Giáo án Ôn thi TN Khảo sát hàm số

Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
CHỦ ĐỀ : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
( 8 tiết : từ 28/03 – 02/04 )
Các kiến thức cần nhớ :
1. Tính đơn điệu của hàm số, mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số
và dấu của đạo hàm cấp một của nó
2. Điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số. Các điều kiện đủ để hàm số có điểm cực trị
3. Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số
4. Đường tiệm cận đứng , tiệm cận ngang
5. Vẽ đồ thị hàm số
Các dạng toán cần luyện tập
1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu đạo hàm
cấp một của nó. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình hoặc
chứng minh bất đẳng thức
2. Tìm điểm cực trị của hàm số, tính giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. Tìm giá trị
lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng. Ứng dụng vào việc giải phương
trình, bất phương trình.
3. Tìm đường cận đứng , tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
4. Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số
3 2 4 2
; ;
ax b
y ax bx cx d y ax bx c y
cx d
+
= + + + = + + =
+
5. Dùng đồ thị hàm số để biện luận theo m số nghiệm của phương trình
6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( tại một điểm thuộc đồ thị hàm số , biết
hệ số góc )
TIẾN TRÌNH ÔN TẬP

Hoạt động 1 : Hệ thống lý thuyết
Hoạt động 2 : Luyện tập các dạng toán
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hoạt động: Ôn tập khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( 2 tiết )
Giáo viên yêu cầu học sinh
nhắc lại sơ đồ khảo sát hàm
số và vẽ đồ thị của hàm số
Giáo viên nhấn mạnh các
dạng ( về cực trị , tiệm cận ,
hình dáng của đồ thị ) của
từng loại hàm số để học sinh
ghi nhớ
Giáo viên nhận xét và phân
tích những sai sót thường
gặp của học sinh để tránh
mất điểm không đáng có
Học sinh trả lời theo yêu cầu
của giáo viên và ghi nhớ
những nhận xét của giáo viên
để lĩnh hội kiến thức vững
chắc hơn
Thực hiện các bài tập giáo
viên đã đề ra
Bài 1 :
1. Khảo sát và vẽ đồ thị của các
hàm số sau :
a.
3 2
6 9 4y x x x= − + −
b.

3 2
3 3 2y x x x= − + −

c.
3 2
3 5 2y x x x= − + − +

2. Khảo sát và vẽ đồ thị của các
hàm số sau :
a.
4 2
3 6 2y x x= − +
b.
4 2
2 3y x x= − − +
3. Khảo sát và vẽ đồ thị của các
hàm số sau :
a.
2 1
1
x
y
x
+
=
−
Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
b.
3 1
2 2

x
y
x
−
=
+

Hoạt động ôn tập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( 2 tiết )
H1 : Nêu các bước viết
phương trình tiếp tuyến của
(C) :
( )y f x=
tại điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C)
H 2 :
Nêu ý nghĩa hình học của
đạo hàm
H3 : Khi biết được hệ số góc
của tiếp tuyến ta cần xác
định được yếu tố nào để viết
phương trình của tiếp tuyến
Cho hai đường thẳng :
(d) :
y ax b= +
và
(d’):
' 'y a x b= +
Hãy cho biết quan hệ của

, 'a a
khi :
+ (d) song song (d’)
+ (d) vuông góc (d’)
Các bước thực hiện
+ Tính
'( )f x
+ Tính
0
'( )f x
+ Áp dụng công thức :
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C)
là
0
'( )f x
Ta đi tìm tọa độ tiếp điểm
bằng cách giải phương trình
0
'( )f x k=
+ Khi (d) //(d’) :
'a a=
+ Khi (d)
( ')d⊥
:

