bài tập về đạo hàm và các định lý cơ bản

www.VIETMATHS.com

63
ĐẠO HÀM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
1.1. Định nghĩa : Cho hàm số
 
y f x
xác định trên khoảng
 
;ab
và
 
0
;x a b
, đạo hàm của hàm số
tại điểm
0
x
là :
 
 
 
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x

fx
xx




.
1.2. Chú ý :
 Nếu kí hiệu
   
0 0 0
;x x x y f x x f x      
thì :

 
   
0
00
0
0
0
' lim lim
x x x
f x x f x
y
fx
x x x
  
  




.
 Nếu hàm số
 
y f x
có đạo hàm tại
0
x
thì nó liên tục tại điểm đó.
2. Ý nghĩa của đạo hàm
2.1. Ý nghĩa hình học: Cho hàm số
 
y f x
có đồ thị
 
C


 
0
'fx
là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị
 
C
của hàm số
 
y f x
tại
 

 
0 0 0
,M x y C
.
 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
 
y f x
tại điểm
 
 
0 0 0
,M x y C
là :

   
0 0 0
'y f x x x y   
.
2.2. Ý nghĩa vật lí :
 Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình :
 
s s t
tại thời điểm
0
t
là
   
00
'v t s t
.

 Cường độ tức thời của điện lượng
 
Q Q t
tại thời điểm
0
t
là :
   
00
'I t Q t
.
3. Qui tắc tính đạo hàm và công thức tính đạo hàm
3.1. Các quy tắc : Cho
   
; ; :u u x v v x C
là hằng số .

 
' ' 'u v u v  


   
. ' '. '. . .u v u v v u C u C u


   


 
22

'. '. .
,0
u u v v u C C u
v
vu
vu



   
    
   
   

 Nếu
   
,.
x u x
y f u u u x y y u
  
   
.
3.2. Các công thức :

   
0 ; 1Cx





   
 
11
. . . , , 2
n n n n
x n x u nu u n n



    


 
 
 
 
1
, 0 , 0
22
u
x x u u
xu


    


   
sin cos sin . cosx x u u u



  


   
cos sin cos .sinx x u u u


    


   
22
1
tan tan
cos cos
u
xu
xu


  


   
22
1
cot cot
sin sin
u

xu
xu


    
.

4. Vi phân
4.1. Định nghĩa :
www.VIETMATHS.com

64
 Cho hàm số
 
y f x
có đạo hàm tại
0
x
vi phân của hàm số
 
y f x
tại điểm
0
x
là :

   
00
.df x f x x



.
 Cho hàm số
 
y f x
có đạo hàm
 
fx

thì tích
 
.f x x


được gọi là vi phân của hàm số
 
y f x
. Kí hiệu :
     
df x f x x f x dx

  
hay
.dy y dx


.
4.2. Công thức tính gần đúng :

     

0 0 0
.f x x f x f x x

   
.
5. Đạo hàm cấp cao
5.1. Đạo hàm cấp 2 :
 Định nghĩa :
   
f x f x

 




 Ý nghĩa cơ học: Gia tốc tức thời của chuyển động
 
s f t
tại thời điểm
0
t
là
   
00
a t f t


.
5.2. Đạo hàm cấp cao :

 
 
 
   
1
, , 2
nn
f x f x n n



  


.
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP :
1. Tìm đạo hàm theo định nghĩa

1.1. Phương pháp : Để tìm đạo hàm theo định nghĩa ta có 2 cách sau :
 Cách 1 : Theo quy tắc
o Bước 1 : Cho
x
một số gia
x
và tìm số gia
y
tìm
   
y f x x f x   
. Lập tỉ số

y
x



o Bước 2 : Tìm giới hạn
0
lim
x
y
x




 Cách 2 : Áp dụng công thức:
 
 
 
0
0
0
0
' lim
xx
f x f x
fx
xx





.
1.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
a)
 
3
21f x x x  
tại
0
2x 
; b)
 
21
2
x
fx
x



tại
0
1x 
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra:
a)
 

3
34f x x
tại
0
3x 
; b)
 
3
khi
khi
22
10 16 2
x x x
fx
xx






tại
0
2x 
.
Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
32
21y x x  
; b)

 
2
32y f x x x   
.

