HAI DUONG THANG VUONG GOC Tiet 2

2. Hai đường thẳng vuông góc:
Định nghĩa 2:
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc
với nhau nếu góc giữa chúng bằng .
90
o
Nhận xét:
1) . 0a b u v⊥ ⇔ =
r r
Với lần lượt là vecto chỉ phương của a, b
,u v
r r
2) / /a b
c b
c a

⇒ ⊥

⊥


Cho hình hộp thoi có tất cả
các cạnh bằng a và
Chứng minh là hình vuông.
. ' ' ' 'ABCD A B C D
·
·
·
0

' ' 60ABC B BA B BC= = =
' 'A B CD
Ví dụ 1:
Chứng minh
Vậy là hình bình hành.
' 'A B CD
Ta có:

/ / ' 'CD A B=

2 2 2 0
2 2 2
' 2 . . 60
2
'
B C a a a a cos
a a a
B C a
= + −
= − =
⇒ =
Mặt khác ta có:
Do đó là hình thoi.
' 'A B CD
( )
2 2
'. ' . . '. 0
2 2
a a
CB CD CB BB CD CB BA BB BA

= + = + = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta lại có:
Vậy là hình vuông (đpcm).
' 'A B CD
'CB CD
⊥
Suy ra

. Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có .

Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, AC, BD.
Cho biết . Tính .
4
3
CD AB
=
5
6
JK AB
=
( )
,CD IJ
.
Giải:
2 2 2 2 2
1 1 2
;
2 2 3
1 4 25

(1)
4 9 36
IJ AB IK CD AB
IJ IK AB AB AB
= = =
+ = + =
Ta có:


Vì IK là đường trung bình của tam giác
BCD nên:
( )
/ / **IK CD
2 2
25
(2)
36
JK AB
=
Mà
2 2 2
IJ IK JK
+ =
Từ (1) và (2) ta được:
(*)IJ IK
⊥
Vậy
CD IJ
⊥
Từ (*) và (**) ta suy ra

( )
0
, 90CD IJ
=
Do đó:

Ví dụ 3: SGK trang 94
Cho hình tứ diện ABCD,
trong đó .
Gọi P và Q lần lượt là các
điểm thuộc các đường
thẳng AB và CD sao cho
GT
KL
PQ AB
⊥
uuur uuur
,AB AC AB BD
⊥ ⊥
,PA k PB QC kQD
= =
uuur uuur uuur uuur
Chứng minh
( )
( )
( )
) 1 ;
) 2
PQ PA AC CQ
PQ PB BD DQ k PQ k PB BD DQ

+ = + +
+ = + + ⇒ = + +
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Ta có:

Lấy (1) – (2) vế theo vế ta được:
( )
( )
( )
( )
1
1
1
k PQ PA AC CQ k PB BD DQ
k PQ PA k PB AC k BD CQ k DQ
k PQ AC k BD
− = + + − + +
⇔ − = − + − + −
⇔ − = −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
Lấy tích vô hướng của 2 vectơ và
, ta được:
( )
1 k PQ
−
uuur
AB

uuur
( )
( )
1 . . . 0k PQ AB AC k BD AB AC AB k BD AB
− = − = − =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
PQ AB
⊥
uuur uuur
Vậy
(đpcm)