Giải tích nhiều biến số pps

Giải tích nhiều biến số
Bài 7
PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo


Chương II. TÍCH PHÂN BỘI
§ 1. Tính thể tích bằng tích phân lặp

 Tính diện tích bằng tích phân lặp
 Tính thể tích bằng tích phân lặp (mục 20.1)

 Trong giải tích một biến số chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định
( )
b
a
f x dx
∫
.
 Liệu có thể mở rộng khái niệm trên cho hàm hai biến số trên miền phẳng nào
đó của mặt phẳng?

1. Tính diện tích bằng tích phân lặp
a)
R: y
1
(x) ≤ y ≤ y
2
(x), a ≤ x ≤ b
Các hàm y
1
(x), y

2
(x) liên tục trên [a ; b]
• Đã biết công thức tính diện tích trên
miền phẳng R:

( ) ( )
2 1
b
a
S y x y x dx
 
= −
 
∫

•
Có thể viết công thức nói trên dưới
dạng khác (được gọi là tích phân lặp)
2
1
( )
( )
y x
b
a y x
S dy dx
 
 
=
 

 
∫ ∫

Hay
2
1
( )
( )
y x
b
a y x
S dy dx
=
∫ ∫
Hình 20.2 (trái)
ở đó thứ tự lấy tích phân được xác định bởi thứ tự các vi phân
Ví dụ 1.
Sử dụng tích phân lặp tính diện tích của Ellip:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ ≤
, a > 0, b > 0.
 E:
2 2
2 2
1 1 ,
x x

b y b a x a
a a
− − ≤ ≤ − − ≤ ≤
.

2
2
2
2
1
1
x
b
a
a
a
x
b
a
S dy dx
−
−
− −
=
∫ ∫
=
2
2
2 1
a

a
x
b dx
a
−
−
∫
=
2
2
0
4 1
a
x
b dx
a
−
∫

 Đặt
x
=
a
sin
t
, 0
≤

t

≤

2
π
, có
2
2
0
4 1= −
∫
/
sin . cos
S b t a t dt
π

=
( )
/ /
cos cos
ba t dt ab t dt
π π
= +
∫ ∫
2 2
2
0 0
4 2 1 2
=
sin
t

ab t
π
 
+
 
 
2
0
2
2
2
=
ab
π
 
+
 
 
2 0
2
=
π
ab
.
b)
T
ươ
ng t
ự
ta c

ũ
ng dùng tích phân l
ặ
p
để
tính di
ệ
n tích mi
ề
n
R
sau
•

R
:
x
1
(
y
)
≤

x

≤

x
2
(

y
),
c

≤

y

≤

d
,
các hàm
x
1
(
y
),
x
2
(
y
) liên t
ụ
c trên [
c
;
d
]
•

[ ]
( ) ( )
d
c
S x y x y dy
= −
∫
2 1

•

( ) ( )
( ) ( )
x y x y
d d
c x y c x y
S dx dy dx dy
 
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 1

ở

đ

ó th
ứ
t
ự
l
ấ
y tích phân
đượ
c xác
đị
nh b
ở
i th
ứ
t
ự

các vi phân.
Hình 20.2 (ph
ả
i)
2. Tính thể tích bằng tích phân lặp

Ta
đ
ã bi
ế
t công th
ứ
c tính th

ể
tích v
ậ
t th
ể
trong không gian ba chi
ề
u:
( )
b
a
V S x dx
=
∫

ở

đ
ó
S
(
x
) là di
ệ
n tích ti
ế
t di
ệ
n th
ẳ

ng t
ạ
o b
ở
i v
ậ
t th
ể
và m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc
v
ớ
i tr
ụ
c
Ox
t
ạ
i
x
.

Khi v
ậ
t th
ể
trong không gian ba chi

ề
u là v
ậ
t th
ể
hình tr
ụ
: nó gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i m
ặ
t
ph
ẳ
ng
z
= 0, m
ặ
t tr
ụ
có
đườ
ng sinh song song v
ớ
i tr
ụ

c
Oz
, m
ặ
t cong

z = f
(
x, y
) sao cho m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng song song v
ớ
i tr
ụ
c
Oz

đề
u c
ắ
t nó t
ạ
i
không quá m
ộ

t
đ
i
ể
m (t
ứ
c
z = f
(
x, y
) xác
đị
nh m
ộ
t hàm s
ố
)
Hình 20.1

Ti
ế
t di
ệ
n: 0
≤

z

≤

f
(
x, y
),
y
1
(
x
)
≤

y

≤

y
2
(
x
),
a

≤

x

≤ b
.

