SKKN: Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
MỤC LỤC
1. TÓM TẮT ĐỀTÀI Trang 2
2. GIỚI THIỆU Trang 2
3. PHƯƠNG PHÁP Trang 3
3.1. Khách thể nghiên cứu Trang 3
3.2. Thiết kế nghiên cứu Trang 3
3.3. Quy trình nghiên cứu Trang 3
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu Trang 4
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ Trang 4
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Trang 6
TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 7
PHỤ LỤC CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN Trang 8
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG Trang 26
PHỤ LỤC ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Trang 29
PHỤ LỤC BẢNG ĐIỂM Trang 31
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ CHUYÊN MÔN Trang 34
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CẤP TRƯỜNG Trang 37
PHIẾU ĐÁNH GIÁ CẤP TỈNH Trang 40
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 1 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
1. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng, trung
cấp chuyên nghiệp của các năm, bài toán tính tích phân hầu như không thể thiếu
nhưng đối với học sinh phổ thông bài toán tích phân là bài toán khó và đặc biệt
khó hơn là bài toán tích phân hàm lượng giác.
Học sinh cảm thấy khó vì phải nhận dạng tích phân đồng thời phải biết áp
dụng công thức biến đổi lượng giác thích hợp. Các em mất thời gian nếu không
biết áp dụng công thức biến đổi thích hợp, các em thiếu tự tin ngay cả khi mình
giải ra được đáp số.
Trước thực trạng đó, trước khi học chương nguyên hàm tích phân tôi đã yêu

cầu học sinh ôn lại các công thức lượng giác thường dùng như các hệ thức cơ bản,
công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng…Ôn lại công thức đạo hàm.
Học thuộc công thức nguyên hàm đặc biệt là công thức nguyên hàm mở rộng.
Hướng dẫn học sinh cách nhớ phân biệt giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx,
cosx dựa vào đường tròn lượng giác. Sắp xếp bài toán cùng dạng từ dễ đến khó
trình bày ví dụ minh họa có giải thích cụ thể rõ ràng, cho bài tập tương tự có đáp
án từ đó giúp học sinh nắm được dạng cùng cách giải với độ chính xác cao dần.
Giải pháp này được tiến hành trên hai lớp: lớp 12B1 (nhóm thực nghiệm) và
12B2 (nhóm đối chứng) trường THPT Lộc Hưng. Lớp thực nghiệm thực hiện giải
toán có hướng dẫn học sinh nhận dạng. Lớp đối chứng thực hiện theo công thức
định nghĩa tích phân.
Kết quả cho thấy: tác động của giải pháp này có ảnh hưởng lớn đến kết quả
học tập của học sinh, lớp thực nghiệm đã đạt kết quả cao hơn so với lớp đối
chứng. Điểm bài kiểm tra đầu ra của lớp thực nghiệm là 6.9473684; lớp đối chứng
là 5.8611111. Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p = 0.013744 < 0,05 có nghĩa là
có sự khác biệt lớn giữa điểm của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng. Điều đó cho
thấy rằng việc giải bài toán tính tích phân hàm lượng giác bằng cách phân dạng
giúp học sinh nhận được dạng và giải được bài toán chính xác.
2. GIỚI THIỆU
Tích phân hàm lượng giác là dạng toán hay đòi hỏi người học phải có tư
duy cao, phải có năng lực biến đổi lượng giác nhanh nhẹn thuần thục. Đây là dạng
toán nằm trong chương trình thi tốt nghiệp cũng như thi đại học – cao đẳng.
Khi học phần này học sinh thường gặp khó khăn vì phải áp dụng công thức
lượng giác (đã học cuối năm lớp 10) và công thức nguyên hàm (học ở học kì II lớp
12)
Giải pháp thay thế:
Khi dạy về phần này ngoài việc yêu cầu học sinh ôn lại công thức lượng
giác thường dùng giáo viên phân dạng mỗi dạng có ví dụ minh họa cùng lời giải
chi tiết giải thích rõ ràng, giải bài toán bằng nhiều cách (nếu có), soạn bài tập
tương tự có hướng dẫn giải đối với các bài khó, có đáp án. Hướng dẫn học sinh sử

dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả. Kiểm tra tập bài tập thường xuyên,
phát hiện và chỉnh sửa kịp thời cho học sinh từ đó hình thành thói quen cho học
sinh giải bài toán.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 2 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Vấn đề nghiên cứu: Giải pháp “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp
12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác”
Giả thiết nghiên cứu: bằng cách phân dạng sẽ nâng cao kết quả học tập
của HS lớp 12 trường THPT Lộc Hưng phần tích phân hàm số lượng giác.
3. PHƯƠNG PHÁP
3.1. Khách thể nghiên cứu
Tôi lựa chọn hai lớp 12B1 và 12B2 vì có những thuận lợi cho việc áp dụng
giải pháp này.
- Giáo viên: Hai giáo viên dạy lớp có tuổi nghề tương đương, có lòng yêu nghề,
có tinh thần trách nhiệm đối với giảng dạy và giáo dục HS.
1. Nguyễn Thị Phương Toàn – GV dạy lớp 12B1 (lớp thực nghiệm)
2. Huỳnh Thị Hồng Anh – GV dạy lớp 12B2 (lớp đối chứng)
- Học sinh: Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu cũng có nhiều điểm tương
đồng; cụ thể: hầu hết các em này có học lực trung bình khá, ham học hỏi.
3.2. Thiết kế nghiên cứu
- Lựa chọn thiết kế: kiểm tra trước và sau tác động với hai nhóm tương đương.
- Chúng tôi cho học sinh làm bài kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm tra cho
thấy điểm trung bình của hai lớp 12B1 và 12B2 có sự tương đương nhau. Chúng
tôi dùng phép kiểm chứng T-Test độc lập để kiểm chứng sự tương đương điểm số
trung bình của hai lớp trước khi tác động.
 Bảng kiểm chứng để xác định hai lớp tương đương:
Thực nghiệm (Lớp 12B1) Đối chứng (lớp 12B2)
Trung bình cộng 5.7368421 5.7777778
P
1

