CHUYÊN ĐỀ KHÔNG GIAN - KHỐI 11

Quan hệ vuông góc
I. Hai đường thẳng vuông góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 :
a b⊥ ⇔
góc
( ; ) 90
o
a b =
.
C3: Dùng hệ quả:
C4: Dùng hệ quả:
C5 : Dùng hệ quả:
C6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông
góc với cạnh còn lại của tam giác
B. Bài tập áp dụng
Bài1.Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = 16a, CD =
12a, MN = 10a. CM AB vuông góc với CD
Bài2.Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC. CM
a. AM vuông góc với BC và SM vuông góc với BC
b. SA vuông góc với BC
Bài3.Cho hình chop S.ABC có SA vuông góc BC, SA = BC =2a,
)(,
α
mpABM ∈
qua M
song song với SA, BC, AB = a.
a. Xác định thiết diện tạo bởi mp
)(

α
và S.ABC
b. Đặt Am = x. Tính diện tích thiết diện theo a và x
c. Định vị trí
)(
α
để diện tích này lớn nhất
1
b
//
c
,
a b a c⊥ ⇒ ⊥
a
c
b
( )
( )
a P
a b
b P
⊥

⇒ ⊥

⊂

a
b
P

a
P
b
( )
( )
a song song P
a b
b P

⇒ ⊥

⊥

∆
A
C
B
AB
BC
AC
∆ ⊥

⇒ ∆ ⊥

∆ ⊥

Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB = CD.
)(
α
song song với AB và CD cắt các cạnh còn lại lần

lượt tại M, N, P, Q
a. Tứ gicá MNPQ là hình gì
b. Xác định vị trí
)(
α
sao cho Mp vuông góc NQ
Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn là AD và góc A = 90
0
. Biết AD =
2BC = 2AB.
a. CM: AC vuông góc CD
b. Với E là trung điểm AD tìn giao tuyến của 2 mp(SBC) và (SCD)
c. biết góc SCD = 90
0
. Xác định góc giữa SA và BE
II. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì
đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm
trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt
phẳng kia
C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao
tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
2
c
a
b

P
b
,
c
cắt nhau ,
, ( )b c P⊂
,
,a b a c⊥ ⊥
⇒
( )a P⊥
P
b
a
a
//
b
,
( ) ( )b P a P⊥ ⇒ ⊥
Q
P
b
a
( ) ( )
( )
( ),
P Q b
a P
a Q a b
∩ =


⇒ ⊥

⊂ ⊥

P
(
β
)
(
α
)
∆
( ) ( )
( )
( ) ( ),( ) ( )
P
P P
α β
α β
∩ = ∆

⇒ ∆ ⊥

⊥ ⊥

 Lưu ý hs yếu các kiến thức thường gặp:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vuông có 2 đường chéo vuông góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng

Bài1.Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC. Gọi I là
trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vuông góc với
mp(BCD)
Bài2.Cho hình chop SABC. SA vuông góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại B.
a. CM BC
⊥
SB
b. Từ A lần lượt kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. CM AH
⊥
(SBC), SC
⊥
( AHK)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD. Chứng
minh
a. SO vuông góc với (ABCD) b. AC vuông góc SD
Bài4.Cho tứ diện ABCD có AB
⊥
CD, AC
⊥
BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
a. CM AH
⊥
(BCD) b. CM AD
⊥
CD
Bài5.Cho hình chóp S.ABCD có SA
⊥
đáy. Đáy ABCD là hình thang vuông tại A. AD = 2AB

= 2BC
a. CM BC
⊥
(SAB) b. CM SC
⊥
CD
Bài6.Hình chop S.ABC có SA vuông với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung điểm
BC. CM:
a. BC
⊥
(SAM)
b. Vẽ AH
⊥
SM tại H. CM AH
⊥
SB
Bài7.Cho hình chóp S.ABC có SA =
2
6a
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là trung điểm
BC. CM:
a. BC
⊥
SA b. SI
⊥
(ABC)
Bài8.Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA = a và SA
⊥
(ABCD)
a. Gọi I là trung điểm SD. CM AI

⊥
(SCD)
b. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình chiếu
của O trên CM
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường
thẳng và mặt phẳng
A. Các định lý
3
1.

