BỘ ĐỀ THI HSG TOÁN 9

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ
Năm học 2002-2003.
Bài1:(4điểm).
Cho phương trình :
012)12(
2
=+−− mxxm
.
a/ Đònh m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1; 0).
b/ Đònh m để phương trình có hai nghiệm
21
; xx
thõa
1
2
2
2
1
=− xx
.
Bài 2: (5điểm).
Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây;
a/
381257
2
+−=−+− xxxx
; b/






=++
=+++
7
8
22
22
xyyx
yxyx
; c/





=++
=++
11
11
yx
yx
Bài 3: (3điểm).
a/ Cho a > c, b > c , c > 0 . chứng minh :
abcbccac ≤−+− )()(
.
b/ Cho
1,1 ≥≥ yx
. Chứng minh
xyyx +
≥

+
+
+ 1
1
1
1
1
1
22
Bài 4: (3điểm).
Từ điểm a ở ngoài đường tròn ( o), kẻ tiếp tuyến AB , AC với đưòng tròn (B,C
là các tiếp điểm ) . Trên tia đối của tia BC lấy điểm D .Gọi E là giao điểm của DO và
AC .Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O)Tiếp tuyến này cắt AB ở K
.Chứng minh D,B,O,K cùng nằm trên một đường tròn .
Bài 5: (2điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC . Có hai đường
thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt ở D và E
. Xác đònh vò trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trò nhỏ nhất .
Bài 6: (3điểm).
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B . Qua A vẽ hai
đường thẳng (d) và (d’) đường thẳng (d) cắt (O) tại C và cắt (O’) tại D , đường thẳng
(d’) cắt (O) tại M và cắt (O’) tại N sao cho AB là phân giác của góc MAD. Chứng
minh rằng CD = MN.
ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT TỈNH THÁI BÌNH
Năm học 2002-2003.Thời gian : 150 phút
Bài 1: (2điểm).
Cho biểu thức
x
x
x

xx
x
x
x
x
K
2003
)
1
14
1
1
1
1
(
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
−
+
=
.
a/ Tìm điều kiện đối với x để biểu thức K xác đònh .
b/ Rút gọn biểu thức K.

c/Với những giá trò nguyên nào của x thì biểu thức K có giá trò nguyên .
Bài 2: (2điểm).
Cho hàm số : y= x + m (D ).Tìm các giá trò của m để đường thẳng (D) :
a/ Đi qua điểm A( 1; 2003).
b/Song song với đường thẳng x- y +3 = 0;
c/ Tiếp xúc với parabol
.2
4
1
xy −=
.
Bài 3: (3điểm).
a/ Giải bài toán bằng cách lập phương trình:
Một hình chữ nhật có đường chéo bằng 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng
7m . Tính diện tích hình chữ nhật đó.
b/ chứng minh bất đẳng thức :

20032002
2002
2003
2003
2002
+>+
.
Bài 4: (3điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A .Nửa đường tròn đường kính AB căùt BC tại D .
Trên cung AD lấy một điểm E . Nối BE và kéo dài cắt AC tại F.
a/ Chứng minh CDEFlà một tứ giác nội tiếp .
b/ Kéo dài DE cắt AC ở K . Tia phân giác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q .Tứ
giác MPNQ là hình gì ? Tại sao?

c/ Gọi
21
,, rrr
theo thứ tự là bán kính đường trònnoij tiếp các tam giác ABC, ADB,
ADC. Chứng minh rằng
2
2
2
1
2
rrr +=
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 QUẬN 1 -TP HỒ CHÍ MINH
Năm học 2002-2003.
Bài 1: (3điểm).
Giải phương trình :
.4241
222
+−=−+− xxxx
Bài 2: (3điểm).Chứng minh đẳng thức
a
b
a
ba
b
a
b
ab
−
−
=

