phân loại số học 6 theo dạng bài tập

PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
SỐ TỰ NHIÊN Trang
Dạng 1:Toán tập hợp 4
Dạng 2: Viết số tự nhiên thoả mãn yêu cầu nào đó 7
Dạng 3: Xác định trong số cho trước các chữ số;
số chục với chữ số hàng chục; số trăm với chữ số hàng trăm… 8
Dạng 4: Đọc, viết các số La Mã 9
Dạng 5: So sánh hai luỹ thừa 11
Dạng 6: Nhận biết số nguyên tố 13
Dạng 7: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố. 16
Dạng 8: Tìm số ( Tìm số nguyên tố x khi biết một số điều kiện nào đó). 17
Dạng 9: Bài toán liên quan về số các ước
và tính tổng các ước của một số 18
Dạng 10: Chữ số tận cùng của một tích hay một luỹ thừa 19
Dạng 11: Tìm các chữ số chưa biết của 1 số 20
Dạng 12: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức số 22
Dạng 13: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức chứa chữ 24
Dạng 14: Tìm điều kiện để bài toán chia hết 1 số hoặc 1 biểu thức 26
1
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
SỐ NGUYÊN Trang
1. Dạng bài so sánh 32
2. Dạng tính toán 33
Dạng 1:Tính nhanh 33
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức 34
Dạng 3: Điền số thích hợp vào chỗ trống 35
Dạng 4: Tìm x 37
3. Dạng toán tìm số 38
Dạng 1: Tìm số liền trước, liền sau, số đối 38
Dạng 2: Tìm bội và ước của một số nguyên 39
Dạng 3 : Bài toán sử dụng phương pháp sơ đồ đoạn thẳng 39

2
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
PHÂN SỐ Trang
Dạng 1: Rút gọn phân số. phân số tối giản. 42
Dạng 2: Các phép toán về phân số: 44
Phép cộng hai phân số 44
Phép trừ phân số 45
Phép nhân hai phân số 46
Phép chia hai phân số 48
Dạng 3: So sánh phân số 50
Dạng 4: Các bài toán cơ bản về phân số 54
3
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
I. SỐ TỰ NHIÊN
2.2.1. Kiến thức cơ bản cần ghi nhớ:
+) Các phép toán trên tập hợp N: phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia,
phép luỹ thừa.
+) Thứ tự thực hiện các phép toán.
+) Các dấu hiệu chia hết.
+) Tính chất chia hết của một tổng.
+) Ước và bội, ƯC và BC, ƯCLN và BCNN.
+) Số nguyên tố và hợp số.
2.2.2.Các dạng bài tập:
Dạng 1:Toán tập hợp
- Để viết một tập hợp thường có hai cách:
+ Liệt kê các phần tử của tập hợp.
+ Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó.
- Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B thì tập hợp A gọi là tập
hợp con của tập hợp B.
+) Ví dụ

Bài 1[trang 6-sgk]
Viết tập hợp A các số tự nhiên lớn hơn 8 và nhỏ hơn 14 bằng hai cách, sau đó điền
kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
12 A 16 A
Bài giải:
A= {9; 10; 11; 12; 13}
Hoặc A= { x
∈
N / 7 < x < 12}

12 A 16 A
+) Một số bài tập tương tự
Bài 2[trang 6-sgk]
Viết tập hợp các chữ cái trong từ “ TOÁN HỌC”.
Bài 3[trang 6-sgk]
Cho hai tập hợp:
A= {a, b} ; B= {b, x, y}.
Điền kí hiệu thích hợp vào ô vuông:
x A y B b A b B
Bài 4[ trang 6-sgk]
Nhìn các hình 3, 4, 5, viết tập hợp A, B, M, H.
4

∉
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
A  2 B C
M
Hình 3 Hình 4 Hình 5
Bài 5[trang 6-sgk]
a) Một năm gồm bốn quý. Viết tập hợp A các tháng của quý hai trong năm.

b) Viết tạp hợp B các tháng (dương lịch) có 30 ngày.
Bài 6[trang 7-sgk]
a) Viết số tự nhiên liền sau mỗi số:
17; 99; a (với a
∈
N).
b) Viết số tự nhiên liền trước mỗi số:
35; 1000; b ( với b
*
N∈
).
Bài 7[trang 8-sgk]
Viết các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:
a) A = {x
∈
N/ 12<x<16};
b) B = { x
∈
*
N
/ x<5};
c) C = {x
∈
N/
13 15x≤ ≤
}.
Bài 8[trang8-sgk]
Viết tập hợp A các số tự nhiên không vượt quá 5 bằng hai cách. Biểu diễn trên tia
số các phần tử của tập hợp A.
Bài 9[trang 8-sgk]

