để khắc phục nghịch lí thì l i có m t nghịch lí khác x y
ra).
Đ

t minh chứng cho m t nguyên lí của nhận thức luận: q trình tìm

kiếm chân lí khơng có gi i h n cuối cùng,

đ

đến tuyệ đối cuối cùng.
12


Đề

ĩ

ể xây d ng m t lí thuyết nào có thể gi i thích và

được tồn b thế gi i hiện th c, tuy vẫn không ngừng xây d
,

nh ng lí thuyết ngày càng m
gi i hiện th .

được nhiề

đ , ù

ù

được mọi hiệ

được

ương diện của thế
đến thế

t nguyên lí m

ượng của thế gi i khách quan.

ũ

ĩ

ụ

nhận thức thế gi i khơng thể duy nhất lí trí mà cịn ph i có th c tiễn.
T

ừ

ế ,đ

đ

ể

ề đ

ủ

ế

ọ ,

ọ

ọ ,
ể

ủ

ế

ế

ặ

ọ .

3. Tốn học là cơn cụ củ nhận thức
T
ứ ,

ọ

ườ

ị

ụ

Từ

ọ

ứ

ươ

ọ .

ủ

ườ

ể

ụ đí ,

đ

e Ve e



đ
ủ

ỉ

ư

ư

đ

đ

ườ

ụ

ươ

ứ

.C ẳ

ệ

ị í ủ

ồ

ă

ế

ứ

:

ỉ

ệ

.

đ

ươ

ị để

ườ

ể

í

.

ỉ để í

ẫ

ọ
ằ

ế

ườ
.

ị

ậ

ụ

ọ

ế

ắ
ứ

ọ

ế

ế

 N

đượ ứ

.T

ệ

ứ

ọ để

ử ụ

ứ
ọ để

ậ

ể

ượ

ủ
.

đ ,

ừ
ườ

ệ

í

đ

ệ

ấ positron trong

ũ ụ v i các tính chất hồn tồn phù hợp v i các

đ

ủa

Dirac.
 Hệ
ậ í ượ

, í

ế

ể

ễ

ủ

ọ đượ

ù

để

ứ

ử.

13


T

ọ đượ

ọ

ư đượ

ứ đượ

nhậ

e
e

ế

ọ

ợ

ủ

ỉ e

ố

ệ

ứ

ọ ,

ế
ấ

ọ

e

ủ

ế
ọ : C

ọ
,

e

e,

ò ủ
ụ

ế

đ ,

ọ

đ

ố

ọ ,

ọ . Tư

để

ế

ũ

e

ế

ọ

ế
ế

.

ứ

ậ

ờ

ọ
ậ

ệ

ườ

đồ

e ,... C
ệ

ậ

ở

ọ

họ

ụ để

,

ọ .

ề
’ e

ư

ươ

ọ . Ông

ằ

Trong khi

tìm kiếm con đường thẳng đi đến chân lý, chúng ta kh ng cần phải quan tâm tới
những gì mà chúng ta kh ng thể thấu đáo một cách chắc chắn như việc chứng
minh bằng đại s và hình học .
ậ

Marx
ế. K

ò

ứ

ủ

ươ

ứ

đế

ọ ,

ĩ

. .K lmogorov

ệ

ọ

ậ

ấ ư

đ

ủ

ụ để
ằ

:

ứ

ấ đề ề

ĩ ,

ế

đ

ườ

ứ

.

ề nguy n tắc thì phạm vi ứng d ng

phương pháp toán học là kh ng hạn chế tất cả các dạng vận động đều c thể
nghi n cứu theo kiểu tốn học . Đ ề
ủ

ươ

ọ

ọ

ể thâm

ượ

ệ

ậ

ọ đượ

ấ

ứ

đ
ế

đị

ọ

ọ E

e

í

đượ đố
đ

đượ

phân dạng (vật thể hình
đ i) ở

học có hình d ng gấp khúc trên mọi tỷ lệ
ề í

ằ

ượ

í

ứ đượ

đ đ

ấ

n:

ình học fractal
đượ

ể

ị

ễ

đượ

.

