Luận van “Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học môn Toán lớp 10

1

Mở đầu
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Trước những biến đổi to lớn của thế giới trong thời đại ngày nay, đòi
hỏi nhà trường phải đào tạo ra những con người có năng lực giải quyết vấn đề
trong học tập và trong thực tiễn cuộc sống. Hình thành và bồi dưỡng năng lực
giải quyết vấn đề sẽ trở thành yêu cầu cấp bách của tất cả các quốc gia, các tổ
chức giáo dục và các doanh nghiệp.
Trong đổi mới giáo dục, ở hầu khắp các nước trên thế giới, người ta rất
quan tâm đến bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua các
môn học, thể hiện đặc biệt rõ nét ở trong quan điểm trình bày kiến thức và
phương pháp dạy học thông qua chương trình, sách giáo khoa.
Raja Roy Singh trong cuốn “Nền giáo dục cho thế kỉ XXI - Những triển
vọng của Châu á - Thái Bình Dương” đã khẳng định: “Để đáp ứng được những
đòi hỏi mới được đặt ra do sự bùng nổ kiến thức và sáng tạo ra kiến thức mới,
cần thiết phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết vấn đề sáng tạo...
Các năng lực này có thể quy gọn là “năng lực giải quyết vấn đề”.
Hội nghị giữa Hội đồng giáo dục Australia và các Bộ trưởng Bộ Giáo dục
- Đào tạo - Việc làm các bang của Australia (9/1992) đã đưa ra kiến nghị coi
phát hiện và giải quyết vấn đề là một trong bảy năng lực then chốt (Key
competencies).
Ở Việt Nam, các Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư khoá VII (1993), lần thứ
hai khoá VIII (1997) của Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sản Việt nam
và Luật Giáo dục (1998) đã chỉ rõ: “Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục
hướng vào người học, rèn luyện và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải
quyết vấn đề một cách năng động, độc lập, sáng tạo ngay trong quá trình học tập
ở nhà trường phổ thông. áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi
dưỡng năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề”. Năng lực đầu tiên
trong bốn năng lực cơ bản mà “mẫu người” tương lai cần có chính là “năng lực
phát hiện và giải quyết vấn đề nảy sinh trong cuộc sống, khoa học công

nghệ, ...”. Thái Duy Tuyên khi bàn về mục tiêu và phương pháp bồi dưỡng con
người Việt Nam trong điều kiện mới đã chỉ ra: “Giáo dục không chỉ đào tạo con
người có năng lực tuân thủ, mà chủ yếu là những con người có năng lực sáng


2

tạo,..., biết cách đặt vấn đề, nghiên cứu và giải quyết vấn đề...”. Các dự án phát
triển Giáo dục tiểu học, Trung học cơ sở và Trung học phổ thông ở nước ta hiện
nay đang thực hiện đổi mới Giáo dục theo định hướng trên.
1.2. Ở trường phổ thơng, có thể xem học Toán là học phát hiện và giải
quyết các vấn đề Tốn học (tìm tịi ở mức độ học tập các tri thức Tốn học theo
con đường tìm tịi suy lí và khái qt hóa) và dạy Tốn là dạy hoạt động Tốn
học. Hơn nữa, mơn Tốn là mơn học có tính khái qt cao, mang đặc thù riêng
của khoa học Toán học nên chứa đựng nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lực
giải quyết vấn đề.
Mặt khác trong dạy học Toán, mà cụ thể là: Dạy học khái niệm, dạy học
định lí, và dạy học giải bài tập Tốn, mỗi cái có một vai trị quan trọng riêng,
một ý nghĩa nhất định trong việc góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề,
phát triển trí tuệ cho học sinh.
1.3. Đã có một số tác giả quan tâm nghiên cứu phát triển một số loại năng
lực cụ thể trong dạy học mơn Tốn. Về năng lực học Tốn học nói chung có
A.N. Kơlmơgơrơv, V.A. Cruchetxki; ở trung học cơ sở về năng lực tư duy sáng
tạo có Tơn Thân; về năng lực Tốn học trong lĩnh vực số học có Trần Đình
Châu; về năng lực sáng tạo trong lĩnh vực hình học có Trần Luận; ở trung học
phổ thơng về năng lực giải Tốn có Lê Thống Nhất; Nguyễn Thị Hương
Trang; ... Các nghiên cứu này đã tạo nên bức tranh nhiều màu sắc về năng lực
nói chung và năng lực Tốn học nói riêng. Tuy nhiên căn cứ vào thực trạng dạy
học Toán ở trung học phổ thơng hiện nay, có thể nói vấn đề bồi dưỡng năng lực
giải quyết vấn đề chưa được quan tâm và phát triển một cách đầy đủ.

1.4. Trong đổi mới nội dung, đổi mới chương trình đang thực hiện ở nhà
trường phổ thơng, có rất nhiều vấn đề phát sinh, những địi hỏi mới trong những
hồn cảnh mới. Những nội dung kiến thức, bài tập của hôm nay, ngày mai sẽ có
thể khơng phù hợp nữa. Hơn nữa, xét thực trạng dạy học ở trường trung học phổ
thông hiện nay, các nhà Tốn học Hồng Tụy và Nguyễn Cảnh Tồn viết: “...
Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giáo dục. Thế
nhưng, hiện nay trong nhà trường, tư duy, tính cách bị chìm đi trong kiến
thức...”, “...Ta cịn chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải
những bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy cho việc phát triển trí tuệ