1.3. Bài tập áp dụng :

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa tại các điểm đã chỉ ra :
a)
 
2
31f x x x  
tại
0
3x 
; b)
 
2
2f x x x
tại
0
1x 
;
c)
 
2
33
2
xx
fx

x



tại
0
4x 
; d)
 
2
cosf x x
tại
0
4
x


;
Bài 2. Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm của các hàm số sau đây trên .
a)
 
2
khi
khi
43
1
1
3 5 1
xx
x

fx
x
xx










; b)
 
2
3
khi
khi
20
0
x a x
fx
x bx x





  



;
c)
 
2
32f x x x  
; d)
 
5
f x x
.
www.VIETMATHS.com

65
Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
 
32
3 2 1f x x x x   
; b)
 
3
f x x
;
c)
 
1
1
x

fx
x



; d)
 
1
sin
fx
x

;
Bài 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau theo định nghĩa :
a)
 
32
4f x x x
; b)
 
khi
khi
sin cos 0
2 1 0
x x x
fx
xx







;
c)
 
2
4
3f x x x
; d)
   
3
tan 2 1f x x
.
Bài 5. Có bao nhiêu tiếp tuyến của
 
32
: 3 6 5C y x x x   
có hệ số góc âm ?

.
1.4. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
   
43
1
2 2 5
3

y x x x
; b)
  
32
( 2)(1 )y x x
.
Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)



21
13
x
y
x
; b)



2
33
1
xx
y
x
; c)




2
2
1
1
xx
y
xx
.
Ví dụ 3. Chứng minh các công thức tổng quát sau
a)
 
2
2
11
1 1 1 1
22
2
1 1 1
1 1 1
2
ab
a c b c
xx
ab
a c b c
ax bx c
a x b x c
a x b x c











; (
1 1 1
, , , , ,a b c a b c
là hằng số) .
b)
 
2
11
2
11
2
11
11
. 2 .
bc
a a x ab x
ab
ax bx c
a x b
a x b











; (
11
, , , ,a b c a b
là hằng số) .
Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
  
24
( 1)y x x
; b)



2
3
( 1)
( 1)
x
y
x
; c)



22
1
( 2 5)
y
xx
.
Ví dụ 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
  
2
2 5 2y x x
; b)
  
2
( 2) 3y x x
; c)
 
  
3
1 1 2yx
.
Ví dụ 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2sin3 cos5y x x
; b)
sin cos
sin cos
xx
y

xx



; c)
2
1 tan 3
2
1 tan 3
x
y
x



.

 Chú ý : Khi gặp các hàm số phức tạp nếu có thể ta hãy rút gọn hàm số rồi hãy đi tính đạo hàm , đặc
biệt là đối với các hàm số có chứa các hàm số lượng giác.

Ví dụ 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
2
(sin cos )y x x
; b)
tan coty x x
;
c)
  
35

21
tan2 tan 2 tan 2
35
y x x x
; d)
 
23
tan sin cos 2yx



.
Ví dụ 8. Cho hàm số :
 
32
1
25
3
y f x x x mx    
. Tìm
m
để :
a)
 
0f x x

  
; b)
   
0 , 0;f x x


    
;
c)
   
0 , 0;2f x x

  
; d)
   
0 , ;2f x x

   
.
www.VIETMATHS.com

66
Ví dụ 9. Cho hàm số :
   
32
4 5 1
32
mm
f x x x m x m     
. Tìm
m
để :
a)
 
0,f x x


  
; b)
 
0fx


có hai nghiệm cùng dấu.