)(
)(
//
α
α
⊥⇒



⊥
b
a
ba
2.
( ) / /( )
( )
( )
a
a
β α

β
α

⇒ ⊥

⊥

3.
( ) ( )
( ) ( ) / /( )
( )
a
a
α β
α α β
β
≠


⊥ ⇒


⊥

4.
( ) / /
( )
a b
a a b
b

α
α
≠


⊥ ⇒


⊥

5.
( )
( ) / /( )
a b a
b a
α
α α
⊥ ⊂
 
⇒


⊥
 
B. Bài tập ứng dụng
Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (ABCD). Gọi
α
là
mặt phẳng qua A và vuông góc với SC,
α

cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và
α
b. CM BD vuông góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và
α
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và
α
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA vuông góc (BCD) và SA =
AB. Gọi H và M lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vuông góc với (AHD)
Bài3.Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng SH
⊥
(ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA = 2NS.
Chứng minh MN
⊥
(ABC)
Bài4.Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA
⊥
(ABC)
a. Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. CM BC
⊥
(SAB) và AH
⊥
(SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. CM SC
⊥
(AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác . CM BM //(AHK)
IV. Mặt phẳng vuông góc mặ phẳng
A. Phương pháp chứng minh
.

C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.

4
ϕ
y
x
β
α
∆
O
•
( ) ( )
α β
∩ = ∆
,
( ),Ox Ox
α
⊂ ⊥ ∆
,
( ),Oy Oy
β
⊂ ⊥ ∆

Khi đó:
góc
(( );( ))
α β
=
góc
·

( ; ) : 0 90
o
Ox Oy xOy
ϕ ϕ
= = ≤ ≤
•

( ) ( ) 90
o
α β ϕ
⊥ ⇔ =
C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm
trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
B. Bài tập ứng dụng:
Bài1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác SBD cân tại
S. Gọi O là tâm hình thoi
a. CM SO
⊥
(ABCD)
b. CM (SAC)
⊥
(SBD)
Bài2.Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA
⊥
đáy
a. CM: (SAB)
⊥
(SBC)
b. Gọi M là trung điểm AC. CM (SAC)
⊥

(SBM)
Bài3.Cho hình chóp S.ABC có SA
⊥
(ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a. CM: (SAC)
⊥
(ABC)
b. Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. CM (AHK)
⊥
(SBC)
c. Gọi I là giao điểm của HK và mp(ABC). CM AI
⊥
AH
Bài4.Hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau . AC =AD =BC
=BD =a và CD =2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và CD
a. CM: IJ
⊥
AB , IJ
⊥
CD
b. Tính IJ và AB theo a và x
c. Xác định x sao cho (ABC)
⊥
(ABD)
Bài5.Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A qua I. dựng
đoạn SD =
2
6a
vuông góc với (ABC). CM
a. (SAB)

⊥
(SAC)
b. (SBC)
⊥
(SAD)
Bài6.Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam giác đều có
trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).
a. CM: (SBC)
⊥
(SAC)
b. Gọi I là trung điểm của SC. CMR (ABI)
⊥
(SBC)
Bài7.a.Cho hình lập phương ABCD.A
’
B
’
C’D’ cạnh a. CMR đường thẳng AC’
⊥
(A’BD) và
(ACC’A’)
⊥
(A’BD)
b. Tính đường chéo AC’ của hình lập phương
5
( )
( ) ( )
( )
a
a

β
α β
α
⊂

⇒ ⊥

⊥

β
α
a
Bài8. Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. CMR: AC
⊥
B’D’, AB’
⊥
CD’ và AD’
⊥
CB’. Khi nào mp(AA’C’C)
⊥
(BB’D’D)

V.CÁCH XÁC ĐINH GÓC
A. Lý thuyết
1. Góc của hai đường thẳng
2. Góc của hai mặt phẳng
3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
>
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu
của nó trên mặt phẳng

>
Dùng công thức:
OA
Ad
d
),(
),sin(
α
α
=
∧
6
• Chọn điểm O tuỳ ý.
• Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
• Góc (a,b) = góc (a’,b’) =
·
AOB
• Thường chọn điểm O
∈
a hoặc O
b
b'
a'
B
A
O
b
a
α
=