ấ

.C

đờ ố

đ

ệ ố ượ . C ẳ


ậ

ứ ĩ

.
ĩ

ư

ấ

ư

ủ

ậ

ể

đ

ủ

đượ .

14


 Tri

ứ

ề ổ ợ ,

ấ

ổ ợ
ợ
T

ể

ố

ồ

í ụ cho thấ
đ

ầ

ầ đế

ườ

ầ

ư
ọ

ũ

í
đờ ố

ủ

ặ

ầ

ư

ấ

ệ

ổ

ầ

ề

ặ

ẽ.

đ

ườ .

ẽ

đ

ườ
ụ

ọ , … Tư

đ

ườ

ọ . Tốn
đ ng lí trí, của lập luận trừ

ơ ở ủ
,

đờ ố

ế ử ụ

học chứ đ ng trong b n thân nó nh ng ho
Tốn học đ

ọ
ủ

,

,

ọ

í

ọ để
ă

ư
í

ư

ọ

ậ

ụ
í

ế

ọ

ờ đ
ị ấ

đượ

.

đ

C

ố

ầ

ứ

ượng.

ư

í
ắ

ủ

.

15


PH

C-

ỘT SỐ PHÂN TÍCH VỀ NỘI DUNG TỐN HỌC

THEO QUAN ĐIỂ

T

ụ

ọ

ệ

ẽ

ậ

DU V T BIỆN CHỨNG

ể

ố

ụ

ệ

ế

ọ

ậ

ọ

ể

ệ

ứ

ư

ế

.

1. “Cấu tr c” tron toán học
ấ đề

ấ

ố

ế ỉ

đế

đ

ấ

ọ đ đượ

ấ

ệ

ể

ư

.
ệ

ầ

ử ủ

ậ

ỏ

ứ
đẳ

ợ

í

ỉ

ấ

ệ

ặ

ượ

ấ,

ể

ấ đ

ế ủ

ấ

p ứ

ầ

đặ

ọ ở
ậ

ợ

ứ

Zn .

ấ
ề

ẫ đế

ế ắ .

ậ

e
ầ

,

ệ

Zn .

ầ

ượ

, ừđ

ủ

đ ,

ứ

ấ
ệ

ấ

.

ấ

e
ố

.
í

ấ

đề đẳ

ậ

ử

ù

đ đượ

ư ưở

ấ
.Đề

đẳ

ủ

ấ

ể,

.

ế

ấ . Đố

ứ
ượ

ủ

ấ

ậ

ổ

đượ

ọ

ề ấ
ề

ấ

ượ

đố ượ

í ụ: Tấ
ấ

ệ

đố ượ

ấ

ấ

ậ

ứ

về

ầ

ị

ầ

e

ấ

ọ í

ọ

ệ

để

ỉ đơ

đượ

,

ấ

ừ

ọ

ệ

ợ

ệ đẳ

ấ

ọ .

ấ
í

ủ

ủ

ế

ứ

ụ

đờ ủ

ọ

e

e
ử í,

e
ệ

ậ

ượ

ậ

ệ
,

ể.

16


qu n hệ

2.
T

un và h nh thức tron toán học

ọ ,

ứ

đ

n

ươ

í
ứ

ồ

ể

đố ượ

ư í

ụ

ệ

ể.

ấ

ĩ

ố

ĩ ,

ườ
ỏ

ũ

đượ

ĩ

đ

ọ đượ
ắ đế

đố ượ

đị

ễ

ứ

đố ượ

e đị
đố ượ

ọ

,

ấ

ở ẽ
,

ọ , ò

ệ ,

ứ

ố

ọ đượ

đị

ủ đố ượ

đố ượ ,… .

đổ ù

ấ

ử ụ

đề

ầ đầ

đượ

đị

đị

í

ĩ đề đ

ấ

đ

ố đề ậ

đế .
ể

M
ợ

ề

ứ

ể

ệ

ư

ù

. í ụ:
 Cù

ọ
ặ

ư

ặ

 Cù

ứ

ố

ẳ

ứ đườ

ư

ề

ề

ể đượ
ẳ

ứ

ể

ệ ở

ậ .
ứ

ệ : (a;b), a  bi,

ể

rei , r(cos   isin  ).