Bài 6. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5 4 3 2
1 2 3
45
2 3 2
y x x x x x     
; b)
24
11
0,5
43
y x x x   
;
c)
4 3 2
4 3 2
x x x
yx   
; d)
53

4 2 3y x x x x   
;
e)
2
3
2
2
x b a
y c x b
a
x
    
(
,,abc
là hằng số) .
Bài 7. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
5
(2 3)( 2 )y x x x  
; b)
(2 1)(3 2)y x x x  
; c)
 
1
11yx
x

  



;
d)
21
1
x
y
x



; e)
3
25
y
x


; f)
2
1
1
xx
y
x



;
g)
2

2 4 5
21
xx
y
x



; h)
2
1
1
yx
x
  

; i)
2
53
1
x
y
xx



; k)
2
2
1

1
xx
y
xx



.
Bài 8. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
3 2 2
(2 3 6 1)y x x x   
; b)
25
1
( 1)
y
xx



c)
2 3 2 2
( 1) ( 1)y x x x x    
; d)
2
1
yx
x





;
e)
2
12y x x  
; f)
22
11y x x   
;
g)
y x x x  
; h)
3
3
31y x x  
;
i)
2
3
21
3
x
y
x







; k)
 
5
2
1y x x  
.
Bài 9. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
sin
sin
xx
y
xx

; b)
33
sin cos
sin cos
xx
y
xx



;
c)
xx
xx

y
2cos2sin2
2cos2sin



; d)
4sin cos5 .sin6y x x x
;
e)
sin2 cos2
sin2 cos2
xx
y
xx



; f)
sin cos
cos sin
x x x
y
x x x



;
g)
1

tan
2
x
y


; h)
tan3 cot3y x x
;
i)
2
2
1 tan
1 tan
x
y
x



; k)
2
cot 1yx
;
l)
44
cos siny x x
; m)
3
)cos(sin xxy 

;
n)
xxy 2cos2sin
33

; o)
 
sin cos3yx
;
p)
 
22
sin cos cos3yx



; q)
2
52
3
cot cos
2
x
y
x











.
www.VIETMATHS.com

67
Bài 10. a) Cho hàm số
 
x
x
xf
sin1
cos


. Tính
   













4
';
2
';';0'


ffff
.
b) Cho hàm số
 
x
x
xfy
2
2
sin1
cos


. Chứng minh:
3 ' 3
43
ff

   

   
   

Bài 11. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
a)
   
4 4 6 6
3 sin cos 2 sin cosy x x x x   
;
b)
   
4 2 4 2
cos 2cos 3 sin 2sin 3y x x x x   
;
c)
   
8 8 6 6 4
3 sin cos 4 cos 2sin 6siny x x x x x    
;
d)
44
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
xx
y
x x x


  
;
e)

2 2 2
22
cos cos cos
33
y x x x

   
    
   
   
; f)
 
tan . 1 sin
42
sin
x
x
y
x






;
g)
sin sin2 sin3 sin4
cos cos2 cos3 cos4
x x x x

y
x x x x
  

  
; h)
2 2 2 2cos , 0 ;
2
y x x



    




.
Bài 12. Cho hàm số
xxy sin
chứng minh :
a)
   
2 ' sin 2cos 0xy y x x x y    
;
b)
'
tan
cos
y

xx
x

.
Bài 13. Cho các hàm số :
 
xxxf
44
cossin 
,
 
xxxg
66
cossin 
. Chứng minh :
   
0'2'3  xgxf
.
Bài 14. a) Cho hàm số
2
1 xxy 
. Chứng minh :
yyx  '.12
2
.
b) Cho hàm số
cot2yx
. Chứng minh :
2
' 2 2 0yy  

.
Bài 15. Giải phương trình
'0y 
biết :
a)
sin 2 2cosy x x
; b)
2
cos siny x x
;
c)
3sin2 4cos2 10y x x x  
; d)
 
1 sin2 2cos 2y m x x mx   
.
Bài 16. Cho hàm số
 
32
1
2 1 4
3
y x m x mx    
. Tìm
m
để :
a)
'0y 
có hai nghiệm phân biệt ;
b)

'y
có thể viết được thành bình phương của nhị thức ;
c)
' 0 ,yx  
;
d)
 
' 0 , 1; 2yx  
;
e)
' 0 , 0yx  
.
Bài 17. Cho hàm số
 
32
1
13
3
y mx m x mx     
. Xác định
m
để :
a)
' 0 ,yx  
.
b)
'0y 
có hai nghiệm phân biệt cùng âm ;
c)
'0y 

có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện :
22
12
3xx
.
Bài 18. Cho hàm số
2
62
2
mx x
y
x