3

mà còn làm cho học sinh xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản...”. Khối lượng
kiến thức thì phong phú, nội dung, chương trình liên tục thay đổi, làm sao có thể
nhồi nhét hết vào trong đầu học sinh đang ở tuổi có nhiều mối quan tâm khác!
Do đó, thay vì việc dạy nhồi nhét, luyện nhớ, chúng ta hãy góp phần phát triển
cho học sinh cách phát hiện và giải quyết vấn đề, dạy cho họ cách học. Mà dạy
học Toán vừa tạo ra cơ hội thuận lợi, vừa địi hỏi phát triển những biện pháp sư
phạm thích hợp để hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học
sinh.
Những cơ sở lý luận và thực tiễn nói trên đã đặt ra yêu cầu và tạo điều
kiện cho việc nghiên cứu năng lực giải quyết vấn đề trên bình diện đề xuất các
biện pháp sư phạm để bồi dưỡng các năng lực này trong dạy học Tốn ở trung
học phổ thơng, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở trường trung
học phổ thơng nói riêng, qua đó phát triển khả năng giải quyết vấn đề nói chung.
Vì tất cả các lí do trên chúng tơi đã chọn vấn đề “Góp phần phát triển năng lực
giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thơng trong dạy học mơn Tốn
lớp 10 " làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hố và thống nhất một số vấn đề lí luận và thực tiễn về năng lực
giải quyết vấn đề trong dạy học Tốn ở THPT; từ đó xây dựng các BPSP nhằm
bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy học mơn Tốn ở
lớp 10 trung học phổ thông.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được một số thành tố của NLGQVĐ và xây dựng được các
BPSP phù hợp thì có thể góp phần phát triển năng lực này cho HS THPT trong
dạy học mơn Tốn lớp 10 .
4. phương pháp nghiên cứu
4.1. Nghiên cứu lí luận:
- Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, Nhà nước, các chủ trương và chính
sách của Bộ Giáo dục và Đào tạo có liên quan đến nhiệm vụ dạy học Toán ở
trường THPT.
- Nghiên cứu các tài liệu triết học, tâm lí học, giáo dục học và lí luận DH
bộ mơn Tốn có liên quan đến đề tài.


4

- Phân tích chương trình, SGK, sách bài tập, sách giáo viên, sách tham
khảo hiện hành ở trường THPT, và các sách trong chương trình trước hiện hành
ở nước ta.
4.2. Quan sát
Dự giờ quan sát biểu hiện GV và HS (về nhận thức, thái độ, hành vi)
trong hoạt động dạy và học Toán (trước và trong khi thực nghiệm).
4.3. Điều tra thực tiễn và xin ý kiến chuyên gia:
- Phỏng vấn, sử dụng phiếu điều tra GV và HS về:
+ Thực trạng tình hình DHT ở trường THPT;
+ Thực trạng vấn đề bồi dưỡng NLGQVĐ cho học sinh thông qua DH
Toán ở trường PTTH (nhận thức của GV, kết quả).

- Tổ chức xin ý kiến chuyên gia giáo dục về vấn đề nghiên cứu.
4.4. Thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức nghiệm sư phạm để kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của đề
tài.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn của đề tài:
Hệ thống hố, làm rõ những vấn đề về cơ sở lí luận và thực tiễn, phương
pháp luận có liên quan đến NLGQVĐ trong dạy học Toán.
5.2. Đề xuất các BPSP bồi dưỡng NLGQVĐ cho HS trong DH Toán lớp
10 ở THPT.
5.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm xem xét tính khả thi của phương án đề
xuất; tìm hiểu khả năng triển khai trong thực tiễn.
6. Những đóng góp của luận văn và ý nghĩa của đề tài
6.1. Về mặt lí luận: Góp phần làm rõ các thành tố của NLGQVĐ của HS
trong dạy học Toán.
6.2. Về mặt thực tiễn: Xây dựng hệ thống các BPSP bồi dưỡng cho HS
NLGQVĐ trong dạy học Toán lớp 10 THPT .
7. Cấu trúc của luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, nội dung
chính của luận văn được trình bày trong ba chương:


5

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Quá trình nhận thức.
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học.
1.3. Vấn đề phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh trong dạy
học Toán.
1.4. Các năng lực thành tố của năng lực giải quyết vấn đề của học sinh

trong dạy học Toán ở THPT.
1.5. Các biểu hiện và cấp độ của năng lực giải quyết vấn đề.
Chương 2: Các biện pháp sư phạm góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề cho học sinh THPT trong dạy học mơn Tốn lớp 10
2.1 Tổng quan về chương trình mơn Tốn lớp 10 THPT
2.2. Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp.
2.3. Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực giải
quyết vấn đề cho học sinh trong học mơn Tốn lớp 10 THPT
2.4. Kết luận.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận.


6

Chương 1

Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Q trình nhận thức :
Trong dạy học nói chung, dạy học Tốn nói riêng cần chú ý đến cơ chế
cũng như những điều kiện ảnh hưởng đến sự phát triển của nhận thức của người
học, bởi điều đó có vai trị quyết định đến khả năng lĩnh hội tri thức- tạo tiền đề
cho việc phát triển trí tuệ, phát triển NLGQVĐ của họ.
Người ta có thể xem xét khoa học các đối tượng nghiên cứu tâm lí học
theo nhiều góc độ khác nhau. Và đối với sự phát triển của nhận thức cũng khơng
nằm ngồi qui luật đó.
Các nghiên cứu cho thấy có thể chia q trình nhận thức thành hai cấp độ:

nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính.
Nhận thức cảm tính (cảm giác, tri giác, …) có vai trị quan trọng trong đời
sống tâm lí của con người, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lí cao
hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra VĐ mà bằng nhận thức cảm tính,
con người khơng thể nhận thức và giải quyết được. Muốn nhận thức và giải
quyết được những vấn đề như vậy, con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao
hơn, đó là nhận thức lí tính (cịn gọi là tư duy).
Trong tâm lí học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về tư duy đã
được trình bày trong các cơng trình của X. L. Rubinstein. Những cơng trình này
đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt các vấn đề cơ bản liên quan đến
nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lí phức tạp. Theo cách hiểu của X. L.
Rubinstein: “Tư duy - đó là sự khơi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể
với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do
tác động của khách thể”
Có thể chỉ ra một số định nghĩa khác về tư duy, chẳng hạn: “Tư duy là
quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có
tính qui luật của sự vật hiện tượng trong hiện thực khách quan” [19, tr. 117],
hoặc: “Tư duy là một quá trình tâm lí liên quan chặt chẽ với ngơn ngữ - q
trình tìm tịi và sáng tạo cái chính yếu, q trình phản ánh một cách hay từng