Điền vào ô trống để hai số ở mỗi dòng là hai số tự nhiên liên tiếp tăng dần:
….,8
a,…
Bài 10[trang 8 – sgk]
Điền vào chỗ trống để ba số ở mỗi dòng là ba số tự nhiên liên tiếp giảm dần:
…,4600,…
…, …, a.
Bài 16[trang 13- sgk]
Mỗi tập hợp sau có bao nhiêu phần tử?
a) Tập hợp A các số tự nhiên x mà x – 8 = 12.
b) Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + 7 = 7.
c) Tập hợp C các số tự nhiên x mà x.0 = 0.
d) Tập hợp D các số tự nhiên x mà x.0 =3.
Bài 17[trang 13-sgk]
5
 26
 15
 1
 a b
sách
vở
bú
t
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Viết các tập hợp sau và cho biết mỗi tập hợp có bao nhiêu phần tử?
a) Tập hợp A các số tự nhiên không vượt quá 20.
b) Tập hợp B các số tự nhiên lớn hơn 5 nhưng nhỏ hơn 6.
Bài 18[trang 13-sgk]
Cho A = {0}. Có thể nói rằng A là tập hợp rỗng hay không?
Bài 19[trang 13-sgk]

Viết tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 10, tập hợp B các số tự nhiên nhỏ hơn 5, rồi
dùng kí hiệu
⊂
để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp trên.
Bài 20[trang 13-sgk]
Cho tập hợp A = {15; 24}. Điền kí hiệu
,∈ ⊂
hoặc = vào ô cho đúng:
a) 15 A; b) {15} A; c){15; 24} A.
Bài 21[trang 14-sgk]
Tập hợp A = {8; 9; 10;…;20} có 20 – 8 + 1 = 13 (phần tử).
Tổng quát: Tập hợp các số tự nhiên từ a đến b có b – a + 1 phần tử.
Hãy tính số phần tử của tập hợp sau: B= {10; 11; 12;…;99}.
Bài 22[trang 14-sgk]
Số chẵn là số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8; số lẻ là số tự nhiên có chữ
số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9. Hai số chẵn (lẻ) liên tiếp thì hơn kém nhau 2 đơn vị.
a) Viết tập hợp C các số chẵn nhỏ hơn 10.
b) Viết tập hợp L các số lẻ lớn hơn 10 nhưng nhỏ hơn 20.
c) Viết tập hợp A ba số chẵn liên tiếp, trong đó số nhỏ nhất là 18.
d) Viết tập hợp B bốn số lẻ liên tiếp, trong đó số lớn nhất là 31.
Bài 23[trang 14- sgk]
Tập hợp C = {8; 10; 12;…; 30} có ( 30 – 8): 2+1 (phần tử).
Tổng quát
- Tập hợp các số chẵn từ số chẵn a đến số chẵn b có ( b – a) : 2+ 1 phần tử.
- Tập hợp các số lẻ từ số lẻ m đến số lẻ n có ( n – m) : 2 + 1 phần tử.
Hãy tính số phần tử của các tập hợp sau:
D = {21; 23; 25;…;99)
E = {32; 34; 36;…;96}.
Bài 24[trang 14-sgk]
Cho A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 10.

B là tập hợp các số chẵn.
N
*
là tập hợp các số tự nhiên khác 0.
Dùng kí hiệu
⊂
để thể hiện quan hệ của mỗi tập hợp trên với tập hợp N các số tự
nhiên.
Bài 25[trang 14-sgk]
Cho bảng sau ( theo Niên giám năm 1999):
Nước Diện tích
( nghìn km
2
)
Nước Diện tích
( nghìn km
2
)
Bru – nây 6 Mi – an – ma 677
6
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Cam – pu – chia
In – đô – nê – xi – a
Lào
Ma – lai – xi - a
181
1919
237
330
Phi – lip – pin