. Xác định
m
để hàm số có
' 0,y 

x
 
1;
.
Bài 19. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số:
32
3y x x mx m   

có
'0y 
trên một đoạn có độ dài bằng 1 .
www.VIETMATHS.com

68
Bài 20. Cho hàm số
 
 
 
4 2 2
9 10 1 laø tham soáy mx m x m   
. Xác định
m
để hàm số có
'0y 
có 3
nghiệm phân biệt .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

2.1. Phương pháp :
 Khi biết tiếp điểm : Tiếp tuyến của đồ thị
   
:C y f x
tại
 
00
;M x y
, có phương trình là :

   
0 0 0
'.y f x x x y  
( 1 ) .
 Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị
   
:C y f x
có hệ số góc là
k
thì ta gọi
 
0 0 0
;M x y
là tiếp điểm
 
0
'f x k
(1)
 Giải phương trình (1) tìm
0
x
suy ra
 
00
y f x

 Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng :
 
00
y k x x y  

 Chú ý :
 Hệ số góc của tiếp tuyến tại
 
 
00
,M x y C
là
 
0
tank f x



Trong đó

là góc giữa
chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến .
 Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau .
 Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng
1
.
 Biết tiếp tuyến đi qua điểm
 
11
;A x y
:
 Viết phương trình tiếp tuyến của
 
y f x

tại
 
0 0 0
;M x y
:
     
0 0 0
' . 1y f x x x y  

 Vì tiếp tuyến đi qua
         
1 1 1 0 1 0 0
; ' . *A x y y f x x x f x   

 Giải phương trình(*) tìm
0
x
thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến .

2.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Cho đường cong
   
32
:3C y f x x x  
. Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
trong các trường hợp
sau :

a) Tại điểm
 
0
1; 2M 
;
b) Tại điểm thuộc
 
C
và có hoành độ
0
1x 
;
c) Tại giao điểm của
 
C
với trục hoành .
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
 
1; 4A 
.
Ví dụ 2. Cho đường cong
 
31
:
1
x
Cy
x





a) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
 
: 4 21 0d x y  
;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
 
:2 2 9 0xy   
;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng :

2 5 0xy  
một góc
0
30
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
 
32
3 9 5y x x x C   

. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị
 
C
, hãy tìm tiếp
tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.
Ví dụ 4. Cho hàm số
 
2
1
23
x
y
x



. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
(Khối A – 2009) .
Ví dụ 5. Cho hàm số
 
32
32y x x C   
. Tìm các điểm thuộc đồ thị
 
C
mà qua đó kẻ được một và chỉ
một tiếp tuyến với đồ thị
 
C

.
(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, 1999)
www.VIETMATHS.com

69
Ví dụ 6. Cho
 
C
là đồ thị của hàm số
2
6y x x
. Chứng minh tiếp tuyến tại một điểm bất kì của
 
C
cắt
trục tung tại một điểm cách đều gốc tọa độ và tiếp điểm .

2.3. Bài tập áp dụng:

Bài 21. Cho hàm số
 
2
: 2 3C y x x  
. Viết phương trình tiếp với
 
C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
2x 

;
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng :
4 9 0xy  
;
c) Vuông góc với đường thẳng :
2 4 2011 0xy  
;
d) Biết tiếp tuyến đi qua điểm
 
1; 0A
.
Bài 22. Cho hàm số :
 
31
1
x
yC
x



.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
tại điểm
 
1; 1M 
;
b) Vết phương trình tiếp tuyến của

 
C
tại giao điểm của
 
C
với trục hoành;
c) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
tại giao điểm của
 
C
với trục tung ;
d) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
bết tiếp tuyến song song với đường thẳng
 
:4 1 0d x y  
;
e) Viết phương trình tiếp tuyến của
 
C
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
 
:4 8 0xy   
.
Bài 23. Cho hàm số :
 
32

3y x x C

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
 
C
tại điểm
 
1; 2I 
.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến khác của đồ thị
 
C
không đi qua
I
.
Bài 24. Cho hàm số
 
2
1y x x C  
.Tìm phương trình tiếp tuyến với
 
C
:
a) Tại điểm có hoành độ
0
1
2
x 
;
b) Song song với đường thẳng :