−
−
, với a,b trái dấu .
Bài 3: (3điểm).
Rút gọn
3242)4321(23
3814
3
)3612( +++−−−
−
−
.
Bài 4: (3điểm).
Trong các hình chữ nhật có diện tích là p , hình chữ nhật nào có diện tích lớn nhất ?
Tìm diện tích đó.
Bài 5: (4điểm).
Cho đường tròn (O;R), điểm A nằm ngoài đường tròn (O) .Kẻ tiếp tuyến AM,AN
;đường thẳng chứa đường kính song song với MN cắt AM, AN lầ lượt tại B ,C .
Chứng minh :
a/ Tứ giác MNCB là hình thang cân .
b/
2
. RMBMA =
.
c/K thuộc cung nhỏ MN .Kẻ tiếp tuyến tại K cắt AM, AN lần lựot tại P, Q .Chứng
minh :
4
.
2
BC

CQBP =
Bài 6: (4điểm).
Cho đường tròn (O)và đường kính AB .Kẻ tiếp tuyến (d) tại B của đường tròn (O ).
Gọi N là điểm di động trên (d),kẻ tiếp tuyến NM ( M thuộc (O).
a/ Tìm quỹ tích tâm P của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNB.
b/ Tìm quỹ tích tâm Q của đường tròn nội tiếp tam giác MNB.
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –TỈNH HÀ TÂY
Năm học 2003-2004.
Bài 1: (2điểm).
Cho biểu thức
)
1
2
1(:)
1
2
1
1
(
+
−
−−+
−
−
=
x
x
xxxx
x
x

P
.Với
1,0 ≠≥ xx
.
1/ Rút gọn P ;
2/ Tìm x sao cho P< 0 ;
Bài 2: (1,5điểm).
Cho phươngtrình :
02)12(
2
=−+−+ mxmmx
.
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thõa mãn :
2003
2
2
2
1
=+ xx
.
Bài 3: (2điểm ).
Một bè nứa trôi tự do (với vận tốc bằng vận tốc dòng nước )và một ca nô cùng
rời bến A để xuôi dòng sông .Ca nô xuôi dòng được 144km thì quay về bến A ngay ,
cả đi lẫn về hết 21 giờ .Trên đường ca nô trở về bến A , khi còn cách bến A 36 kmthì
gặp bè nứa trôi nói ở trên .Tìm vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước .
Bài 4: (3,5điểm ).
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R .C là trung điểm của đoạn
thẳng AO , Đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB , Cx cắt nửa đường tròn
trên tại I . K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác I ; K khác C), tia AK
cắt nửa đường tròn đã cho tại M .Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt

Cx tại điểm N tia BM cắt Cx tại D.
1/ Chứng minh bốn điểm A,C,M,D cùng nằm trên một đường tròn .
2/ Chứng minh tam giác MNK cân .
3/Tính diện tích tam giác ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI.
4/Chứng minh rằng khi K di động trên CI thì tâm đờng tròn ngoại tiếp tam
giác AKD nằm trên một đường thẳng cố đònh .
Bài 5: (1 điểm ).
Cho a,b,c là ba số bất kì đều khác không và thõa mãn :
03 ≤++ abbcac
.
Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm :
.0))()((
222
=++++++ baxcxacxbxcbxax
ĐỀ THI VÀO 10 HỆ CHUYÊN –LÊ HỒNG PHONG -TỈNH NAM ĐỊNH
Năm học 2003-2004.
Bài 1 : (1,5 điểm).
Cho phương trình :
.01
2
=−+ xx
Chứng minh trằng phương trình có hai nghiệm trái
dấu . Gọi
1
x
là nghiệm âm của phương trình . Hãy tính giá trò của biểu thức :
.1310
11
8
1

xxxP +++=
Bài 2( 2 điểm).
Cho biểu thức :
.2)3(5 xxxxP +−+−=
Tìm giá trò nhỏ nhất , lớn nhất của P khi
30 ≤≤ x
.
Bài 3: ( 2 điểm ).
a/Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho :
2007
222
=++ cba
.
b/ Chứng minh rằng không tồn tại các số hữu tỉ x,y, z sao cho :
.0753
222
=++++++ zyxzyx
Bài 4 :( 2,5điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A .Vẽ đường cao AH .Gọi (O) là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHC .Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất kì
khác A .Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm Dvà E sao cho BD =
BE = BA . Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N .
a/ chứng minh rằng tứ giác BDNE nôò tiếp .
b/ chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc
với nhau .
Bài 5 ( 2 điểm) .
Có n điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng .Hai điểm bất kì được
nối với nhau một đoạn thẳng ,mỗi đoạn thẳng được tô một màu xanh đỏ hoặc vàng .
Biết rằng có ít nhất một đoạn màu xanh ,một đoạn màu đỏ , một đoạn màu vàng
;không có điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có

