Đề thi HSG Toán 8 Nga Sơn (09-10)

Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề bài:
Câu 1 (4 điểm): Cho biểu thức A=
2 3
2 2
2 1 1 2 16 16 4
:
1 2 1 2 4 1 4 4 1
x x x x x
x x x x x

+

ữ
+ +

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.
b. Rút gọn biểu thức A.
c. Tìm giá trị của x để biểu thức A có giá trị dơng.
Câu 2 (4 điểm): Giải các phơng trình:
a. (x + 2)(x
2
3x + 5) = (x + 2) x
2
b.
2

2
8 2 1 8
3(1 4 ) 6 3 4 8
x x x
x x x
+
=
+
Câu 3 (4 điểm): Bình thờng, bạn An đi học từ nhà đến trờng với vận tốc 5km/h thì
đến lớp sớm hơn giờ vào học 5 phút. Nhng hôm nay, do dậy muộn so với bình thờng
29 phút nên bạn An phải chạy với vận tốc 7,5 km/h và đến lớp vừa kịp giờ vào học.
Tính quãng đờng từ nhà bạn An đến trờng.
Câu 4 (6 điểm): Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lợt trên các cạnh AB,
AD sao cho AE = AF. Gọi H là hình chiếu của A trên DE.
a. Chứng minh AD
2
= DH.DE.
b. Chứng minh hai tam giác AHF và DHC đồng dạng.
c. Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện
tích tam giác AFH.
Câu 5 (2 điểm): Cho M = 2x
2
+ 2y
2
+ 3xy x y 3.
Tính giá trị của M biết xy = 1 và
x y+
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hết
Đề thi gồm 01 trang

hớng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2009 2010
Môn thi: Toán
Câu ý Nội dung Điểm
1(4đ) a
1.5đ
A =
2 3
2 2
2 1 1 2 16 16 4
:
1 2 1 2 4 1 4 4 1
x x x x x
x x x x x

+

ữ
+ +

0.5
=
( ) ( )
2 2
2
2 1 1 2 16 4 (4 1)
:
1 2 1 2 1 2 1 2 (2 1)
x x x x x

x x x x x

+
+
ữ
ữ
+ +

ĐK: x
1
2

1đ
b
1.5đ
Với điều kiện ở câu a ta có:
A =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2
2 1 1 2 16
4 (2 1)(2 1)
:
1 2 1 2 (2 1)
x x x
x x x
x x x

+ +
+
ữ
ữ
+

=
2
16 8 4 (2 1)
:
(1 2 )(1 2 ) 2 1
x x x x
x x x
+ +
+
=
8 2 1
.
1 2 4 (2 1)
x x
x x x


=
2
2 1x

+
0.5
0.5

0.5
c
1đ
A > 0
2
0
2 1x

>
+

2 1 0x + <

1
2
x

<
0.5
0.5
2 a
2đ
(x + 2)(x
2
3x + 5) = (x + 2) x
2


(x + 2)(x
2

3x + 5 x
2
) = 0


(x + 2)(-3x + 5) = 0



2
5
3
x
x
=



=

0.5
0.5
1
b
2đ
2
2
8 2 1 8
3(1 4 ) 6 3 4 8
x x x

x x x
+
=
+
2
8 2 1 8
3(1 2 )(1 2 ) 3(2 1) 4(1 2 )
x x x
x x x x
+
=
+ +
(1)
ĐK: x
1
2

(1)
2
32 8 (1 2 ) 3(1 8 )x x x x = + +
(1 2x)


26x + 3 = 0


x =
3
26

0.5
0.5
0.5
0.5
3
4đ Gọi quãng đờng từ nhà bạn An đến trờng là x (km). ĐK x > 0
Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 5km/h là
5
x
Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 7.5 km/h là
7.5
x
Thời gian đi quãng đờng x với vận tốc 7.5 km/h ít hơn thời gian
đi với vận tốc 5 km/h là 24 phút hay 0.4 giờ. Ta có phơng trình:
5
x
-
7.5
x
= 0.4
0.25
0.5
0.5
0.5
1
Giải ra đợc x = 6.
x = 6 thoả mãn đk x > 0. Vậy quãng đờng cần tìm là 6 km
0.25
4
6đ

a
2đ Xét hai tam giác vuông ADE
Và HAD có chung góc nhọn
ADH nên chúng đồng dạng.
Suy ra
AD
DE
DH
AD
=

DEDHAD .
2
=
1
0.5
0.5
b
2đ Từ hai tam giác ADE và HAD đồng dạng ta có:

HA
AE
HD
AD
=
HA
AF
HD
DC
=

(1) ( Do AD = DC; AF = AE theo bài cho )
Mặt khác HDC = HAD (2) ( cùng phụ với HAD )
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác AHF và DHC đồng dạng (Trờng
hợp c - g - c)
0.5
0.5
0.5
0.5
c
2đ Theo chứng minh câu (b) ta có hai tam giác CDH và AFH đồng
dạng nên ta có:

2






=


AF
CD
S
S
AFH
CDH
99
2

=






=


AF
CD
S
S
AFH
CDH

CD = 3 AF.
Vậy, để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác
AFH thì E, F thuộc AB và AD sao cho AE = AF =
AB
3
1
.
0.5
0.5
0.5
0.5
5
2đ

Biến đổi M = 2x
2
+ 2y
2
+ 3xy x y 3
= 2(x + y)
2
-(x + y) - xy - 3
Ta có (x - y)
2


0

(x + y)
2


4xy
Mà xy = 1 nên (x + y)
2


4


x y+


2.

min
x y+
= 2.
Khi
x y+
= 2 ta có x + y = 2 hoặc -2
+ Thay x + y = 2 và xy = 1 vào biểu thức M ta đợc M = 2
+ Thay x + y = -2 và xy = 1 vào biểu thức M ta đợc M =8
0.5
0.5
0.5
0.5
A
C
B
D
F
H
E
VËy M = 2 hoÆc M = 8