=
0.9294062
P
1
= 0.9294062 > 0.05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai
lớp thực nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai lớp được coi là tương
đương.
 Thiết kế nghiên cứu:
Lớp
Kiểm tra
trước
tác động
Tác động
Kiểm tra
sau
tác động
Thực nghiệm (Lớp 12B1) O1
Dạy học có phân dạng,
sắp xếp bài tập tương tự
từ dễ đến khó
O3
Đối chứng (Lớp 12B2) O2
Dạy học theo sách giáo
khoa, dùng công thức
tính
O4
Ở thiết kế này chúng tôi sử dụng phép kiểm chứng T-Test độc lập.
3.3. Quy trình nghiên cứu:
 Chuẩn bị bài dạy của giáo viên:
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B2 là lớp đối chứng sửa bài tập trong sách giáo

khoa chỉ dùng công thức định nghĩa tích phân và các công thức đổi biến.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 3 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
- Giáo viên dạy Toán lớp 12B1 là lớp thực nghiệm, giúp học sinh nhận dạng
bằng cách phân dạng, sắp xếp bài tập theo dạng từ dễ đến khó, có bài tập
tương tự có đáp án giúp học sinh tự luyện.
 Tiến hành dạy thực nghiệm:
Tuân theo kế hoạch giảng dạy của nhà trường và thời khóa biểu để đảm bảo
tính khách quan:
Với lớp đối chứng dạy chính khoá và tăng tiết bình thường (dùng công thức
giải), còn lớp thực nghiệm ở ví dụ tôi giúp học sinh nhận dạng, nêu rõ lí do vì sao
ta phải làm như vậy sau đó cho bài tập sắp xếp từ dễ đến khó có đáp án để học
sinh tự luyện rồi đến tiết tăng tiết tôi giải thêm ví dụ, ôn lại các dạng bài tập và
sửa bài tập cho các em.
3.4. Đo lường và thu thập dữ liệu:
- Bài kiểm tra trước tác động do giáo viên nhóm Toán lớp 12 của trường THPT
Lộc Hưng thống nhất.
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong bài tích phân và
bài tập ôn chương cũng do nhóm giáo viên trên ra đề kiểm tra. Kiểm tra bằng
hình thức tự luận, nội dung gồm 4 bài tập: tính tích phân hàm lượng giác, 1
bài ở mức độ nhận biết, 2 bài thông hiểu, 1 bài vận dụng.
 Tiến hành kiểm tra và chấm bài
- Sau khi thực hiện dạy xong các nội dung đã nêu ở trên, chúng tôi tiến hành
bài kiểm tra 1 tiết (nội dung kiểm tra như đã trình bày ở trên).
- Sau đó 2 giáo viên tiến hành chấm bài theo hướng dẫn đã thiết kế.
4. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
4.1 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ
 Bảng so sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động:
Thực nghiệm (Lớp 12B1) Đối chứng (lớp 12B2)
ĐTB 7 5.8611111

Độ lệch chuẩn
1.3949717 1.8693433
Giá trị P của T - test 0.0082686
Chênh lệch giá trị TB
chuẩn(SMD) 0.8164244
Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm thực hiện trước tác động là
tương đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T – test cho kết quả
P = 0.0082686, cho thấy: sự chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm
đối chứng rất có ý nghĩa, tức là sự chênh lệch kết quả ĐTB nhóm thực nghiệm cao
hơn ĐTB nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả đạt được của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
7 5,8611111
0,8164244
1,3949717
−
≈
.
Điều đó cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có hướng dẫn học sinh cách nhớ
ảnh hưởng đến kết quả học tập của nhóm thực nghiệm là rất lớn.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 4 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Giả thuyết của đề tài “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường
THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác” đã được kiểm chứng và kết
quả đạt được rất khả quan góp phần làm nâng cao dần chất lượng bộ môn của
trường THPT Lộc Hưng.
Biểu đồ so sánh điểm trung bình trước tác động
và sau tác động của nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng
4.2. BÀN LUẬN
Qua kết quả của bài kiểm tra sau tác động: nhóm thực nghiệm có TBC =
7,0000000 còn nhóm đối chứng có TBC = 5,8611111. Ta tính được độ chênh lệch