Thái Lan
Việt Nam
Xin – ga - po
300
513
331
1
Viết tập hợp A bốn nước có diện tích lớn nhất, viết tập hợp B ba nước có diện tích
nhỏ nhất.
Dạng 2: Viết số tự nhiên thoả mãn yêu cầu nào đó
Với mười chữ số sau ta ghi được mọi số tự nhiên
Chữ
số
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Đọc
là
Không Một Hai Ba Bốn Năm Sáu Bảy Tám Chín
Bài 13 ( trang 10/ SGK T6-1)
a) Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số
 Giải
Gọi số tự nhiên cần tìm là A =
abcd
Vì A là số có 4 chữ số nên
0≠a
mà A là số tự nhiên nhỏ nhất nên a cũng
phải là chữ số tự nhiên nhỏ nhất, mà
0≠a
và nhỏ nhất thì chỉ có a = 1 là thoả mãn
Mặt khác A là số tự nhiên có 4 chữ số mà bài không yêu cầu là 4 chữ số
phải khác nhau nên có thể b=c=d và là chữ số tự nhiên nhỏ nhất

Như vậy chỉ có b = c = d = 0 là nhỏ nhất
vậy số tự nhiên cần tìm là 1000
- Bài tập 13 b ( trang 10-SGK L6-T1)
Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số khác nhau (Đ/S: 1023)
- Bài 11a ( Trang 10-SGK L6-T1)
Viết các số tự nhiên có số chục là 135 chữ số hàng đơn vị là 7
(Đ/S: 1357)
- Bài 14 ( Trang 10-SGK L6-T1)
7
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Dùng ba chữ số 0,1,2 hãy viết tất cả các số tự nhiên có ba chữ số mà các chữ
số khác nhau
(Đ/S: 102, 120, 201, 210)
Dạng 3: Xác định trong số cho trước các chữ số; số chục với chữ số hàng chục;
số trăm với chữ số hàng trăm…
Trong hệ thập phân, cứ mười đơn vị ở một hàng thì làm thành một đơn vị ở
hàng liền trước nó. Mỗi chữ số trong một số ở những vị trí khác nhau có những giá
trị khác nhau.
Bài 11 b ( Trang 10-SGK L6-T1)
Điền vào bảng
Số đã cho Số trăm
Chữ số hàng
trăm
Số chục
Chữ số hàng
chục
1425
2307
 Giải
Số đã cho Số trăm

Chữ số hàng
trăm
Số chục
Chữ số hàng
chục
1425 14 4 142 2
2307 23 3 230 0
- Bài 12 ( Trang 10-SGK L6-T1)
Viết tập hợp các chữ số của số 2000
(Đ/S: A={0;2})
Dạng 4: Đọc, viết các số La Mã
a) Chữ số La Mã gồm bảy kí hiệu
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
b) Giá trị số La Mã là tổng giá trị các chữ số của nó ( viết từ lớn đến nhỏ), trừ 6
trường hợp đặc biệt:
8
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
IV IX XL XC CD CM
4 9 40 90 400 900
Các chữ số La Mã ở các vị trí khác nhau vẫn có giá trị như nhau
Ta viết các số La Mã từ 1 đến 10 như sau: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
Nếu thêm vào bên trái mỗi số trên:
- Một chữ số X ta được các số La Mã từ 11 đến 20: XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI,
XVII, XVIII, XIX, XX
- Hai chữ số X ta được các số La Mã từ 21 đến 30: XXI, XXII, XXIII, XXIV,
XXV, XXVI, XXVII, XXVIII, XXIX, XXX
+ Phương pháp
- Ta cần nắm vững cách gọi các số La Mã với giá trị tương ứng trong hệ thập
phân

- Nắm vững quy tắc viết số La Mã
Bài 15 (Trang 10- SGK L6-T1)
a) Đọc các số La Mã sau
XIV XXVI
b) Viết các số sau bằng chữ số La Mã
17 25
a)
 Giải
XIV
- Ta có IV có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 4
- Trước IV có một chữ số X có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 10
Vây số XIV có thể đọc được là 14: Mười bốn
XXVI
- Ta có VI có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 6
- Trước VI có hai chữ số X có giá trị tương ứng trong hệ thập phân là 20
Vậy số XXVI có thể đọc được là 26: Hai mươi sáu
9
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
b)
17
-Nếu thêm một chữ số X bên trái chữ số La Mã từ 1 đến 10 ta được một số
mới có giá trị tương ứng từ 11 đến 20
-Mà 17 = 10 + 7
Vậy 17 ta có thể viết được bằng số La Mã là: XVII
25
- Nếu thêm hai chữ số XX vào bên trái chữ số La Mã từ 1 đến 10 thì ta được
một số mới có giá trị tương ứng là từ 21 đến 31
- Mà: 25 = 20 + 5
Vậy ta có thể viết được số 25 bằng số La Mã là: XXV
- Bài 15 c ( Trang 10-SGK L6-T1)

