Chuyên đề vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị

Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
chuyªn ®Ò
vËn dông bÊt ®¼ng thøc
c« si ®Ó t×m cùc trÞ
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
A.LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.Cơ sở lí luận.
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc
chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành
khoa học, kinh tế, Quân sự trong cuộc sống .
Toán học là một môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc
học,là một môn học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực
rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình. Chương trình toán rất
rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các kiến thức lại có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những nắm
chắc lý thuyết cơ bản, mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu của
mình, từ đó biết vận dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài
toán rút ra phương pháp chung để giải mỗi dạng bài, trên cơ sở đó tìm
ra các lời giải khác hay hơn, ngắn gọn hơn.
Trong quá trình học toán ở trường THCS học sinh cần biết cách
tổ chức công việc của mình một cách sáng tạo. Người thầy cần rèn
luyện cho học sinh kỹ năng độc lập suy nghĩ một cách sâu sắc, sáng
tạo. Vì vậy đòi hỏi người thầy một sự lao động sáng tạo biết tìm tòi ra
những phương pháp để dạy cho học sinh trau dồi tư duy lô gic giải các
bài toán.
Là một giáo viên dạy toán ở trường THCS tôi nhận thấy việc giải
các bài toán ở chương trình THCS không chỉ đưn giản là đảm bảo kiến
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
1

Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
thc trong sỏch giỏo khoa , ú mi ch l nhng iu kin cn nhng
cha . Mun gii toỏn cn phi luyn tp nhiu thụng qua vic gii
cỏc bi toỏn a dng, gii cỏc bi toỏn mt cỏch khoa hc, kiờn nhn , t
m , t tỡm ra ỏp s ca chỳng
Mun vy ngi thy phi bit vn dng linh hot kin thc
trong nhiu tỡnh hung khỏc nhau to hng thỳ cho hc sinh. Mt
bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii , mi bi toỏn thng nm trong mi
dng toỏn khỏc nhau nú ũi hi phi bit vn dng kin thc trong
nhiu lnh vc mt cỏch sỏng to vỡ vy hc sinh phi bit s dng
phng phỏp no cho phự hp
Cỏc dng toỏn trng trỡnhTHCS tht a dng v phong phỳ
nh: Bt ng thc, Tỡm cc tr
Tỡm cc tr l mt dng toỏn cú trong SGK lp 9 nhng cha
a ra phng phỏp gii chung. Hn na Tỡm cc tr cú rt nhiu
trong cỏc thi nh: Thi vo THPH, trong cỏc thi hc sinh gii
huyn , hc sinh gii tnh,
Do vy vic hng dn giỳp cỏc em cú k nng gii toỏn tỡm cc tr,
ngoi vic nm lý thuyt, thỡ cỏc em phi bit vn dng thc hnh, t ú
phỏt trin kh nng t duy, ng thi to hng thỳ cho hc sinh khi hc
nhm nõng cao cht lng hc tp l iu ht sc cn thit.
2. C s thc tin
Qua thc t mt vi nm ging dy mụn toỏn lp 9 tụi thy khụng ch hc
sinh gp khú khn trong gii toỏn m bn thõn tụi khi dy phn Tỡm cc
tr cng gp rt nhiu khú khn trong vic hng dn hc sinh gii bi toỏn
phn ny.Chớnh vỡ vy tụi luụn suy ngh tng bc hon thin phng
phỏp ca mỡnh.
T thc tin ging dy tụi thy hc sinh hay b tc , lỳng tỳng v cỏch xỏc
nh dng toỏn

