De thi GVG Toan co dap an

PHòNG Giáo dục - đào tạo
SƠN ĐộNG
Kì THI chọn gVG vòng i bậc THCs năm 20
Môn thi : toán THCS
Ngày thi:
đề chính thức
Thi gian làm bài : 120 phỳt
Câu I : (2 im)
1. Phân tích thành nhân tử : x + 7
x
+ 12 (với x

0)
2. Giải bất phơng trình : 2 +
8
)1(3 +x
< 3 -
4
1x
3. Chứng minh rằng biểu thức n(n + 5) (n - 3)(n + 2) luôn chia hết cho 6 với mọi n là số
nguyên
4. Cho hàm số f(x) =





+1
2
3
x

x
Tính f(2)
Cõu II : ( 2 im)
Cho biểu thức
M =






+
+



+
+










5
3

3
5
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
1. Thu gọn biểu thức M.
2. Tìm m để với mọi giá trị x > 30 ta có : mx(
x
+ 3)M > x + 20
Cõu III : (2 im)
1. Cho a ; b là hai số tùy ý. Chứng minh rằng : a
4
+ b
4


a
3
b + ab
3

2. Trên parabol : y =
2
1
x
2
lấy hai điểm A và B. Biết hoành độ của A là x
A
= - 2. Tung độ của B
là y
B
= 8. Viết phơng trình của đờng thẳng AB
Cõu IV : ( 3 im)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Nửa đờng tròn đờng kính AB cắt BC tại D. Trên cung AD lấy
điểm E. Kéo dài BE cắt AC tại F
a. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
b. Kéo dài DE cắt AC tại K. Tia phân giác góc CKD cắt EF và CD tại M và N. Tia phân giác góc
CBF cắt DE và CF tại P và Q. Tứ giác MPNQ là hình gì
c. Gọi r, r
1
, r
2
lần lợt là bán kính đờng tròn nội tiếp các tam giác ABC; ADB; ADC.
Chứng minh: r
2
= r
1
2
+ r
2
2

Cõu V : ( 1 im)
Giải hệ phơng trình :



=+
=+
11
1
55
yx
yx
đáp án và hớng dẫn chấm đề thi
môn toán năm 20
Câu ý Đáp án Điểm
I 1
(
x
+ 3)(
x
+ 4)
0.5
nếu x

2
nếu x < 2
(2đ)
2 16 + 3x + 3 < 24 2x + 2

x < 7/5 0.5

3 6(n + 1) 0.5
4 f(2) = 5 0.5
II
(2đ)
1
Điều kiện: x

0 , x

9 ; x

25
Rút gọn đợc









1
25
5
x
xx
bằng
5
5

+

x
Rút gọn đợc






+
+



+
+

5
3
3
5
152
25
:
x
x
x
x
xx

x
bằng
5
)3(
+
+
x
x
Rút gọn đợc M =
3
5
+x
0.25
0.25
0.5
0.25
2
Ta có : mx(
x
+ 3)M > x + 20


5mx x > 20


(5m - 1)x > 20
Vì: x > 30 > 0 nên suy ra : 5m 1 > 0

m > 1/5

x >
15
20
m
Do đó :
15
20
m


30

20

150m - 30

50

150m

m

1/3
0.25
0.25
0.25
III
(2đ)
1
a

4
+ b
4


a
3
b + ab
3
Xét : (a
4
a
3
b) + (b
4
ab
3
) = a
3
(a - b) b
3
(a - b)
= (a - b)(a
3
b
3
)
= (a - b)
2
(a

2
+ ab + b
2
)
= (a - b)
2
[(a +
2
1
b)
2
+
4
3
b
2
]