7

phần hay khái quát thực thế trong khi phân tích và tổng hợp nó. Tư duy sinh ra
trên cơ sở hoạt động thực tiễn, từ nhận thức cảm tính và vượt xa giới hạn của
nó” [51].
Tư duy con người mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngơn ngữ.
Trong q trình phát triển, tư duy con người khơng dừng lại ở trình độ thao tác
bằng chân tay, bằng hình tượng mà con người cịn đạt tới trình độ tư duy bằng
ngôn ngữ, tư duy trừu tượng, tư duy khái quát - hình thức tư duy đặc biệt của

con người [19, tr. 119]. Trong quá trình tư duy, con người sử dụng phương tiện
ngôn ngữ - sản phẩm có tính xã hội cao, để nhận thức tình huống có vấn đề, để
từ đó tiến hành các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá,
khái quát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đốn, suy lí, những qui luật những sản phẩm khái quát của tư duy.
Tư duy có đặc điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy có
những đặc điểm cơ bản sau [19, tr. 119-125]:
*) Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề;
*) Tư duy có tính khái qt;
*) Tư duy có tính gián tiếp;
*) Tư duy của con người có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: tư duy và
ngôn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, khơng tách rời nhau nhưng cũng không
đồng nhất với nhau. Sự thống nhất giữa tư duy và ngôn ngữ thể hiện ở khâu biểu
đạt kết quả của quá trình tư duy.
*) Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: tư duy thường bắt
đầu từ nhận thức cảm tính, dù tư duy có tính khái qt và tính trừu tượng đến
đâu thì nội dung của tư duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm
giác, tri giác, hình tượng trực quan, ...). X. L. Rubinstein khẳng định rằng: “Nội
dung cảm tính bao giờ cũng có trong tư duy trừu tượng, tựa hồ như làm thành
chỗ dựa cho tư duy” [19, tr. 122].
*) Tư duy là một quá trình: tư duy được xét như một quá trình, nghĩa là tư
duy có nảy sinh, diễn biến và kết thúc. Q trình tư duy bao gồm nhiều giai


8

đoạn kế tiếp nhau đươc minh hoạ bởi sơ đồ Hình 1.1 (do K. K. Plantơnơv đưa
ra):
NhËn thøc vÊn ®Ị

Xt hiện các liên tởng

Sàng lọc các liên tởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá

Khẳng định

Phủ định
Hoạt ®éng t duy míi

Gi¶i qut vÊn ®Ị
Hình 1.1

(Dẫn theo Nguyễn Văn Thuận [51])

*) Quá trình tư duy là một hành động trí tuệ: q trình tư duy được diễn ra
bằng cách hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác trí tuệ
tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ: phân
tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá, ...
Cái cốt lõi là chúng ta phải thấy được tác dụng của tư duy trong đời
sống xã hội, bởi con người dựa vào tư duy để “nhận thức những qui luật khách
quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng những qui luật đó trong hoạt động thực
tiễn của mình” [51].
1.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Tốn học
Theo phân tích trên thì chúng ta cần có những quan tâm đúng mực đến sự
phát sinh và cơ chế của quá trình nhận thức để áp dụng vào dạy học có hiệu quả.

9

Bởi đó là điều kiện tiên quyết để GQVĐ được tốt hơn, góp phần phát triển năng
lực GQVĐ của người học nói chung, và trong dạy học Tốn nói riêng.
1.2.1. Năng lực và năng lực toán học
1.2.1.1. Năng lực, kĩ năng, kĩ xảo và mối liên hệ
a) Năng lực
ở phương Tây có nhiều quan điểm về NL: Theo quan điểm di truyền học,
trường phái A. Binet (1875-1911) và T. Simon cho rằng: NL phụ thuộc tuyệt đối
và tính chất bẩm sinh của di truyền gen. Theo quan điểm xã hội học, E.
Durkhiem (1858-1917) cho rằng: NL, nhân cách con người được quyết định bởi
xã hội (như một môi trường bất biến, tách rời khỏi điều kiện chính trị). Theo
phái tâm lí học hành vi, J. B. Watson (1870-1958) coi NL của con người là sự
thích nghi “sinh vật” với điều kiện sống. Nhìn chung, các quan điểm này chủ
yếu xem xét NL từ khía cạnh bản năng, từ yếu tố bẩm sinh, di truyền của con
người mà coi nhẹ yếu tố giáo dục.
Các nhà tâm lí học Mác xit nhìn nhận và nghiên cứu vấn đề NL theo cách
khác. Họ khơng tuyệt đối hố vai trị của yếu tố bẩm sinh di truyền đối với NL
mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và HT trong việc hình thành NL
C. Mác chỉ rõ: “Sự khác nhau về tài năng tự nhiên của các cá nhân không
phải là nguyên nhân mà là kết quả của sự phân công lao động” [32, tr. 167]. Ph.
Ăng ghen thì cho rằng: “Lao động đã sáng tạo ra con người” [2, tr. 641].
Trường phái tâm lí học Xơ viết với A. G. Cơvaliov [11, tr. 84-127], N. X.
Lâytex, …và tiêu biểu là B. M. Chieplôv đã có nhiều cơng trình nghiên cứu về
NL trí tuệ. B.M. Chieplơv coi NL là những đặc điểm tâm lí cá nhân có liên quan
với kết quả tốt đẹp với việc hồn thành một hoạt động nào đó. Theo ơng có hai
yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL:
Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lí mang tính cá nhân. Mỗi cá thể
khác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực. Khơng thể nói rằng: Mọi
người đều có năng lực như nhau!

10

Thứ hai, khi nói đến NL, khơng chỉ nói tới các đặc điểm tâm lí chung mà
NL cịn phải gắn với một hoạt động nào đó và được hồn thành có kết quả tốt
Cũng theo quan điểm trên, X. L. Rubinstein chú trọng đến tính có ích của
hoạt động, ơng coi NL là điều kiện cho hoạt động có ích của con người: “Năng
lực là tồn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích hợp với một hoạt
động có ích lợi cho xã hội nhất định” .
Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và nhân cách của NL, Phạm
Tất Dong và Phạm Minh Hạc đưa ra nhận định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ
hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (cịn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí
của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định
tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [19, tr.45].
b) Kĩ năng, kĩ xảo và mối quan hệ với năng lực
M. A. Đanilôp và M.N. Xcatkin [16, tr. 26]: "Kĩ năng bao giờ cũng xuất
phát từ kiến thức, kĩ năng chính là kiến thức trong hành động. Kĩ năng là khả
năng của con người biết sử dụng một cách có mục đích và sáng tạo những kiến
thức".
Theo X.Roegiers [45, tr. 79] thì cho rằng: "Kĩ năng là khả năng thực hiện
một cái gì đó. Đó là một hoạt động được thực hiện".
Meirieu cho rằng: "Kỹ năng là một hoạt động trí tuệ ổn định và có thể tái
hiện trong những trường kiến thức khác nhau. Không một kĩ năng nào tồn tại ở
dạng thuần khiết và mọi khả năng đều biểu hiện qua những nội dung".
Như vậy, qua tổng hợp các nghiên cứu chúng tôi cho rằng: Kĩ năng là ở
phương thức hành động dựa trên cơ sở của tri thức, luôn được biểu hiện qua các
nội dung cụ thể. Kĩ năng có thể được hình thành theo con đường luyện tập. Kĩ
năng là một bộ phận cấu thành năng lực.
Những nghiên cứu về hoạt động cho thấy: Kết quả của việc hoàn thành

một hoạt động nào đó phụ thuộc vào kĩ năng thực hiện những hành động thành
phần của nó. Đồng thời, thể hiện mức độ tinh vi, thành thục khi thực hiện các kĩ
năng đó chính là kĩ xảo. Như vậy, NL và kĩ năng, kĩ xảo có mối liên hệ khăng