Theo m

ụ
c 1 ta có
( )
(
)
( ) ( , )
y x
y x
S x f x y dy
=
∫
2
1


Do
đ
ó
( )
( )
( )
( )
( , ) ( , )
y x y x
b b
a y x a y x
V f x y dy dx f x y dy dx
 
 
= =

 
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 1


Ví dụ 2.
Sử dụng tích phân lặp để tính thể tích tứ
diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ và mặt
phẳng
x + y + z
= 1.
 0
≤

z

≤
1 –
x – y
,
R
: 0
≤

y

≤
1 –

x
, 0
≤

x

≤
1.

( )
x
V x y dy dx
−
= − −
∫ ∫
1 1
0 0
1

( )
x
x
y
x y dy dx y xy dx
−
−
 
 
= − − = − −
 

 
 
 
 
∫ ∫ ∫
1
1 1 1
2
0 0 0
0
1
2

( ) ( )
x x x x dx
 
= − − − − −
 
 
∫
1
2
0
1
1 1 1
2

Hình 20.3

( ) ( ) ( )

x dx x d x
= − = − − −
∫ ∫
1 1
2 2
0 0
1 1
1 1 1
2 2

( )
[ ]
.
x−
= − = − −
1
3
0
1
1 1
0 1
2 3 6
=
1
6
.
 Tương tự khi tiết diện có dạng
0
≤

z

≤

f
(
x, y
),
x
1
(
y
)
≤

x

≤

x
2
(
y
),
c

≤

y ≤

d

Ta có công thức tính thể tích vật thể đã cho như sau
( )
( )
( )
( )
( )
( )
, ,
x y x y
d d
c x y c x y
V f x y dx dy f x y dx dy
 
 
= =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
2 2
1 1


Ví dụ 3.
Ta sẽ giải ví dụ 2 theo công thức mới nhận được, khi đó
 Tiết diện: 0
≤

z

≤
1 –
x – y
, 0
≤

x

≤
1 –
y
, 0
≤

y

≤
1.

( ) ( )
y y
V x y dx dy x y dx dy
− −
 
= − − = − −
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

1 1
1 1
0 0 0 0
1 1

( ) ( )
y
x
x xy dy y y y y dy
−
 
 
= − − = − − − − −
 
 
 
 
∫ ∫
1
1 1
2
2
0 0
0
1
1 1 1
2 2


( ) ( ) ( )

y y dy y dy
 
= − − − = −
 
 
∫ ∫
1 1
2 2 2
0 0
1 1
1 1 1
2 2


( ) ( )
y d y
= − −
∫
1
2
0
1
1 1
2
( ) ( )
y
= − = + =
1
3
0

1 1 1
1 0 1
6 6 6
.

Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể sau: 0 ≤
z
≤
xy
2
, 0 ≤
x
≤ 1, −2 ≤
y
≤ 3.
•
V xy dy dx xy dy dx
− −
 
= =
 
 
 
∫∫ ∫ ∫
1 3 1 3
2 2
0 2 0 2

•
3

1
3
2
0
3
y
x dx
−
 
 
=
 
 
∫

( )
( )
x dx
= − −
∫
1
0
1
27 8
3

•
x dx
=
∫

1
0
35
3
.
x
= =
1
2
0
35 35
3 2 6
.
Ví dụ 5.
Tính tích phân lặp sau:
x
x
y dy dx
∫ ∫
2
1
0
2

x
x
I y dy dx
 
 
=

 
 
∫ ∫
2
1
0
2
x
x
y dx
=
∫
2
1
2
0
( )
x x dx
= −
∫
1
2 4
0


x x
 
= −
 
 

1
3 5
0
3 5
= − =
1 1 2
3 5 15


Nhận xét.
Ta có thể tính bằng cách khác như sau
•
y
y
I y dx dy
=
∫ ∫
1
0
2
y
y
y dx dy
 
 
=
 
 
∫ ∫
1

0
2

•

( )
y
y
xy dy
=
∫
1
0
2
y y dy
 
= −
 
 
∫
1
3
2
2
0
2 2

•

/

y y
 
= −
 
 
1
5 2 3
0
2 1
2
5 3

•

 
= − =
 
 
2 1 2
2
5 3 15


Ví dụ 6.
Xác định miền lấy tích phân của tích
phân lặp và đổi thứ tự lấy tích phân (cho hàm
f
(
x,
y