. ' 1a a
= −
Phương trình tiếp tuyến của đồ
thi (C) y =
( )f x
tại điểm M(
0 0
; ( ))x f x
trên (C) là:
0 0 0
'( )( ) ( )y f x x x f x= − +
Bài 2 : Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
có đồ thị (C)
a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có hoành độ bằng 2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24y x=
Bài 3 : Cho hàm số
4 2
2y x x= −
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a. Tại điểm trên (C) có tung độ bằng 8
b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
24y x=
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
2011
24

y x= +
Bài 4 : Cho hàm số
2 3
2 1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :
a. Tại giao điểm giao điểm của (C) và trục Oy
b. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k = - 2
c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2 1y x= +
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giáo viên phân công lớp
thành 3 nhóm và giao nhiệm
vụ cho mỗi nhóm thực hiện
một bài. Sau đó lên bảng
trình bày bài giải
Học sinh thực hiện theo sự phân
công của giáo viên
Bài 2 :
a.
9 14y x= −
b.
9 14; 9 18y x y x= − = +
c.
24 52; 24 56y x y x= − = +

Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Giáo viên cho học sinh nhận
xét bài giải của từng nhóm.
Sửa chữa sai sót nếu có
Bài 3
a.
24 40y x= +
và

24 40y x= − −
b.
24 40y x= +
c.
24 40y x= − −
Bài 4 :
a.
8 3y x= − −
b.
2 2; 2 6y x y x= − − = − +
c.
1 13
2 4
y x= − +
;
1 3
2 4
y x= − −
Bài 5: Cho hàm số
3
3 2y x x= − +

có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình :
3
3 2 0x x k− − + =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hoạt động ôn tập : Biện luận phương trình bằng đồ thị hàm số
Giáo viên gọi 1 học sinh lên
bảng thực hiện câu a
Giáo viên gọi 1 học sinh
trình bày cách dùng đồ thị
biện luận số nghiệm của
phương trình
Gọi học sinh thể hiện bài giải
Giáo viên điều chỉnh sai sót
( nếu có)
Một học sinh thực hiện
+ Bước 1 : Biến đổi phương
trình đã cho thành phương
trình hoành độ giao điểm của
đồ thị (C) và đường thẳng d
có phương nằm ngang
+ Bước 2 : Lập luận
Số giao điểm của (C) và d là
nghiệm của phương trình
+ Bước 3 : Dựa và đồ thị
( Chú ý đến hai giá trị cực trị
của hàm số ) cho giá trị của
tham số thay đổi theo giá trị
của hai cực trị để nhận xét số

giao điểm , suy ra số nghiệm
của phương trình
Học sinh thực hiên
Một học sinh nhận xét
a.
x
y
B
O
A
1
b. Kết quả :
+ k < 0 : Pt có 1 nghiệm
+ k = 0 : pt có 2 nghiệm
+0 < k < 4 : pt có 3 nghiệm
+ k = 4 : pt có 2 nghiệm
+ k > 4 : pt có 1 nghiệm
Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
Bài 5 : Cho hàm số
4 2
2 1y x x= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
b. Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
4 2
2x x m− =
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Giáo viên gọi 1 học sinh có
học lực TB lên bảng thực
hiện và các học sinh còn lại
tự thực hiện

Học sinh thực hiện
Học sinh nhận xét
x
y
B
O
A
1
b. Kết quả :
+ m < - 1 : pt vô nghiệm
+ m = - 1 : pt có 2 nghiệm
+ - 1 < m < 0 : pt có 4 nghiệm
+ m = 0 : Pt có 3 nghiệm
+ m > 0 : pt có 2 nghiệm
Bài 6 : Cho hàm số
1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị (C) và đường thẳng d :
1y mx= −
. Biện luận theo m số
giao điểm của (C) và d
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hoạt động ôn tập : Số giao điểm của hai đồ thị
Bài toán đã nêu thuộc thể loại

nào ? Và yêu cầu của bài
toán là gì ?
Nêu trình tự bài giải của thể
loại này ?
Gọi 1 học sinh thực hiện
Giáo viên nhận xét bài giải
và nhấn mạnh cách trình bày
bài giải
Bài toán thuộc thể loại : sự
tương giao của hai đồ thị . Đề
bài yêu cầu biện luận số giao
điểm của 2 đồ thị
+Nêu phương trình hoành độ
giao điểm của (C) và d
+ Biến đổi pt trên thành
phương trình đã biết cách
giải
+ Lập luận : Số nghiệm của
phương trình HĐGĐ chính là
số giao điểm của (C ) và d
+ Biện luận
+ Kết luận
Phương trình hoành độ giao
điểm của (C ) và d là :