11

khít, gắn bó, NL thường bao gồm một tổ hợp các kĩ năng thành phần có quan hệ
chặt chẽ với nhau, giúp con người hoạt động có kết quả.
Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kĩ năng, xét từ phương
diện tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X. Rogiers đã mơ hình hố
khái niệm NL thành các kĩ năng hành động trên những nội dung cụ thể trong
một loại tình huống hoạt động: “Năng lực chính là sự tích hợp các kĩ năng tác
động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt các tình huống cho trước
để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” [45, tr.90].
Tóm lại, NL và kĩ năng là những vấn đề (VĐ) khá trừu tượng trong tâm lí
học. Tuy cịn có những cách hiểu và diễn đạt khác nhau, song về cơ bản các nhà
tâm lí học đều thống nhất rằng:
*) NL tồn tại và phát triển thông qua hoạt động; để có NL cần phải có
những phẩm chất của cá nhân đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất định,
đảm bảo cho hoạt động ấy đạt hiệu quả cao.
*) Người có năng lực về một hoạt động nào đó cần phải:
+ Có tri thức về hoạt động đó;
+ Tiến hành thạo động theo đúng các yêu cầu của nó một cách có hiệu
quả;
+ Đạt được kết quả phù hợp với mục đích đề ra;
+ Biết tiến hành có kết quả trong những điều kiện khác nhau.
c) Trên cơ sở tìm hiểu những quan điểm về NL, xét từ phương diện giáo
dục, chúng tôi tổng hợp lại như sau:
*) NL thể hiện đặc thù tâm lí, sinh lí khác biệt của cá nhân, chịu ảnh

hưởng của yếu tố bẩm sinh di truyền về mặt sinh học, được phát triển hay hạn
chế cịn do những điều kiện khác của mơi trường sống.
*) Những yếu tố bẩm sinh của NL cần có môi trường điều kiện xã hội (ở
đây ta sẽ giới hạn trong môi trường giáo dục) thuận lợi mới phát triển được, nếu
không sẽ bị thui chột. Do vậy NL khơng chỉ là yếu tố bẩm sinh, mà cịn phát
triển trong hoạt động, chỉ tồn tại và thể hiện trong mỗi hoạt động cụ thể.


12

*) Nói đến NL là nói đến NL trong một loại hoạt động cụ thể của con
người.
*) Cấu trúc của NL bao gồm một tổ hợp nhiều kĩ năng thực hiện những
hành động thành phần và có liên quan chặt chẽ với nhau. Đồng thời NL còn liên
quan đến khả năng phán đốn, nhận thức, hứng thú và tình cảm.
*) Hình thành và phát triển những NL cơ bản của HS trong HT và đời
sống là nhiệm vụ quan trọng của các nhà trường sư phạm.
1.2.1.2. Năng lực toán học và một số thành phần đặc trưng của tư duy
toán học ảnh hưởng đến năng lực toán học
a) Năng lực toán học
*) Theo V. A. Crutecxki năng lực toán học được hiểu theo 2 ý nghĩa, 2

mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình tốn học ở trường phổ thơng, nắm một
cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối
với xã hội loài người.
Giữa hai mức độ hoạt động tốn học đó khơng có một sự ngăn cách tuyệt

đối. Nói đến năng lực học tập tốn không phải là không đề cập tới năng lực sáng
tạo. Có nhiều em học sinh có năng lực, đã nắm giáo trình tốn học một cách độc
lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài tốn khơng phức tạp lắm; đã tự tìm ra
các con đường, các phương pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập
suy ra các cơng thức, tự tìm ra các phương pháp giải độc đáo cho những bài tốn
khơng mẫu mực ... Tuy nhiên, đó chỉ chiếm một tỉ lệ rất nhỏ.
*) Theo A. N. Kơlmơgơrơv xem xét NL tốn học trên cơ sở 3 thành tố
liên có liên quan đến khả năng biến đổi biểu thức chữ, tưởng tượng và suy luận
lôgic:
1) NL biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, NL tìm kiếm các
phương pháp xa lạ với các qui tắc thơng thường để giải phương trình;


13

2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận lôgic được phân nhỏ hợp lí, tuần tự.
*)Theo V. A. Cruchetxki [28, tr. 168] nhìn nhận dưới góc độ thu nhận và
xử lí thơng tin đã phân chia NL toán học bao gồm 4 thành tố cơ bản là:
1) Thu nhận thơng tin tốn học;
2) Chế biến thơng tin tốn học;
3) Lưu trữ thơng tin toán học;
4) Thành phần tổng hợp chung là khuynh hướng tốn học của trí tuệ.
*) Theo UNESCO đã cơng bố 10 tiêu chí NL tốn học cơ bản như sau:
1) NL phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép tốn, các
KN;
2) NL tính nhanh và tính cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;
3) NL dịch chuyển các dữ liệu thành kí hiệu;
4) NL biểu diễn các dữ kiện, ẩn, các điều kiện ràng buộc giữa chúng
thành kí hiệu;

5) NL theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;
6) NL xây dựng một chứng minh;
7) NL giải một bài toán đã toán học hoá;
8) NL giải một bài tốn có lời văn (chưa tốn học hóa);
9) NL phân tích bài tốn và xác định phép tốn có thể áp dụng;
10) NL khái qt hố.
Trong các bài viết của Viện sĩ B. V. Gơnhedencô viết về giáo dục học ở
trường phổ thông, ông đưa ra các yêu cầu đối với tư duy toán học của học sinh
là :
1) Năng lực nhìn thấy sự khơng rõ ràng của q trình suy luận, thấy
được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;
2) Sự cô đọng;
3) Sự chính xác của các kí hiệu;
4) Phân chia rõ tiến trình suy luận;
5) Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic [51].


