Đè thi HSG Toán 9 Nga Sơn (V1 08-09)

Phòng giáo dục và đào tạo nga sơn
Kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2008 2009
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Bài 1 (4 điểm) : Cho biểu thức:







+


+

+










=
6xx
x9

x3
2x
x2
3x
:
9x
x3x
1P
a. Rút gọn biểu thức P.
b. Tìm giá trị của x để P = 1.
Câu2 ( 3 điểm) : Cho hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =


=

a) Giải hệ phơng trình với m =1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3 ( 3 điểm ): Cho x, y thoả mãn: (x +
2009)2009()2009
22
=+++ yyx
.
Hãy tính tổng S = x + y.
Câu 4 (3 điểm):

Cho 3 số a, b, c khác 0 thoả mãn điều kiện:
b
bac
a
acb
c
cba
+
=
+
=
+
.
Hãy tính giá trị của biểu thức: P =






+






+

+
c
a
b
c
a
b
111
.
Câu 5 (5 điểm ): Cho đờng tròn( O, R) và hai đờng kính AB, MN. Các đờng thẳng BM,
BN cắt tiếp tuyến tại A của đờng tròn( O) tơng ứng tại M và N. Gọi P, Q theo thứ tự là
các trung điểm MA và NA.
a. Chứng minh tứ giác MNNM nội tiếp.
b. Chứng minh rằng các đờng cao của

BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính
OA.
c. Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích

BPQ
theo R.
Câu6 : (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
xy1
2
y1
1

x1
1
22
+

+
+
+
với x 1, y 1
Hớng dẫn chấm
Câ
u
ý Định Hớng giải Điể
m
1 a đk 0,5
4đ
2.5
đ

4x
9x
0x
0x2
09x
0x
Ta có:






+
+++






+

=

)x3)(x2(
x9)x2)(2x()x3)(3x(
:
3x)(3x(
)3x(x
1P
0,5
=






+







+ x3)(x2(
4xx4
:
3x
3
=

+






+
2
)x2(
)x3)(x2(
.
3x
3
1
=
2x
3

Vậy P =
2x
3

0,5
b

1.5
đ
Ta thấy P = 1
1
2x
3
=


25x5x32x ===
1
Vậy với x = 25 thì P = 1
0,5
2
a.
1đ
Với m = 1 hệ phơng trình hai ẩn x, y sau:
2
( 1) 2 1
2
m x my m
mx y m
+ + =


=

trở thành

=
=+
1
12
yx
yx
Giải ra ta đợc x = 0 , y =1
0,5
0.5
b
2đ
Hệ luôn có nghiệm duy nhất
Vì từ (2)
2
2y m mx = + +

Thay vào (1) ta đợc:
(m+1)x + m(- m
2
+mx + 2) = 2m -1

(m
2
+ m + 1)x = m
3
1
Mà m
2
+ m + 1 =

2
1 3
( ) 0
2 4
m m+ + >

Hệ có nghiệm duy nhất là:
1
2
x m
y m
=


= +


Ta có P = xy = (m -1)(2- m) = - m
2
+ 2m + m 2
=
2
9 1
( 3 )
4 4
m m + +
=
2
3 1 1
( )

2 4 4
m +

Dấu = xảy ra
3 3
0
2 2
m m = =

Vậy giá trị lớn nhất của P là MaxP =
1 3
4 2
m =

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
3
3đ
Ta có:
(
)2009)(2009()2009()2009
2222
++++++ yyxxyyxx
)2009()2009(2009
22

xyyxx ++=
0,5
)2009)()2009(2009
22
++=<=> yyxx
Vậy
)2009()2009()2009)(2009(
2222
++=++++ yyxxyyxx
20092009
22
+=+ xyyx
(*)
Nếu x = 0 => y = 0 => S = 0
Nếu x 0 => y 0 từ (*) =>
0
2009
2009
2
2
>=
+
+
y
x
y
x
=> xy < 0
Vậy
2

2
2
2
2009
2009
y
x
y
x
=
+
+
=> 2009x
2
= 2009y
2
=> x
2
= y
2

=> (x-y)(x+y) = 0
mà xy < 0 => x - y 0
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
5
5đ

a
Ta có: MNN = MBA (góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
mà MBA = BMN MNN = BMN
MMN + MNN = MMN + BMN = 180
0
Tứ giác MNNM nội tiếp đờng tròn
1
B
2đ
Đặt : AM =a
1
; BM = a ; AN = a
1
; BN = b
Ta có: PQ =
2
11
ba
+
.

MBN vuông tại B, BA

MN

BA
2
= AM.AN hay a
1
b

1
= 4R
2
.
Gọi H là trực tâm

BPQ thì H

AB
Xét hai tam giác:

PAH và

BAQ có HAP=BAQ = 1v
HPA=QBA( Cùng phụ với AQB)


PAH


BAQ

BA
PA
AQ
AH
=
hay AH:
22
11

ab
=
: 2R.

2AH =
RR
R
ba
44
4
2
11
=


AH =
2
R

0.5
0.5
0.5
0.5
=> S = x + y = 0
VËy trùc t©m H cña
∆
BPQ lµ trung ®iÓm cña OA.
c) Ta cã S
BPQ
=

PQRPQAB
2
1
=

⇒
S
BPQ
nhá nhÊt khi PQ nhá nhÊt

⇔
M’N’ nhá nhÊt( V× 2PQ=M’N’)
Tõ PQ =
2
11
ba
+

⇒
2PQ = a
1
+b
1
mµ a
1
b
1
= 4R
2
kh«ng ®æi.

⇒
2PQ = a
1
+b
1
nhá nhÊt khi a
1
= b
1
= 2R
⇒
PQ = 2R
⇔
M’N’ = 4R = 2AB
⇒
AB =
2
1
M’N’ vµ AM’ = AN’
⇔

∆
BM’N’ c©n

⇒
∠BMN = ∠BNM =∠BM’N’=∠BN’M’
⇒
MN//M’N’
⇔
MN

⊥
AB t¹i O
VËy minS
BPQ
= 2R
2
khi MN
⊥
AB t¹i O.
0.5
0.5
0.5
0.5