 
: 2 0d x y
.
Bài 25. Cho hàm số
   
32
3 1 1 1y x mx m x    
,
m
là tham số thực .
Tìm các giá trị của
m
để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ
1x 
đi qua điểm
 
1;2A
.
(Dự bị A
1
- 2008)
Bài 26. Cho hàm số
 
31
1
1
x
y
x




. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của đồ
thị của hàm số (1) tại điểm
 
2 ; 5M 
.
(Dự bị D
1
- 2008)
Bài 27. Cho hàm số
 
3
34y x C
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
 
C
biết tiếp tuyến tạo với
đường thẳng
 
: 3 6 0d y x  
góc
0
30
.
Bài 28. Cho hàm số
 
32
3 9 5y x x x C    
. Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị

 
C
, hãy tìm tiếp
tuyến có hệ số góc lớn nhất.
Bài 29. Cho hàm số
 
21
1
x
yC
x



. Gọi
 
1; 2I
. Tìm điểm
 
MC
sao cho tiếp tuyến của
 
C
tại
M
vuông góc với đường thẳng
IM
.
(Dự bị B
2

- 2003)
Bài 30. (*) Cho hàm số
 
2
1


x
yC
x
. Tìm điểm
 
MC
, biết tiếp tuyến của
 
C
tại
M
cắt hai trục tọa độ tại
,AB
và tam giác
OAB
có diện tích bằng
1
2
.
(Khối D - 2007)
www.VIETMATHS.com

70

Bài 31. (*) Cho hàm số :
 
1
x
yC
x


. Viết phương trình tiếp tuyến
 

của
 
C
sao cho
 

và hai đường
   
12
: 1 ; : 1d x d y
cắt nhau tạo thành một tam giác cân.
(Dự bị D
2
- 2007)
Bài 32. Cho hàm số
 
1
1
y x C

x


. Chứng minh rằng qua điểm
 
1; 1A 
kẻ được hai tiếp tuyến với
 
C
và
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Bài 33. (*) Cho hàm số
 
32
1
23
3
y x x x C  
. Qua điểm
44
;
93
A



có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ
thị
 
C

. Viết phương trình các tiếp tuyến ấy .
Bài 34. (*) Cho hàm số
2
22
()
1
xx
yC
x



. Gọi
 
1; 0I 
.Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của
 
C
đi qua điểm
I
.
(Dự bị B
2
- 2005).
Bài 35. (*) Cho hàm số
 
42
21y x x C   
. Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ
được ba tiếp tuyến với đồ thị

 
C
.

3. Tìm vi phân của hàm số và tính gần đúng nhờ vi phân

3.1. Phương pháp :
Dựa theo định nghĩa và công thức sau :
 Cho hàm số
 
y f x
có đạo hàm
 
fx

thì tích
 
.f x x


được gọi là vi phân của hàm số
 
y f x
.
Kí hiệu :
     
df x f x x f x dx

  
hay

.dy y dx




     
0 0 0
.f x x f x f x x

   


3.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
2
35
1
xx
y
x



; b)
  
23
1 2 3y x x x  
.

Ví dụ 2. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)
sin
sin
xx
y
xx

; b)
32
1
tan cot 3
2
y x x
.
Ví dụ 3. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
a)
8,99
; b)
0
cos46
; c)
0
tan59 45'
.

3.3. Bài tập áp dụng:

Bài 36. Tìm vi phân của các hàm số sau :
a)

2
23
55
x
y
xx



; b)
2 32
()y x x
;
c)
2
1x
y
x


; d)
2
1 cos 2
1 cos 2
x
y
x







;
e)
3
cot (2 )
4
yx


; f)
sin(cos ) cos(sin )y x x
.
Bài 37. Cho hàm số
33
sin cos
1 sin .cos
xx
y
xx



.
Chứng minh đẳng thức :
. cos2 . 0y dy xdx
.
www.VIETMATHS.com

71
Bài 38. Tính gần đúng các giá trị sau (lấy 4 chữ số thập phân trong kết quả) :
a)
4,02
; b)
0
tan44 30'
; c)
3
7,97
.

4. Đạo hàm cấp cao

4.1. Phương pháp :
 Dựa theo các định nghĩa sau :
 Đạo hàm cấp 2 :
   
f x f x

 




 Đạo hàm cấp cao :
 
 
 
   

1
, , 2
nn
f x f x n n



  


.
 Chú ý :
Để tìm công thức tính đạo hàm cấp
n
của một hàm số ta tìm đạo hàm cấp 1 , 2 , 3 … sau đó dự đoán
công thức tính đạo hàm cấp
n
và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp .

4.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a)
    
4 3 2
12
5 4 7
43
y x x x x
. Tìm

 
,yy
;
b)



3
4
x
y
x
. Tìm
 
 
4
,,y y y
; c)

3
3y x x
. Tìm

y
.
Ví dụ 2. Chứng minh các hệ thức sau với các hàm số được chỉ ra:
a)
32
khi1 0 2y y y x x


   
;
b)
 
 
2 2 2
khi2 1 0 .tanx y x y y y x x

    
.
Ví dụ 3. Chứng minh bằng quy nạp các công thức sau đúng
*
n
:
a)
 
 





sin sin
2
n
n
n
ax a ax
; b)
 

 





cos cos
2
n
n
ax ax
;
c)
 
 
 








1
1!
1
n
n
n

n
an
ax b
ax b
.
Ví dụ 4. Tìm các đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
41
21
x
y
x



; b)
2
35
1
xx
y
x



.
Ví dụ 5. Tìm các đạo hàm cấp
n

của các hàm số sau :
a)
44
sin cosy x x
; b)
8sin .cos3 .cos4y x x x
.
 Chú ý : Khi tìm đạo hàm cấp
n
của một hàm số , nếu được ta hãy biến đổi hàm số đã cho thành
tổng của các hàm số có một trong các dạng :

1
; sin ; cosax ax
ax b
rồi áp dụng các công thức ở
ví dụ trên , dự đoán ra công thức đạo hàm cấp
n
của hàm số đã cho và chứng minh lại bằng quy
nạp (nếu cần) .

4.3. Bài tập áp dụng:

Bài 39. Tìm đạo hàm các cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a)
.cos3y xx
tìm
y

; b)

2
sin 2y x
tìm
y

;
c)
 
5
21y x 
tìm
 
5
y
; d)
2
31
2
y
xx
x



tìm
 
4
y
.
Bài 40. Chứng minh các đẳng thức sau :

a)
 
2 ' sin " 0xy y x xy   
nếu
xxy sin
;
b)
 
0"1218  yy
nếu
xy 3cos
2

;
www.VIETMATHS.com

72
c)
0" yy
nếu
xx
xx
y
cossin1
cossin
33



;

d)
 
4
2 4 40y xy y
 
  
nếu
 
2
2
1yx
;
e)
 
"1'2
2
yyy 
nếu
4
3



x
x
y
;
f)
 
0'.4".14

2
 yyxyx
nếu
2
1 xxy 
;
g)
 
22
1 " ' 0x y xy k y   
nếu


k
xxy 1
2

,
 
k 
.
Bài 41. Tìm đạo hàm cấp
n
của các hàm số sau :
a)
21
2
x
y
x




; b)
2
3
2
y
xx


; c)
2
2
21
x
y
xx



;

d)
2
2
4 5 3
2 3 1
xx
y

xx



; d)
8sin .sin2 .sin3y x x x
; e)
66
sin cosy x x
;
f) Cho
cos3yx
. Chứng minh
 
 
2
2
13
n
n
n
yy
.


5. Dùng định nghĩa đạo hàm tìm giới hạn

5.1. Phương pháp :
Ta có thể sử dụng định nghĩa của đạo hàm :
 

   
0
0
0
0
' lim
xx
f x f
fx
xx





để tính các giới hạn có dạng vô định . Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng :
   
0
0
0
lim
xx
f x f
xx



,
sau đó tính đạo hàm của hàm
 

fx
tại điểm
0
x
rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy ra kết quả của giới
hạn .