14

Theo A. Ia. Khinsin, những nét độc đáo của tư duy tốn học là:
1) Suy luận theo sơ đồ lơgic chiếm ưu thế;
2) Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đi đến mục đích;
3) Phân chia rành mạch các bước suy luận;
4) Sử dụng chính xác các kí hiệu (mỗi kí hiệu tốn học có một ý nghĩa
xác định chặt chẽ);
5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [51].
*) Theo A. A. Stoliar, dạy Tốn có thể xem như dạy cho học sinh hoạt
động toán học, mà đi liền với mỗi hoạt động sẽ có những NL tương ứng. Học
toán bao gồm các hoạt động liên quan đến Số học, Đại số, Giải tích, Hình học,
… nên ta có thể phân chia NL thành thành các NL học Số học, NL học Đại số,

NL học Giải tích, NL học Hình học…Mặt khác, tốn học có tính trừu tượng cao
và tính lơgic chặt chẽ nên hoạt động học toán liên quan chặt chẽ với tư duy toán
học. Do đó, NL tốn học có thể được nghiên cứu từ những góc độ riêng. Có
những tác giả đã cụ thể hoá và vận dụng NL này vào DH Toán theo các khía
cạnh, phạm vi và chủ đề khác nhau.
Tiếp cận từ góc độ bồi dưỡng tư duy sáng tạo, Tơn Thân đã tập trung
nghiên cứu ba trong năm thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo là “tính mềm
dẻo, tính nhuần nhuyễn, và tính độc đáo” [50, tr. 12-13].
Theo hướng bồi dưỡng NL toán học cho HS THCS, Trần Đình Châu tập
trung vào bốn yếu tố của nó trong DH Số học [7, tr. 38-39].
Từ khía cạnh rèn luyện NL tư duy trong NL toán học, Nguyễn Thái Hoè
đưa ra các yêu cầu rèn luyện tư duy qua giải bài tập tốn [22, tr. 4]; Nguyễn Văn
Thuận tìm hiểu các đặc trưng của tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngơn ngữ
tốn học cho HS ở đầu cấp THPT [51].
Nghiên cứu rèn luyện NL giải toán, Lê Thống Nhất đã đi theo hướng tìm
hiểu, phân loại các sai lầm và biện pháp sửa chữa cho HS THPT [33]. Cịn
Nguyễn Thị Hương Trang thì tiếp cận NL này từ quan điểm “phát hiện và
GQVĐ một cách sáng tạo” [53], …
Trên cơ sở nghiên cứu những lí luận và thực tiễn, có thể thấy:


15

*) NL tốn học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của học sinh,
giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến
thức, kĩ năng, kĩ xảo trong mơn Tốn.
*) NL tốn học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắn
liền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ HT trong mơn
Tốn: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải
bài tốn,…

b) Một số thành phần đặc trưng của tư duy toán học ảnh hưởng đến
năng lực toán học
Để thuận lợi cho việc nghiên cứu những vấn đề liên quan đến NLGQVĐ
như đề xuất các NL thành tố và các BPSP ở các phần sau của luận văn, chúng
tơi thấy cần thiết phải phân tích, làm rõ một số loại tư duy dưới đây.
a) Tư duy trực giác
Khái niệm trực giác được đề cập từ lâu và có những cách hiểu khác nhau,
điều đó chứng tỏ vai trị quan trọng trong q trình nhận thức và sáng tạo khoa
học. Theo đại bách khoa tồn thư Xơviết thì trực giác là năng lực nhận thức
chân lí bằng cách xét đốn trực tiếp mà khơng có sự biện giải bằng chứng minh.
Theo Cruchetxki thì nhiều trường hợp, sự bừng sáng đột ngột của học sinh có
năng lực có thể giải thích bởi ảnh hưởng vơ thức bởi kinh nghiệm quá khứ mà
cơ sở của chúng là năng lực khái qt hóa các đối tượng, các quan hệ, các phép
tốn toán học và năng lực tư duy bằng cấu trúc rút gọn.
Các tài liệu khác nhau, hiểu trực giác toán học theo nhiều nghĩa khác nhau
và trong thực tế cũng tồn tại nhiều dạng khác nhau; nó có thể coi là sự bừng
sáng đột ngột, chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính và cũng có thể
là kết quả của sự vận động khơng có ý thức các cách thức hoạt động khái quát và
các cấu trúc rút gọn.
J. Bruner đã viết: “Thông thường tư duy trực giác dựa trên cơ sở quen biết
với những kiến thức cơ bản trong lĩnh vực đang xét với cơ cấu của lĩnh vực này.
Điều đó cho phép thực hiện tư duy trực giác dưới những dạng biến đổi đột ngột,
việc chuyển nhanh từ chỗ này sang chỗ kia, bỏ qua những khâu của vấn đề, …”


16

Và cũng cần chú ý rằng không phải tất cả các phát minh (phát minh vĩ
đại) đều là trực giác, nhưng có rất nhiều phát minh bắt đầu từ trực giác. Newton
chỉ với quả táo rơi trên cây xuống mà đã đi tới định lí vạn vật hấp dẫn. Có thể hệ

thống các tiên đề của hình học Ơclit khi ông nêu ra có lẽ phần lớn cũng xuất
phát từ trực giác chăng?
Vào năm Gauss 7 tuổi, thầy giáo đã ra cho cả lớp bài tập: “Hãy tính tổng của
một 100 số tự nhiên từ 1 đến 100” và Gauss đã đưa ra cách trả lời chính xác chỉ
sau một lát suy nghĩ. Làm thế nào ở độ tuổi đó, ơng đã có thể tính được phép
tính phức tạp này?
Phải chăng xuất phát từ trực giác, Ông đã nghĩ: “Dù thay đổi trật tự của
con số trong phép tính thì kết quả vẫn khơng thay đổi, vì thế mình có thể nhóm 1
với 100, 2 với 99, 3 với 98, … để tạo thành các cặp có tổng bằng nhau, và mình
có 50 cặp số như vậy (?)”, suy luận đưa ra đáp án là 101.50 = 5050.
Suy nghĩ này được thể hiện qua sơ đồ sau:
101

