Bài tập Matlab - bài 2 Sơ lược lý thuyết ma trận trong quang học

HV: LÊ PHÚC QUÝ
TRẦN THỊ THỦY
PHẠM THỊ HỒNG HẠNH
CBHD: TS. LÊ VŨ TUẤN HÙNG


ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VẬT LÝ ỨNG DỤNG
CHUYÊN NGHÀNH: QUANG HỌC

BÀI TẬP MATLAB
Giới thiệu
Năm 1857, nhà toán học Cayley đã phát minh ra ma trận.
Những năm 1920 Heisenberg áp dụng ma trận vào cơ học lượng tử.
Và sau đó, được ứng dụng nhiều để tính toán trong quang học
Giả sử chúng ta có cặp phương trình tuyến tính:
U = Ax + By
V = Cx + Dy
Trong đó: A, B, C, D là các hằng số đã biết.
x và y là các biến.

Chúng ta có thể viết lại hệ phương trình trên dưới dạng ma trận như sau:
Trong đó, mỗi nhóm kí hiệu [] gọi là ma trận.
và ma trận cột
: ma trận 2 dòng 2 cột hay còn gọi là ma trận hạng 2
U A B x
V C D y
     
=
     

     
U
V
 
 
 
A B
C D
 
 
 
x
y
 
 
 
Sơ lược lý thuyết ma trận
lý thuyết
Giả sử ta có hai ma trận và
Khi đó tích hai ma trận được tính như sau:

Tổng quát:
trong đó
* Phép nhân ma trận







=
TR
QP
M






=
DC
BA
N






++
++
=













=
TDRBTCRA
QDPBQCPA
DC
BA
TR
QP
MN
∑
=
=
n
k
kjikij
bac
1
.
Các phép tính trên ma trận
( )
nn
ij
bB
×
=
( )

nn
ij
aA
×
=
( )
nn
ij
cBAC
×
== .
Điều kiện: số dòng ma trận M phải bằng số cột ma trận N
Chú ý : M.N # N.M
lý thuyết






=
24
31
L







=
13
12
M






=
31
24
N






=






++
++
=













=
913
79
3.12.31.14.3
3.12.21.14.2
31
24
13
12
MN
( )






=







++
++
=












=
4662
3448
9.27.413.29.4
9.37.113.39.1
913
79
24
31

MNL






=






++
++
=












=

614
411
1.21.43.22.4
1.31.13.32.1
13
12
24
31
LM
( )






=






++
++
=













=
4662
3448
3.62.141.64.14
3.42.111.44.11
31
24
614
411
NLM
Tích của các ma trận
chỉ có tính kết hợp
chứ không có tính giaohoán.
* Tích của nhiều ma trận
Các phép tính trên ma trận

tích của ma trận L, M, N ta có thể tính theo hai cách:
L(MN) hoặc (LM)N
Ví dụ:
lý thuyết

Cho 2 ma trận M và N

 tổng và hiệu của chúng được tính bằng cách cộng và trừ các cặp tương ứng của phần tử
ma trận.
Nếu P = M + N thì P
jk
= M
jk
+ N
jk
.
Các phép tính trên ma trận
* Phép cộng và phép trừ ma trận
lý thuyết
Điều kiện: số dòng và số cột bằng nhau






++
++
=






+







==
DTCR
BQAP
DC
BA
TR
QP
MNP
Ví dụ:






=
TR
QP
M







=
DC
BA
N
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
Khi sử dụng ma trận để mô tả dạng hình học của ảnh qua những hệ thống thấu kính đặt trên
cùng một trục quang học phải thỏa mãn hai điều kiện xấp xỉ sau:
•
Xem ánh sáng là các tia riêng lẻ chứ không phải là các mặt sóng.
•
Chỉ xét những tia gần trục, những tia này gần như song song với trục  sử dụng xấp xỉ bậc
nhất cho hàm sin và hàm tan các góc hợp bởi các tia này và trục.
1. Ma trận truyền tia
Một tia sáng  các mặt khúc xạ sẽ đặc trưng bởi 2
thông số là tọa độ và góc mà nó tạo với trục Oz.
Mặt phẳng vuông góc với trục Oz gọi là mặt phẳng
quy chiếu (Reference Plane – RP).
Tại mặt phẳng quy chiếu, mỗi tia được đặc trưng bởi
độ cao y và góc V tạo với trục Oz.
lý thuyết
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
Khi tia sáng truyền qua hệ thống thấu kính khúc xạ chỉ có 2 quá trình truyền cơ bản:
Truyền qua
Truyền qua: tia sáng truyền thẳng qua môi trường đến mặt khúc xạ kế tiếp
chúng ta cần biết độ dày t của môi trường và chiết suất khúc xạ n.
Khúc xạ tại mặt phân cách
Khúc xạ tại mặt phân cách giữa hai môi trường có chiết suất khác nhau.
Để xác định được độ lệch của tia khúc xạ chúng ta cần biết bán kính cong của mặt
khúc xạ và hai giá trị chiết suất của hai môi trường.
( )

