NHỮNG THÚ VỊ TỪ 1 BÀI TOÁN LỚP 6 MỚI

NHỮNG THÚ VỊ TỪ 1 BÀI TOÁN LỚP 6 MỚI
Chúng ta bắt đầu từ bài toán:
Chứng tỏ rằng:
230
112
+
+
n
n
là ps tối giản n
∈
N
*
(Bài 40 SBT Toán 6 Tập 2 NXB GD 2002)
Với lời giải là: Gọi d là ƯCLL của 12n+1 và 30n+2
⇒
12n+1

d và 30n+2

d
Do đó 5(12n+1) – 2(30n+2) = 1

d
Vì thế 12n+1 và 30n+2 nguyên tố cùng nhau.
Vậy
230
112
+
+
n

n
là ps tối giản.
Song cũng từ lời giải này ta còn rút ra được một tổng quát về hướng dẫn
chung cho các loại bài tập :
- Tìn ƯCLL (an+c ; bn+e)
- Chứng minh
ebn
can
+
+
là ps tối giản
- Tìm số tự nhiên n để
ebn
can
+
+
có thể rút gọn được. (*)
+ Tìm BCNN (a; b)
+ Tìm b’ =
a
baBCNN );(
và a’ =
b
baBCNN );(
Từ đó có lời giải là:
+ Gọi d là ƯCLN (an+c; bn+e) hoặc d là ước nguyên tố của an+c và bn+e đối
với dạng bài tập (*)
⇒
an+c


d và bn+e

d
⇒

[ ]
debnacanb )(')(' +−+
Do đó
deacb )''( −
* Nếu d=1 thì ƯCLN (an+c; bn+e) =1
⇒
an+c và bn+e nguyên tố cùng nhau
⇔
ebn
can
+
+
là ps tối giản
* Nếu d
≠
1 thì kết quả sẽ ngược lại. Và từ đó ta sẽ tìm được n để
ebn
can
+
+
rút
gọn được. Chẳng hạn như ở bài toán sau:
Tìm số tự nhiên n để
46
321

+
+
n
n
rút gọn được thì d=2 hoặc d=11
Trường hợp ps rút gọn cho 2: Ta có 6n+4 luôn chia hết cho 2 còn 21n+3
chia hết cho 2 với n là số lẻ.
Trường hợp ps rút gọn cho 11:
Ta có 21n+3

11
⇔
21n-n+3

11
⇔
n=11k+3 (k
∈
N)
Vậy với n lẻ hoặc n chẵn mà n=11k+3 (k
∈
N) thì ps rút gọn được
Và lại còn nhiều thú vị hơn nữa :
Với xuất phát từ bài toán sau :
Chứng tỏ rằng : 3a+4b

23
⇔
8a+3b


23
Giải: Ta có 5(3a+4b) + 1(8a+3b) = 23a+23b

23
Do vậy : Nếu 3a+4b

23
⇒
5(3a+4b)

23
⇒
8a+3b

23
Ngược lại nếu 8a+3b

23
⇒
5(3a+4b)

23 mà (5; 23)=1
⇒
3a+4b

23
Tương tự ta cũng giải được các bài toán sau:
Bài 1: Chứng tỏ 2a+3b

17

⇔
9a+5b

17
Bài 2: Chứng tỏ
19
211 ba +
là một số nguyên tố
⇔
19
518 ba +
là một số nguyên tố

Thực chất ra để có x
1
a+y
1
b

m
⇔
x
2
a+y
2
b

m ta chỉ cần tìm 2 số nguyên x, y
t/m các đk :
xx

1
+yx
2

m và xy
1
+yy
2

m . Trong đó (x ; m)=1 ; (y ; m)=1
và khi đó ta có : x(x
1
a+y
1
b)+y(x
2
a+y
2
b)

m .