101

1 +2 +3 + ………… + 98 + 99 +100
101

Khơng rõ thời điểm đó Ông thực sự đã suy nghĩ như thế nào, nhưng có lẽ
bằng trực giác tốn học khi ghép đơi các cặp với nhau như trên? Qua ví dụ trên,
cho thấy cần phải có những quan tâm hợp lí đối với tư duy trực giác bởi nó cũng
những ý nghĩa rất lớn trong học tập cũng như trong cuộc sống.
b) Tư duy lôgic
Tư duy lôgic được hiểu là: “Tư duy thay thế các hành động với các sự vật
có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo qui tắc của lôgic học” . Tư duy
lôgic là thứ tư duy chặt chẽ, khơng mâu thuẫn, nó khơng chỉ là thực hiện giải
quyết vấn đề, mà còn là phương hướng GQ. Ta sẽ thấy rằng, nếu hiểu một cách
đầy đủ thì tư duy lơgic đóng vai trị quan trọng trong việc PH và GQVĐ, nó
chứng đựng cả những thao tác tiền lơgic, như mị mẫn, dự đốn, bác bỏ, khẳng
định, đặt giả thuyết. Theo các tác giả Koliagin, Oganhexian, Lukankin, Xanhixki

là: “Tư duy lôgic được đặc trưng bởi kĩ năng đưa hệ quả từ những tiền đề, kĩ


17

năng phân chia ra trường hợp riêng và phối hợp chúng lại để khảo sát một cách
toàn diện vấn đề đang xét, kĩ năng dự đốn về mặt lí thuyết một kết quả cụ thể
nào đó” [51].
Theo quan điểm trên, tư duy lôgic chứa đựng ba thành phần cơ bản đó là:
suy diễn, dự đốn, chia trường hợp riêng. Tuy nhiên, mức độ của từng thành
phần ấy thì khơng được định chuẩn một cách rõ ràng, bởi như đối với dự đốn
chẳng hạn, cũng có nhiều mức độ, đối với suy diễn thì cũng có những cái trực
tiếp và gián tiếp.
Vấn đề dự đốn trong tư duy lơgic thường gặp nhiều trong DH toán ở
trường PT, như các bài toán quĩ tích hình học phẳng, tìm giá trị lớn nhất nhỏ
nhất của các hàm số khi chưa có cơng cụ đạo hàm, đặc biệt là những dự đoán về
phương hướng GQ bài tốn.
Xét ví dụ dưới đây, mơ tả lại q trình mày mị, suy luận để tìm lời giải
của một HS có NL tốn học.
Ví dụ 1. 2: Cho x, y là 2 số dương. S là số lớn nhất trong các số x, y +

1 1
, . Tìm giá trị nhỏ nhất của S.
x y
Nếu HS có thói quen mị mẫm, dự đốn, thì họ sẽ biết thử một số trường
hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơ sở
cho việc tìm ra lời giải của bài tốn
Trong bài toán này khi cho x, y thay đổi thoả mãn là 2 số dương thì ta
thấy các S vẫn có thể nhận giá trị của một trong ba số x, y

+

1 1
, mà khơng
x y

theo qui luật nào. Vì vậy rất khó có thể xác định được GTNN của S. Mặt khác
trong q trình giải các bài tốn tìm GTLN, GTNN thông qua BĐT chúng ta
thấy cái “nút” của vấn nhiều khi là ở chỗ các số bằng nhau. Từ thói quen đó mà
1

1

có thể các em sẽ thử trường hợp đặc biệt: cho x = y + x = y . Khi đó ta có:


18

x = 2
 x 2 = xy + 1 
⇒

2
 xy = 1
y =

2
Từ đó ta có dự đốn S nhỏ nhất là S = x = 2
Nhưng đó vẫn chỉ là dự đốn! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ
được điều dự đoán này?

Nếu S nhỏ nhất bằng

2 ta cần phải chứng tỏ rằng S ≥

2 , ∀x, y ∈ R*+

Để kiểm tra điều này ta lại tiếp tục mò mẫm:
Nếu S ≥ 2 khoảng xét của nó hơi rộng ta thử xem S < 2 ?
Nếu S < 2 , thì x < 2, y +

1
1
< 2, < 2(*)
x
y

Khi đó:
1
2
2
1
>
,y>
⇒ y + > 2 m©u thn víi (*).
x
2
2
x
VËy S < 2 lµ sai.
Suy ra S ≥ 2 .

Đẳng thức xảy ra khi x = 2 , y =

2
.
2

Trên đây mơ phỏng lại q trình tìm tịi của một em HS có “óc dự đốn”
khi đứng trước bài tốn. Sự mị mẫm, dự đốn đã giúp em đó phát hiện và giải
quyết vấn đề một cách hồn chỉnh - điều mà nhiều em khác đã không thể làm
được!
Nhìn lại lời giải có thể thấy rằng, cái “nút” của vấn đề chính là ở chỗ: biết

1 1
xét trường hợp đặc biệt là khi ba số x, y + , bằng nhau. Nếu ta khơng xét
x y
trường hợp đó ta sẽ khó lịng giải được bài tốn này. Và vì sao ta biết được
trường hợp đó là bởi vì, chính q trình dự đốn đã gợi ý lên điều này.
Các tác giả Koliagin, Oganhexian, cho rằng: phát triển tư duy lơgíc của
HS là một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của GV dạy Toán, của
những người biên soạn chương trình SGK và cả những người nghiên cứu về


19

giáo dục toán học. Theo các tác giả, đối với mọi cấp học, cần phải thường xuyên
quan tâm tới việc phát triển tư duy lơgíc của HS, và cần chú ý ngay từ lớp nhỏ
(dẫn theo [51]).
c) Tư duy sáng tạo
Theo Từ điển tiếng Việt, “sáng tạo” là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn
đề mới khơng bị gị bó và phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung của sáng tạo gồm

hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái
cũ). Như vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kì hoạt động nào của xã hội lồi
người. Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều phương diện như là một quá
trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như một kiểu tư duy, như là một
năng lực của con người.
Các nhà nghiên cứu đưa ra nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng tạo.
Nhà tâm lý học người Đức Mehlhow cho rằng "Tư duy sáng tạo là hạt nhân của
sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục". Theo ông, tư
duy sáng tạo được đặc trưng bởi mức độ cao của chất lượng, hoạt động trí tuệ
như tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác. Trong khi đó,
J.DanTon lại cho rằng "Tư duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý
nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí
tưởng tượng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy và học bao gồm
những chuỗi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phát sinh,
sự đổi mới, trí tưởng tượng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm".
Trong cuốn: "Sáng tạo Tốn học", G. Polya cho rằng: "Một tư duy gọi là
có hiệu quả nếu tư duy đó dẫn đến lời giải một bài tốn cụ thể nào đó. Có thể coi
là sáng tạo nếu tư duy đó tạo ra những tư liệu, phương tiện giải các bài toán sau
này. Các bài tốn vận dụng những tư liệu phương tiện này có số lượng càng lớn,
có dạng mn màu mn vẻ, thì mức độ sáng tạo của tư duy càng cao, thí dụ:
lúc những cố gắng của người giải vạch ra được các phương thức giải áp dụng
cho những bài toán khác. Việc làm của người giải có thể là sáng tạo một cách
gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài tốn tuy khơng giải được nhưng tốt vì
đã gợi ra cho người khác những suy nghĩ có hiệu quả".