điểm số giữa hai nhóm là 1.1388889. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối
chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC
cao hơn nhiều so với lớp đối chứng.Và chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai
bài kiểm tra là SMD = 0,8164244. Từ đó cho thấy việc tác động này có ảnh hưởng
rất lớn đến kết quả học tập.
Phép kiểm chứng T – test ĐTB sau tác động của hai lớp là
p = 0,0082686 < 0,05. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm
thực nghiệm và đối chứng không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động có ảnh
hưởng rất lớn đến kết quả. Điều này góp phần giúp cho học sinh yêu thích toán
hơn, giúp các em thấy được việc giải toán tích phân cũng như tính tích phân hàm
số lượng giác không có gì đáng sợ.
Hạn chế:
Đề tài “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc
Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác” là một trong những giải pháp rất hữu
hiệu góp phần nâng cao dần chất lượng bộ môn Toán của trường THPT Lộc Hưng
và một số trường THPT vùng sâu khác nhưng để sử dụng có hiệu quả thì đòi hỏi
người giáo viên cần có lòng yêu nghề, hết lòng với học sinh uốn nắn kịp thời
những sai sót của học sinh.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 5 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
5. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
5.1. Kết luận:
Trên đây là bài viết về “Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường
THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác” tiến hành giảng dạy có
hiệu quả đối với học sinh lớp 12B1 của trường. Khi áp dụng giải pháp này học
sinh có thể giải được các bài tập tính tích phân, biết nhận dạng và áp dụng công
thức tính tích phân hàm số lượng giác với độ chính xác cao.
5.2. Khuyến nghị:
- Đối với các cấp lãnh đạo:
+ Về phía Sở Giáo Dục: nên mở rộng các đề tài đã đạt giải để các giáo viên

vùng sâu, vùng xa chúng tôi học hỏi kinh nghiệm, áp dụng để dạy tốt hơn.
+ Về phía nhà trường: hỗ trợ mua các loại sách tham khảo có các chuyên đề
về tích phân để các em HS có thể tham khảo, học tập tốt hơn.
- Đối với giáo viên:
+ Tích cực nghiên cứu tài liệu, trao đổi kinh nghiệm dạy học từ đồng nghiệp.
+ Những bài tập đưa ra cho HS phải từ dễ đến khó, có hệ thống, phân dạng để
HS nắm chắc từng dạng bài.
+ Hướng dẫn học sinh nhận dạng, nhận biết loại hàm, chỉ ra cái sai nếu đặt
không đúng và quan trọng hơn là học sinh phải học thuộc bảng nguyên hàm của
một số hàm thường gặp, phân biệt khi nào dùng nguyên hàm khi nào dùng đạo
hàm.
+ Kiểm tra thường xuyên, có hiệu quả phần chuẩn bị bài tập về nhà của HS,
khuyến khích, chỉ dẫn các em cách học nhóm
- Do năng lực và thời gian có hạn, đề tài chưa có nhiều bài tập, bài tập chưa hay,
chưa thực sự điển hình nhưng thấy tính hiệu quả, thiết thực của đề tài nên giới
thiệu với quý thầy cô và các em học sinh. Rất mong nhận được sự đóng góp của
quý thầy cô, của Ban giám hiệu nhà trường để đề tài này được hoàn chỉnh hơn,
góp phần nâng cao chất lượng bộ môn, nâng cao hơn nữa kết quả học tập của học
sinh qua các kỳ thi.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 6 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa giải tích 12 chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách Bài tập giải tích 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
3. Sách giáo viên Toán 12 chương trình chuẩn và nâng cao – Nhà xuất bản giáo
dục.
4. Đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng các năm.
5. Mạng Internet: thuvientailieu.bachkim.com.
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 7 -

Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
PHỤ LỤC
CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN
1. Cơng thức lượng giác thường sử dụng:
a. Hệ thức cơ bản:
sin
2
a + cos
2
a = 1; tana.cota = 1
+ = + =
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
b . Công thức nhân đôi:
sin2a = 2sina.cosa
= − = − = −
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a

−
= =
−
2
2
2tan cot 1

tan2 ; cot2
2cot
1 tan
a a
a a
a
a
c.Công thức hạ bậc:
−
=
2
1 cos2
sin
2
a
a
+
=
2
1 cos2
cos
2
a
a

−
=
+
2
1 cos2

tan
1 cos2
a
a
a
d.Công thức biến đổi tích thành tổng:
 
= − + +
 
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b
 
= − − +
 
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
 
= − + +
 
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
2. Cơng thức ngun hàm:
Ngun hàm số sơ cấp Ngun hàm hàm mở rộng
cos sinxdx x C= +

∫
( ) ( )
1
cos sinax b dx ax b C
a
+ = + +
∫
sin cosxdx x C= − +
∫
( ) ( )
1
sin cosax b dx ax b C
a
+ = − + +
∫
2
1
tan
cos
dx x C
x
= +
∫
( )
( )
2
1 1
tan
cos
dx ax b C

ax b a
= + +
+
∫
2
1
cot
sin
dx x C
x
= − +
∫
( )
( )
2
1 1
cot
sin
dx ax b C
ax b a
= − + +
+
∫
3. Định nghĩa tích phân :
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một ngun hàm
của f(x) trên đoạn [a; b]. Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay
tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm số f(x), ký hiệu:
( )
b
a

f x dx
∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 8 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ta còn ký hiệu:
( ) ( ) ( )
b
a
F x F b F a
= −
.
Vậy:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫
Để giúp học sinh học tốt tích phân hàm số lượng giác tôi phân thành hai
dạng chính.
Dạng 1: Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức biến đổi như hạ bậc,
biến đổi tích thành tổng
Dạng 1.1 Sử dụng các hệ thức cơ bản
Sử dụng các hệ thức cơ bản biến đổi đưa về những hàm có công thức
nguyên hàm. Lần lượt cho các ví dụ có giải thích cách giải, sau đó cho bài tập áp
dụng có đáp án, hướng dẫn giải đối với các bài khó để học sinh tự luyện
Ví dụ1: Tính
3

