Tiểu luận môn triết học MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
PHÒNG ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC – KHOA HỌC CÔNG NGHỆ VÀ QUAN HỆ ĐỐI NGOẠI
Tiểu luận môn: Triết học
MỐI LIÊN HỆ GIỮA
TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC
Giảng viên hướng dẫn: TS. Bùi Văn Mưa
Học viên: Hà Siu
Mã số học viên: CH1301051
1
TP.HCM, Tháng 08 - 2014
LỜI MỞ ĐẦU
Toán học và triết học là hai ngành khoa học lâu đời và đã được biết đến rộng rãi
từ hàng nghìn năm nay. Tuy nhiên khái niệm Triết học Toán học vẫn còn khá mới
mẽ ở Việt Nam. Thật ra, Triết học Toán học là một nhánh của triết học. Hiểu một
cách ngắn gọn thì Triết học Toán học chính là việc sử dụng các phương pháp toán
học vào trong triết học.
Trong khoa học nói chung, đặc biệt là trong vật lí học, thiên văn học thì toán học
được sử dụng như là công cụ chính của các ngành khoa học này. Vai trò của toán
học chính là ngôn ngữ của khoa học tự nhiên. Do đó chúng ta sẽ không thể hiểu
được thế giới tự nhiên nếu không hiểu được toán học. Còn đối với triết học, toán học
có vai trò gì, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp toán học để giải quyết các
vấn đề, các câu hỏi trong triết học hay không?
Để trả lời cho câu hỏi này, em xin thực hiện đề tài tiểu luận “Mối liên hệ giữa
triết học và toán học” để cho thấy rằng sự phát triển của triết học có những đóng
góp đáng kể của toán học và cũng nhờ toán học chúng ta hiểu rõ hơn triết học.
Bài tiểu luận này có bố cục như sau:
I. Tư tưởng triết học trong toán học cổ đại.
II. Tư tưởng triết học trong toán học thời Phục hưng ở Châu Âu.
III. Triết học trong toán học ở các thế kỷ XVII, XVIII và XIX.
IV. Triết học trong toán học hiện đại.

Nội dung các phần lần lượt điểm lại lịch sử toán học và tư tưởng triết học trong
từng thời kì. Từ đó thấy được mối tương quan qua lại giữa toán học và triết học.
Tài liệu tham khảo chính cho bài thu hoạch này là quyển sách “Những nhà Toán
học Triết học” của GS. Nguyễn Cang, được xuất bản vào tháng 01 năm 2004 bởi
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP.HCM. Ngoài ra, em còn tham khảo một số tài
liệu trên mạng internet như trang web www.giapschool.org.
Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến TS. Bùi Văn Mưa đã
hướng dẫn chúng em trong bài tiểu luận cũng như trong môn học này.
2
MỐI LIÊN HỆ GIỮA TRIẾT HỌC VÀ TOÁN HỌC
I. Tư tưởng triết học trong toán học cổ đại
Thời kỳ toán học cổ đại rực rỡ nhất là toán cổ đại Hy Lạp kéo dài khoảng một
nghìn năm từ thế kỷ thứ V, thứ VI trước Công nguyên đến thế kỷ thứ V, thứ VI sau
Công nguyên. Điểm qua các công trình nghiên cứu từ Thalès đến Diophante, chúng
ta thấy nổi lên những tư tưởng sau đây:
1. Con người vì nhận thức còn hạn chế, khả năng hiểu được thiên nhiên còn yếu
kém, chưa có khả năng chế ngự được thiên nhiên, vì vậy bao trùm lên tất cả
là tư tưởng siêu hình, ngày nay chúng ta hiểu là tư tưởng siêu hình là tư
tưởng chứa nhiều điều bí ẩn chưa giải thích được hoặc giải thích mơ hồ dựa
vào sức mạnh thần linh nào đó. Tuy nhiên các nhà toán học cổ đại đã cố gắng
khám phá ra một số điều bí ẩn của thiên nhiên để phục vụ đời sống của con
người. Thalès và Euclide đã phát minh ra hình học giúp cho dân ven bờ sông
Nil vẽ lại diện tích đất đai khai phá sau những trận lụt bị phù sa che lấp.
Thalès chỉ nhờ bóng của một cây gậy mà đo được chiều cao của Kim tự tháp
bằng phát minh hình học của ông. Pythagore đã phát minh ra những con số
kỳ diệu giúp cho nhân dân buôn bán, giao dịch. Nhưng vì thế giới số của
Pythagore thì nhiều và huyền diệu mà sự hiểu biết của ông thì còn ít nên ông
cho rằng thế giới số là tất cả, rồi ông thần thánh hóa các con số. Tính siêu
hình đã thâm nhập sâu sắc vào ông và các đồ đệ đến nỗi nó kéo dài ảnh
hưởng đến hai trăm năm. Từ những con số thần linh của Pythagore lúc ban

