HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TÂY NINH
TRƯỜNG THPT QUANG TRUNG
MÔN TOÁN
Năm học: 2010 - 2011
PHẦN 1: ĐẠI SỐ - GIẢI TÍCH 10& 11
1
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
A/ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP:

I/ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

1/ C ác dạng cơ bản:
1 /
A B
A B
A B
=

= ⇔

= −

2/
0B
A B
A B
A B
≥



= ⇔
=




= −


3/
A B A B A< ⇔ − < <
4/
A B
A B
a B
< −

> ⇔

>

2/ Dạng đặt ẩn số phụ:Ta thường đặt
( )t f x=
( ĐK:
0t
≥
)
3/ Dạng dùng phép bình phương:
2
2

A A=
4/ Dạng dùng định nghĩa:
A
A
A

=

−

II/ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC:
1/ C ác dạng cơ bản:
1/
0A
A B
A B
≥

= ⇔

=

2/
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔


=

3/
2
0
0
A
A B B
A B

≥

< ⇔ ≥


<

4/
2
0
0
0
A
B
A B
B
A B
 ≥




<


> ⇔

≥



>



2/ Đặt ẩn số phụ:Ta thường đặt
( )t f x=
( ĐK:
0t
≥
)
3/ Dùng phép lũy thừa:
( )
( ) ( )
n
n
f x f x=
B/ CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ:
1/ Các hệ thức cơ bản:
1/

2 2
sin x cos x 1+ =
2/
sin
tanx
cos
x
x
=
3/
cos
cot x
sin
x
x
=
4/
1
tan
cot
x
x
=
5/
2
2
1
1 tan
cos
x

x
+ =
6/
2
2
1
1 cot
sin
x
x
+ =

2/ Công thức cộng:

3/ Công thức nhân đôi:
a/ sin2x = 2sinxcosx b/ cos2x = cos
2
x – sin
2
x = 2 cos
2
x – 1 = 1 - 2 sin
2
x
c/ tan2a =
2
2tan a
1 tan a
−
d/ cot2a =

2
cot a 1
2cot a
−

2
Nếu
0A ≥
Nếu A < 0
tg(a ± b) =
tga tgb
1 tga tgb
±
m

cotg(a ± b) =
1 tga tgb
tga tgb
±
m

sin( ) sin cos cos
cos( ) cos cos sin sin
a b a b asinb
a b a b a b
± = ±
± =
m
H THNG CC KIN THC TRNG TM Vế THANH NGN
4/ Cụng thc h bc nõng cung:

2
1 cos2
sin
2
x
x

=

2
1 cos2
cos
2
x
x
+
=
tan
2
a =
1 cos2a
1 cos 2a

+

5/ Cụng thc nhõn ba:
Sin3x = 3sinx 4sin
3
x cos3x = 4cos

3
x 3cosx.
6/ Cụng thc biu din theo tanx:

2
2tan
sin 2
1 tan
x
x
x
=
+

2
2
1 tan
cos2
1 tan
x
x
x

=
+

2
2tan
tan 2
1 tan

x
x
x
=

7/ Cụng thc bin i tớch thnh tng:

( )
( )
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b
a b a b a b
= + +
= +

( )
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
= + +
8/ Cụng thc bin i tng thnh tớch:
sin sin 2sin cos
2 2
sin sin 2cos sin

2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=

cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
+
+ =
+
=
tan tan =
sin( )
cos .cos



; k , k
2

+
ữ

Z
9/ Cỏc cung liờn kt:
a. Cung i:

v

b. Cung bự:

v

c. Cung ph:

v
2


d. Cung sai kộm nhau

:

v
+
e. Cung hn kộm nhau
2

:

v
2

+
C.PHệễNG TRèNH LệễẽNG GIAC.
1/ Phửụng trỡnh lửụùng giaực cụ baỷn .
3
cos( ) cos
sin( ) sin
n( ) n
cot( ) cot
ta ta
=
=
=
=
sin( ) sin
cos( ) cos
tan( ) n
cot( ) cot
ta
=
=
=
=
sin cos
2
cos sin

2
tan cot
2


=
ữ



=
ữ



=
ữ

cot tan
2


=
ữ

tan( ) tan
cot( ) cot
sin( ) sin
cos( ) cos
+ =

+ =
+ =
+ =
sin cos
2
cos sin
2
tan cot
2
cot tan
2


+ =
ữ



+ =
ữ



+ =
ữ



+ =
ữ

HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
sin u = sin v ⇔



+−=
+=
ππ
π
2
2
kvu
kvu
( k ∈ Z )
cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z )
tanu = tanv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
cotu = cotv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z )
2/ Phương trình c ơ bản đặc biệt :
sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x =
2
π
+ k2π ,sinx = -1 ⇔ x = -
2
π
+ k2π
cosx = 0 ⇔ x =
2
π
+ k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π .