4
1
2
6
1 sin
sin
x
I dx
x
π
π
−
=
∫
Bài giải:
Ta thấy đề bài biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến
đổi để không còn dạng thương, mặt khác
2
1
sin x
, sinx có công thức nguyên hàm
nên
( )
3
4 4
1
2 2
6 6
4
6

1 sin 1
sin
sin sin
2 3
cot cos 1
2 2
x
I dx x dx
x x
x x
π π
π π
π
π
−
 
= = −
 ÷
 
= − + = − + +
∫ ∫
Vậy
1
2 3
1
2 2
I = − + +
Ví dụ 2: Tính
3
2

2
0
3cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
Bài giải:
Ta thấy biểu thức dưới dấu tích phân ở dạng thương nên phải biến đổi để
không còn dạng thương, tử thức là cosx, mẫu là biểu thức theo sinx nên ta biến đổi
tử theo sinx để rút gọn
( )
2
3
2 2
2
0 0
1 sin cos
3cos
3
1 sin 1 sin
x x
x
I dx dx
x x
π π

−
= =
+ +
∫ ∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 9 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
( )
2
2
0
0
3
3 1 sin cos 3sin cos2
4
x xdx x x
π
π
 
= − = +
 ÷
 
∫
3
2
=

Vậy
2
3
2

I =
Ví dụ 3: Tính
3
3
2 2
4
1
sin cos
I dx
x x
π
π
=
∫
Bài giải:
Ta có công thức nguyên hàm
2 2
1 1
,
sin cosx x
nhưng nếu tách
2 2 2 2
1 1 1
.
sin cos sin cosx x x x
=
được biểu thức dưới dấu tích phân là tích hai hàm
nên
Cách 1:
2 2

3 3
3
2 2 2 2
4 4
1 sin cos
sin cos sin cos
x x
I dx dx
x x x x
π π
π π
+
= =
∫ ∫
( )
3
3
2 2
4
4
1 1
tan cot
cos sin
dx x x
x x
π
π
π
π
 

= + = −
 ÷
 
∫
2 3
3
=
Vậy
3
2 3
3
I =
Cách 2:
3 3
3
2 2 2
4 4
1 1
sin cos (sin cos )
I dx dx
x x x x
π π
π π
= =
∫ ∫
3
3
2
4
4

4
2cot2
sin 2
dx x
x
π
π
π
π
= = −
∫
2 3
3
=
Vậy
3
2 3
3
I =
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 10 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 4: Tính
4
2
4
6
cotI xdx
π
π
=

∫
Bài giải:
Ta không có công thức nguyên hàm của
2
cot x
nên cần phải biến đổi. Có hai
cách.
Cách1:
( )
4 4
2 2
4
6 6
cot cot 1 1I xdx x dx
π π
π π
= = + −
∫ ∫
( )
4
6
cot 1 3 1 3
4 6 12
x x
π
π
π π π
= − − = − − + + = − − +
Cách 2:
2

4 4
2
4
2
6 6
cos
cot
sin
x
I xdx dx
x
π π
π π
= =
∫ ∫
2
4 4
2 2
6 6
1 sin 1
1
sin sin
x
dx dx
x x
π π
π π
−
 
= = −

 ÷
 
∫ ∫
( )
4
6
cot 1 3 1 3
4 6 12
x x
π
π
π π π
= − − = − − + + = − − +
Bài tập tự luyện
Tính a.
2
3
2
4
3 2cot
cos
x
dx
x
π
π
−
∫
b.
3

2
0
4sin
1 cos
x
dx
x
π
+
∫
c.
4
2
0
tan xdx
π
∫
d.
4
2
0
cos2
cos
x
dx
x
π
∫
e.
4

4
2
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫

Đáp án:
11 3
. 5
3
a −
.2b

.1
4
c
π
−
. 1
2
d
π
−
5 3
.

4 8
e
π
−
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 11 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Dạng 1.2: Dùng công thức hạ bậc
Ví dụ 1 Tính
2
2
1
0
cosJ xdx
π
=
∫
Bài giải:
Ta không có công thức nguyên hàm của cos
2
x nên phải dùng công thức hạ
bậc
2 2
2
2
1
0
0 0
1 cos2 1 1
cos sin 2
2 2 4 4

x
J xdx dx x x
π π
π
π
+
 
= = = + =
 ÷
 
∫ ∫
Vậy
1
4
J
π
=
Ví dụ 2 Tính
2
2
2
0
sin cos2J x xdx
π
=
∫
Bài giải:
2 2
2
2

0 0
1 cos2
sin cos2 cos2
2
x
J x xdx xdx
π π
−
= =
∫ ∫
( )
2 2
2
0 0
1 1 1 cos4
cos2 cos 2 cos2
2 2 2
x
x x dx x dx
π π
+
 