đầu, học trò của ông đã khám phá ra đại lượng khả ước và vô ước, số hữu tỷ
và số vô tỷ làm bàn đạp ban đầu cho hàng chục thế kỷ sau để các nhà toán
học chứng minh tính liên tục của trục số.
2. Archimède đã phát minh ra phép đếm tuy còn nhiều rắc rối, bất tiện, khó áp
dụng nhưng ý tưởng của Archimède về đo độ lớn của vũ trụ bằng lời nói bất
hủ: “Hãy cho tôi nhiều hạt cát tôi sẽ lấp kín vũ trụ này với số hạt cát không
3
lớn hơn 10
51
hạt”. Ngày nay, không ai biết tiên đoán của Archimède đúng hay
sai nhưng ý tưởng của ông đã vượt xa người đương thời ở chỗ ông quan niệm
không gian vừa là vật chất vừa là cái gì không hoàn toàn vật chất nhưng đo
đếm được. Không gian và thời gian đã được vật chất hóa dần dần. Các nhà
toán học đã đề cập tới cái hữu hạn và vô hạn. Không gian và thời gian vừa là
hữu hạn vừa là vô hạn. Tính siêu hình về không gian và thời gian nhờ đó mà
thuyên giảm dần. Tuy nhiên thế giới chưa biết còn quá lớn so với thế giới đã
biết nên sự tôn sùng thần linh và tín ngưỡng đa thần ở người Hy Lạp cổ đại
cũng như nhân loại thời bấy giờ cũng là điều dễ hiểu.
3. Các nhà toán học cổ đại đã từ cảm nhận qua thực tiễn sang nhận thức và tư
duy, lý luận. Hình học Euclide đã trút bỏ khía cạnh của thực tại để trở thành
lý luận của tư duy trừu tượng và góp phần phát triển bộ óc lý luận của con
người, sau đó lại quay về phục vụ thực tế.
4. Triết học của toán học cổ đại Hy Lạp đặt nền móng cho lý luận mạch lạc có
tính khoa học đầy thuyết phục. Ngay cả những lúc trường phái Pythagore
phạm sai lầm là quá thần linh hóa các con số, họ cũng lập luận mạch lạc, ai
trái với họ là bị tẩy chay. Thời Pythagore con người chưa quan niệm nổi tính
liên tục mà chỉ hình dung được tính rời rạc. Hipat phát hiện tính liên tục qua
việc khám phá ra số vô tỷ nhưng bị đả kích và bị khai trừ khỏi trường phái.
5. Một số nhà tư tưởng đã có nhiều phát hiện lớn. Zenon đã chứng minh được
rằng các khái niệm bộ phận và toàn thể chỉ bằng nhau trong phạm vi số đối

tượng là hữu hạn. Khi chuyển sang đối tượng vô hạn thì bộ phận có thể tương
đương với toàn thể.
6. Tuy nhiên Triết học của Toán học qua một nghìn năm phát triển của xã hội cổ
đại Hy Lạp vẫn chưa làm cho phái Duy vật cổ đại (Démocrite, Aristote,…)
thắng thế. Dù sao thì đó cũng là những dấu hiệu tiến bộ về nhận thức của loài
người trên con đường tiếp cận chân lý.
7. Vai trò của toán học cổ đại ở Ấn Độ và Trung Quốc còn khá mờ nhạt. Do đó
Triết học trong Toán học ở những quốc gia này không mang dấu ấn mạnh mẽ
4
như ở đất nước Hy Lạp. Hơn nữa Ấn Độ là đất nước của thiên tai, dịch bệnh,
cuộc sống đầy khó khăn, con người cảm thấy bất lực trước thiên nhiên, vai
trò của khoa học còn non yếu. Toán học chưa đóng được vai trò nền tảng cho
một hệ thống tư duy logic như ở xã hội Hy Lạp. Vì thế quan điểm duy tâm,
mệnh trời, số kiếp con người, đạo giáo vẫn là quan điểm ngự trị trong đời
sống nhân dân Ấn Độ và Trung Quốc cổ đại.
II. Tư tưởng triết học trong toán học thời Phục hưng ở Châu Âu
Xã hội Hy Lạp cổ đại là xã hội mà nhân dân theo tôn giáo đa thần, nền văn minh
cổ đại Hy Lạp là nền văn minh rực rỡ nhất của nhân loại, khoa học, nghệ thuật, văn
học,… đạt đỉnh cao. Nền văn minh này kéo dài được hơn một nghìn năm và bị
người La Mã làm cho tan nát. Người La Mã theo tôn giáo nhất thần kịch liệt chống
đối tín ngưỡng thờ nhiều thần của người Hy Lạp. Sau khi xã hội Hy Lạp đa thần bị
người La Mã làm cho suy sụp thảm hại thì nền văn minh Hy Lạp sau một nghìn năm
huy hoàng đã suy vong đến cùng cực và từ đó Châu Âu bước vào thời kỳ đen tối
nhất trong lịch sử.
Một số nhà toán học, nhà khoa học bị tàn sát, số còn lại tìm cách chạy sang
phương Tây và các nước khác. Trong khi Châu Âu chìm đắm trong sự dốt nát thì các
dân tộc Ả Rập đã biết kế thừa di sản khoa học Hy Lạp rồi góp phần phát triển, kết
hợp với nền văn minh Ấn Độ và ảnh hưởng trở lại sang Tây Ban Nha, Ý, Pháp, Đức.
Châu Âu đã bừng tỉnh sau một nghìn năm sống trong đêm dài Trung cổ. Thời kỳ
Phục hưng ở Châu Âu xem như bắt đầu từ thế kỷ XV, XVI.