20

Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là
những điều kiện cần thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt

khác nhau của tư duy sáng tạo. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả
năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả
mới. Nhấn mạnh cái mới khơng có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" [28].
Theo Tôn Thân: "Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độc lập tạo ra ý
tưởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao". Và theo tác giả "Tư
duy sáng tạo là tư duy độc lập và nó khơng bị gị bó phụ thuộc vào cái đã có.
Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải
pháp. Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu ấn của mỗi cá
nhân đã tạo ra nó” [50].
Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với người học Toán: "Đối
với người học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đương đầu với
những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết. Như vậy,
một bài tập cũng được xem như là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó
khơng bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức là nếu
người giải chưa biết trước thuật tốn để giải và phải tiến hành tìm hiểu những bước
đi chưa biết trước. Nhà trường phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt
động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày.
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì
đó là tư duy để tạo ra cái mới. Lecne trong [30], đã chỉ ra các thuộc tính của tư
duy sáng tạo là:
- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kĩ năng sang một tình huống sáng tạo;
- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng qui cách";
- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết;
- Nhìn thấy cấu tạo của đối tượng đang nghiên cứu;
- Kĩ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu
lời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những phương thức đã biết thành một
phương thức mới);


21

- Kĩ năng sáng tạo một phương pháp giải độc đáo tuy đã biết nhưng
phương thức khác.
Qua nghiên cứu, người ta cũng đã khái quát 13 yếu tố tạo thành tư duy
sáng tạo như sau: (1) Phương pháp giải quyết khác thường; (2) nhìn trước được
các vấn đề; (3) nắm được mối liên hệ cơ bản; (4) cấu tạo các yếu tố từ đó tạo ra
chức năng mới; (5) thay đổi hướng nghiên cứu; (6) nhìn thấy các con đường, các
cách giải quyết khác nhau một cách tích cực; (7) chuyển từ mơ hình này sang
mơ hình khác; (8) nhạy cảm với các vấn đề mới nảy sinh từ các vấn đề cũ đã giải
quyết xong; (9) biết trước kết quả; (10) nắm được các tư tưởng khác nhau trong
một tình huống nào đó; (11) phân tích các sự kiện theo một trật tự tối ưu; (12) từ
đó tìm ra tư tưởng chung; (13) giải đáp được những tình huống đặc biệt.
Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học,...về cấu trúc của tư
duy sáng tạo, có năm đặc trưng cơ bản sau:
1. Tính mềm dẻo: chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ
khác
2. Tính nhuần nhuyễn: tìm được nhiều giải pháp, xét nhiều phương diện.
3. Tính độc đáo: tìm kiếm và quyết định được phương thức mới
4. Tính hồn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động
5. Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, liên tëng tốt.
Ngồi ra cịn những yếu tố khác như: tính chính xác, năng lực đánh giá,
phán đoán, năng lực định nghĩa lại.
Ví dụ 1.3 : Trong mặt phẳng (Oxy) cho điểm A=(0,4) và hai đường tròn
(I), (J) đi qua A, với I=(-2,0), J=(4,0). Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A,
cắt (I) tại M, cắt (J) tại N sao cho AM=AN.
Đây là một bài tốn trong hình học lớp 10. Thơng thường nếu xét đường
thẳng (∆) qua A, cho cắt (I) và (J) tại M, N rồi cho AM=AN thì bài tốn trở lên
rất khó khăn và phức tạp. Vì như vậy ta phải xét trường hợp đường thẳng (∆)
trong 2 trường hợp có hệ số góc và khơng có hệ số góc, rồi tìm giao điểm M, N với
(I) và (J) rất phức tạp. Tuy vậy, nhờ mềm dẻo trong trong t duy, ta có thể giải quyết

gọn gàng hơn nhiều, nhờ tính chất của đường trịn.


22

Sau đây là một số lời giải thể hiện được các tư duy sáng tạo:
Cách 1: Gọi P và Q là trung điểm của AM và AN, theo tính chất của dây cung
⇒ IP⊥AM và JQ⊥AN và A cũng là trung điểm của PQ.
Ta có hình thang vng IPQJ, đường trung bình của hình thang này qua A
và cắt IJ tại trung điểm T=(1,0). Vậy (∆) là đường thẳng qua A và có
uuur

vectơ pháp tuyến AT =(1,-4).
Vậy phương trình (∆) là:
1.(x-0)- 4.(y-4)= 0, hay: x- 4y+16=0.
Cách giải này, kết hợp được tính
chất của dây cung trong đường trịn, có
tính mềm dẻo trong tư duy.
Cách 2: Nếu học sinh chú ý đến tính chất A là trung điểm MN, thì gợi nhớ đến
phép đối xứng tâm. Đối xứng đường tròn (I) qua A được đường tròn (I'). Do
M∈(I) nên N∈(I'). Do đó, (∆) chính là trục đẳng phương của (J) và (I'). Cụ thể:
Phương trình (I): (x+2)2+y2=IA2=20;
Phương trình (J): (x-4)2+y2=JA2=32;
 x I ' = 2x A − x I = 2.0 − ( −2) = 2
. Vậy I'=(2,8)
 y I ' = 2y A − y I = 2.4 − 0 = 8

Do A trung điểm II' nên 

⇒ (I'): (x-2)2+(y-8)2=20. Lấy (J) trừ (I') có phương trình trục đẳng

phương (∆) của chúng là: (∆): x-4y+16=0.
Như vậy dựa vào tính chất đối xứng, ta dùng kiến thức trục đẳng phương
của hai đường trịn, thể hiện tính chất nhuần nhuyễn của tư duy.
Cách 3: Nếu gọi M=(xM,yM)∈(I) thì ta có: (xM+2)2+y 2M =20 (1)
 x N = 2x A − x M = 2.0 − x M = − x M
 y N = 2yA − y M = 2.4 − y M = 8 − y M

Do A trung điểm MN nên 

Vì N∈(J) nên: (-xM-4)2+(8-yM)2=32 (2).
Lấy (1)-(2) ta có: xM-4yM+16=0. Vậy phương trình (∆) là: x-4y+16=0.
Cách này chỉ dùng đến cơng thức trung điểm của đoạn thẳng, thể hiện
được tính độc đáo của tư duy.