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a
2
+ b
2
≠ 0
Cách giải : acosx + bsinx = c ⇔
)cos(.
22
ϕ
−+
xba
= c với
22
cos
ba
a
+
=
ϕ
asinx +bcosx = c ⇔
)sin(.
22
ϕ
++
xba
= c với
22
cos
ba

a
+
=
ϕ
.
4 / Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx :
a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin
2
x +b sinx cosx + c cos
2
x = 0 .
Cách gi ải :
• Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .
• Xét
cos 0x ≠
chia hai vế của phương trình cho cos
2
x rồi đặt t = tanx.
5/ Phương trình dạng : a( cosx
±
sinx ) + b sinxcosx + c = 0 .
Đặt t = cosx + sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
−t

Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t .
Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0
Đặt t = cosx - sinx , điều kiện
22
≤≤−
t
khi đó sinxcosx =
2
1
2
t
−
6. Các phương trình lượng giác khác.
Tùy theo phương trình đã cho, ta dung các phép biến đổi lượng giác để qui phương trình đã cho về
các dạng phương trình thường gặp
D. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG:
I. Hằng Đẳng Thức:
1/
2 2 2
( ) 2a b a ab b± = ± +
2/
2 2
( )(a b a b a b− = − +
) 3/
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b± = ± + ±

4/
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b± = ± +m

5/
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ ± = + + + ± ±
6/
( )
2
2 2 2 2 2
1
( ) ( )
2
a b c ab bc ca a b b c c a
 
+ + − − − = − + − + −
 
7/
3 3 3 2 2 2 2 2 2
1
3 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
a b b abc a b c a b c ab bc ca a b c a b b c c a
 
+ + − = + + + + − − − = + + − + − + −
 
4
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
8/
( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )( )a b b c c a ab a b bc b c ca c a abc a b c ab bc ca abc+ + + = + + + + + + = + + + + −
9/
( )( ) ( ) ( ) ( ) 3a b c ab bc ca ab a b bc b c ca c a abc+ + + + = + + + + + +
10/

2
( )( ) ( )x a x b x x a b ab+ + = + + +
11/
2
( )( ) ( )x a x b x x a b ab− − = − + +
12/
3 2
( )( )( ) ( ) ( )x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc+ + + = + + + + + + +
13/
3 2
( )( )( ) ( ) ( )x a x b x c x x a b c x ab bc ca abc− − − = − + + + + + −
14/
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2
3 3 3
( ) 3 3 3 3 3 3 6
3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) 6
a b c a b c a b ab b c bc c a ca abc
a b c ab a b bc b c ca c a abc
+ + = + + + + + + + + +
= + + + + + + + + +
II. Bất Đẳng Thức:
1. Bất Đẳng Thức Cơ Bản:
1/
2
0, 0,a a a a≥ ≥ ≥
2/
2a b ab+ ≥
( BĐT Cauchy cho hai số không âm)
3/
2 2 2

2( ) ( ) 4a b a b ab+ ≥ + ≥
4/
2 0, 0
a b
a b
b a
+ ≥ ∀ > >
5/
1 1 4
0, 0a b
a b a b
+ ≥ ∀ > >
+
6/
1 1 1 9
, , 0a b c
a b c a b c
+ + ≥ ∀ >
+ +
2. Mở rộng bđt cauchy cho n số không âm:
Cho a
1
, a
2
,…,a
n
là các số không âm. Khi đó:
1 2 1 2

n

n n
a a a n a a a+ + + ≥
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= …= a
n
3. Bất đẳng thứcSva xơ
Cho 4 số thực
1 2
,a a
và
1 2
,b b
. Khi đó:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b+ ≤ + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
2 2
a b
a b
=
4. Bất Đẳng Thức BCS:
Cho một số nguyên dương

1n ≥
và hai dãy số thực
1 2
, , ,
n
a a a
và
1 2
, , ,
n
b b b
. Khi đó:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1
2 2

n
n
a
a b
a b b
= = =

E. ĐẠI SỐ TOÅ HÔÏP:
I. Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A
có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực
hiện theo n + m cách.
2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n
cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.
II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp
1. Hoán vị:
5
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là
một phép hoán vị các phần tử của tập A.
b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu P
n
là: P
n
= n! = 1.2.3…n
2. Chỉnh hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Khi lấy ra k phần tử trong số n
phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k
của n phần tử.
b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
A

là:
( ) ( )
( )
k
n
n!
A n. n 1 n k 1
n k !
= − − + =
−
.
3. Tổ hợp:
a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số
k ∈¥
mà
1 k n≤ ≤
. Một tập hợp con của A có k phần
tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
là:
( )
( ) ( )
k
n
n n 1 n k 1
n!
C

k! n k ! k!
− − +
= =
−
c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp:
( )
( )
*
k n k
n n
k k k 1
n 1 n n
Cho a, k :
C C 0 k n
C C C 1 k n
−
−
+
∈
= ≤ ≤
= + ≤ ≤
¥
III. Khai triển nhị thức Newton

( )
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k 0

a b C a b C a C a b C a b C b
− − −
=
+ = = + + + + +
∑
Nhận xét:
– Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
– Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
– Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
– Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:

k n k k
k 1 n
T C a b
−
+
=
–
0 1 2 n n
n n n n
C C C C 2
+ + + + =
–
( ) ( )
k n
0 1 2 3 k n
n n n n n n
C C C C 1 C 1 C 0

− + − + + − + + − =
Chú ý:
–
( )
n
n
k n k k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
–
( )
n
n
k k n k
n
k 0
a b C a b
−
=
+ =
∑
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
6

HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:
 Vectơ
u
r
có toạ độ (x;y) ⇔
u=x.i+y.j
r r r
.
 Điểm M có toạ độ (x;y) ⇔
OM=x.i+y.j
uuuur r r
.
 Nếu điểm A(x
A
;y
A
) và điểm B(x
B;
y
B
) thì :
o
B A B A
AB=(x -x ;y -y )
uuur
o
( ) ( )
2 2
B A B A

AB= x -x + y -y
 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
A B A B
x -kx y -ky
MA=kMB M ;
1-k 1-k
 
⇔
 ÷
 
uuuur uuur
.
 Trung điểm I của AB có tọa độ
A B A B
x +x y +y
I ;
2 2
 
 ÷
 
.
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ
A B C A B C
x +x +x y +y +y
G ;
3 3
 
 ÷
 
.

