DE THI HSG TOAN 8 2

đề thi học sinh giỏi tuyến trờng môn toán lớp 8
năm học : 2006 2007.
thời gian : 150 phút .
Câu 1: (2 điểm).
Biết a(a+2) + b (b+2) 2ab = 63. Tính a b .
Câu 2: (2 điểm).
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) x
3
+ 5x
2
+3x 9 .
b) (x+ y +z)
3
(x
3
+ y
3
+ z
3
) .
Câu 3: (3 điểm).
Chứng minh biểu thức:
A = 2006(3
2005
+ 3
2004
+ ...+ 3
2
+ 4) + 1003
chia hết cho 3

2006
.
Câu 4: (3 điểm).
Giải và biện luận phơng trình sau, với a là hằng số.

1 a
1 x
+

= 1 a.
Câu 5: (2,5 điểm).
Tính giá trị của biểu thức:

A =
4 2
2
x x 1
x
+ +
biết x
2
4x + 1 = 0.
Câu 6: (6,5 điểm).
Cho tam giác ABC. Trên AB lấy điểm F sao cho AF =
3
1
AB. Trên AC lấy
điểm G sao cho AG =
3
1

AC. Lấy điểm E đối xứng với điểm G qua F. Lấy điểm H
đối xứng với điểm F qua điểm G.
a) Chứng minh FG // BC.
b) Chứng minh tứ giác BEHC là hình bình hành.
c) Các cạnh AB và AC của tam giác ABC có điều kiện gì để tứ giác BEHC là hình
chữ nhật.
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 8.
năm học : 2006 2007.
Câu 1 : 2 điểm.
Ta có : a (a + 2) + b (b + 2) 2ab = 63


a
2
+ 2a + b
2
+ 2b 2ab = 63


(a - b)
2
+ (a - b) + 1 64 = 0


(a b + 9)(a b - 7 ) = 0.


a b + 9 = 0 hoặc a b 7 = 0 .
a b = - 9 hoặc a b = 7.
Câu 2: 3 điểm .

a) 1 điểm
x
3
+ 5x
2
+ 3x 9 = (x
3
- 1)(5x
2
- 5) + (3x - 3)
= (x 1) (x
2
+ x + 1) + 5(x 1) (x + 1) + 3 (x 1)
= (x 1 )(x
2
+ x + 1 +5x +5 +3)
= (x - 1) (x
2
+ 6x + 9)
= (x - 1) (x

+3 )
2
.
b) 2 điểm.
(x + y + z)
3
(x
3
+y

3
+ z
3
)
= (x + y + z)
3
z
3
(x
3
+ y
3
)
= (x + y + z - z)[(x + y + z)
2
+ z(x + y + z) + z
2
] (x
3
+ y
3
)
= (x + y)[(x + y + z)
2
+ z(x + y + z) + z
2
] (x + y)(x
2
xy + y
2

)
= (x + y ) (x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2xy + 2xz + 2yz + 2x + 2y + 2z
2
- x
2
+ xy y
2
)
= (x + y ) (3z
2
+ 3xy + 3yz + 3zx)
= 3 ( x + y) (z
2
+ xy + yz + zx)
= 3 (x + y ) [(z
2
+ zx ) +(xy +yz)]
= 3 (x + y) [z(z + x)]+ y (z+x) ]
= 3 (x + y) (z+x) (z + y) .
Câu 3 : 3 điểm.
A = 2006 (3
2005
+ 3
2004

+ ...+ 3
2
+ 4) + 1003
3A = 2006 (3
2006
+ 3
2005
+ ... + 3
3
+3
2
+ 3) + 3009
3A A = 2006 (3
2006
+ 3
2005
+ ... + 3
3
+3
2
+ 3) + 3009 [2006 ( 3
2005
+
3
2004
+ ... + 3
2
+3 + 1 ) + 1003]
2A = 2006 . 3
2006

+ 3009 3009
A =
2
3.2006
2006

3
2006
(đpcm)
Câu 4 : 3 điểm.
ĐKXĐ : x

1
Quy đồng và khử mẫu ở hai vế ta đợc : 1 + a = (1 - x) (1 - a)


(a - 1)x = 2a (1)
- Nếu a = 1 thì (1) có dạng 0.x = 2 (vô lí ) : phơng trình vô nghiệm
A
B
C
F G
E H
M NS
- Nếu a

1 thì (1) có nghiệm x =
2a
a 1
. Để là nghiệm của PT ban đầu cần thoả

mãn điều kiện
2a
a 1

1

a

-1.
Kết luận: a = 1 hoặc a = -1 PT VN
a

1 và a

- 1 thì PT có 1 nghiệm x =
2a
a 1
.
Câu 5 : 2,5 điểm
Từ x
2
4x +1 = 0

x
2
x +1 = 3x hay x
2
+x +1 = 5x
Ta có : A =
4 2

2
x x 1
x
+ +
=
( )
2
2 2
2
x 1 x
x
+
=

=
( ) ( )
2 2
2
x x 1 x x 1
x
+ + +
=

3x
x
.
5x
x
=
3 .5 =15.

Câu 6 : 6,5 điểm.
a) 3 điểm
Lấy M , N lần lợt là trung điểm của BF, CG. Ta có : AF = FM = MB
AG = GN = NC.
Xét

AMN có FA = FM ; GA = GN

FG // MN và FG =
2
1
.MN
Gọi S là giao điểm của BG và MN
+

BFG có MS // FG và BM = MF

BS = SG

+

GBC có BS = SG ; GN = NC

SN // BC hay MN // BC.
Từ FG // MN và MN // BC

FG// BC.
b) 2,5 điểm.
Theo chứng minh câu a) ta có FG =
2

1
.MN
MN =
FG BC
2
+

FG =
3
1
. BC

EH = 3. FG =BC.
Tứ giác BEHC có BC = EH và BC // EH nên BEHC là hình bình hành.
c) 1 điểm.
Tứ giác BEHC là hình chữ nhật

0

E H 90= =


BF = CG
Do đó : AB = AC .
Biên tập: PHT Lê Văn Nguyện
Upload: GV LXD