) có đủ các điều kiện cần thiết)
( )
,
x
I f x y dy dx
−
=
∫ ∫
2
2 4
1

•
Miền lấy tích phân:
R
:
x
2

≤

y

≤
4,
−
1
≤

x

≤
2
•
Ta có
R
=
R
1

∪

R
2
, ở đó
R
1
:
y x y
− ≤ ≤ , 0 ≤ y ≤ 1
R
2
:
x y
− ≤ ≤1 , 1 ≤ y ≤ 4
Hình 20.5

Hình 20.4

•

( ) ( )
, ,
y y
y
I f x y dx dy f x y dx dy
−
−
= +
∫ ∫ ∫ ∫
1 4
0 1 1


Chú ý
 Cần nắm vững miền lấy tích phân để chọn thứ tự thích hợp cho việc tính
tích phân lặp
 Để tính tích phân lặp, ngoài việc chọn thứ tự để tính, còn cần thiết nắm
vững cách tính tích phân xác định
 Khi tính thể tích cần chú ý cách sử dụng các công thức: Tích phân xác
định và tích phân kép.


§ 2. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP

 Tích phân bội hai (mục 20.2)
 Cách tính

1. Định nghĩa
 Cho hàm f(x, y) liên tục trên miền R bị chặn (giới nội), đóng trong mặt
phẳng xOy

 Xét lưới các đường thẳng song song với các trục toạ độ, những đường
thẳng này chia mặt phẳng thành các hình chữ nhật nhỏ, các hình chữ nhật
nằm trọn trong R có diện tích là ∆A
k
, k =
,
n
1

 Chọn điểm bất kì (x
k
, y
k
) trong hình chữ nhật thứ k và lập tổng
( )
,
n
k k k
k
f x y A
=
∆
∑
1

 Gọi
,
max
k n
d

=
=
1
{
đườ
ng chéo c
ủ
a hình ch
ứ
nh
ậ
t th
ứ
k}
N
ế
u t
ổ
ng
( )
,
n
k k k
k
f x y A
=
∆
∑
1
ti

ế
n
đế
n m
ộ
t gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n) duy nh
ấ
t khi n → ∞
sao cho d → 0 không ph
ụ
thu
ộ
c vào cách ch
ọ
n l
ướ
i các
đườ
ng th
ẳ
ng và cách
ch

ọ
n (x
k
; y
k
) thì hàm f(x, y) kh
ả
tích trên R và ta b
ả
o gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó là tích phân b
ộ
i
c
ủ
a hàm f(x, y) trên R và vi
ế
t
( ) ( )
, lim ,
n
k k k
k
R
f x y dA f x y A

=
= ∆
∑
∫∫
1


Ví dụ 1.
Tính
R
dA
∫∫
,
ở

đ
ó
R
: 0 ≤
x
≤ 1, 0 ≤
y
≤ 2.

Xét l
ướ
i các
đườ
ng th
ẳ

ng song song v
ớ
i các tr
ụ
c to
ạ

độ
chia mi
ề
n
R
thành
các hình ch
ữ
nh
ậ
t có di
ệ
n tích là ∆
A
k
, k =
,
n
1


L
ấ

y
đ
i
ể
m tu
ỳ
ý (
x
k
;
y
k
) ∈ ∆
A
k
, có
f
(
x, y
) = 1.

L
ậ
p t
ổ
ng
( )
,
n n
k k k k

k k
f x y A A
= =
∆ = ∆ =
∑ ∑
1 1
2


Ta có
( )
lim ,
n
k k k
k
f x y A
=
∆ =
∑
1
2
, không ph
ụ
thu
ộ
c vào phép chia mi
ề
n
R
và

cách ch
ọ
n
đ
i
ể
m (
x
k
;
y
k
), do
đ
ó ta có
2
R
dA
=
∫∫



Chú ý

N
ế
u
f
(

x, y
) liên t
ụ
c trên
R
gi
ớ
i n
ộ
i thì t
ồ
n t
ạ
i
( )
,
R
f x y dA
∫∫


Do
∆A
=
∆x
.
∆y
nên th
ườ
ng s

ử
d
ụ
ng cách vi
ế
t
( )
,
R
f x y dx dy
∫∫

 Nếu f(x, y) > 0 trên R thì thể tích (hình học) vật thể hình trụ với đáy dưới là
R, còn đáy trên là z = f(x, y) là
( )
,
R
V f x y dx dy
=
∫∫

 Khi f(x, y) = 1 thì diện tích của miền phẳng R là
R
S dx dy
=
∫∫

 Nếu f(x, y) có dấu thay đổi trên R thì công thức thể tích đại số của vật thể
hình trụ này là
( )