tam giác nào tạo bỡi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu .
a/ Chứng minh rằng không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng
một điểm .
b/ Hãy cho biết có nhiều nhất có bao nhiêu điểm thõa mãn đề bài .
ĐỀ THI VÀO 10 NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA- T P HỒ CHÍ MINH
Năm học 2003-2004.
Bài 1: 1/ Chứng minh rằng : phương trình
0)(2)(
4433222
=−+−+− baxbaxba
.luôn có nghiệm với mọi a, b.
2/ Giải hệ phương trình



=+++
=++
35)1()1(
5
33
yx
xyyx
Bài 2 : 1/ Với mỗi số nguyên dương n, đặt
{
;122;122
112112
++=+−=
++++ nn
n
nn

n
ba
Chứng minh rằng với mọi n ,
nn
ba .
chia hết cho 5 va ø
nn
ba .+
không chia hết cho 5.
2/tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương đôi một khác nhau sao tích của chúng
bằng tổng của chúng
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao
.,
11
ACKAABHA ⊥⊥
Đặt
.,
11
yCAxBA ==
1/ Gọi r và r’ lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC và AHK Hãy
tính tỉ số
r
r'
theo x, y .tìm giá trò lớn nhất của tỉ số đó.
2/Chứng minh rằng Tứ giác BHKC nội tiếp trong một đường tròn . Tính bán kính của
đường tròn đó theo x,y.
Bài 4:
1/Cho đường tròn (C) tâm O và điểm A khác O nắm trong đường tròn một đường
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C) tại M, N .Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố đònh khác O .

2/ Cho đường tròn (C) tâm O và đường thẳng (D) nằm ngoài đường tròn . I là một
điểm di động trên (D) Đường tròn đường kính IO căÉt (C) tại M,N. Chứng minh rằng
MN luôn đi qua một điểm cố đònh .
Bài 5:
1/ Cho một bảng vuông 4x 4 ô.Trên các ô của hình vuông này ,ban đầu người
ta ghi 9số 1và 7 số 0 một cách tùy ý (mỗi ô một số ) .Với mỗi phép biến đổi bảng cho
phép chọn một hàng hay một cột bất kì và trên hàng hay trên cột đã chọn ,đổi đồng
thời các số 0 thành số1, các số 1 thành số 0 . Chứng minh rằng sau một số phép biến
đổi hữu hạn như vậy , ta thể đưa bảng ban đầu về bảng toàn bộ số 0.
2/Ở vương quốc “sắc màu kỉ ảo “ Có 45 hiệp só : 13 hiệp só tóc đỏ , 15 hiệp só
tóc vàng và, 17 hiệp só tóc xanh . Khi hai hiệp só có màu tóc khác nhau mà gặp nhau
thì tóc của họ lập tức đổi sang màu tóc thứ ba (ví dụ : khi hiệp só tóc đỏ gặp hiệp só tóc
vàng Thì cả hai đổi sang tóc xanh ).Hỏi có thể xảy ra trường hợp sau một số hữu hạn
lần gặp nhau như vậy ở vương quốc “sắc màu kì ảo “ Tất cả các hiệp só có cùng mùa
tóc được không?
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN NGUYỄN TRÃI – HẢI DƯƠNG
Năm học 2003-2004.
Bài 1: Cho hai số dương a và b .Xét tập hợp T bao gồm các số có dạng :
}.1;0,0,{ =+>>+= yxyxbyaxT
Chứng minh các số :
abva
ba
ab
+
2
đều thuộc tập T .
Bài 2: Ch o tam giác ABC ,D và E là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác
ABC với các cạnh AB, AC . Chứng minh đường phân giác trong của góc B , đường
trung bình song song với AB của tam giác ABC và đường thẳng DE đồng qui.
Bài 3;