2. Tích vô hướng của hai véctơ:
Cho
u=(x;y)
r
và
v=(x';y')
r
. Ta có:
 Các phép toán về vectơ:
o
u ± v = (x±x' ; y±y' )
r r
o
ku=(kx;ky)
r
o
2 2
| u|= x +y
r
 Tích vô hướng của hai vectơ:
o ĐN tích vô hướng:
u.v=
r r
u . v .cos(u,v)
r r r r
o Biểu thức toạ độ:
u.v=x.x'+y.y'
r r
o Góc giữa hai vectơ:
2 2 2 2

x.x'+y.y'
cos(u,v)=
x +y . x' +y'
r r
 Diện tích tam giác :
Cho tam giác ABC với
( )
1 2
;AB a a=
uuur
và
( )
1 2
;AC b b=
uuur
. Ta có:

ABC
1
S = AB,AC
2
 
 
uuur uuur
3. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y

0
) và có vectơ chỉ phương là
u=(a;b)
r
. Khi đó:
 Phương trình tham số của d là:
0
0
x=x +at
y=y +bt



(1)
 Phương trình chính tắc của d (khi ab≠0) là:
0 0
x-x y-y
=
a b
(2)
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
) và có vectơ pháp tuyến
n=(A;B)
r

 Phương trình tổng quát của dA(x-x
0
)+B(y-y
0
)=0 (3)
 Phương trình : Ax+By+C=0 với A
2
+B
2
>0 là pt đt(d) có vectơ pháp tuyến là
n=(A;B)
r
 Chú ý:
- Phương trình các đường thẳng đặc biệt:
Trục Ox: y = 0 ; Trục Ox: y = 0
Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:Đường thẳng (d) đi qua A(a;0), B(0;b)
7
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
 Phương trình là:
x y
+ =1
a b
(4)
Phương trình đường thẳng theo hệ số góc k
Nếu đường thẳng (d) đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0

) và có hệ số góc k thì:
 Phương trình là:
( )
0 0
y k x x y
= − +
(5)
Phương trình đường thẳng dạng: y = ax + b (6)
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng:
(d
1
): A
1
x+B
1
y+C
1
=0 có VTPT
1
1 1
n =(A ;B )
r
và (d
2
): A
2
x+B
2
y+C

2
=0 có VTPT
2
2 2
n =(A ;B )
r
Gọi là góc giữa (d
1
) và (d
2
). Ta có:

1 2
1 2 1 2
2 2 2 2
1 2
1 1 1 1
.
cosφ= =
.
.
n n
A A B B
n n
A B A B
+
+ +
ur uur
ur uur
5. Khoảng cách từ điểm M

0
(x
0
;y
0
) đến đt (d) có phương trình Ax+By+C=0 là:

( )
0 0
0
2 2
Ax +By +C
d M ,(d) =
A +B
6. Phương trình đường tròn:
 Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R. Phương trình có dạng:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
= R
2
.
 Dạng 2: Phương trình có dạng: x
2
+y
2
+2ax+2by +c=0,
với điều kiện : a
2

+b
2
>d, là phương trình đường tròn có tâm I(a;b;c) và có bán kính
2 2 2
R= a +b +c -d
* Giao điểm của đường thẳng (d) và đường tròn (C):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng (d); R là bán kính của đường tròn :
o IH>R : (d)∩(C)=φ
o IH=R : (d)∩(C)=H, (d) tiếp xúc với (C)
o IH<R : (d)∩(C) tại hai điểm phân biệt
7. Phương trìnhtiếp tuyến của đường tròn:
 Dạng 1: Cho đường tròn (C) có tâm I(a;b) và có bán kính R và điểm M(x
0
;y
0
) thuộc (C). Khi đó
( )
0 0
;IM x a y b= − −
uuur
là VTPT của tiếp tuyến (d)
Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0 0
0x a x x y b y y− − + − − =
.
 Dạng 2: Phương trình tiếp tuyến (d)của đường tròn đi qua điểm M(x
0
;y
0

) không thuộc (C).
* Gọi
n=(A;B)
r
là VTPT của (d) qua M. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng:
A ( x – x
0
) + B ( y – y
0
) = 0
0 0
0Ax By Ax By⇔ + − − =
* Do (d) tiếp xúc (C) nên :
( )
( )
;d I d R=
. Giải phương trình tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)
 Dạng 3: Phương trình tiếp tuyến (d)cho biết hệ số góc a.
* Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = ax + b
0ax y b⇔ − + =
* Do (d) tiếp xúc (C) nên :
( )
( )
;d I d R=
. Giải phương trình tìm A, B
* Khi đó ta viết phương trình tiếp tuyến (d)