1. Đặc điểm Triết học trong Toán học ở thời kỳ này mang đậm dấu ấn của Triết
học Aristote, nghĩa là:
a. Tính logic, tính biện chứng ảnh hưởng qua lại.
b. Quan điểm vận động của thế giới tự nhiên.
c. Nhận thức của con người bắt đầu bằng trực quan, cảm giác, sau đó là
nhận thức lý tính đòi hỏi sự khái quát hóa, trửu tượng hóa để rút ra
quy luật, định luật, định lý,…
d. Vai trò của Linh hồn, Thượng Đế trong chức năng của Lý tính.
5
2. Bình minh của thời kỳ mới trong Toán học xuất hiện. Triết học trong thời kỳ
này bị Nhà Thờ La Mã lên án là nổi loạn. Sự ra đời những phát hiện vĩ đại
của Copernicus, Galilei, Kepler về chuyển động của Quả Đất đã khẳng định
những điều sau đây là đúng và luận điểm của Nhà Thờ La Mã áp đặt vào tâm
trí mọi người từ hàng nghìn năm nay là sai:
a. Thế giới là vận động. Quả Đất vận động quanh Mặt Trời cùng các
hành tinh khác và bản thân của Mặt Trời cũng vận động.
b. Con người bằng tư duy mạnh mẽ của mình đã nhận thức được thế giới,
không chỉ nhận thức cái bề ngoài của thế giới mà bước đầu nhận thức
được bản chất của thế giới và phát hiện được quy luật vận động. Đây
là một bước tiến lớn trên con đường nhận thức thiên nhiên để từng
bước tiến lên làm chủ thiên nhiên.
c. Tuy nhiên, con người chưa phải đã nhận thức được tất cả. Nhà Thờ La
Mã tuy có lùi đôi bước nhưng vẫn còn phát huy được tác dụng.
III. Triết học trong toán học ở các thế kỷ XVII, XVIII và XIX
1. Từ thời Aristote, quan hệ qua lại giữa các hiện tượng, quan hệ biện chứng đã
từng được nhắc đến. Nhưng sau hàng chục năm suy tư, nghiên cứu Descartes
đã để lại cho đời ba bản Phụ lục bất hủ là Quang học, Khí tượng học và Hình
học. Trong ba phụ lục đó thì Phụ lục thứ ba về Hình học là nổi tiếng hơn cả vì
là lần đầu tiên trong Lịch sử Toán học thế giới, quan hệ biện chứng, tức quan
hệ hàm số được đặt ra một cách khoa học. Nói cách khác là tư tưởng Triết