= − = −
 ÷
 
∫ ∫
2
0
1 1 1 1
sin 2 sin8

2 2 2 8 4
x x x
π
π
 
= − + − = −
 ÷
 
Vậy
2
4
J
π
= −
Ví dụ 3:
( )
2
4 4
3
0
cos2 sin cosJ x x x dx
π
= +
∫
Bài giải :
( ) ( )
2 2
4 4 2 2
3
0 0

cos2 sin cos cos2 1 2sin cosJ x x x dx x x x dx
π π
= + = −
∫ ∫
2 2
2
0 0
1 1 1 cos4
cos2 1 sin 2 cos2 1 .
2 2 2
x
x x dx x dx
π π
−
   
= − = −
 ÷  ÷
   
∫ ∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 12 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
2 2
0 0
1 1
3cos2 cos4 cos2
4 4
xdx x xdx
π π
= +
∫ ∫

[ ]
2 2
0 0
1 1
3cos2 cos6 cos2
4 8
xdx x x dx
π π
= + +
∫ ∫
2 2 2
0 0 0
3 1 1
sin 2 sin6 sin2 0
8 64 12
x x x
π π π
= + + =
Vậy J
3
= 0
Bài tập tự luyện
Tính các tích phân
a.
3
2 2
0
cos sin
4
x

x dx
π
 
+
 ÷
 
∫
b.
3
2 4
6
cos .sinx xdx
π
π
∫

c.
20
2
0
sin 5xdx
π
∫
d.
( )
2
2 2
0
2sin sin cos cosx x x x dx
π

− −
∫

e.
4
4
0
sin xdx
π
∫
f.
4
4
0
cos xdx
π
∫
Đáp án:
3 1
.
3 8 2
a
π
+ −
1 3
.
16 6 4
b
π
 

+
 ÷
 
1
.
40 20
c
π
−
1
.
4 2
d
π
−
1 3
. 1
4 8
e
π
 
−
 ÷
 
1 3
. 1
4 8
f
π
 

+
 ÷
 
Dạng1.3: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng
Ví dụ 1: Tính tích phân:
3
1
6
sin 2 cos6K x xdx
π
π
=
∫
Bài giải: Biểu thức dưới dấu tích phân là tích của hai hàm nên ta dùng công thức
biến đổi tích thành tổng
( )
3 3
1
6 6
1
sin 2 cos6 sin8 sin 4
2
K x xdx x x dx
π π
π π
= = −
∫ ∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 13 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
3

6
1 1 1
cos8 cos4
2 8 4
x x
π
π
 
= − +
 ÷
 
= 0
Vậy
1
0K =
Ví dụ 2 : Tính tích phân:
2
2
0
cos cos2 cos3K x x xdx
π
=
∫
Bài giải:
Ta có:
cos cos2 cos3 cos2 cos3 cosx x x x x x=
( )
1
cos2 cos4 cos2
2

x x x= +
( )
2
1
cos4 cos2 cos 2
2
x x x= +
( )
1
cos6 cos2 1 cos4
4
x x x= + + +
Do đó
( )
2
2
0
1
cos6 cos2 1 cos4
4
K x x x dx
π
= + + +
∫
2
0
1 1 1 1
sin6 sin2 sin 4
24 8 4 16
x x x x

π
 
= + + +
 ÷
 
8
π
=
Vậy
2
8
K
π
=
Bài tập tự luyện:
4
0
. sin5 sin3a x xdx
π
∫
b.
4
0
sin sin 2 cos5x x xdx
π
∫
( )
6
0
. sin6 sin 2 6c x x dx

π
−
∫
Đáp án:
1
.
4
a
1
.
6
b −
3 3
.
32
c
π
−
Dạng 2: Đổi biến số - các dạng thường gặp khi đổi biến
a. Chứa biểu thức mang mũ
b. Chứa mẫu
c. Chứa căn
d. Chứa mũ
Dạng 2.1. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d với d(sinx) = cosx; d(cosx) = -
sinxdx
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 14 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 1 : Tính:
( )
2

3
1
0
1 2sin cosL x xdx
π
= +
∫
Bài giải:
Biểu thức dưới dấu tích phân chứa biểu thức mang mũ và d(sinx) = cosxdx.
Nên
Đặt:
1 2sin , 2cos cos
2
dt
t x dt xdx xdx= + = ⇒ =
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =
2
π
thì t =3
Do đó
( )
3
3
4
2
3
3
1
0 1
1

1 2sin cos 10
2 8
dt t
L x xdx t
π
 
= + = = =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫

Ví dụ 2 : Tính L
2
=
2
3
0
cos xdx
π
∫
Bài giải:
Mặc dù chứa biểu thức mang mũ nhưng ta không đặt t = cosx được vì tích
phân mới không chuyển hoàn toàn về theo biến t.
L
2
=
( )
2 2
3 2

0 0
cos cos 1 sinxdx x x dx
π π
= −
∫ ∫

Đặt
sin , cos cost x dt xdx xdx dt= = ⇒ =
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 0; x =
2
π
thì t =1
Do đó:
( )
1
1
3
2
2
0
0
2
1
3 3
t
L t dt t
 
= − = − =
 ÷
 ÷

 
∫
Rút kinh nghiệm:
- Dạng tổng quát
2 1 2 2
sin sin sin (1 cos ) sin
n n n
xdx x xdx x xdx
+
= = −
∫ ∫ ∫
.
Đặt t = cosx ( chứa sinx mũ lẻ ta đặt t = cosx)
- Dạng tổng quát
2 1 2 2
cos cos cos (1 sin ) cos
n n n
xdx x xdx x xdx
+
= = −
∫ ∫ ∫
.
Đặt t = sinx ( chứa cosx mũ lẻ ta đặt t = sinx).
- Áp dụng được đối với biểu thức dưới dấu tích phân là tích của sinx và cosx
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 15 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 3 : Tính L
3
=
2