0
Dấu = xẩy ra

a = b
0.25
0.5
0.25
2
Vì A(x
A
; y
A

)

y =
2
1
x
2

y
A
=
2
1
x
A
2
vì x
A
= - 2 suy ra y
A
=
2
1
(- 2)
2
= 2


A(- 2 ; 2)
Vì B(x

B
; y
B
)

y =
2
1
x
2

y
B
=
2
1
x
B
2
y
B
= 8

x
B
2
= 16

x
B

=

4

B(- 4 ; 8) hoặc B(4 ; 8)
Từ đó ta viết đợc phơng trình của đờng thẳng AB là :
Với A(- 2 ; 2) và B(4 ; 8) ta có y = x + 4
Với A(- 2 ; 2) và B(- 4 ; 8) ta có y = - 3x - 4
0.25
0.25
0.25
0.25
IV
(2.5đ)
1
Ta có :

FCD =

BAD (góc nhọn có cạnh tơng ứng vuông góc)


BAD =

BED (cùng chắn cung BD)




FCD =

BED


FCD +

FED =

BED +

FED = 2v
Vậy tứ giác CDEF nội tiếp
0.25
0.25
0.5
2 Ta có :

Q
1
=

C +

B
1
(góc ngoài của tam giác BQC)


P
1

=

E
1
+

B
2
(góc ngoài của tam giác BEP)
0.25
e
P
I
1
1
2
1
2
1
1
D
O
C
A
B
F
k
Q
N
Mà

B
1
=

B
2
(gt) và

C =

E
1
(Chứng minh trên)


P
1
=

Q
1


PKQ cân tại K

PQ

KN và IP = IQ (I là giao điểm của PQ và KN)

IM = IN. Vậy MPNQ là hình thoi
0.25
0.25
0.25
3
Ta rễ ràng chứng minh đợc:
2r = AB + AC BC
2r
1
= AD + DC - AC
2r
2
= AD + DB - AB

ABC

DAC (g.g)
r
r
BCACAB
ACDCAC
BC
AC
AC
DC
AB
AD
1
=
+

+
===

ABC

DBA (g.g)
r
r
BCACAB
ABDBAD
BC
AB
AB
DB
AC
AD
2
=
+
+
===

1
2
22
2
2
2
2
2

2
2
2
2
1
=
+
=+=+
BC
ACAB
BC
AB
BC
AC
r
r
r
r
Vậy : r
2
= r
1
2
+ r
2
2
0.25
0.25
0.25
0.25

V
(1đ)
Vì : x + y = 1 ta có :
x
5
+ y
5
= (x
5
+ x
2
y
3
+ x
3
y
2
+ y
5
) ( x
2
y
3
+ x
3
y
2
)
= (x
3

+ y
3
)(x
2
+ y
2
) x
2
y
2
(x + y)
= (x + y)(x
2
xy + y
2
)(x
2
+ y
2
) - x
2
y
2
=[(x + y)
2
- 3xy][(x + y)
2
- 2 xy] - x
2
y

2
= (1 - 3xy)(1 - 2xy) - x
2
y
2
= 5(xy)
2
- 5xy + 1 = 11 (do : x
5
+ y
5
= 11 )
Nên : 5(xy)
2
- 5xy - 10 = 0

(xy)
2
- xy - 2 = 0

xy = - 1 ; xy = 2
Suy ra hệ phơng trình tơng đơng với :



=
=+
1
1
xy

yx
hoặc



=
=+
2
1
xy
yx
Hay x ; y là nghiệm của phơng trình :
t
2
- t - 1 = 0 và t
2
- t + 2 = 0
phơng trình : t
2
- t + 2 = 0 vô nghiệm
phơng trình : t
2
- t - 1 = 0 có nghiệm :
t
1
=
2
51
+
; t

2
=
2
51

Vậy hệ phơng trình có 2 nghiệm
(x ; y) = (
2
51
+
;
2
51

) ; (
2
51

;
2
51
+
)
0.25
0.25
0.25
0.25
Ghi chú:
Trên õy ch l s lc từng bc gii v cho im tng phn ca mi bi. Bi lm ca GV yờu
cu phải chi tit, lp lun cht ch. Nu GV lm cỏch khỏc ỳng thỡ chm im tơng ứng