5.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tìm các giới hạn sau :
a)
x
x
x
141
lim
3
0


; b)
1
75
lim
2
3
23
1




x
xx
x
.
Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau :
a)

   

2
1
lim
1
n
x
x x x n
x
; b)
2
1
)1(
1
lim



x
nnxx
n

x
.
Ví dụ 3. Tìm các giới hạn sau :
a)








xx
x
4
tan.2tanlim
4


; b)
x
x
x
sin21
4
sin
lim
4












.
5.3. Bài tập áp dụng:

Bài 42. Tìm các giới hạn sau :
a)
2
1
83
lim
23
x
x
xx



; b)
3
1
32
lim

1
x
xx
x



;
c)

  
  
0
1 2 1 sin
lim
3 4 2
x
xx
xx
; d)
3
3
2
2
3 4 24 2 8 2 3
lim
4
x
x x x
x


    

;
e)
1
1
lim
4
3
1



x
x
x
; f)
0
1 2 1
lim
1 3 1
n
m
x
x
x




;
www.VIETMATHS.com

73
Bài 43. Tìm các giới hạn sau :
a)


lim( )tan , ( 0)
2
xa
x
a x a
a
; b)
x
xx
x
sin
112
lim
3
2
0


;
c)
0
cos5 cos3

lim
.sin2
x
xx
xx


; d)
)1tan(
23
lim
1



x
xx
x
;
e)
xx
x
x
sin
cos1
lim
3
0



; f)
2
cos3 1 sin3
lim
1 sin3
x
xx
x





g)
3
22
0
2 1 4 1
lim
1 cos
x
xx
x

  

; h)
3
0
sin1tan1

lim
x
xx
x


;
i)

     

2 2 2
2
1
3 2 4 19 3 46
lim
1
x
x x x x
x
.


6. Tính các tổng có chứa tổ hợp

6.1. Phương pháp :
Trong phần đại số tổ hợp khi áp dụng nhị thức Newton để tính các tổng có chứa các công thức tổ hợp đôi
khi ta phải biết áp dụng khéo léo việc lấy đạo hàm các cấp của các vế ta sẽ tính được tổng cần tính .

6.2. Các ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Tính các tổng sau :
a)
1 2 3 2 1
1
2 5 3 5 5
nn
n n n n
S C C C nC

    
;
b)
   
2 2 3 3
2
2.1. 2 3.2. 2 1 . 1 .
n
n n n
n n n
S C C n n C

     
.
c)
2 1 2 2 2 3 2
3
1 . 2 . 3 . .
n
n n n n

S C C C n C    
; d)
 
0 1 2
4
2 5 8 3 2
n
n n n n
S C C C n C     
.

6.3. Bài tập áp dụng:

Bài 44. Rút gọn các tổng sau :
a)
1 2 1
1
2 ( 1)
nn
n n n n
S C C n C nC

    
;
b)
0 1 2 1
2
2 3 ( 1)
nn
n n n n n

S C C C nC n C

     
;
c)
 
0 1 2
3
2 5 8 3 2
n
n n n n
S C C C n C     
.
Bài 45. (*) Rút gọn các tổng sau :

99 100 198 199
0 1 99 100
1 100 100 100 100
1 1 1 1
a) 100 101 199 200
2 2 2 2
S C C C C
       
    
       
       
.
b)
2 18 3 17 20
2 20 20 20

2.1. 2 3.2. 2 380.S C C C   
.
c)
2 1 2 2 2 3 2 2009
3 2009 2009 2009 2009
1 . 2 . 3 . 2009 .S C C C C    
.
d)
0 1 2 2010
4 2010
3 5 7 4023
n n n
S C C C C    
.
Bài 46. Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức
  
 
33
35, 3
12
nn
AC
n
nn



. Tính tổng :

 

2 2 2 3 2
2 . 3 . 1 .
n
n
n n n
S C C n C    
. (Dự bị B
1
– 2008) .
Bài 47. Chứng minh rằng với n là số nguyên dương , ta luôn có :

   
1 1 2 2 1 1
.2 . 1 .2 . 2 .2 . 2. 2 .3
n n n n n n
n n n n
n C n C n C C n
   
      

(Dự bị D
1
– 2008) .
Bài 48. Tìm số nguyên dương n sao cho :

 

    
      
1 2 2 3 3 4 2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2.2 3.2 4.2 2 1 .2 2011
nn
n n n n n
C C C C n C

(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử ) .

www.VIETMATHS.com

74