∗












=







1
1
2
2
V
y
DC
BA
V

y
Nếu tia sáng truyền qua mặt phẳng quy chiếu thứ nhất được đặc trưng: y
1
và V
1
sau đó qua mặt phẳng quy chiếu thứ hai được đặc trưng: y
2
và V
2
.
Chúng ta có thể biểu diễn y
2
, V
2
theo y
1
, V
1
dưới dạng ma trận như sau:
lý thuyết
Xét tia sáng truyền qua một môi
trường có chiều dài t và chiết suất n:
2. Ma trận truyền qua
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
2
2 1
2 1 1 1 1
y tan
tan

y RP RQ PQ
TS SQ
y y t y t
ν
ν ν
= = +
= +
= + = +
1 2
vì
ν ν
=
( )
2 2 1 1 1
20V n nv y V
ν
= = = +
2
2 1
2 1 1 1 1
y tan
tan( )
y RP RQ PQ
TS SQ
y y t y t
ν
ν ν
= = −
= −
= − − = +

( )
2 1 1
1
2 1
1
1 1
1
2

( . )
T , ( . )
T 1
y y t
t
y y n
n
t
V
y y V
n
n
ν
ν
ν
= +
= +
= +
= =
Nhân và chia cho n
( ) ( )













=






⇒
1
1
2
2
10
T1
2& 1
V
y
V

y

10
1
Thay
10
1








=






=
n
t
T
τ
Ma trận được gọi là ma trận truyền
qua
Xét tia sáng truyền tới một mặt cầu bán kính r phân

cách hai môi trường chiết suất n
1
và n
2
.
3. Ma trận khúc xạ
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
( )
2 1 1 1
0 1y y y V
= = +
1
1 1 1
2
2 2 2
y
i
r
y
i
r
ν α ν
ν α ν
= + = +
= + = +
1 1 2 2
sin sinn i n i
=
1 1 2 2

n i n i=
1 2
1 1 2 2
( ) ( )
y y
n n
r r
ν ν
+ = +
( )
2 1
2 1 1
( )
2
n n
V y V
r
− −
= +
( ) ( )
( )















−
−
=






⇒
1
1
12
2
2
1
01
2& 1
V
y
r
nn
V
y
Theo ĐL khúc xạ ánh sáng:

1 2
1 1 1 2 2 2
y y
n n n n
r r
ν ν
+ = +
1 2
1 1 2 2
V V
y y
n n
r r
+ = +
( )














−

−
=






1
1
12
2
2
1
01
V
y
r
nn
V
y
( )









−
−
=
1
01
12
r
nn
R






=
10
01
R








−
=
1

1
01
f
R
ma trận khúc xạ của thấu kính mỏng :
Trong đó: f là tiêu cự thấu kính.
Quy ước: f > 0 với thấu kính hội tụ
f < 0 với thấu kính phân kỳ.
Ngoài ra người ta còn dùng khái niệm độ tụ với quy ước dấu tương tự.
3. Ma trận khúc xạ
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
gọi là ma trận phản xạ
Quy ước:
r > 0 với mặt cầu lồi.
r < 0 với mặt cầu lõm.
r → ∞, mặt cầu mặt phẳng,
ma trận R trở thành ma trận đơn vị






−
=
1
01
P
R

4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
Xét sự truyền ánh sáng qua một hệ thống gồm n mặt khúc xạ
Tóm lại, hệ thống gồm n mặt khúc xạ sẽ có 2n+2 mặt phẳng quy chiếu.
RP
1
“ vào”

nằm bên trái cách mặt khúc xạ thứ nhất một khoảng d
1
RP
2
và RP
3
lần lượt nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 1, tiếp tục
RP
4
và RP
5
nằm sát bên trái và bên phải của mặt khúc xạ thứ 2….
RP
2n
và RP
2n+1
nằm sát bên trái và bên phải mặt khúc xạ thứ n.
RP
2n+2
“ra” nằm cách mặt khúc xạ thứ n một khoảng d
2

.
4. Ma trận truyền tia cho một hệ thống
Ma trận truyền tia M cho một hệ
thống được tích của các ma
trận truyền tia thành phần theo
thứ tự ngược chiều truyền của
ánh sáng.
M = M
n
. M
n-1
M
2
.M
1
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết












=







1
1
2
2
V
y
DC
BA
V
y
Từ Pt ma trận qua RP:






=
r
r
r
V
y
K

2 2 1
.
n
K M K
+
=
2n 1 2n 2 1
M M .M M M
+
=
Đặt
Qua (2n+2) mặt phẳng quy chiếu:
ma trận truyền tia qua hệ thấu kính:
có (2n+1) ma trận truyền tia
Giả sử ma trận M đặc trưng cho hệ thống quang học. Khi đó:
5. Xác định tính chất của một hệ quang học dựa vào ma trận truyền tia












=







1
1
2
2
V
y
DC
BA
V
y
Trong đó: (AD – BC) = 1
a> Nếu D = 0  V
2
= Cy
1
+ 0V
1
 tức là tất cả các tia từ một điểm ở mặt
phẳng vào đều tạo với trục một góc V
2
mà
không phụ thuộc vào V
1
và mặt phẳng quy
chiếu RP

1
được gọi là mặt phẳng hội tụ đầu
tiên của hệ thống.
Để hiểu ý nghĩa của các đại lượng A, B, C, D, chúng ta lần lượt xét các
trường hợp nếu một trong 4 đại lượng bằng 0.
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
b> Nếu B = 0  y
2
= Ay
1
+ 0V
1
 tất cả các tia ở điểm O tại mặt phẳng quy
chiếu RP
1
sẽ truyền qua điểm I ở mặt phẳng
quy chiếu RP
2
.
Do đó, O và I là các điểm vật và ảnh tương
ứng và là độ khuyếch đại của hệ thống.
c> Nếu C = 0  V
2
= DV
1

chùm tia tới song song đi vào hệ thống
với góc V
1

so với trục sẽ rời khỏi hệ thống
theo hướng khác, hướng này họp với trục
một góc V
2
.

Trong đó: là độ khuyếch đại góc tạo
bởi hệ thống.
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
e> Nếu A = 0 hoặc D = 0 thì từ bt (AD – BC) = 1  BC = -1.
Nếu B = 0 hoặc C = 0 thì A là nghịch đảo của D.
d> Nếu A = 0  y
2
= BV
1
,
 tất cả các tia song song đi vào hệ thống sẽ
hội tụ tại một điểm trên mặt phẳng quy chiếu
RP
2
và RP
2
được gọi là mặt phẳng hội tụ thứ
hai của hệ thống.
Phương pháp ma trận trong quang học gần trục
lý thuyết
Problem2: Một thanh thủy tinh chiều dài 2.8cm và chiết suất 1.6 có hai mặt
biên là hai mặt cầu lồi bán kính 2.4cm. Một vật chiều cao 2cm, đặt trong
không khí, nằm trên trục tọa độ cách mặt cầu trái của thanh thủy tinh trên một

khoảng 8cm. Tìm vị trí và kích thước của ảnh tạo bởi hệ thống.
BÀI TẬP
Problem2:
Bài giải
Hệ quang học đã cho gồm 5 thành phần truyền tia theo thứ tự:
Môi trường không khí chiết suất n
1
→ Mặt cầu phân cách bán kính r
1
→ Môi
trường thủy tinh chiết suất n
2
→ Mặt cầu phân cách bán kính r
2
→ Môi trường
không khí chiết suất n
1
.
Hai ma trận truyền tia sử dụng trong hệ quang học là:
Ma trận truyền qua & Ma trận khúc xạ.
BÀI TẬP
Problem2: BAI TOAN THUAN
% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN THUAN (CHO VAT TIM ANH)

clc
clear all
% Khai bao bien su dung
syms X2 h2 % vi tri va chieu cao anh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET

X1=input('Nhap vao khoang cach giua vat va thanh thuy tinh (cm): ');
h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (cm): ');
r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');
while r1<0
disp('vui long nhap so lon hon 0')
r1=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm): ');
end
r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');
while r2>0
disp('Vui long nhap so nho hon 0')
r2=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm):');
end
n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');
n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');
L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');
BÀI TẬP
Problem2: BAI TOAN THUAN
% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA

M1=[1 X1/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua trong khong khi
M2=[1 0;-(n2-n1)/r1 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1
M3=[1 L/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua trong thanh thuy tinh
M4=[1 0;-(n1-n2)/r2 1]; % Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2
M5=[1 X2/n1;0 1]; % Ma tran trong khong khi
M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc
% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA ANH