1/ Giải hệ phương trình





=+−
=−+
85))((
45))((
22
22
yxyx
yxyx
2/ Tìm các số hữu tỉ a,b,c sao cho các số :
a
c
c
b
b
a
1
,
1
,
1
+++
là các số nguyên dương .
Bài 4 : Tìm đa thức f(x) và g(x) với hệ số nguyên sao cho :
2

)72(
)72(
=
+
+
g
f
.
Bài 5 Tìm số nguyên tố p để
14
2
+p
và
16
2
+p
là các số nguyên tố .
Bài 6 : Cho phương trình :
.0
2
=++ baxx
có hai nghiệm
21
xx ≠
. Đặt
21
21
xx
xx
u

nn
n
−
−
=
(n là số tự nhiên ). Tìm giá trò của a,b sao cho đẳng thức :
n
nnnn
uuuu )1(
321
−=−
+++
. Với mọi số tự nhiên n từ đó suy ra
21 ++
=+
nnn
uuu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH NAM ĐỊNH
KHÓA THI: 2002-2003.
Bài 1: Rút gọn biểu thức :
5310
53
5310
53
−+
−
−
++
+
=A

.
Bài 2: Gọi avà b là hai nghiệm của phương trình bậc hai :
.01
2
=−− xx
Chứng minh
rằng các biểu thức
,20032003200120014422,33
babavaRbabaQbabaP +++=+++=+++=
là những số
nguyên và chia hết cho 5 .
Bài 3: 1/ Cho hệ phương trình
)1(
.44
12
22
2





=−+
=−
myxyx
xyx
a/ Giải hệ phương trình khi m=7 .
b/ Tìm m sao cho hệ phương trình (1) cónghiệm .
Bài 4 : Cho hai đường tròn
)();(

21
CC
tiếp xúc ngoài với nhau tại T hai đường tròn
này nằm trong đường tròn
)(
3
C
và tiếp xúc vơí
)(
3
C
tương ứng tại Mvà N . tiếp tuyến
chung tại T của
)();(
21
CC
cắt
)(
3
C
tại P . PM cắt
)(
1
C
tại điểm thứ hai là Avà MN
cắt
)(
1
C
tại điểm thứ hai là B . PN cắt

)(
2
C
tại điểm thứ hai là D và MNø cắt
)(
2
C

tại điểm thứ hai là C.
Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp .
Chứng minh rằng các đường thẳng AB , CD và PT đồng qui .
Bài 5 :Một ngũ giác có tính chất : tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp
của một ngũ giác đều có diện tích bằng 1. tính diện tích của ngũ giác đó .
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - LỚP 9 -TỈNH BẮC NINH
KHÓA THI: 2002-2003.
BÀI 1:1/ Tìm các số tự nhiên x,y thõa mãn :
30263
2
=+
y
x
.
2/ Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn:
1989=+ yx
.
Bài 2: 1/ Tìm các giá trò của m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt đều lớn
hơn m :
.0
2
=++ mxx

2/ Tìm các giá trò của a để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
01)7(4 =+−+ xaxx
.
3/Tìm x thõa mãn :
xxxxx 21081087
22
=+−−++
.
Bài 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây cung AB cố đònh trương cung
0
120
.Lấy C thay đổi trên cung lớn AB (C không trùng A và B ); M trên cung nhỏ AB ( M
không trùng Avà B) . Hạ ME , MF thứ tự vuông góc với AC và BC .
1/ Cho M cố đònh hãy chứng minh EF luôn đi qua điểm cố đònh khi C thay đổi .
2/ Cho M cố đònh hãy chứng minh giá trò
MF
BC
ME
AC
+
không thay đổi khi C
thay đổi .
3/ Khi M thay đổi hạ MK vuông góc với AB .Hãy xác đònh vò trí của M sao cho
MK
AB
MF
BC
ME
AC
++

đạt giá trò nhỏ nhất .
Bài 4 : Cho tam giác đều ABC .Lấy điểm M ngoài Tam giác sao cho
2=MA
;MB=2
(cùng đơn vò đo độ dài vớicạnh tam giác ); góc
15=MAC
độ ( tia CM nằm giữa hai
tia CAvà CB ).Tính độ dài CM và số đo góc BMC.