Đề và HD giải đề thi HSG Huyện Thạch hà.Toán 8 năm 2002-2003

®Ị thi HSG hun Th¹ch hµ - n¨m häc 2002 - 2003
M«n: To¸n 8
C©u 1
a) Trong ba sè a, b, c cã 1 sè d¬ng, 1 sè ©m vµ 1 sè b»ng 0; ngoµi ra cßn biÕt thªm
2
a b (b c)= −
. Hái sè nµo d¬ng, sè nµo ©m, sè nµo b»ng 0
b) Cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc A = x
3
+ y
3
+ 3xy
C©u 2
a) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
x 2 3 1+ − =
b) Gi¶ sư a, b, c lµ ba sè ®«i mét kh¸c nhau vµ
a b c
0
b c c a a b
+ + =
− − −
Chøng minh r»ng:
2 2 2
a b c
0
(b c) (c a) (a b)
+ + =
− − −
C©u 3:
Cho tam gi¸c ABC; gäi Ax lµ tia ph©n gi¸c cđa
·

BAC
, Ax c¾t BC t¹i E. Trªn tia Ex lÊy
®iĨm H sao cho
·
·
BAE ECH=
. Chøng minh r»ng:
a) BE. EC = AE. EH
b) AE
2
= AB. AC - BE. EC
C©u 4:
Cho tø gi¸c ABCD. Tõ A kỴ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t BD t¹i E; tõ B kỴ ®êng
th¼ng song song víi AD c¾t AC t¹i F.
Chøng minh r»ng: EF // DC
híng dÉn gi¶i
C©u 1:
a) V×
2
a b (b c)= −
nªn a
≠
0 vµ b
≠
0 v×
NÕu a = 0
⇒
b = 0 hc b = c. V« lÝ
NÕu b = 0
⇒

a = 0. V« lÝ
⇒
c = 0
⇒

a
= b
3
mµ
a

≥
0 víi mäi a
⇒
b > 0
⇒
a < 0
b) V× x + y = 1
⇒
A = x
3
+ y
3
+ 3xy = x
3
+ y
3
+ 3xy (x + y) = (x + y)
3
= 1

C©u 2:
b) Từ
a b c
+ 0
b - c c - a a - b
+ =

⇒

2 2
a b c b ab + ac - c
=
b - c a - c b - a (a - b)(c - a)
−
+ =
⇔

2 2
2
a b ab + ac - c
(b - c) (a - b)(c - a)(b - c)
−
=
(1) (Nhân hai vế với
1
b - c
)
Tương tự, ta có:
2 2
2

b c bc + ba - a
(c - a) (a - b)(c - a)(b - c)
−
=
(2) ;
2 2
2
c a ac + cb - b
(a - b) (a - b)(c - a)(b - c)
−
=
(3)
Cộng từng vế (1), (2) và (3) ta có đpcm
C©u 3:
H
E
x
C
B
A
a) Ta cã
∆
BAE
∆
HCE (g.g)
⇒

BE AE
BE.EC AE.EH
EH EC

= ⇒ =
(1)
b)
∆
BAE
∆
HCE (g.g)
⇒

·
·
ABE = CHE

⇒

·
·
ABE = CHA
⇒

∆
BAE
∆
HAC (g.g)
⇒

AE AB
AB.AC AE.AH
AC AH
= ⇒ =

(2)
Trõ (1) cho (2) vÕ theo vÕ ta cã :
AB. AC - BE. EC = AE.AH - AE. EH
⇔
AB. AC - BE. EC = AE. (AH - EH) = AE. AE = AE
2
C©u 4:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
a) Vì AE // BC
⇒

OE OA
=
OB OC
(1)
BF // AD
⇒

OB OF
=
OD OA
(2)
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có:
OE OF
=
OD OC

⇒
EG // CD
O

F
D
E
C
B
A