T nhng thn li , khú khn v yờu cu thc tin ging dy . Tụi chn
ti

vận dụng bất đẳng thức côsi để tìm cực trị
B.PHM VI V MC CH CA TI
1. Phm vi ca ti:
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
2
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
- Áp dụng với đối tượng học sinh khá – giỏi lớp 9
2. Mục đích của đề tài:
-Nhằm nâng cao chất lượng cho học sinh giải bài toán Tìm cực trị và tạo
niềm tin cho giáo viên trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài toán Tìm
cực trị. Giúp cho thầy và trò trong dạy và học đạt được kết quả cao .Giúp
cho học sinh có hứng thú học và yêu thích môn Toán
- Giúp học sinh biết hướng khai thác kết quả một bài toán để giải quyết vấn
đề linh hoạt hơn.
- Trao đổi với giáo viên hướng khai thác một bài toán trong chương trình bồi
dưỡng học sinh khá giỏi lớp 9
PHẦN II: NỘI DUNG
I. Bất đẳng thức Coossi với 2 số a, b không âm
a+b
ab2≥
(1)
Chứng minh:
Do a, b
0≥
nên

a
và
b
xác định
Ta có :
( )
0
2
≥− ba

02 ≥+−⇔ baba

02 ≥−+⇔ abba

abba 2≥+⇔
Dấu “=” xảy ra
ba
=⇔
II. Bất đẳng thức này còn được mở rộng
1. Với 3 số a, b, c không âm
a+b+c
3
3 abc≥
Dấu “=” xảy ra
cba ==⇔
2. Với 4 số a, b, c ,d không âm
a+b+c+d
4
4 abcd≥
Dấu “=” xảy ra

dcba ===⇔
3. Đối với n số không âm: a
1
,
n
aaa , ,,
32
0
≥
Ta có:
n
nn
aaaanaaaa
321321
≥++++
Dấu “=” xảy ra
n
aaaa ====⇔
321
III. HỆ QUẢ
1. Với 2 số không âm a, b từ BĐT (1) ta suy ra:
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
3
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
• Nếu ab=k (không đổi) thì Min(a+b)= 2
k
(khi và chỉ khi a=b)
• Nếu a+b = k (không đổi) thì Max (ab) =

4
2
k
(khi và chỉ khi a=b)
2. Kết quả trên được mở rộng với:
• Ba số a, b, c không âm:
+ Nếu abc =k (không đổi) thì Min (a+b+c) =3
3
k
(khi và chỉ khi
a=b=c)
+Nếu a+b+c=k (không đổi) thì Max (abc)=
3
3






k
(khi và chỉ khi a=b=c)
*Bốn số a, b, c, d không âm:
+ Nếu abcd=k (không đổi) thì Min(a+b+c+d) =4
4
k
(khi và chỉ khi a=b=c=d )
+ Nếu a+b+c+d =k (không đổi) thì Max(abcd) =
4
4







k
( khi và chỉ khi a=b=c=d )
*Với n số không âm :
0, ,,,
321
≥
n
aaaa
+ Nếu
kaaaa
n
=
321
(không đổi ) thì
Min (
n
n
knaaaa =++++ )
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)

+ Nếu
kaaaa
n
=++++
321
(không đổi ) thì
Max(
n
n
n
k
aaaa






=)
321
(khi và chỉ khi
n
aaaa ====
321
)
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
A. Phương pháp 1 :
Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích của
chúng là một hằng số để tìm GTNN hoặc biến đổi biểu thức đã cho thành
một tích của các biểu thức sao cho tổng của chúng là một hằng số để tìm

GTLN

Bài toán 1: Cho a > 0 Tìm GTNN của biểu thức:
A
1
= a+
a
1
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
4
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
Giải: Vì a > 0 nên
0
1
>
a
,
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương a và
a
1
Ta có : a+
a
a
a
1
.2
1
≥

=2
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=
a
1
⇔
11
2
=⇔= aa
(vì a > 0)
Vậy Min A
12
1
=⇔= a
Nhận xét : Hai số dương a và
a
1
có tích là một hằng số
Bài toán 2: Với mọi số thực a, tìm GTNN của biểu thức:
A
2
=
1
2
2
2
+
+
a
a
Giải: Ta có a

(
)
112
2
22
++=+ a
nên:
A
(
)
1
11
1
2
2
2
2
2
2
2
+
++
=
+
+
=
a
a
a
a

=
1
1
1
2
2
+
++
a
a
Vì
01
2
>+a
với mọi a nên
Áp dụng bất đẳng thức cô si với 2 số dương
1
2
+a
và
1
1
2
+a
ta có:

1
1
1
2

2
+
++
a
a
2
1
1
.12
2
2
=
+
+≥
a
a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
+a
=
1
1
2
+a
0
=⇔
a
Vậy Min A
02

2
=⇔= a
• Nhận xét: Phân tích
(
)
11112
2
222
++=++=+ aaa
để có tích hai số
dương
1
2
+a
với
1
1
2
+a
là một hằng số

Bài toán 3: Với x không âm , tìm GTNN của biểu thức
A
1
8
3
+
+
=
x

x
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
5
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Giải: Ta có : A
1
8
3
+
+
=
x
x
=
1
9)1(
2
+
+
x
x
=
2
1
9
1
1
9

1
+
++=
+
+
x
x
x
x
Vì x
0

nên
x
đợc xác định và
01 >+x
,
0
1
9
>
+x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
1+x
và
1
9
+x
ta có :
A

=
3
( )
2
1
9
.122
1
9
1
+
+
+
++
x
x
x
x
=2.3 2=4
Dấu = xảy ra
1
9
1
+
=+
x
x
4
=
x

Vậy Min A
44
3
== x

Bài toán 4: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
2
3
4
272
x
x +
=
Giải : Ta có A
222
3
4
2727
2
272
x
xx
x
x
x
x
++=+=
+
=

Vì x>0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x, x,
2
27
x
ta có:
x+x+
93.3
27
3
27
3
22
==
x
xx
x
Dấu = xảy ra
2
27
x
xx ==

327
3
== xx
Vậy Min A
39
4
== x
Nhận xét : Hai số dơng 2x và

2
27
x
có tích không phải là một hằng số.
Muốn khử đợc x
2
thì tử phải có x
xx.
2
=
do đó phải biểu diễn
2x=x +x rồi dùng bất đẳng thức côsi với 3 số dơng
Bài toán 5 : Cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
x 2000
3
5
+
=
Giải: A
xx
x
x
x 100010002000
2
3
5
++=
+

=
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
6
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Vì x>0 nên x
0
2
>
;
0
1000
>
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 3 số dơng x
xx
1000
;
1000
;
2
ta có:
A
300100.3
1000
.
1000
.3
10001000

3
22
5
==++=
xx
x
xx
x
Dấu = xảy ra
101000
10001000
32
==== xx
xx
x

Vậy Min A
10300
5
== x

Bài toán 6: Với x > 0 Tìm GTNN của biểu thức
A
x
xx
2
562
2
6
+

=

Giải: ta có A
x
xx
2
562
2
6
+
=
=
3
2
5
2
5
3 +=+
x
x
x
x

Vì x > 0 nên
0
2
5
>
x

áp dụng bấtđẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x2
5
ta có:
A
3103
2
5
23
2
5
.23
2
5
6
==+=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
10
2
5
== x
x
x
Vậy Min A
2

10
310
6
== x

Bài toán 7 : Cho x
0

Tìm GTNN của biểu thức
A
=
7
( )
12
172
2
+
++
x
xx
Giải: Ta có: A
=
7
( )
12
172
2
+
++
x

xx
=
( )
( )
1
8
2
1
12
161
2
+
+
+
=
+
++
x
x
x
x
Vì x
0

nên
0
1
8
;0
2

1
>
+
>
+
x
x

áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
2
1+x
và
1
8
+x
ta có:
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
7
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
A
42.2
1
8
.
2
1
2
1

8
2
1
7
==
+
+

+
+
+
=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
3
1
8
2
1
=
+
=
+
x
x
x
Vậy Min A

34
7
== x

Bài toán 8 : Cho
0

x
Tìm GTNN của biểu thức
A
3
346
8
+
++
=
x
xx
Giải: Ta có A
( )
3
253
3
346
2
8
+
++
=
+

++
=
x
x
x
xx
=
( )
3
25
3
+
++
x
x
Vì
0x
nên
x
đợc xác định và
03 >+x
;
3
25
+x
>0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
3+x
và
3