• Chọn điểm O thuộc giao tuyến của
α
và
β
.
• Dựng qua O :
( )OA
OA
α
⊂


⊥ ∆

và
( )OB
OB
β
⊂


⊥ ∆

• Góc
( , )
α β
= Góc
( , )OA OB
=
·

AOB
ϕ
=
Chú ý: *
0 90
o
ϕ
≤ ≤

* Nếu
90
o
ϕ
>
thi chọn góc
·
( ; ) 180
o
α β ϕ
= −

• Chọn điểm A thuộc đường thẳng a.
• Dựng qua
( )AB
α
⊥
tại B.
• Dựng giao điểm O của a và
α
nếu chưa có.

( OB là hình chiếu của a trên mặt phẳng (
α
))
• Khi đó: Góc
( ;( ))a
α
= Góc
( , )OA OB
=
·
AOB
ϕ
=
.
B
O
A
ϕ
a
α

β
α
B
O
A
ϕ
∆
B. Bi tp
Bi1.Cho t din u ABCD. Tớnh cỏc gúc sau:

a. Gúc gia AB v (BCD)
b. Gúc gia Ah v (ACD) vi H l hỡnh chiu ca A lờn (ABC)
Bi2.Cho hỡnh chop S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng cnh a; SA

(ABCD) v SA =
6a
.
Tớnh cỏc gúc gia:
a. SC v (ABCD)
b. SC & (SAD)
c. SB & (SAC)
d. AC & (SBC)
Bi3.Cho hỡnh chop S.ABCD cú ỏy l hỡnh vuụng tõm O, cnh a, SO vuụng gúc vi ỏy. Gi
M, N ln lt l trung im ca SA v CD. Cho bit MN to vi (ABCD) gúc 60
0
.
a. Tớnh MN v SO
b. Tớnh gúc gia MN v (SBD)
VI.KHOANG CACH
A. Lý thuyt
Cỏch1
7
Dựng MH



: d(M,

) = MH

M
H
Dựng: MH

(

), H thuộc (

) ta có: d(M,(

)) = MH

M
H
Ta có: d((

),(

)) = d(

,(

)) = MH
(M thuộc

, MH

(

), H thuộc

)
(

) // (

),

chứa trong (

)
H
M



Chọn điểm M trên

1
, dựng MH



2
( H thuộc

2
) ta có d(

1

,

2
) = MH
//

1

2

2

1
M
H
Khong cỏch t mt im
n mt ng thng


Dựng mặt phẳng (

) chứa b & (

) // a


Dựng MH

(

), M thuộc a, H thuộc (

)

Dựng a' trong mặt phẳng (

), a' // a
đ ờng thẳng a' cắt đ ờng thẳng b tại B

Dựng

qua B và // MH,

cắt a tại A
Khi đó:
d(a,b) = d(a,(

))
= d(M,(

)) = MH =
AB

a và b chéo nhau

B
A
H
M
a'

b
a
Chọn điểm M thuộc

, dựng MH



( H thuộc (

)), ta có d(

,(

)) = MH

// (

)


H
M
Khong cỏch t mt im
n mt mt phng
Khong cỏch gia hai
ng thng chộo nhau
Khong cỏch gia hai
mt phng song song
Khong cỏch gia mt

phng v ng thng //
song song
Khong cỏch gia hai
ng thng song song
Cách 2 nếu a
⊥
b
- dựng ho ặc tìm mp(
α
) ch ứa b v à vu ông g óc v ới a t ại A.
- trong
α
, dựng đoạn AB
⊥
b tại B
- đoạn AB là đoạn vuông góc chung của a và b

B. Bài tập
Bài1.Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA
⊥
(ABC)
và SA = a
a. CM: (SAB)
⊥
(SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
Bài2.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4, SA
⊥
(ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:

a. A đến (SBD)
b. A đến (SBC)
c. O đến (SBC)
Bài3.Cho hình chop S.ABCD có đáy SA
⊥
(ABCD), đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và B. AB = BC =
2
AD
= a, SA = a
a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Bài4.Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vuông góc với nhau.
Tam giác ABC vuông tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC =
a.
a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: Ị là đương vuông góc
chung của AD và BC
Bài5.Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABC) và SA =
h. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung sau:
a. SB & CD
b. SC & BD
c. SC & AB
8
Bài6.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và đáy đều bằng
a.Các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy góc 60
0
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A
lên mặt phẳng (A’B’C’) trung với trung điểm của B’C’.