ệ
ề

í

ư

ủ

ư

.

í ụ: đườ

đ :

ấ,

8 o,

í

ệ đượ
ậ
ươ

ủ đườ

đ
ứ ,đ

ệ

đề
đ

đ .

í ụ: C

ế đổ
ế

ệ
ậ

í

ể
ị
ừ

ấ ủ đố ượ
ể

í

,

ế đị
đị

ẽ

ẽ

ể
đế

ỏ

ấ ,…
ấ

ế
ế đị

ươ

ứ
ế

ể

ắ

ệ đượ

í

ù ợ

đượ

ể

ế đổ

ị

ư

.

17


ứ đ

ậ

đ

ở

ư
ấ

í

ấ .

ươ

đố
.

,

ứ

 C

.

ũ

ề

 C ứ

ề

ă

ứ

ườ

ậ

í

ọ
, ,C ầ

.

í

ấ đượ
ề

ị
,

T

ợ

ư ậ

, ầ

ọ

ầ

ị
; ũ

ứ để

ặ

để

ế.C
ễ đượ

ề

ấ đề

ủ

ửở ậ

ợ

ể

ẽ í

, ,

ệ đ

ứ

ứ

ậ

cos A =

,

b2 + c2 - a 2
2bc

đế

ố

ệ đị

ư

.T
ế

ề

ứ để

ầ

ă
ẽ

đư

ấ đề.
ứ .T

ở

ủ

ọ

ầ

ợ

ố ươ

ể

ợ

ậ

ườ

ượ

ủ

ậ

ỏ

ệ
đẳ

ợ

ầ

C

ệ

.

ế.

ệ .C ẳ
đố

e

ể

í

ầ

ệ

ứ

ị

ơ
ệ

ũ

ệ đượ

ể ị

ệ

ườ

2k
2k


S  cos
 i sin
| k  Z
n
n



ơ

ể

ủ

ợ

S = {x Ỵ C | x n = 1}

 C

ủ

. T

ứ

ứ

ể

ư

ủ

ợ

ẽ

ở

. í ụ:
ứ

ặ ổ

ậ

ù ợ

ũ

ố,

ố

ố

,

ứ

ố

ứ

ượ

ể

ố

ị

đ

ấ

ể

ị

ử ụ

đượ

í
ề

ủ
ề

ụ

ề

ọ

ụ

ễ .
ứ

ọ ,
ứ

ọ .

đề ậ đế
đề

18


.
ọ

đượ

đ

í

ậ

ọ

ụ
để

Tí

ợ

.C

ầ
ậ

ậ

ợ

ứ

í

ợ

. í ụ:

f (xy)  f (x)  f (y) 1, x, y  N .

ế f  30   4

,

(14.4

ệ

ọ

ủ

ố f :NN ỏ

C

ế

ấ đề

ầ

ế

.

ù ợ

ậ
,

ủ
ủ

.

đề

ọ

đề

ũ
Tậ

ù

f (x)  1

ươ

ệ

N.


ế

f (x)  1

ươ
.

ươ
ặ

a1 ,a 2 ,...,a no

đ

2.
ệ ở

ệ

:

ươ

2
ợ

ệ

ệ
ầ

ế ậ

ù

ệ

x  y  1 để

ọ

ọ

ệ
đượ

ở

ệ
đề

.

ở

í

ệ

ọ .T

f (xy)  f (x)  f (y) 1, x, y  N

Tấ

ố

ủ

ơ

để

đề
f (x)  1

ươ
f (x)  1

ọ

2 ẽ

 C ẳ

ứ

ệ

ế

ủ

ể
ư

ứ
ù ợ

(1).

ứ

ò

ù

ụ

ườ .

ấ đề

ợ , đư

ù ợ

ợ

ệ

ế

ủ

ấ đề.

3. S phủ định củ phủ định tron toán học
ủ đị
đ

ể .

ế
ủ đị

ậ

ằ
ọ

ậ

ậ
ĩ

ệ

ở
19


ế

ọ ,

ườ

ơ

ư

ấ

ề .