A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M
B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M

disp('Anh cach thanh thuy tinh mot khoang la:')
X2=solve(B); % Vat that cho anh that nen giai B = 0
X2=double(X2)% Chuyen ket qua sang so thap phan
disp('Chieu cao cua anh:');
h2=subs(A*h1)% The X2 vao A de tim h2
BÀI TẬP
Problem2: BAI TOAN THUAN
BÀI TẬP
Problem2: BAI TOAN NGHICH
% BAI LAP TRINH PROBLEM 2 - BAI TOAN NGHICH (CHO ANH TIM VAT)
clc
clear all
% Khai bao 2 bien su dung la vi tri va chieu cao vat
syms X1 h1

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET
X2=input('Nhap vao khoang cach giua anh va thanh thuy tinh (cm):');
h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (cm):');
r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');
while r2<0
disp('nhap so lon hon 0')
r2=input('Nhap vao ban kinh mat cau loi (cm):');
end
r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');
while r1>0
disp('vui long nhap so nho hon 0')
r1=input('Nhap vao ban kinh may cau lom (cm) :');

end
n2=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu nhat (khong khi):');

n1=input('Nhap vao chiet suat moi truong thu hai(thuy tinh):');
L=input('Nhap vao chieu dai cua thanh thuy tinh (cm):');
BÀI TẬP
Problem2: BAI TOAN NGHICH
% BUOC 3: GIAI PHUONG TRINH TIM VI TRI VA CHIEU CAO CUA VAT
A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M
B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M
disp('Vat cach thanh thuy tinh mot khoang la:')
X1=double(solve(B)) % Vat that cho anh that nen giai B = 0
disp('Chieu cao cua vat:');
h1=subs(h2*A) % The X1 vao A de tim h1
% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA KHUC XA
M1=[1 X2/n2;0 1]; % Ma tran moi truong khong khi
M2=[1 0;-(n1-n2)/r2 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r2
M3=[1 L/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua mtr trong thanh thuy tinh
M4=[1 0;-(n2-n1)/r1 1];% Ma tran khuc xa mat cau ban kinh r1
M5=[1 X1/n2;0 1]; % Ma tran truyen qua moi truong khong khi
M=M5*M4*M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc
BÀI TẬP
Problem2: Problem2: BAI TOAN NGHICH
BÀI TẬP
Problem4: bai toan thuan
Problem 4 (trang 47): Một vật cao 2 inches đặt cách màn 10 feet. Tiêu cự thấu kính là bao nhiêu để ảnh thu được
trên màn cao 40 inches và màn đặt cách thấu kính bao nhiêu?
Bài giải
Hệ quang học đã cho gồm 3 thành phần truyền tia theo thứ tự: Môi trường
không khí chiết suất n
1
= 1 → Thấu kính mỏng tiêu cự f → Môi trường không khí
chiết suất n

1
= 1.
BÀI TẬP
Problem4: bai toan thuan
% BAI LAP TRINH PROBLEM 4 - BAI TOAN THUAN
clc
clear all
syms x f % Khai bao 2 bien su dung la vi tri va tieu cu thau kinh

% BUOC 1: NHAP VAO CAC GIA TRI DA BIET
L=input('Nhap vao khoang cach giua vat va man (feet):');
disp('Chuyen sang don vi inches la:');
L=L*11.97 % 1 feet = 11.97 inches
h1=input('Nhap vao chieu cao cua vat (inches):');
h2=input('Nhap vao chieu cao cua anh (inches):');
n1=1; % Chiet suat cua khong khi
% BUOC 2: VIET BIEU THUC CAC MA TRAN TRUYEN QUA VA MA TRAN THAU KINH MONG
M1=[1 x/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua moi truong khong khi
M2=[1 0;-1/f 1]; % Ma tran khuc xa qua thau kinh tieu cu f
M3=[1 (L-x)/n1;0 1]; % Ma tran truyen qua khong khi tu thau kinh den vat
M=M3*M2*M1; % Ma tran truyen tia cua ca he quang hoc
BÀI TẬP
Problem4: bai toan thuan
% BUOC 3: GIAI HE PHUONG TRINH TIM VI TRI VA TIEU CU THAU KINH
A=M(1,1); % He so A la phan tu dong 1 cot 1 cua ma tran M
B=M(1,2); % He so B la phan tu dong 1 cot 2 cua ma tran M
D=M(2,2); % He so D la phan tu dong 2 cot 2 cua ma tran M
% Theo dinh nghia, A la do khuyech dai, vi vay:
A=-h2/h1; % Dau tru the hien anh va vat nguoc chieu nhau
x=solve(D-1/A); % D = 1/A

disp('Tieu cu cua thau kinh la (inches):')
f=solve(subs(B));
f=double(f) % Chuyen ket qua sang so thap phan
disp('Khoang cach tu thau kinh den vat (feet):')
x=subs(x); % The gia tri f da biet de tinh x
x=x/11.97 % Chuyen tu don vi inches sang feet