1
1 ( 1)
1
x
mx x

x
+
= − ≠
−
( )
2
( 2) 0
2 0
mx m x
x mx m
⇔ − + =
⇔ − − =
+ Nếu m = 0 hay m = - 2 :
phương trình có 1 nghiệm
0x =
+ Nếu
0m
≠
và
2m
≠ −
phương
trình có hai nghiệm
0x =
và
2
1
m
x
m

+
= ≠
Kết luận :
+ m = 0 hay m = -2 : có 1 gđ
+
0m
≠
và
2m
≠ −
: có 2 gđ
Bài 7 : Cho đồ thị hàm số (C) :
3
3 1y x x= − +
. Đường thẳng d đi qua A( - 1 ; 3) có hệ số góc
Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
k . Tìm k để (C) và d cắt nhau tại 3 điểm phân biệt.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Yêu cầu của bài toán là gì ?
Bài toán được giải như thế
nào ?
Em có nhận xét gì về vị trí
của A đối với (C)
Giáo viên nhận xét , chỉnh
sửa những sai sót – Phát triển
bài toán đối với học sinh khá,
giỏi
Tìm k để (C) và d cắt nhau
tại 3 điểm phân biệt
+ Lập phương trình đường

thẳng d
+ Lập phương trình hoành độ
giao điểm của (C) và d
+ Lập luận : Để (C) và d cắt
nhau tại 3 điểm phân biệt thì
phương trình trên phải có 3
nghiệm phân biệt
+ Ta có A thuộc đồ thi (C) ,
do đó phương trình trên có
một nghiệm
1x = −
+ Ta phân tích phương trình
trên thành phương trình tích
số :
( 1)x +
( tam thức bậc hai ) = 0
+ Yêu cầu bài toán
⇔
pt bậc
hai có hai nghiệm phân biệt
khác – 1
+ Giải hệ bpt
+ Kết luận
d :
3y kx k= + +
Ta có pt hoành độ giao điểm
của (C) và d :
( )
( )
3

2
2
3 1 3
( 1)( 2) 0 1
1
( ) 2 0 2
x x kx k
x x x k
x
g x x x k
− + = + +
⇔ + − − − =
= −

⇔

= − − − =

(C) cắt d tại 3 điểm phân biệt
(1)⇔
có 3 nghiệm phân biệt
(2)⇔
có hai nghiệm phân biệt
khác – 1
0
( 1) 0g
∆ >

⇔


− ≠

9
4 9 0
4
0
0
k
k
k
k

+ >
> −


⇔ ⇔
 
≠


≠

Vậy giá trị cần tìm là :

9
4
0
k
k


> −



≠

Bài tập rèn luyện
1. Hàm số bậc ba :
Bài 1 :Cho hàm số
3 2
3 1y x x= − +
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình
3
3 1 0x x m− + + =
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − + −
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d :
9 7y x= − +
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 3 : Cho hàm số :
3
3y x x= +
, có đồ thị là (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 4
Ôn tập : Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
c. Tìm m để đường thẳng d :
4y mx m= − +
cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
Bài 4 : Cho hàm số
3 2
3 3 2y x x x= − + −
, có đồ tị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d :
1
2010
3
y x= − +
2. Hàm trùng phương
Bài 1 : Cho hàm số
4 2
2y x x= −
, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ
2x
= −

c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành
Bài 2 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= + −

, có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục Ox
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) với trục Ox
Bài 3 : Cho hàm số
4 2
2 3y x x= − + +
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Dựa vào đồ thị (C), hãy xác định các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân
biệt :
4 2
2 0x x m− + =
Bài 4 : Cho hàm số :
4 2 2
( 9) 10y mx m x= + − +
(1)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1
b. Tìm m để hàm số (1) có ba cực trị
3. Hàm nhất biến
Bài 1 : Cho hàm số
1
2
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung
c. Tìm m để đường thẳng d :
2 1y x m= − +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
1
x
y
x
−
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b. Tìm các điểm trên (C) có tọa độ nguyên
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
5 2010y x= +
Bài 3 : Cho hàm số :
2 4
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là (C)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
1
1
2
y x= +
c. Gọi d là đường thẳng đi qua A( - 3 ; 2 ) và có hệ số góc k. Biện luận theo k, số giao điểm
của d và (C)