25
+x
ta có:
A
( ) ( )
105.2
3
25
.32
3
25
3
8
==
+
+
+
++=
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
4
3
25
3 =
+
=+ x
x

x
Vậy Min A
410
8
== x
Bài toán 9: Cho x>1 . Tìm GTNN của biểu thức
A
1
25
4
9

+=
x
x
Giải: Ta có A
( )
4
1
25
14
1
25
4
9
+

+=

+=

x
x
x
x
Vì x>1 nên x-1 >0 .
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng 4
( )
1x
và
1
25
x
ta có:
A
( ) ( )
24410.24
1
25
.1424
1
25
14
9
=+=+

+

+=
x
x

x
x
Dấu = xảy ra
( )
2
7
1
25
14 =

= x
x
x
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
8
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Vậy Min A
2
7
24
9
== x
Bài toán 10 : Cho x>y và x.y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức
A
yx
yxyx

++

=
22
10
2,1
Giải: Ta có : A
yx
yxyx

++
=
22
10
2,1
=
( )
( )
yx
yx
yx
xyyx

+=

+ 162,3
2
( vì x.y = 5 )
Vì x>y nên x-y>0 ;
0
16
>

yx
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng x-y và
yx
16
ta có:
A
( )
84.2
16
.2
16
10
==



+=
yx
yx
yx
yx
Dấu = xảy ra
4
16
=

= yx
yx
yx
kết hợp với điều kiện x.y=5

ta đợc x=5,y=1 và x=-1,y=-5
Vậy Min A
1,58
10
=== yx
hoặc x=-1,y=-5
Bài toán 11 : Tìm GTLN của biểu thức :
( )
33
11
16 xxA =

( với
3
220 x
)
Giải : Vì
3
220 x
nên
016;0
33
xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có :
( )
( )
[ ]
64
4
16

4
16
16
2
2
33
33
11
==
+
=
xx
xxA
Dấu = xảy ra
2816
333
=== xxxx
Vậy Max
264
11
== xA
Bài toán12 : Tìm GTLN của biểu thức :
2
12
9 xxA =
( với
33

x
)

Giải: Vì
33 x
nên
09;0
2
> xx
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )
2
9
2
9
99
22
222
12
=
+
==
xx
xxxxA
Dấu = xảy ra
2
23
9
22
== xxx
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr

9
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Vậy Max
2
23
2
9
12
== xA
Bài toán 13: Tìm GTLN của biểu thức :
( )( )
121
13
= xxA

Với
1
2
1
x
Giải: Vì
1
2
1
x
nên 1-x
012;0 x
áp dụng BĐT côsi cho hai số không âm ta có:

( )( ) ( )( )
( ) ( )
[ ]
8
1
1.
8
1
4
1222
.
2
1
1222
2
1
121
2
13
==
+
==
xx
xxxxA
Dấu = xảy ra
4
3
1222 == xxx
Vậy Max
4

3
8
1
13
== xA
Bài toán 14: Cho 0<x<2 . Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
x 2
2
9
14
+

=
Giải: Ta có: A
xx
x 2
2
9
14
+

=
=
1
2
2
9
+

+
x
x
x
x
Vì 0<x<2 nên 2-x>0
0
2
;0
2
9
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng
x
x
2
9
và
x
x2
ta có:

A
713.21
2
.
2
9
21
2
2
9
14
=+=+


+

+

=
x
x
x
x
x
x
x
x
Dấu = xảy ra
2
12

2
9
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
2
1
7
14
== x
Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tách
x
2
thành tổng
1
2
+

x
x
hạng tử
x
x2

nghịch đảo với
x
x
2
nên khi vận dụng BĐT Côsi ta đợc tích
của chúng là một hằng số
Bài toán 15: Cho 0 < x < 1 Tìm GTNN của biểu thức
A
xx
4
1
3
15
+

=
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
10
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Giải: A
xx
4
1
3
15
+

=

=
( )
7
14
1
3
+

+
x
x
x
x
Vì 0<x<1 nên 1-x > 0
( )
0
14
;0
1
3
>

>


x
x
x
x
áp dụng bất đẳng thức côsi với 2 số dơng

x
x
1
3
và
( )
x
x14
ta có:
A
( ) ( )
347732.27
14
.
1
3
27
14
1
3
15
+=+=+


+

+

=
x

x
x
x
x
x
x
x
=
( )
2
32 +
Dấu = xảy ra
( )
( )
2
13
14
1
3
=

=

x
x
x
x
x
Vậy Min A
( ) ( )