3 2
3
sin cosx xdx
π
π
∫
Bài giải : L
3
=
2
3 2
3
sin cosx xdx
π
π
∫
=
( )
2
2 2
3
1 cos cos sinx x xdx
π
π
−
∫
Đặt t = cosx, dt = - sinxdx
sin xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
3

π
1
2
t⇒ =
; x =
2
π
0t⇒ =
Do đó L
3
=
( ) ( )
1
0
2
2 2 2 4
1
0
2
1 ( )t t dt t t dt− − = −
∫ ∫
1
3 5
2
0
17
3 5 480
t t
 
= − =

 ÷
 
Vậy L
3
=
17
480
Ví dụ 4 : Tính
6
3 3
4
0
sin cosL x xdx
π
=
∫
Bài giải : Cả sin và cosx đều mũ lẻ nên ta có thể giải bằng các cách sau:
Cách 1:
( )
6 6 6
3 3 2
4
0 0 0
1 1
(sin cos ) sin 2 1 cos 2 sin2
8 8
L x x dx xdx x xdx
π π π
= = = −
∫ ∫ ∫

Đặt t = cos2x, dt = - 2sin2xdx
1
sin 2
2
xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
6
π
1
2
t⇒ =
; x = 0
1t⇒ =
Do đó
1
1
3
2
4
1
1
2
2
1 1 1 11 5
(1 )
16 16 3 24 384 384
t
L t dt t
 
= − = − = − =

 ÷
 
∫
Cách 2:
( )
6
2 3
4
0
sin 1 cos cosL x x xdx
π
= −
∫
Đặt t = cosx, dt = - sinxdx
sin xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
6
π
3
2
t⇒ =
; x = 0
1t⇒ =
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 16 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Do đó
1
1 1
4 6
2 3 3 5

4
3
3 3
2
2 2
5
(1 ) ( )
4 6 384
t t
L t t dt t t dt
 
= − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫
Vậy
4
5
384
L =
Ta có thể tách cos
3
x = (1 – sin
2
x)cosx
Ví dụ 5 : Tính
2
4
5
0

1 2sin
1 sin 2
x
L dx
x
π
−
=
+
∫
( ĐHKB - 2003)
Bài giải: Đề bài dạng phân thức hơn nữa
2
(1 2sin ) cos2x dx xdx− =
Đặt t = 1 + sin2x, dt = 2cos2xdx
⇒
cos2
2
dt
xdx =
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; x =
4
π
thì t = 2
Do đó:
2
2
2
4
5

1
0 1
1 2sin 1 1
ln ln 2
1 sin 2 2 2 2
x dt
L dx t
x t
π
−
= = = =
+
∫ ∫
Vậy
5
1
ln2
2
L =
Ví dụ 6 : Tính
( )
0
6
2
2
sin 2
2 sin
x
L dx
x

π
−
=
+
∫
Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ nên đặt t = 2 + sinx nhưng dt = cosxdx
nên ta phải dùng công thức nhân đôi tách sin2x
( ) ( )
0 0
6
2 2
2 2
sin 2 2sin cos
2 sin 2 sin
x x x
L dx dx
x x
π π
− −
= =
+ +
∫ ∫
Đặt
2 sin sin 2t x x t= + ⇒ = −
Ta có
cosdt xdx=
Đổi cận khi
2
x
π

= −
thì t = 1;
0x =
thì t = 2
Do đó
( )
2
2 2
6
2 2
1
1 1
2 2
2 4 4
2ln 2ln2 2
t
L dt dt t
t t
t t
−
   
= = − = + = −
 ÷ ÷
  
∫ ∫
Vậy L
6
= 2ln2 - 2
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 17 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015

Ví dụ 7 : Tính L
7
=
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
Bài giải:
Đề bài chứa căn thức và d(cosx) = - sinxdx nên
Đặt
2
1 3cos 1 3cost x t x= + ⇒ = +
2
2 3sin sin
3
tdt
tdt xdx xdx⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; x =
2
π
thì t = 1
Do đó
L

7
=
( )
2 2
0 0
2cos 1 sin
sin 2 sin
1 3cos 1 3cos
x x
x x
dx dx
x x
π π
+
+
=
+ +
∫ ∫
( )
2
2
2 2
3
2
1 1
1
1
2 1
3
2 2 2 2 44 10 34

2 1
3 9 9 3 27 27 27
t
t
tdt t dt t
t
 
−
+
 ÷
 ÷
 
 
= = + = + = − =
 ÷
 ÷
 
∫ ∫

Vậy L
7
=
34
27
Ví dụ 8 : Tính
4
cos2
8
0
sin 2

x
L e xdx
π
=
∫
Bài giải: Đề bài chứa mũ nên
Đặt t = cos2x, dt = -2sin2xdx
1
sin 2
2
xdx dt⇒ = −
Đổi cận: x =
4
π
0t⇒ =
; x = 0
1t⇒ =
Do đó:
1
1
8
0
0
1 1 1 1
2 2 2 2
t t
L e dt e e= = = −
∫
Vậy
8