,
R
f x y dx dy
∫∫


2. Tính chất:
Có các tính chất tương tự như tích phân xác định
a)
Tuyến tính:

( ) ( )
, ,
R
f x y g x y dx dy
α β
 
+
 
∫∫
( ) ( )
, ,
R R
f x y dx dy f x y dx dy
α β
= +
∫∫ ∫∫


b)

Cộng tính:
Nếu R = R
1
∪ R
2
, R
1
và R
2
không có điểm trong chung thì có
( )
,
R
f x y dx dy
∫∫
( )
,
R
f x y dx dy
=
∫∫
1
( )
,
R
f x y dx dy
+
∫∫
2

c)
Bảo toàn thứ tự:
N
ế
u f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x ; y) ∈ R thì có
( ) ( )
, ,
R R
f x y dx dy g x y dx dy
≤
∫∫ ∫∫

Nói riêng: N
ế
u m và M t
ươ
ng
ứ
ng là giá tr
ị
bé nh
ấ
t và l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a hàm

f(x, y) trong mi
ề
n R thì có
mS ≤
( )
,
R
f x y dx dy M S
≤
∫∫
,
ở

đ
ó S là di
ệ
n tích mi
ề
n R

d)
Định lý giá trị trung bình.
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trên mi
ề
n R liên thông
thì có ít nh
ấ
t m

ộ
t
đ
i
ể
m (x
0
; y
0
) ∈ R sao cho có:
( ) ( )
, ,
R
f x y dx dy f x y S
=
∫∫
0 0

ở

đ
ó S là di
ệ
n tích mi
ề
n R

3. Cách tính
a)
N

ế
u R là mi
ề
n th
ẳ
ng
đứ
ng
đơ
n gi
ả
n:
y
1
(x) ≤ y ≤ y
2
(x), a ≤ x ≤ b

Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trên R, các hàm y
1
(x), y
2
(x)
liên t
ụ
c trên [a ; b]. Khi
đ
ó ta có

( ) ( )
( )
(
)
, ,
y x
b
R a y x
f x y dx dy f x y dy dx
=
∫∫ ∫ ∫
2
1



Ví dụ 2.

Tính
R
xy dx dy
∫∫
2
,
ở

đ
ó R gi
ớ
i h

ạ
n b
ở
i parabol x = y
2
và
đườ
ng th
ẳ
ng y = x.

Tìm giao
đ
i
ể
m:
x y
x y

=

=

2
y y
x y

=
⇔


=

2


0 c
1
hoÆ
= =

⇔

=

y y
x y
0
0
x
y
=

⇔

=

ho
ặ
c
1

1
x
y
=


=



2
R
xy dA
∫∫
1
0
2
x
x
xy dy dx
=
∫ ∫



1
2
0
x
x

xy dx
=
∫
( )
1
2
0
x x x dx
= −
∫
( )
1
2 3
0
x x dx
= −
∫



1
3 4
0
3 4
x x
 
= −
 
 
1 1

3 4
= −
1
12
=

Ví dụ 3.

Tính
( )
1 2
R
x dA
+
∫∫
,
ở

đ
ó R gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i parabol x = y
2
và
đườ
ng th

ẳ
ng x
−
y = 2

Tìm giao
đ
i
ể
m:
2
2
x y
x y

=

− =

2
2
2 0
x y
y y

=

⇔

− − =






2
hoÆ
2
c1
x y
y y

=
⇔

= − =

1 1
4 2
,
,
x y
x y
= = −

⇔

= =


Hình 20.8

Hình 20.10



( )
1 2
R
x dA
+
∫∫

( )
1
0
1 2
x
x
x dy dx
−
= +
∫ ∫
( )
4
1 2
1 2
x
x

x dy dx
−
+ +
∫ ∫



( )
1
0
2
x
x
y xy dx
−
= +
∫
( )
4
2
1
2
x
x
y xy dx
−
+ +
∫

( )

1
3 2
0
2 4
/
x x dx
= +
∫
( )
4
3 2
1
2 2 2 2
/
x x x x x dx
 
+ − + + − −
 
∫



( )
1
4
3 2 5 2 3 2 2
0
1
2 2
2 4 2 2 3 2

3 5
/ / /
. .
x x x x x x dx
 
= + + + − + +
 
 
∫

4
5 2 3 2 3 2
1
4 8 2 2 2 3
2 2
3 5 5 3 3 2
/ /
.
x x x x x
 
= + + + − + +
 
 

4 8 4 32 16 128 4 2 2 3
24 8 2
3 5 5 3 3 5 3 3 2
.
   