í

ụ:


T ẳ

ẳ

ủ định lẫ

ư

ủ

định khái niệm thẳng hàng thì ta có khái niệm mở r ng của thẳng hàng. Ba
đ ểm A, B, C thẳ

ường hợp riêng củ

đ ểm A, B, C khơng

thẳng hàng ứng v i góc ABC là góc b t.
 Bố đ ể

, , C,

đồng phẳ

C, D không đồ

ẳ

ường hợp riêng của bố đ ểm A, B,

ứng v

ường hợp thể tích khối chóp ABCD

bằng 0.
 Xét s tiếp xúc củ đường thẳng v

ường hợp riêng của khơng tiếp xúc v i kho ng cách

thì ta có tiế
đường trịn t

từ

đường thẳng bằ

ủ đị
ưở

ủ

đường trịn, khi phủ định s tiếp xúc

ề

ệ

ứ

đ

đ dài bán kính.

ơ

ứ

.

ế

í ụ:

ở

e

đượ

ầ

ồ

ể

ử. T

ố đế

ơ ở

ệ

đượ

ầ

ử

ư

C

ề .C ứ
ố đế

.Đ

ử

e

ồ

ượ

ơ

ẽ

ệ để

.
ậ
ủ

ủ đị

ủ

ủ đị

ọ

ệ

ứ

ọ

.T

,đ

ế

ũ

ư ưở

ắ

ụ

ủ

ọ :
ể

ầ

ượ ừ

ọ

ũ

ể đượ

ắ

ư

ọ

ừ

ù

ứ

đế đ

đ
ậ

ế
ọ

ứ

đ .Đề

ắ đượ

đ đượ

ế
ặ í

ế

ứ

ể

đ

ừ

ế

ư

, ế
ệ

ế

ặ

ế

ũ

ọ

ấ

ă

ấ đị
ề

ể
.T

ủ
ấ đề
ă
20

ứ

ọ ,

ư

ễ C

T

: n n hiểu rằng “mới” kh ng

phải là “mới toanh” hồn tồn chẳng d nh gì đến cái cũ. Chẳng bao giờ c cái
mới như vậy cả. Cái mới bao giờ cũng ra đời từ cái cũ, kế thừa những mặt t ch
cực trong cái cũ, đồng thời hơn cái cũ
kh ng giải quyết nổi.

đị

ế

ể

ệ

ấ

ậ ứ

đị

đượ

n tron tốn học
ế

í

ù

5, [4]

n và v n

4. Bất
ấ

e

chỗ giải quyết được kh kh n mà cái cũ

íđ ở ấ

ù

ề

đ đ

ơ

ươ

ị ụ

ậ
ậ

ắ

ọ

ấ
ệ ố ụ

ế .

,

ấ

ù

ế

ấ

í ụ:

ế

ể

ơ
ứ

ể

ổ

T
ế

ở

ọ .

ế .

để í

ươ

đ

ế

ứ

để í

ệ

ủ

ệ

ọ

ế .
ề

ệ

ấ

ế

ấ

ố

ấ đề. Ví dụ:

 Có m t cây nế
í

l i,

được thắp lên. Kí hiệ

đ dài phần nế đ

ượng bị biế đổ

ư

e

đ dài cây nến còn

.T

ận thấy ở đ

ấ

,

đề

đ i

t s bất biến là x + y =

10.
 Cấp số c ng un : 2, 7, 12, 17, 22,... các số h ng củ
ư

ệu của 2 số h ng liên tiếp là cố định.

 Tí

ổ

đổ

ư

S=

ũ

1
1
1
1
.Ởđ
+
+
+ ... +
1.2 2.3 3.4
n.(n + 1)

ậ

ù
đ

đều biế đổi

đượ

ậ

ế để
ấ

ế

ồ
ứ

ố
ấ

ù
, ừ

ậ

đề

ố
để

ườ

ố

.

ế :

ậ

,

ứ

ế để
ấ

ế .Đ

ợ
21


ậ

. C ẳ

:

1 1 1
,...
4 9 25

ố (u n ) :1, , ,
ế

ế

ậ

ụ

ằ

ấ

ổ

ủ

đ

ù

í

để

ọ
ệ đế

. Cặ

ấ

ậ

ế

ẫ

ọ ,

ườ

ế đề

ế

ế

ề
ấ

ứ

.