PHẦN 3: GIẢI TÍCH 11& 12
8

HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
A. ĐẠO HÀM :
1/ Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:
1/
( )
/
0C =
2/
( )
/
1x =
3/
( )
/
2
2x x=
4/
( )
/
1n n
x nx
−
=
5/
/
2
1 1
x x
 
= −

 ÷
 
6/
( )
/
1
2
x
x
=

( )
/
1 /
.
n n
u nu u
−
=

/
/
2
1 u
u u
 
= −
 ÷
 

( )
/
/
2
u
u
u
=
2/ Các qui tắc tính đạo hàm:
1/ QT1:
( )
/
/
. .a u a u=
2/ QT2:
( )
/
/ /
u v u v± = ±
3/ QT3:
( )
/
/ /
. . .u v u v u v= +
4/ QT4:
/
/ /
2
. .u u v u v
v v

−
 
=
 ÷
 
5/ QT5: ( Đạo hàm của hàm số hợp):
/ / /
.
x u x
y y u=

a/ Các hệ quả: + HQ1:
/
/
2
1 v
v v
 
= −
 ÷
 
+ HQ2:
/
/
2
C Cv
v v
 
= −
 ÷

 
b/ Nhận xét:

( )
/
2
ax b ad bc
cx d
cx d
+ −
 
• =
 ÷
+
 
+

( ) ( ) ( )
( )
/
/ / 2 / / / /
2
2
/ 2 / /
/ 2 / /
.2ab ba x ac ca x bc cb
ax bx c
a x b x c
a x b x c
− + − + −

 
+ +
• =
 ÷
+ +
 
+ +
3/ Đạo hàm của các hàm số lượng giác:
1/ ( sinx )
/
= cosx
2/ ( cosx )
/
= -sinx
3/
( )
/
2
1
tan
cos
x
x
=
4/
( )
/
2
1
cot

sin
x
x
= −
1/ ( sinu )
/
= u
/
.cosu
2/ ( cosu )
/
= - u
/
.sinu
3/
( )
/
/
2
tan
cos
u
u
u
=
4/
( )
/
/
2

cot
sin
u
u
u
= −
1/ ( sin
2
x )
/
= sin2x
2/ ( cos
2
x )
/
= -sin2x
3/ ( sin
2
u )
/
= u
/
sin2u
4/ ( cos
2
u )
/
= - u
/
sin2u

4/ Đạo hàm của các hàm số mũ:



5/ Đạo hàm của các hàm số logarit:



9
( )
/
x x
e e
=

( )
/
/
.
u u
e u e
=
( )
/
.ln
x x
a a a
=

( )

/
/
. .ln
u u
a u a a=
( )
/
2 2
2
.2ax bx c adx ae x be cd
dx e
dx e
 
+ + + + −
• =
 ÷
+
+
 
( )
/
1
ln x
x
=

( )
/
/
ln

u
u
u
=
( )
/
1
log
.ln
a
x
x a
=

( )
/
/
log
.ln
a
u
u
u a
=

HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
B. KHẢO SÁT HÀM SỐ
I/ Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1. Tập xác định

2. Sự biến thiên
- Giới hạn tại vô cực
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Điểm uốn
- Điểm đặc biệt
- Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Giới hạn, tiệm cận
- Chiều biến thiên, cực trị
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Tâm đối xứng
- Giá trị đặc biệt
- Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
1/ Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
hai nghiệm
phân biệt.
2
-2
O

2
-2
Pt y’ = 0 có
nghiệm kép
2
2
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
4
2
10
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
2/ Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
a > 0 a < 0
Pt y’ = 0 có
ba nghiệm
phân biệt
-2
2
Pt y’ = 0 có
một nghiệm
2
-2
3/ Hàm số y =
)0,0( ≠−≠

+
+
bcadc
dcx
bax
D = ad – bc > 0 D = ad – bc < 0
4
2
4
2
-2
11
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
4/ Hàm số y =
)0,0'.(
''''
2
≠≠
+
++=
+
++
raa
bxa
r
qpx
bxa
cbxax
a.a’ > 0 a.a’ < 0
Pt y’ = 0 có hai

nghiệm phân
biệt
2
-2
-4
O
2
-2
-4
O
Pt y’ = 0 vô
nghiệm
2
-2
O
2
-2
O
II . CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
1/ Bài toán 1: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
Số giao điểm của hai đường (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành
độ giao điểm của (C
1
), (C
2
): f(x) = g(x) (1)

Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

2/ Bài toán 2: Dùng đồ thị biện luận phương trình: h(x,m) = 0
Đưa phương trình về dạng:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng
phương với trục Ox.
Tuỳ theo m số giao điểm của (C) và d là số nghiệm pt (1)
Sự tiếp xúc của hai đường cong:
Hai đường cong (C
1
), (C
2
) tiếp xúc với nhau khi chỉ khi hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( ) '( )

f x g x
f x g x
=


=

12
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
3/ Bài toán 3: Viết PTTT của đồ thị (C) hàm số y =f(x)
Cho hàm số
( )
xfy =
,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm
( ) ( )
0 0
;M x y C∈
.
− Tính đạo hàm và giá trị
( )
0
'f x
.
− Phương trình tiếp tuyến có dạng:
( ) ( )
0 0 0
'y f x x x y= − +
.
Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm

( ) ( )
0 0
;M x y C∈
có hệ số góc
( )
0
'k f x=
.
Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là
k
.
− Giải phương trình:
( )
'f x k=
, tìm nghiệm
0 0
x y⇒
.
− Phương trình tiếp tuyến dạng:
( )
0 0
y k x x y= − +
.
Chú ý: Cho đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
, khi đó:
− Nếu
( )
// :d d y ax b∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc k = a.