22
15
1332 =+= x
Chú ý: Làm thế nào để có thể biểu diễn đợc :

( )
7
14
1
34
1
3
+

+

=+
x
x
x
x
xx
?
Ta đặt
( )
c
x
xb
x
ax

xx
+

+

=+

14
1
34
1
3
Sau đó sử dụng phơng pháp đồng nhất hệ số ta tìm đợc:
a=b=1 ; c=7
Bài toán 16: Cho x>0 Tìm GTNN của biểu thức
A
3
4
16
163
x
x +
=
Giải: Ta có A
3
4
16
163
x
x +

=
=3x +
33
1616
x
xxx
x
+++=
Vì x>0 nên
0
16
3
>
x
.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 4 số dơng x, x, x,
3
16
x
ta có:
A
82.416.4
16
4
16
4
4
33
16
===+++=

x
xxx
x
xxx
Dấu = xảy ra
3
16
x
xxx ===
216
4
== xx
(vì x>0)
Vậy Min A
28
16
== x
Bài toán 17 :Cho a,b,x>0 . Tìm GTNN của biểu thức
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
11
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
A
( ) ( )
x
bxax ++
=
.
17

Giải : Ta có: A
( ) ( )
x
bxax ++
=
.
17
=
( )
ba
x
ab
x +++
Vì a,b,x>0 nên
0>
x
ab
. áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dơng x và
x
ab
Ta có: A
( ) ( )
ba
x
ab
xba
x
ab
x +++++= .2
17

=
( )
2
2 babaab +=++
Dấu = xảy ra
abxabx
x
ab
x ===
2
Vậy Min A
( )
abxba =+=
2
17
B . ph ơng pháp 2 :
Để tìm cực của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phơng biểu thức đó
Bài toán 18 : Tìm GTLN của biểu thức : A
xx 3753
18
+=
Giải: ĐKXĐ
3
7
3
5
x
Ta có:
A
( ) ( ) ( ) ( )

xxxx 37.5323753
2
18
++=
=
( ) ( )
xx 37.5322 +
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số không âm 3x-5 và 7-3x tacó:
A
( ) ( )
xx 37.5322
2
18
+=

( ) ( )
xx 37532 ++
=4
Dấu = xảy ra
23753 == xxx
Vậy Max A
2
18
=4
22
18
== xMaxA
Nhận xét : Biểu thức A
18
đợc cho dới dạng tổng của hai căn thức .Hai

biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2) . Vì vậy nếu ta bình phơng
hai vế biểu thức A
18
thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn
thức. Đến đây ta có thể vận dụng BĐT Côsi : 2
baab +
Bài toán 19: Tìm GTLN của biểu thức A
xx += 235
19
Giải : ĐKXĐ : 5
23 x
ta có A
( )( )
xxxx ++= 2352235
19
2
=
( )( )
xx + 235218
áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm x-5 và 23-x ta có:
A
( )( ) ( ) ( )
3623518235218
19
2
=+++= xxxx
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
12
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng

=================================================
Dấu = xảy ra
14235 == xxx
Vậy Max A
14636
19
19
2
=== xMaxA
Bài toán 20: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức
A
15
20
+= xx
Giải: ĐKXĐ: 1
5

x
Ta có A
0
20

và A
( )( )
15215
20
2
++= xxxx
=4+2
( )( )

415 xx
mà A
0
20

nên A
2
20

áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm 5-x và x-1 , ta có
2
( )( )
41515 =+ xxxx
Do đó A
8
2
20

mà A
0
20

nên A
22
20

Vậy Min A
52
20
== x

hoặc x=1
Max A
31522
20
=== xxx
C. Ph ơng pháp 3 :
Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0
Bài toán 21: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
5
9
21