a. Tính khoảng cách giữa 2 mặt đáy của lăng trụ
b. CMR mặt bên BCC’B’ là một hình vuông
Bài7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. SA = SB = SC =
SD =
2a
. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC.
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
b. Chứng minh (SỊ) vuông góc (SBC)
c. Tính khoảng cách từ O đến (SBC)
d. Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB
e. Tính khoảng cách từ S đến CI
Bài8.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a.
a. Chứng minh (BDD’B’) vuông góc (ACD’)
b. Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng (ACD’) và (BA’C’)
c. Tính khoảng cách giưa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHÓP ĐẶT BIỆT
A. Hình choùp tam giaùc ñeàu

>
Hình chóp tam giác đều:

∗
Đáy là tam giác đều

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:

∗
Đáy là tam giác đều

∗
Các mặt bên là những tam giác đều

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABC
∗
Vẽ trung tuyến AI

∗
Dựng trọng tâm H
∗
Vẽ SH
⊥
(ABC)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·

SAH
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
B.Hình chóp tứ giác đều


>
Hình chóp tứ giác đều:

∗
Đáy là hình vuông

∗
Các mặt bên là những tam giác cân

>
Cách vẽ:

∗
Vẽ đáy ABCD

∗

Dựng giao điểm H của hai đường chéo AC &
BD

∗
Vẽ SH
⊥
(ABCD)

•
Ta có:

∗
SH là chiều cao của hình chóp

9
β
α
I
H
D
A
B
C
S
h
β
α
I
C
A

H
S
B

∗
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
·
SAH
α
=
.

∗
Góc mặt bên và mặt đáy là:
·
SIH
β
=
C. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy
.
*** Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a b c

+ +
,
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
3
2
a
c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
10
β
α
A
C
B
S
ϕ
β
α
D
A
B
C
S
∗
SA
⊥
(ABCD)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:

·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:
·
SCA
β
=
∗
Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là:
·
SDA
ϕ
=
∗
SA
⊥
(ABC)
∗
Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là:
·
SBA
α
=

∗
Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là:

·
SCA
β
=
Một Số Bài Tập Chương 3
Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB
là tam giác đều và SC = a
2
. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và AD.
a. Xác định và tính khoảng cách giữa SB và CD
b. Chứng minh SH
⊥
(ABCD)
c. Chứng minh AC
⊥
SK
d. Chứng minh CK
⊥
SD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh
2
, SA = 2
3
;
SA ⊥ (ABCD). Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. Chứng minh BC ⊥ SB
b. Chứng minh SC⊥ (AHK)
c. Tính góc giữa SC và (ABCD)
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB=a,
AC=2a. SA=2a và vuông góc mp(ABC). M là 1 điểm nằm trên đoạn AB

1. Chứng minh AC
⊥
SM.
2. Tính góc giữa SA và (SBC)
3. Mặt phẳng (P) qua M và (P)
⊥
AB. Tìm thiết diện mặt phẳng (P) cắt hình
chóp, thiết diện là hình gì?
Bài 4: Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = a, BSC = 60
0
, CSA = 90
0
, ASB
= 120
0
. K là trung điểm của AC.
a) Tính AB, BC và CA. Từ đó chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.
b) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC).
c) Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAB) và (ABC); (SAC) và (ABC).
d) Chứng minh SK là đoạn vuông góc chung của AC và SB.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD, có các cặp cạnh đối bằng nhau, AB = CD = a, BC = AD = b,
AC = BD = c . I, K lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Chứng minh 3 vectơ
IK,BC,AD
đồng phẳng
b) Tính khoảng cách giữa AB và CD.
c) Chứng minh rằng
( ) ( )
BC,IKAD,IK =
Bài 6: Cho hình chóp đều S.ABC có các cạnh bằng a

3
, O là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC, I là trung điểm của BC, α là mặt phẳng đi qua A và song song BC, α cắt
SB, SC lần lượt tại M và N.
1. Chứng minh MN ⊥(SAO)
11
2. Tính tan của góc tạo SB và (ABC)
3. Tính AM để SI ⊥ α
12