.
ệ

ù

ù ấ

ậ ấ

ẫ

ể

ệ

ư

đ

ứ

ỏ

ọ
T

ọ

đượ
ể

ă

đờ

ồ
ắ

ấ

ủ

ư ưở

ủ

ồ
ề

.T
ẫ

ừ

. í ụ: í

ư

ế

.

ủđ

đ

ệ

í

ệ

ỉ đợ

ụ

ỉ ệ

í

ườ
ệ ,

ườ

ư

ă

ọ
ệ

ứ

đượ

í

.T

ườ
ề

ỉ

.T

ế

ố

ố

ọ đ

ườ

ă
ườ

ấ –

ẫ

ủ

ệ

í

ư ưở

ấ

ơ ,

ấ đề ở

ệ

,

đ

ệ

ơ .
Tấ

ẫ
ế

nhau.
ẫ

,

,

ư

ế
ợ

ế
ò

ế
ợ
ố
ư

ậ
ẫ

ứ

ệ

đ

ờ

ụ

ể

ệ

đ
ợ

ẫ
ọ , ầ

ợ
ấ

.

ể

ượ

ỉ

ẫ

ế

ấ

ẫ
ể

ườ

.
ò ủ

ệ

ể
đ

ỏ
ụ

ấ đượ

ụ

ứ
ở

ườ

ể

ườ

, ấ
ể, ừ

để ử ụ

ũ

ở

ườ
ơ .

ù
ườ

ệ

ườ

ỏ đề

ườ

T

ấ

đượ

đượ

ủ

ọ
ọ

ườ

ấ

ể

,

ế

ấ

ể

ọ

đườ

ợ

ấ đề ấ
để

ờ

ườ

đ ,

ố

2
(vn ) : v1 = 3; vn+ 1 = 1+ vn , n ³ 1. T

đượ

đ ở

ứ

.

ù

ấ

ế

ế ,

ấ

ấ
22


ế để e
ẫ

ẫ
,

ế
,

,

ấ đượ
ố
ậ

ế đượ

duy, ă
ứ
ư

ậ
ủ

ễ C

T

ượ

, ấ

ế

ế .

ọ

ế

ũ

ọ
ậ

ố
ă

ư

ấ

ệ

ù ợ

ệ

ế

ứ

ố

ủ

í

ố

ườ
ế

ụ

ệ
ườ .

ầ

ứ

ừ

.T
ệ

ể

đ ,
ứ

ư

ầ
ậ.

ư

: Trong khoa học tư duy thì phải đặc biệt coi trọng

phương pháp duy vật biện chứng vì đ là vũ kh tư duy cực kì lợi hại của các dân
tộc nghèo, bị áp bức để ch ng lại kẻ xâm lược (trong chiến tranh), để hội nhập
và cạnh tranh tr n trường qu c tế (trong xây dựng hịa bình), b i lẽ chỉ với cách
nhìn mọi sự vật như là một “th ng nhất mâu thuẫn” mới có thể chuyển hóa: yếu
thành mạnh, nghèo thành giàu, s đoản thành s trường.

23


T I IỆU THAM KHẢO
[1] C.

ác, Ph. Ăn hen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 2, NXB S thật

Hà N , ă
[2] C.

962.

ác, Ph. Ăn

Hà N , ă

hen, C. Mác, Ph. Ăngghen toàn tập, tập 20, NXB S thật

994.

[3] Nguyễn Như H i, Triết học trong khoa học tự nhiên, NXB Giáo dục Việt
Nam.
[4] Nguyễn C nh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo d c, tự học, tự nghiên cứu
(tập 1), Đ

, TT

ngôn ng đ

, ă

2

.

[5] Nguyễn C nh Toàn, Tuyển tập tác phẩm Tự giáo d c, tự học, tự nghiên cứu
(tập 2), Đ

, TT

ngôn ng đ

, ă

2

.

[6] Nguyễn C nh Toàn, Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học,
dạy, nghiên cứu toán học (tập 1, 2 ,

Đ

, ă

997.

24