=
Giải: ĐKXĐ : x
9

A
30
1
10
3
99
5
3
3
9
2
1

5
3.
3
9
5
9
21
=
+
=






+



=

=
x
x
x
x
x
x
x

x
Dấu = xảy ra
183
3
9
==

x
x
Vậy MaxA
18
30
1
21
== x
Nhận xét: Trong cách giải trên, x-9 đợc biểu diễn thành
3.
3
9x
và ta đã
gặp ở chỗ khi vận dụng BĐT Côsi , tích
3.
3
9x
đợc làm trội thành nửa tổng
x
x
3
1
3

3
9
=+

có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dới mẫu, kết quả là một
hằng số . Còn số 3 ở trên tìm đợc bằng cách lấy căn bậc hai của 9 , số 9 này
có trong đề bài
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
13
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Bài toán 22: Tìm GTLN của biểu thức : A
x
x
2
4
22

=

D. ph ơng pháp 4 :
Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Bài toán 23 : Cho ba số x, y , z >0 thỏa mãn x+y+z=2
Tìm GTNN của biểu thức : A
yx
z
xz
y
zy

x
+
+
+
+
+
=
222
23

Giải: áp dụng BĐT Côsi với 2 số dơng
zy
x
+
2
và
4
zy +

ta đợc:

x
xzy
zy
xzy
zy
x
==
+
+

+
+
+ 2
.2
4
.2
4
22
(1)
Tơng tự ta có :
y
xz
xz
y

+
+
+ 4
2
(2)

z
yx
yx
z

+
+
+ 4

2
(3)
Cộng vế với vế BĐT (1), (2), (3) ta đợc:

zyx
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++
++
+
+
+
+
+
+ 2
222
A
( )
1
22
23
=
++
=
++

++
zyxzyx
zyx
( vì x+y+z=2)
Dấu = xảy ra

3
2
=== zyx
Vậy Min A
3
2
1
23
==== zyx
Nhận xét : Ta đã thêm
4
zy +
vào hạng tử thứ nhất
zy
x
+
2
có trong đề bài , để
khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử đợc (y+z) cũng nh vậy đối với hạng tử
thứ hai và thứ ba
Bài toán 24: Cho a, b, c >1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A
24
=

111
+

+
a
c
c
b
b
a
Giải:
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
14
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Vì a,b,c>1 nên
01,1,1 > cba
áp dụng bất đẳng thức CÔSI với 2 số dơng ta có

( )
ab
b
a
414
1
+


( )

bc
c
b
414
1
+


( )
ca
a
c
414
1
+

Cộng vế với vế các BĐT trên rồi thu gọn ta có A
24
===
cba12
4
Vậy Min A
24
=12
4
===
cba
Bài toán 25: Cho a,b>1 . Tìm GTNN của biểu thức : A
11
22

25

+

=
a
b
b
a
V. Các bài toán vận dụng
Bài toán 26: Với x>-1 .Tìm GTNN của biểu thức : A
( )( )
( )
1
102
26
+
++
=
x
xx
Bài toán 27: Với x>0.Tìm GTNN của biểu thức : A
x
xx
+
++
=
1
20001992
27

Bài toán 28: Với x,y,z >0 Tìm GTNN của biểu thức : A
x
z
z
y
y
x
++=
28
Bài toán 29: Với x,y,z là các số không âm và thỏa mãn: x+y+z =1
Tìm GTLN của biểu thức : A
29
=xyz(x+y)(y+z)(z+x)
Gợi ý: áp dụng BĐT côsi với 3 số không âm ta đợc
1=x+y+z
3
3 xyz
(1)
2=(x+y)+(y+z)+(z+x)
( )( )( )
3
3 xzzyyx +++
(2)
Nhân từng vế (1) và (2) (do hai vế đều không âm ) đợc:
2
3
29
9 A
3
29

9
2






A
Bài toán 30: Với 0<x<1 > Tìm GTNN của biểu thức: A
xx
1
1
2
30
+

=
Bài toán 31: Cho x.y=1 và x >y > Tìm GTNN của biểu thức
A
yx
yx

+
=
22
31
Bài toán 32: Cho a,b, c là ba cạnh của một tam giác .
Tìm GTLN của biểu thức : A
( )( )( )

abc
bacacbcba
3
32
+++
=
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
15
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
Gợi ý: a,b,c là ba cạnh của một tam giác nên a,b,c >0
Ta có a+b >c , b+c>a, c+a>b
Do đó a+b-c >0, b+c-a >0, c+a-b >0
áp dụng BĐT Côsi với hai số dơng , ta có:

( )( )
b
acbcba
acbcba =
+++
++
2
(1)
Tơng tự
( )( )
)2(cbacacb ++

( )( )
acbabac ++

(3)
Từ (1), (2), (3) ta có: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
abc

Bài toán 33: Với x,y,z >0 . Tìm GTNN của biểu thức :
A
( )( )( )
xzzyyx
xyz
+++
=
33
Bài toán 34: Cho x,y >0 và x+y
6
.Tìm GTNN của biểu thức:
A
yx
yx
46
23
34
+++=
Gợi ý: A
yx
yx
46
23
34
+++=
=

( )
y
y
x
x
yx
8
2
6
2
3
2
3
+++++

19469
8
.
2
2
6
.
2
3
26.
2
3
=++=++
y
y

x
x

Bài toán 35 : Cho x , y >0 và thỏa mãn x+y=1.
Tìm GTLN của biểu thức
A
32
35
yx=
Gợi ý: ta có 1=x+y=
5
32
5
32
5
1
108108
5
33322






++++
yxyxyyyxx
Bài toán 36:Cho x,y,z >0 thỏa mãn x+y+z
12
Tìm GTNN của biểu thức: A

x
z
z
y
y
x
++=
36
Gợi ý: A
36
y
xz
x
zy
z
yx
x
z
z
y
y
x 22
2
222
2
+++++=
áp dụng BĐT Côsi cho bốn số dơng ta đợc:

x
yz

yzxx
z
z
yx
z
yx
y
x
4
.
4
4
222
=+++

yx
x
zy
x
zy
z
y
4
2
+++
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
16
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================

zz
y
xz
y
xz
x
z
4
2
+++
Do đó A
( ) ( ) ( )
zyxzyxzyx ++=++++ 34
2
36
A
43612.3
2
36
==== zyx
Bài toán 37: Cho a,b,c,d >0 và thỏa mãn a+b+c+d=1
Tìm GTNN của biểu thức
A
ad
d
dc
c
cb
b

ba
a
+
+
+
+
+
+
+
=
2222
37
Bài toán 38: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:A
xx += 62
38
Gợi ý: Xét A
( )( )
xx += 6224
2
38
Ta có A
6;224
38
2
38
=== xxMinA
A
( ) ( )
462228624
38

2
38
====++ xxxMaxAxx
Bài toán 39: Tìm GTLN của biểu thức:
( )( )
22
39
212 xxA =
Bài toán 40: Tìm GTLN của biểu thức: A
2
40
25 xx =
( với
55

x
)
Bi toỏn 41 :Cho x, y, z, t > 0
Tìm GTNN của A
41
=
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x

ty
ty
x
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
G i ý :
Đặt P = 2A
41
ta có :
P =
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty

x
)(2
2
)(22)(2
2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
P=








+
+
+
+
+

+








+
+
+
+








+
+
+
+

+
+
+ t
tx
y
xt
x
ty
t
yx
yx
t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2
2
2
2

2
P=








++++++








+
+
+
+

+
+
+
+








+
+
+ t
y
t
x
y
x
y
t
x
t
x
y
t
yx
yx

t
y
xt
xt
y
x
ty
ty
x
2
3
2
2
2
2
2
2
P 2 + 2 + 2 +
6
3
.6 (theo côsi)
P 15 MinP= 15 x = y = t > 0
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
17
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
⇒ MinA
41
=

2
15
⇔ x = y = t
Vậy Min A
41
=
2
15
⇔ x = y = t
Bài toán 42: Cho x, y > 0 vµ 7x + 9y = 63 T×m GTLN cña A
42
= x.y
Gợi ý :
§Æt : P = 63.A
42
ta cã :
P = 63xy = 7x.9y ≤
2
2
97