học trong Toán học được thể hiện rõ trong quan điểm biện chứng giữa các đại
lượng. Hai trăm năm sau ngày mất của Descartes, F. Engels đã viết: “Sự phát
minh ra đại lượng biến thiên của Descartes là bước ngoặt trong sự phát triển
của Toán học thế giới”. Có thể nói Descartes đã khai sinh ra phép biện chứng
trong Toán học.
2. Phát hiện vĩ đại của Newton về Định luật Vạn vật hấp dẫn chẳng những giúp
các nhà khoa học hiểu rõ thêm về chuyển động của vũ trụ mà còn cho phép
tính được chính xác ngày xảy ra Nhật thực, Nguyệt thực, giải thích hiện
6
tượng thủy triều. Ngoài ra còn có sự đóng góp của nhiều nhà bác học khác
nữa như Pascal, Permal, Leibniz, dòng họ Bernoulli. Tư tưởng siêu hình bị
đẩy lùi từng bước ở từng bộ phận khác nhau. Tư tưởng duy vật thô sơ từ thời
Aristote đã được khoa học hóa. Màn đen duy tâm siêu hình được giải thích
cặn kẽ bằng khoa học ở từng bộ phận.
3. Thực tiễn và lý thuyết quyện vào nhau hỗ trợ cho nhau. Điều này đã được các
nhà bác học Euler, Lagrange, Laplace, Gauss, Cauchy, Abel… minh chứng.
4. Những phát minh của Lobachevsky, Bolyai đã làm đảo lộn quan điểm siêu
hình về không gian thời gian từ bao đời cũng như làm thay đổi cách suy nghĩ
của con người, tạo đà cho con người đi xa hơn.
5. Nhưng dù sao thì câu nói của Pascal về thân phận yếu đuối của con người
vẫn còn đúng: “Con người là cây lau sậy biết suy nghĩ”. Con người còn phải
phấn đấu nhiều hơn để ra khỏi chốn siêu hình.
IV. Triết học trong toán học hiện đại
1. Người ta cho rằng nhà toán học Đức Cantor đặt nền móng chặt chẽ cho Lý
thuyết Tập hợp vào những năm 1871 – 1883 và về sau Lý thuyết này phát
triển mạnh mẽ làm cơ sở cho Toán học hiện đại. Ngày nay khó mà kể hết
Toán học hiện đại gồm có bao nhiêu ngành. Theo xu thế mỗi ngày một tổng
quát hóa để tăng phạm vi ứng dụng, cho nên ngày nay chúng ta hay nghe các
nhà khoa học ngành này nhưng lại có công trình ảnh hưởng đến ngành khác,
ví dụ như một nhà toán học Đại số có thể giúp cho các nhà khoa học thuộc

ngành Cải tạo gen. Vì vậy, xu thế trừu tượng hóa, tổng quát hóa cao để nâng
tầm ứng dụng và liên kết những ngành nghiên cứu tưởng chừng xa nhau
nhưng lại rất cần cho nhau. Đó là ý tưởng trong Triết học của Toán học hiện
đại.
2. Hơn lúc nào hết, mối quan hệ biện chứng giữa các ngành trí tuệ lại khăng khít
với nhau như vậy, tuy bề ngoài tưởng chừng như khó hiểu: ví dụ như phép
đếm nhị nguyên liên quan chặt chẽ với dịch thuật thông qua máy tính.
7
3. Triết học không còn là ngôn ngữ của các nhà thông thái, hiền triết nữa, mà
triết học là lẽ sống hàng ngày của chúng ta, nó chi phối hoạt động, soi đường
cho mọi việc làm của con người.
4. Vấn đề quan trọng của Triết học trong Toán học là vấn đề quan hệ giữa cấu
trúc Toán học rất trừu tượng và thực tiễn hiện thực. Thực tiễn lúc nào cũng là
nguồn cảm hứng của nhận thức Toán học nhưng không phải chỉ có thế; đến
một lúc nào đó thì Toán học tư duy dù trừu tượng đến đâu nó vẫn có nguồn
gốc thực tiễn nhưng là thực tiễn ở mức phát triển cao hơn.
8
KẾT LUẬN
Những vấn đề triết học nảy sinh trong quá trình phát triển tư duy toán học của các
nhà toán học từ thượng cổ cho đến tận ngày nay bao hàm nhiều lĩnh vực:
1. Nhiều vấn đề được ra trong quá trình tư duy toán học như vấn đề liên tục và
gián đoạn, vấn đề khả ước và vô ước, vấn đề hữu hạn và vô hạn, vấn đề giới
hạn, vấn đề trừu tượng và cụ thể, vấn đề không gian toán học,…
2. Nhân sinh quan, thế giới quan, vũ trụ quan, không gian và thời gian.
3. Quan điểm duy vật và quan điểm siêu hình.
Trong lịch sử toán học, nhiều nhà toán học có công trình nếu nhìn bề ngoài thì có
vẻ như thuần túy toán học nhưng thực chất lại mang ý nghĩa triết học rất sâu sắc và
bản thân họ cũng không lường hết được.
Toán học hay khoa học nói chung càng phát triển, chúng ta càng có nhiều cơ sở
để giải thích thế giới, triết học sẽ càng phát triển. Để kết thúc bài tiểu luận này, em

xin trích một câu trong diễn văn của nhà Toán học Pháp Emile Picard đọc nhân kỷ
niệm 100 năm ngày mất của nhà toán học thần đồng người Na Uy Abel (1802 –
1829): “Abel cũng như những bậc thầy khác đã làm cho Toán học trở thành một thứ
Triết học trong sáng với logic chặt chẽ, suy diễn chính xác không thể chê vào đâu
được”.
9
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Cang, Những nhà Toán học Triết học, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia
Thành phố Hồ Chí Minh, 2004.
[2] Bùi Văn Mưa, Bài giảng cao học “Triết học”, Lưu hành nội bộ, 2014.
[3] Website tìm kiếm thông tin: www.google.com.vn.
[4] Website học tập: www.giapschool.org.
10