− Nếu
( )
:d d y ax b⊥ ∆ ⇒ = +
⇒ hệ số góc
1
k
a
= −
.
Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm
( ) ( )
;
A A
A x y C∉
.
− Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó
( ) ( )
:
A A
d y k x x y= − +
− Điều kiện tiếp xúc của
( ) ( )
à d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:
( ) ( )
( )
'
A A
f x k x x y
f x k


= − +


=


Tổng quát: Cho hai đường cong
( ) ( )
:C y f x=
và
( ) ( )
' :C y g x=
. Điều kiện để hai đường cong tiếp
xúc với nhau là hệ sau có nghiệm.
( ) ( )
( ) ( )
' '
f x g x
f x g x

=


=


.
C. MỘT SỐ CÔNG THỨC VỀ LOGARIT, LŨY THỪA, MŨ
1/ Công thức :

log
y
a
x y x a= ⇔ =
2/ Công thức :
3/ Công thức : 4/ Công thức :
5/ Công thức :
• Chú ý :
2 2
2 2
log (log )
(log ) log
a a
x x
b b
y y
→ =
→ =
. Bình phương của logarit
D. CÔNG THỨC LŨY THỪA VÀ CÔNG THỨC LÔGARIT
13
log 1 0 1
a
= =
0
vi a
log 1
a
a a
= =

1
vi a
log 1
a
a a
= =
1
vì a
log
a
b b
a
=
log ( )
a
a
α
α
=
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
x y x y
x y x y
y y
x.y x.y
. a a .
2/ a , a
a a
3/ a , a
x x
x x

x y y x
.
1/ a , ngược lại = a
a a
ngược lại
(a ) (a ) ngược lại (a
+ +
− −
=
= =
= = =
y y
I/ Công thức luy thừa .
Cho a, b là số thực dương và x, y là số thực tùy ý
a a
x x x x
x x
x x
x x
4/ a .b , a .b
a a
5/ ,
b b
x y y x
x x
) (a )
(a.b) ngược lại (a.b)
a a
ngược lại
b b

=
= =
   
= =
 ÷  ÷
   
m m
m m
n n
n n
a a ngược lại a a
= =
( ) ( )
ngược lại =
ngược lại
ngược lại
nếu n le û .
5/ nếu n chẵn .
n n n n n n
n n
n n
n n
m m
m m
n n
n n
n
n
n
n

1/ a. b a.b a.b a. b
a a a a
2/
b b
b b
3/ a a a a
4/ a a ,
a a ,
=
= =
= =
=
=
14
III/ Tính chất của căn bậc n
II/ Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
= ⇔ =
= =
= =
=
=
=
=
= +
= −
x
a
a a
log

a
a
c
a
c
a
a a a
a a a
1/ log
log , log
a , cùng cơ số .
4/ log
log
log
log
log
log
log log log
log log log
a
y
x
x
a
x
a
a
b
x y x a
2/ 1 0 a 1.

3/ x , log a x
b x.log b
1
5/ b log b
x
b
6/ b
a
1
7/ b
log a
8/ x.y x y
x
9/ x y
y
15
= =
=
10
e
log , lôgarit thập phân .
log , lôgarit tự nhiên .
10/ x logx lgx
11/ x lnx
IV/ Cơng thức Lơgarit .
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
E. LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT
Lũy thừa thừa với số mũ nguyên
Định nghĩa: a
n

=

.
n thuaso
a a a
, a ∈ R, n ∈ N*.

Khi a ≠ 0 ta có a
0
= 1 , a
-n
=
1
n
a
, a
-1
=
1
a

Tính chất: với a,b ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
. ; . ( )
;
( )
m n m n n n n
n
m n
m n
n n

n m mn
a a a a b ab
a a a
a
a b b
a a
+
−
= =
 
= =
 ÷
 
=
Căn bậc n:
•
m
n
m
n
a a=
;
=
.
;
m
n m n
a a
( )
= ;

m
n m
n
a a

•
= = . . ; ;
n
n n n
n
n
a a
a b a b
b
b

•
n
n n
n
a n chan
a
a n le


=



Tínhchất :

+ a > 1: m > n ⇒ a
m
> a
n

+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ a
m
< a
n
+ 0 < a < b * a
x
< b
x
khi x > 0 ;
* a
x
> b
x
khi x < 0
HÀM SỐ LOGARIT:
1. Đ/n : y = log
a
x ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*
+
; TGT:
R
log
a
x = y ⇔ a
y

= x
Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên R*
+ ;