= + + + − + + − + − + +

   
   

136 108 4 3
30
5 3 5 2
= + − − −

132 3
30 36
5 2
= + − −
132 3
6
5 2
= − −

264 15 60
10
− −
=
189
10
=

b)
N
ế
u R là mi
ề

n n
ằ
m ngang
đơ
n gi
ả
n: x
1
(y) ≤ x ≤ x
2
(y), c ≤ y ≤ d
Hình 20.9
Hàm f(x, y) liên t
ụ
c trên R, các hàm x
1
(y), x
2
(y) liên t
ụ
c trên [c ; d]. Khi
đ
ó ta có
( ) ( )
( )
(
)
2
1
, ,

x y
d
R c x y
f x y dx dy f x y dx dy
=
∫∫ ∫ ∫


Hình 20.11

Ví dụ 4.
Ta tính tích phân trong ví d
ụ
3 theo mi
ề
n n
ằ
m ngang
đơ
n gi
ả
n
y
2
≤ x ≤ y + 2, −1 ≤ y ≤ 2
•
( ) ( )
2
2
2

1
1 2 1 2
y
R
y
x dA x dx dy
+
−
+ = +
∫∫ ∫ ∫

•
( )
2
2
2
2
1
y
y
x x dy
+
−
= +
∫
( )
2
2
2 4
1

2 2
y y y y dy
−
 
= + − + + −
 
∫

( )
2
4
1
6 5
y y dy
−
= + −
∫
2
2 5
1
5 1
6
2 5
y y y
−
 
= + −
 
 

•
5 1
6 3 3 33
2 5
. . .
= + −
15 33
18
2 5
= + −
180 75 66
10
+ −
=
189
10
=

Ví dụ 5.
Ta tính tích phân trong ví d
ụ
2 theo mi
ề
n n
ằ
m
ngang
đơ
n gi
ả

n
•
2
1
0
2 2
y
R
y
xy dA xy dx dy
=
∫∫ ∫ ∫

•
2
1
2
0
y
y
yx dy
=
∫
( )
1
2 4
0
y y y dy
= −
∫

( )
1
3 5
0
y y dy
= −
∫

•
1
4 6
0
4 6
y y
= −
1 1
4 6
= −
1
12
=

Ví dụ 6.
Tính
2
1 2
0 2
4
x
y

e dx dy
∫ ∫

• Không th
ể
tính
2
2
2
4
x
y
e dx
∫

• C
ầ
n thay
đổ
i th
ứ
t
ự

để
tính
đượ
c tích phân
• V
ẽ

mi
ề
n R: 2y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1
• T
ừ
hình ta có bi
ể
u di
ễ
n khác c
ủ
a R:
0 ≤ y ≤
2
x
, 0 ≤ x ≤ 2
Hình 20.11

Hình 20.12

Hình 20.10

•
2 2
1 2 2
2
0 2 0 0
4 4
x
x x

y
e dx dy e dy dx
=
∫ ∫ ∫∫

•

2
2
2
0
0
4
x
x
e y dx
=
∫
2
2
0
4
2
x
x
e dx
=
∫
2
2

0
2
x
e x dx
=
∫

•

( )
2
2
2
0
x
e d x
=
∫
2
2
0
x
e=
4
1
e
= −
.

Nhận xét
N
ế
u
R
không có c
ả
d
ạ
ng
đứ
ng l
ẫ
n n
ằ
m ngang thì tính nh
ư

th
ế
nào? Ví d
ụ
tính tích phân sau
(
)
2 2
R
x y dx dy
+
∫∫

,
ở

đ
ó
R
: 1
≤

x
2
+
y
2

≤
4.




Ghi nhớ
•
Tu
ầ
n này làm bài t
ậ
p các m
ụ
c 20.1 và 20.2.

•
Tu
ầ
n t
ớ
i h
ọ
c lý thuy
ế
t các m
ụ
c 20.4 và 20.9 (
đổ
i bi
ế
n s
ố
trong tích
phân kép).
•
Bu
ổ
i h
ọ
c lý thuy
ế
t 15/3/08 chuy
ể
n sang 12/3/08 (theo k
ế

ho
ạ
ch
đ
ã
thông báo c
ủ
a phòng
đ
ào t
ạ
o
Đ
H & S
Đ
H). Th
ầ
y Nguy
ễ
n H
ữ
u Th
ọ
d
ạ
y
thay, tôi d
ẫ
n
đ

oàn
đ
i thi Olympic toán qu
ố
c gia.