1 1
2 2
L e= −
Ví dụ 9 : Tính
3
2
9
0
sin tanL x xdx
π
=
∫
( Dự bị A – 2005)
Bài giải:
( )
3 3
2 2
9
0 0
sin
sin tan 1 cos
cos
x
L x xdx x dx
x
π π
= = −
∫ ∫
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 18 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015

Đặt t = cosx, dt = -sinxdx
sin xdx dt⇒ = −
Đổi cận: khi x = 0 thì t = 1; khi x =
3
π
thì
1
2
t =
Do đó:
( )
1
1
2
2
2
2
9
1
1
3
1 ln ln2
2 8
dt t
L t t
t
 
= − − = − − = −
 ÷
 ÷

 
∫
Vậy
9
3
ln2
8
L = −
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân
6
0
cos
.
2sin 1
xdx
a
x
π
+
∫
3
3
2
4
cos
.
sin
x
b dx
x

π
π
∫
( )
4
2 2
6
cos
.
1 sin sin
x
c dx
x x
π
π
−
∫
4
0
sin 4
.
3 cos2
x
d dx
x
π
+
∫
4
3

0
. tanf xdx
π
∫
2
0
sin 2 cos
.
1 cos
x x
g dx
x
π
+
∫
(ĐHKB- 2005)
Đáp án:
1
. ln 2
2
a
9 2 7 3
.
6
b
−
1 3 2 2
. ln 2 2
2 3
c

+
+ −
3
.1 3ln
4
d +
1 2
. ln
2 2
f +
.2ln2 1g −
Dạng 2.2. Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( ) ( )
2 2
sin sin 2 ; cos sin 2d x xdx d x xdx
= = −
Ví dụ 1 : Tính
2
2 3
1
0
sin 2 (1 sin )M x x dx
π
= +
∫
Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ và
( )
2
sin sin 2d x xdx=
nên

Đặt
2
1 sin sin2t x dt xdx= + ⇒ =
Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =
2
π
thì t = 2
Do đó:
2
2
4
3
1
1
1
15
4 4
t
M t dt= = =
∫
Vậy
1
15
4
M =
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 19 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 2: Tính
4
2

2
0
sin 4
1 cos
x
M dx
x
π
=
+
∫
Bài giải : Đề bài chứa mẫu và
( )
2
1 cos sin 2d x xdx+ = −
; sin4x = 2 sin2xcos2x.
Nên
Đặt
2
1 cos sin 2t x dt xdx= + ⇒ = −
Đổi cận khi x = 0 thì t = 2; khi x =
4
π
thì t =
3
2
Do đó:
( )
( )
2

4
2
3
2
2
3
2
0
2
2 2 3
2sin 2 cos2 4
4 6ln 2 6ln
3
1 cos
t
x x
M dx dt t t
t
x
π
−
= = = − = −
+
∫ ∫
Vậy
2
4
2 6ln
3
M = −

Ví dụ 3 :
2
3
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
M dx
x x
π
=
+
∫
Bài giải: Đề bài chứa căn thức nên
Đặt
2 2
cos 4sin 2 3sin 2t x x tdt xdx= + ⇒ =

Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =
2
π
thì t = 2
Do đó
2
2
3
1
1
2

2 2
3
3 3
tdt
M t
t
= = =
∫
Vậy M
3
=
2
3
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân:

2
2
0
sin 2
.
1 cos
x
a dx
x
π
+
∫
2
2
0

sin cos
.
4 3sin
x x
b dx
x
π
+
∫
Đáp án:
.ln 2a
7 2
.
3
b
−
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 20 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Dạng 2.3 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( )
( )
2
2
1
tan 1 tan
cos
d x dx x dx
x
= = +
;

( )
( )
2
2
1
cot 1 cot
sin
d x dx x dx
x
= − = − +
Ví dụ 1 : Tính
( )
3
3
1
4
tan tanN x x dx
π
π
= +
∫
Bài giải:
( ) ( )
3 3
3 2
1
4 4
tan tan tan 1 tanN x x dx x x dx
π π
π π

= + = +
∫ ∫
Đặt t = tanx
( )
2
1 tandt x dx⇒ = +
Đổi cận: Khi x =
4
π
thì t =1; x =
3
π
thì t =
3
Do đó:
3
3
2
1
1
1
1
2
t
N tdt= = =
∫
Vậy
1
1N =
Ví dụ 2 : Tính

4
6
2
0
tan
cos2
x
N dx
x
π
=
∫
Bài giải :
4
4 4
6 6 6
2
2
2 2 2
0 0 0
1
tan .
tan tan
cos
cos2
cos sin 1 tan
x
x x
x
N dx dx dx

x
x x x
π π π
= = =
− −
∫ ∫ ∫
Đặt t = tanx
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =
Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 0; x =
6
π
thì t =
3
3
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 21 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Dođó:
3 3
4 4
3 3
2
2 2
0 0
t t 1 1
1 1

N dt dt
t t
− +
= =
− −
∫ ∫
( ) ( )
3 3
3 3
2 2
2
0 0
1 1 1 1
1 1
2 1 1
1
t dt t dt
t t
t
 
   
= − + + = − + − −
 ÷
 
 
− +
−
  
 
∫ ∫

( )
3
3
3
0
1 1 1 10
ln ln 2 3
3 2 1 2
9 3
t t
t
t
 
 
−
= − + − = + −
 
 ÷
 ÷
+
 
 
 