Nếu: 0 < a < 1 HS nghịch biến trên R*
+
2. Công thức về logarit : 0 < a ≠ 1
• log
a
1 = 0; log
a
a = 1;
•
log ;
x
a
a x=

log
a
x
a x=
( x > 0)
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
x x x x= +
, ( x
1
,x

2
> 0 )
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
= −
, (x
1
,x
2
> 0 )
log log
n
a a
x n x=
(x > 0)
log
log
log
a
b
a
x
x
b

=
(x,b > 0 )
log .log log
a b a
b x x=
1
log
log
a
b
b
a
=

a
1
log .log x
a
x
α
α
=
Giải pt mũ :
Đưa về dạng cơ bản :
* a
x
= a
b
⇔ x=b đk: 0 < a ≠ 1
* a

x
= c (*)
 Nếu c ≤ 0 (*) vô nghiêm
 Nếu c > 0 thì a
x
= c ⇔
a
x=log c
Đưa về cùng một cơ số :

( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a a
f x g x
a

=
⇔ =

< ≠

 Đặt ẩn phụ : t= a
x
( đk t > 0) đưa về pt đại số
với ẩn t .
 Dùng PP: Logarit hóa 2 vế theo cơ số a.
 Đóan nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thị

Giải pt Logarit
Đưa về dạng cơ bản :
* log
a
x = log
a
b ⇔ x = b đk (0 < a ≠ 1 , b> 0)
* log
a
x = c ⇔ x= log
a
c đk (0 < a ≠ 1 )
Đưa về cùng một cơ số dạng :

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
Đk: g(x) ≥ 0 ; 0 <a ≠ 1
Gpt: f(x)=g(x)
 Đặt t = log
a
x đưa pt đại số với ẩn t
 Đoán nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thị
Bất pt mũ : Bất pt Logarit :
- Biến đổi đưa về
Dạng 1: a
f(x)
>a
g(x)

(*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < g(x)
Dạng 2: a
f(x)
>c

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > log
a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < log
a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
-Biến đổi đưa về
Dạng 1:log
a
f(x) >log
a
g(x) (*)

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
Dạng 2: log
a
f(x) > c

(*) (0<a ≠1)

+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) < a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
16
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1:
 Cho
( ) ( )
0, 1 a ( ) ( )
f x g x
a a a f x g x
> ≠ = ⇔ =
 Logarit hóa với cơ số thích hợp đưa về phương trình bậc 2, 3 về đa thức.
Giải các phương trình sau:
Dạng 2: Đặt ẩn phụ
1) Biến đổi về cùng cơ số: a
f(x)
, a
2f(x)
, a
3f(x)
, Đặt t = a
f(x)
( t > 0 ), đưa về phương trình bậc 2,
3 , theo t. Rồi giải tiếp.
2) Phương trình có dạng :
2 ( ) ( ) 2 ( )

(a ) ( . ) ( ) 0
f x f x f x
a b b
α β γ
+ + =
Chia 2 vế của phương trình cho
2 ( )
( )
f x
b
hay
2 ( )
( )
f x
a

2 ( ) ( )
2 ( ) 2 ( )
2
( ) ( )
( ) ( )
0
( ) ( )
0
f x f x
f x f x
f x f x
a ab
b b
a a

b b
α β γ
α β γ
⇔ + + =
 
   
⇔ + + =
 
 ÷  ÷
   
 
 
Đặt
( )
(t>0)
f x
a
t
b
 
=
 ÷
 
Phương trình trở thành:
2
0t t
α β γ
+ + =
. Giải tiếp ./.
 Chú ý: Cách giải tương tự đối với phương trình dạng:

3 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 3 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 0
f x f x f x f x
a a b ab b
α β γ δ
+ + + =

Chia 2 vế của phương trình cho
3 ( )
( )
f x
b
hay
3 ( )
( )
f x
a
. Đưa về phương trình bậc 3 theo t, rồi
giải tiếp.
Dạng 3: Phương pháp đánh giá
Phương trình có dạng:
( ) ( )f x g x
=

Nếu
{
( )
( )
f x m

g x m
≥
≤
thì
{
( )
( )
( ) ( )
f x m
g x m
f x g x
=
=
= ⇔
Dạng 4: Sử dụng tính chất duy nhất nghiệm
1) Phưong trình có dạng
( )f x
α
=
; trong đó
( )f x
là hàm đồng biến (nghịch biến),
α
:
hằng số
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Đoán nghiệm và kết luận.
2) Phương trình có dạng
( ) ( )f x g x
=

; trong đó
( )f x
là hàm đồng biến (nghịch biến)

( )g x
là hàm nghịch biến (đồng biến)
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
17
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
Đoán nghiệm và kết luận.
 Chú ý:
Cho 0 < a < b < c. Giải các phương trình sau:
x x x
a b c
+ =
Cách giải:
x
a b
+ =1
c c
x
x x x
a b c
   
+ = ⇔
 ÷  ÷
   
Vì 0 < a < b < c nên
0 1
a b

c c
< < <
Suy ra
x x
a b
y
c c
   
= +
 ÷  ÷
   
là hàm nghịch biến

1y
=
là hàm hằng
Do đó nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Đoán nghiệm và kết luận.
PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
Các công thức và quy tắc logarit cần nhớ:
1)
{
0, 1a a
x R
> ≠
∀ ∈
log
x
a
a b b x