+ yx
(theo c«si)
P ≤
2

2
63






=
4
3969
⇒ Max P
=
4
3969
DÊu "=" x¶y ra ⇔ 7x = 9y =
2
63
⇔







=
=
2
7

2
9
y
x
⇒Max A
42
=
4
3969
: 63 =
4
63
⇔



=
=
5,3
5,4
y
x
Bài toán 43:
Tìm GTNN của A
43
= 3a + 4
2
1 a−
với -1
1a≤ ≤

Gợi ý:
A
43
= 3a + 4
( )
2
2
3 16
1 5 5 1
5 25
a a a− = × × + × × −
Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta
( )
( )
2
2
2
2
3
16
1
3 16
5
25
5 5 1 5 5
5 25 2 2
a
a
a a
 

×
+ −
 ÷
 
× × + × − ≤ × + ×
=> A
43

2 2
9 25 41 25
5 5
2 25
a a
 
+ + −
≤ × =
 ÷
×
 
=> Do đó A
43
5
≤
và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi.
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
18
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
2

3
5
16
1
25
a
a

=




= −


<=> a =
3
5
Vậy GTNN của A
43
= 5 <=> a =
3
5
Bài toán 44:
Tìm GTNN của biểu thức:
A
44
=
4 3 2

2
4 16 56 80 356
2 5
x x x x
x x
+ + + +
+ +
Gợi ý:
Biểu diễn A
44
= 4
2
2
256
( 2 5) 64
2 5
x x
x x
× + + + ≥
+ +
(áp dụng BĐT Côsi)
=> Min A
44
= 64 khi x = 1 hoặc x = -3
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
19
Phũng GD&T Yờn Lc - Trng THCS ng Cng
=================================================
* Kết quả thực hiện.

- Kết quả chung
Sau khi áp dụng chuyờn đề vào giảng dạy đa số học sinh không
những nắm vững cách giải bi toỏn tỡm cc tr ca biu thc nh
vn dng bt ng thc Cụsi m cũn vn dng linh hot trong cỏc
dng toỏn khỏc nh chng minh bt ng thc, gii phng trỡnh,
gii bt phng trỡnh
- kết quả cụ thể
Kiểm tra 25 học sinh lớp 9A1 thu c kt qu nh sau:

Di im 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10 Điểm 5 - 10
SL % SL % SL % SL %
1 4 14 56 10 40 24 96
C. Kết luận.
Khai thác kết quả bài toán là một việc làm rất cần thiết trong việc dạy
học toán nói chung, dạy học và bồi dỡng học sinh giỏi nói riêng. Nó giúp
cho các em tự tin hơn khi làm các dạng bài tập trong một chủ đề nào đó, đặc
biệt là khi tham gia các kì thi chọn học sinh giỏi.
Trên đây là suy nghĩ của bản thân về hớng khai thác kết quả một bài toán,
kinh nghiệm bản thân còn nhiều hạn chế xin đợc mạnh dạn trao đổi cùng các
bạn đồng nghiệp. Rất mong nhận đợc sự góp ý của các bạn đồng nghiệp .

Đồng Cơng , ngày 8 tháng 9 năm 2013
Ngời vit


Nguyễn Thị Thanh Hòa
===============================================
Chuyờn : Vn dng BT Cụsi tỡm cc tr
20
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương

=================================================
Tµi liÖu tham kh¶o
************
1- BÀI TẬP NÂNG CAO VÀ MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN 9
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Bùi Văn Tuyên

2- NÂNG CAO VÀ PHÁT TRIỂN TOÁN 9
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Vũ Hữu Bình

3 – CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
TRONG CÁC KÌ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9
VÀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN
-nhµ xuÊt b¶n gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Nguyễn Đức Tấn
4 – ÔN LUYỆN KIẾN THỨC TOÁN TRUNG HỌC CƠ
SỞ
( DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN, CHỌN)
-nxb gi¸o dôc
T¸c gi¶ : Phạm Minh Phương- Trần Văn Tấn

&&&
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”
21
Phòng GD&ĐT Yên Lạc - Trường THCS Đồng Cương
=================================================
===============================================
Chuyên đề: “Vận dụng BĐT Côsi để tìm cực trị”

22