Vậy N
2
=
( )
1 10
ln 2 3
2

9 3
+ −
Ví dụ 3 : Tính
4
3
2
6
1
sin cot
N dx
x x
π
π
=
∫
Bài giải: Đề bài chứa căn thức và d(cotx) =
2
1
sin
dx
x
−
nên
Đặt
2
2
1
cot cot 2
sin
t x t x tdt dx

x
= ⇒ = ⇒ = −
Đổi cận: Khi x =
6
π
thì t =
4
3
;khi
4
x
π
=
thì t =1
Do đó
4
4
1
1
4
3
3
3
2 2 2 3 2N dt t= − = − = −
∫
Vậy
4
3
2 3 2N = −
Ví dụ 4 : Tính

2
4
4
4
1
sin
N dx
x
π
π
=
∫
Bài giải: Đề bài chứa biểu thức mang mũ là sinx nhưng ta không đặt t = sinx vì
d(sinx) = cosxdx không có ở đề bài mà phải xem
4 2 2
1 1 1
.
sin sin sinx x x
=
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 22 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ta có
( )
2 2
2
4
4 2
4 4
1 1
1 cot .

sin sin
N dx x dx
x x
π π
π π
= = +
∫ ∫
Đặt
2
1
cot
sin
t x dt dx
x
= ⇒ = −
Đổi cận: Khi x =
4
π
thì t = 1;khi
2
x
π
=
thì t = 0
Do đó
( )
1
1
3
2

4
0
0
4
1
3 3
t
N t dt t
 
= + = + =
 ÷
 ÷
 
∫
Vậy
4
4
3
N =
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân:

4
3
1
cos
4
.
x
a dx
π

π
∫
( )
3
3
4
. cot cotb x x dx
π
π
+
∫
Đáp án
4
.2 3
3
a −
1
.
3
b
Dạng 2.4 Kết hợp 1 trong 4 dạng a,b,c,d và
( ) ( )
sin cos cos sind x x x x dx± = m
Ví dụ1: Tính
4
1
0
cos sin
sin cos
x x

P dx
x x
π
−
=
+
∫
Bài giải:
Đặt
( )
sin cos cos sint x x dt x x dx= + ⇒ = −
Đổi cận khi x = 0 thì t = 1;
2
4
x t
π
= ⇒ =
Do đó:
2
2
1
1
1
1
ln ln 2P dt t
t
= = =
∫
Vậy:
1

ln 2P =
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 23 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Ví dụ 2 : Tính
( )
2
2
2
0
cos2
sin cos 3
x
P dx
x x
π
=
− +
∫
Bài giải:
Đặt t = sinx – cosx + 3
( )
cos sindt x x dx⇒ = +
Đổi cận khi x = 0 thì t = 2;
4
2
x t
π
= ⇒ =
Do đó:
( ) ( )

( )
2
2
2
0
cos sin cos sin
sin cos 3
x x x x
P dx
x x
π
+ −
=
− +
∫
4
4
2
2
2
3 3 3
ln ln 2
4
t
dt t
t
t
− +
 
= = − − = −

 ÷
 
∫
Vậy P
2
=
3
ln2
4
−
Ví dụ 3 : Tính
3
2
3
0
cos
sin cos
x
P dx
x x
π
=
+
∫
Bài giải : Ta không tính P
3
độc lập được mà phải dựa vào
3
2
3

0
sin
sin cos
x
Q dx
x x
π
=
+
∫

bằng cách tính
3 3 3 3
;P Q P Q+ −
sau đó giải hệ để tính P
3
Tính
3 3
2
3 3
0
cos sin
sin cos
x x
P Q dx
x x
π
+
+ =
+

∫
2
2
0
0
1 1 1
1 sin 2 cos2
2 4 2 2
x dx x x
π
π
π
   
= − = + = −
 ÷  ÷
   
∫
Tính
( ) ( )
3 3
2 2
3 3
0 0
cos sin 1 sin cos
cos sin
sin cos sin cos
x x x x
x x
P Q dx dx
x x x x

π π
− +
−
− = =
+ +
∫ ∫
Đặt t = sinx + cosx
( )
cos sindt x x dx⇒ = −
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 24 -
Trường THPT Lộc Hưng Năm học 2014 – 2015
Đổi cận khi x = 0 thì t = 1; khi x =
2
π
thì t= 1
Do đó
2
1
3 3
1
1
1
2
0
t
P Q dt
t
 
−
+

 ÷
 ÷
 
− = =
∫
Giải hệ ta được
3
1
4 4
P
π
= −
Vậy
3
1
4 4
P
π
= −
Bài tập tự luyện: Tính các tích phân:

4
0
cos2
.
sin cos 2
x
a dx
x x
π

+ +
∫
4
0
cos
.
sin cos
x
b dx
x x
π
+
∫
( )
2
3
0
sin
.
sin cos
x
c dx
x x
π
+
∫

d.
4
0

sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x
dx
x x x
π
π
 
−
 ÷
 
+ + +
∫
( ĐHKB – 2008)
Hướng dẫn giải câu d. đặt t = 1 + sinx + cosx
Đáp án:
2 2
. 2 1 2ln
3
a
+
− −
8
1
. ln 2
2
b
π
+

1
.
2
c
4 3 2
.
4
d
−
Bằng cách phân dạng giúp học sinh lớp 12B1 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân hàm số lượng giác - 25 -