= ⇔ =
log
a
b
có nghĩa
{
0, 1
0
a a
b
> ≠
>
⇔
0 , 1
, 1
0 1
0 1
log 0
log 0
a b
a a b
a b
a b a
b
b
< <
>
< < <
< < <


> ⇔


< ⇔

log 1
x
a
a
=
;
log 1
a
a
=
;
log 1 0
a
=
2)
{
1 2 .
0, 1
, , , 0
n
a a
b b b
> ≠
>
1 2 1 2

log ( . ) log log
a a a
b b b b
= +
1
1 2
2
log log log
a a a
b
b b
b
= −
3)
{
, 0, 1
,
a b a
m n R
> ≠
∀ ∈
log log
1
log log
log log
1
log log
m
m
n

a a
a
a
n
a
a
a a
b n b
b b
m
n
b b
m
b
b
=
=
=
= −
18
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
4)
{
, 0, 1
0
a b
c
> ≠
>
log log .log

log
log
log
a a b
b
a
b
c b c
c
c
a
=
=
5)
{
, 0
, 1
a b
a b
>
≠
log .log 1
1
log
log
a b
a
b
b a
b

a
=
=
6)
{
, , 0
, 1
a b c
b c
>
≠
log
log log
a
b b
b
c a
a b
a c
=
=
Dạng 1:
log ( )
a
f x
có nghĩa
⇔
{
0, 1
( ) 0

a a
f x
> ≠
>

0, 1
log ( )
( )
a
a a
f x b
b
f x a

> ≠
= ⇔

=


{
0, 1
log ( ) log ( )
( ) ( ) 0
a a
a a
f x g x
f x g x
> ≠
= ⇔

= >
Dạng 2:
Đặt ẩn phụ
log ( )
a
t f x=
, đưa về phương trình bậc 2, 3 đối với t. Rồi giải tiếp, kết luận.
Dạng 3:
• Đoán nghiệm và chứng minh tính duy nhất, sử dụng tính đồng biến, nghịch biến của h àm
số.
• Cho phương trình logarit dạng
( ) ( )f x g x=
, trong đó
( )f x
là hàm đồng biến (nghịch biến)
và
( )g x
là hàm nghịch biến (đồng biến).
Nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Đoán nghiệm và kết luận.
Giải các phương trình sau:
F. TÍCH PHÂN
19
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
Bảng nguyên hàm
Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp
thường gặp
Nguyên hàm của những hàm số thường
gặp
Cxdx +=
∫

adx ax C= +
∫
( )
1
1
1
≠+
+
=
+
∫
α
α
α
α
C
x
dxx
( )
0ln ≠+=
∫
xCx
x
dx
( )
2
1
0
dx
C x

x x
= − + ≠
∫
( )
3
2
0
3
xdx x C x= + ≥
∫
3 4
3
3
4
xdx x C= +
∫
1
2dx x C
x
= +
∫

( )
0x >
Cedxe
xx
+=
∫
( )
10

ln
≠<+=
∫
aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx +=
∫
sincos
Cxxdx +−=
∫
cossin
Cxdx
x
+=
∫
tan
cos
1
2
Cxdx
x
+−=
∫
cot
sin
1

2
( )
2 2
1
ln
2
dx x a
C
a x a
x a
−
= +
+
−
∫
( ) ( )
Cbax
a
baxd ++=+
∫
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
≠+
+

+
=+
+
∫
α
α
α
α
C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
≠++=
+
∫
xCbax
abax
dx
( )
2
1 1dx
C
a ax b
ax b
= − +
+
+

∫
( )
3
1 2
3
ax bdx ax b C
a
+ = + +
∫
( )
4
3
3
1 3
4
ax bdx ax b C
a
+ = + +
∫
1 1
2dx x C
a
ax b
= +
+
∫

( )
0x >
Ce

a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=

+
∫
tan
1
cos
1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++−=
+
∫
cot
1
sin
1
2
( ) ( )
1
ln
dx x a
C
x a x b a b x b
−
= +
− − − −

∫
G . ỨNG DUNG TÍCH PHÂN
I//Diện tích hình phẳng
Công thức 1
Công thức 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

( ) : ( )
( ): 0
;
C y f x
Ox y
x a x b
=


=


= =

là S =
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức 2
Công thức 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường







==
=
=
bx;ax
)x(gy:)'C(
)x(fy:)C(
là S =
∫
−
b
a
dx.)x(g)x(f
Công thức3
Công thức3 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
20
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN

( ) : ( )
( '): ( )
;
C x f y
C x g y
y a y b
=



=


= =

là S =
( ) ( ) .
b
a
f y g y dy
−
∫

II. Thể tích hình tròn xoay

Công thức
Công thức


1
1: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi
:
( ) : ( )
: 0
;
C y f x
Ox y
x a x b
=



=


= =

quay quanh trục Ox là V =
[ ]
∫
π
b
a
2
dx.)x(f
Công thức
Công thức


2
2: Thể tích hình tròn xoay do hình thang cong giới hạn bởi
:
/
( ) : ( )
( ): ( )
;
C y f x
C y g x
x a x b
=