23

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm "tư duy tích cực", "tư duy độc lập"
và "tư duy sáng tạo", V.A. Crutexcki cho rằng có thể biểu diễn quan hệ đó dưới
dạng những vịng trịn đồng tâm (xem hình biểu diễn dưới). Đó là những mức độ
tư duy khác nhau mà mỗi mức độ tư duy đi trước là tiền đề cho mức độ tư duy đi
sau. Trong tư duy sáng tạo có tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhưng khơng
phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập, và không phải mọi tư duy độc lập
là tư duy sáng tạo
`
T duy tÝch cực
T duy độc lập
T duy sáng tạo
Hình 1.2
Vớ d 1.4: Một học sinh chăm chú nghe thầy giảng các chứng minh định lí,

cố gắng để hiểu được tài liệu, ở đây có thể nói đến tư duy tích cực.
Nếu giáo viên, đáng lẽ giải thích, lại yêu cầu học sinh tự phân tích định lí
dựa theo bài đọc trong sách giáo khoa, tự nghiên cứu, tìm hiểu cách chứng minh,
thì trong trường hợp này có thể nói đến tư duy độc lập (và tất nhiên cũng là tư
duy tích cực). Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi học sinh tự khám phá, tự tìm ra
cách chứng minh mà học sinh đó chưa biết.
Muốn phát triển tư duy sáng tạo toán học cho học sinh ta phải cần rèn
luyện tinh thần lao động kiên trì, nhẫn nại, gian khổ, vượt khó khăn.
Việc vận dụng các phương pháp đặc biệt hố, tổng qt hố ngồi việc
đóng vai trị là phương pháp suy nghĩ cơ bản giúp ta giải các bài tốn đã cho
sẵn, hoặc giúp ta mị mẫm, dự dốn để tìm ra cách giải, mà chúng cịn quan
trọng nữa ở chỗ giúp ta phát hiện ra những vấn đề mới, hoặc giúp ta nhìn thấy sự
liện hệ giữa nhiều vấn đề với nhau. Trong cuốn "Làm thế nào để học tốt tốn
phổ thơng", tác giả Đào Văn Trung đã nêu: Tư duy sáng tạo chỉ cho người ta
cách giải quyết vấn đề mà hoạt động tư duy đem lại được thành quả mới có giá
trị cho bản thân hoặc xã hội. Sự mới mẻ là tiêu chí rõ nhất của tư duy sáng tạo,
không những thành quả mới mẻ, có ích mà cả q trình tư duy cũng mới mẻ. Nó
biểu hiện trong q trình tư duy phải thay đổi quan điểm và khắc phục thói quen
phương thức tư duy.


24

Khi HS có những cách giải mà thể hiện suy nghĩ, cách giải không giống
như cách thường giải (bởi trong trường hợp này có ý nghĩa của những con số mà
nếu thay đổi đi một chút thì khơng thể giải được theo cách đó); tuy có thể khơng
đầy đủ, chưa chặt chẽ nhưng người giáo viên cần có những động viên, khuyến
khích kịp thời, cổ vũ cho họ và hãy lấy đó là những tín hiệu tốt bởi ít ra việc dạy
học của mình đã có những hiệu quả đáng ghi nhận.
1.2.2. Năng lực giải quyết vấn đề trong Toán học

1.2.2.1. Vai trò của hoạt động giải quyết vấn đề trong học Toán
Mỗi nội dung kiến thức trong Toán học dạy cho học sinh đều liên hệ mật
thiết với những hoạt động nhất định. Đó là những hoạt động được tiến hành
trong quá trình hình thành và vận dụng kiến thức đó. Theo Nguyễn Bá Kim [29,
tr. 13], việc phát hiện được những hoạt hoạt động tiềm tàng trong một nội dung
đã vạch được một con đường để người học chiếm lĩnh nội dung đó, đồng thời
giúp họ cụ thể hố được mục đích DH có đạt được hay khơng và đạt đến mức độ
nào.
Đối với HS, trong hoạt động Toán học, mỗi vấn đề được biểu thị thành
các câu hỏi, u cầu bài tốn chưa có sẵn lời giải hoặc cách thực hiện [15, tr.
116]. Để GQ được nhiêm vụ học toán, HS cần phải tiến hành những hoạt động
phát hiện (PH) và giải quyết (GQ) những tình huống liên quan đến mơn Tốn:
Chẳng hạn, xây dựng khái niệm (KN), hình thành qui tắc, cơng thức, chứng
minh định lí (ĐL) và giải bài tập toán. Mỗi nhiệm vụ nhận thức trong tình huống
đó (dù ở cấp độ nào) cũng có cấu trúc như một bài tốn - do đó có thể coi là một
bài tốn. Vì vậy, có thể nói rằng: vấn đề trong học tốn là bài tốn (theo nghĩa
rộng) mà HS chưa biết đường lối giải.
Quá trình nhận thức theo hướng QGVĐ (cũng giống như quá trình GQ bài
tốn, nhiệm vụ) có thể chia thành các bước: Tìm hiểu vấn đề (dự đốn vấn đề
liên quan, làm rõ và giới hạn vấn đề); thực hiện việc GQVĐ; tự kiểm tra các kết
quả và q trình. Trong đó, ở bước đầu và cuối, hoạt động nhận thức của HS
diễn ra thường được bắt đầu bởi tư duy trực giác, trong tình hình địi hỏi cách tư
duy phê phán, cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả tìm tịi, xác minh VĐ, mặt
khác ở bước GQVĐ thì hoạt động nhận thức lại diễn ra trong tình hình mà ở đó


25

VĐ địi hỏi cách tư duy lơgic, chặt chẽ. Như vậy, hoạt động GQVĐ vừa cần tư
duy lôgic lại vừa cần tư duy sáng tạo và càng không thể thiếu tư duy trực giác.