=


= =

quay quanh trục Ox là V =
[ ] [ ]
2 2
( ) . ( ) .
b b
a a
f x dx g x dx
π π
−
∫ ∫
H. SỐ PHỨC
1.Hai số phức bằng nhau: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d
Hai số phức liên hợp: cho z = a + bi thì
z
= a – bi
2.Môđun của số phức: cho z = a + bi thì |z| =
3.Các phép toán với số phức
(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i
2121
zzzz ±=±
(a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ;
21
z.z
=

1
z
.
2
z
; z.
z
= |z|
2
= ; = z
1
.
2
1
2
1
z
z
z
z
=








4.Căn bậc hai của một số phức: Cho số phức z = a + bi

*nếu b ≥ 0 thì = ±
*nếu b < 0 thì = ±
5.Dạng lượng giác của số phức
*Cho z = a + bi thì môđun r và argument ϕ được tính bởi công thức sau:
r = ; cosϕ = ; sinϕ =
* Cho z = a + bi thì có thể viết z = r(cosϕ + i.sinϕ)
6.Công thức MOAVRƠ
Cho hai số phức z
1
= r
1
(cosϕ
1
+ i.sinϕ
1
) và z
2
= r
2
(cosϕ
2
+ i.sinϕ
2
)
khi đó: z
1
.z
2
= r
1

.r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i.sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)]
= [cos(– ϕ) + i.sin(– ϕ)] = [cos(ϕ
1
– ϕ
2
) + i.sin(ϕ
1
– ϕ
2
)]
Công thức MOAVRƠ:
Cho z = r(cosϕ + i.sinϕ) thì z
n
= r
n
(cosnϕ + i.sinnϕ)
căn bậc n của z có n giá trị là n số phức được xác định như sau:
z
k
= (cos+ i.sin) với k = 0,1,….n – 1

PHẦN 4: HÌNH HỌC 11& 12
ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
21
c
b
a
M
H
C
B
A
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
2 2
BA =BH.BC; CA =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2S
ABC

d)
2 2 2

1 1 1
= +
AH AB AC

e) BC = 2AM
f)
b c b c
sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a a c b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB,
a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
2 2 2
b +c -a
cosA=
2bc
⇒
* Định lý hàm số Sin:

a b c
= = =2R
sinA sinB sinC
* Độ dài đường trung tuyến:
( )
2 2 2
a
2 b +c -a
m =
4
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a
1 1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 2 4R
với
a+b+c
p=
2
Đặc biệt : *
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
,
*

ABC
∆
đều cạnh a: diện tích
2
a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
V

V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
1:
1:
Hai
Hai
đườ
đườ
ng th
ng th
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông
góc:
góc:
22
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
A. Dạng toán cơ bản:
1) Tính góc giữa hai đường thẳng:
PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )
a'//a
a,b = a';b'

b'//b

⇒


PP2: Sử dụng tích vô hướng:
( )
( )
a.b
cos a;b = cos a;b =
a . b
r r
r r
r r
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
a b a.b=0⊥ ⇔
r r
PP2:
a//b
a c
b c

⇒ ⊥

⊥

A. Dạng toán cơ bản:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:


⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
PP2:
a//b
a mp(P)
b (P)

⇒ ⊥

⊥

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
PP1
a (P)
a b
b (P)
⊥

⇒ ⊥

⊂


PP2: Sử dụng định lý ba đường
vuông góc
3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
b'
b
a'
a
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
2:
2:
Đườ
Đườ
ng th
ng th
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông
góc v
góc v
ớ
ớ
i m

i m
ặ
ặ
t
t
phẳng
phẳng
d
a
b
P
a
b
(P)
a'
a
b
P
23
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
Định nghĩa: Góc giữa đường
thẳng d và mặt phẳng(P) là góc giữa
đường thẳng d và hình chiếu d’ của
nó trên (P)
PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒
(d;(P))=(d;d’)
4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
A. Dạng toán cơ bản:
1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường thẳng lần
lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

PP1:
( ) ( )
( ), (( );( )) ( ; )
( ),
P Q
a P a P Q a b
b Q b
∩ = ∆


⊂ ⊥ ∆ ⇒ =


⊂ ⊥ ∆

PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu
'
' . os os
S
S S c c
S
ϕ ϕ
= ⇔ =

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=90
0
PP2:
( )
( ) ( )

( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
PP:
(P) (R)
(Q) (R)Δ (R)
(P) (Q)=Δ
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a và
vuông góc với (P).
A. Dạng toán cơ bản:
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng
∆
:
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH

2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
P
a'
a
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
3:
3:
Hai m
Hai m
ặ
ặ
t ph
t ph
ẳ
ẳ
ng vuông
ng vuông
góc
góc
phẳng
phẳng
b

a
Q
P
P
Q
a
b
d
Q
P
a
a
R
Q
P
Vấn đề 4:
Vấn đề 4:
Khoảng cách
Khoảng cách
24
HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÕ THANH NGÂN
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ
MN⊥b tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a
- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J

- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d(a;b)=MN
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 1:THỂ TÍCH
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh
với



B:dieän tích ñaùy
h : chieàu cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:

V = a
3

với a là độ dài cạnh
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt
thuộc SA, SB, SC ta có:

=
SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a +b +c
,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
a 3
2
∆

P
Q
P
M
M
H
H
M
H
25
a
b
P
M
N
a
a
'
b
M
N
Q
P