Cho chín que diêm được sắp xếp như trên hình 8. Hãy chuyển chỗ một que diêm để
được kết quả đúng.
Dạng 5: So sánh hai luỹ thừa
a) Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số
hoặc cùng số mũ.
- Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số ( >1 ) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ
lớn hơn.
Nếu m > n thì a
m
> a
n
( a > 1 )
- Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ ( lớn hơn 0 ) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn
hơn sẽ lớn hơn.
Nếu a > b thì a
n
> b
n
( n > 0)
b) Ngoài ra, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dung tính chất bắc cầu, tính chất
đơn điệu của phép nhân ( a < b thì ac < bc với c > 0 ).
*) Ví dụ 1:
So sánh 16
19
và 8
25
, số nào lớn hơn?
Giải:
Ta thấy các cơ số 8 và 16 tuy khác nhau nhưng đều là luỹ thừa của 2 nên ta tìm
cách đưa 16

19
và 8
25
về luỹ thừa cùng cơ số 2.
16
19
= ( 2
4
)
19
= 2
76
10
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
8
25
= ( 2
3
)
25
= 2
75
Vì: 2
76
> 2
75
nên 16
19
> 8
25

.
*) Ví dụ 2:
So sánh hai số sau:
3
2
3
2
và
2
3
2
3
.
Giải:
Xét số mũ của số:
3
2
3
2
, ta có:
3
2
3
=
8
3
.
Suy ra
3
2

3
2
=
8
8
>
4
8
=
12
2
>
10
2
vậy
3
2
3
2
>
10
2
2
=
9
2.2
2
=
9
2

4
>
9
2
3
=
2
3
2
3
Nhận xét:
- Lời giải bài toán trên là rất ngắn gọn vì đã biết cách sử dụng hai tính chất
sau:
i. Nếu
x
1
>
x
2
> 0 thì
x
a
1
>
x
a
2
, với a >1.
ii. Nếu a > b > 1 thì
x

a
>
x
b
với x > 0.
- Hoàn toàn sai lầm nếu biền đổi:
3
2
3
2
=
( )
2
3
3
2
=
2
3
8
Mà viết đúng phải là:
3
2
3
2
=
( )
8
3
2

.
c) Một số bài tập:
◙ So sánh các số sau số nào lớn hơn ?
1)
36
5
và
24
11
2)
n2
3
và
n3
2
( n
∈

*
N
).
3)
20
199
và
15
2003
.
4)
15

21
và
5
27
.
8
49
◙ So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?

45
72
-
44
72
và
44
72
-
43
72
+) Bài tập tương tự
Bài 65[trang 29-sgk]
Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?
a) 2
3
và 3
2
; b) 2
4
và 4

2
;
c) 2
5
và 5
2
; d) 2
10
và 100.
Bài 66[trang 29-sgk]
Đố: Ta biết 11
2
= 121; 111
2
= 12321.
Hãy dự đoán: 1111
2
bằng bao nhiêu? Kiểm tra lại dự đoán đó.
Bài 80[trang 33 –sgk]
Điền vào ô vuông các dấu thích hợp ( =, < , >):
1
2
1 1
3
1
2
- 0
2
(0+1)
2

0
2
+ 1
2
2
2
1 + 3 2
3
3
2
– 1
2
(1 +2)
2
1
2
+ 2
2
11
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
3
2
1 + 3 +5 3
3
6
2
– 3
2
(2 +3)
2

2
2
+ 3
2
4
3
10
2
- 6
2
Dạng 6: Nhận biết số nguyên tố
+ Phương pháp:
-Để biết một số có phải là số nguyên tố hay không trước tiên số đó phải là số
tự nhiên lớn hơn 1.
-Nếu thoả mãn điều kiện đó thì ta đi kiểm tra các ước của số đó.
- Ta xét xem ngoài ước là 1 và chính nó ra số đó còn có thêm ước nào khác
không?
- Trước hết ta sử dụng các dấu hiệu chia hết ( dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5;
11) để kiểm tra số đó, nếu số đó không có 1 trong các dấu hiệu chia hết trên thì ta
tiến hành chia số đó cho các số nguyên tố từ nhỏ đến lớn
+ Nếu có 1 phép chia hết thì số đó không nguyên tố
+ Nếu chia số đó đến lúc số thương nhỏ hơn số chia mà các phép chia
vẫn có dư thì số đó là số nguyên tố
Bài tập
- Bài 115 ( Trang 47-SGK L6-T1)
Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
312, 213, 435, 417, 3311, 67.
 Giải
312
Ta thấy 312 tận cùng là 2

2312⇒
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 312 còn có ước là 2
vậy 312 là hợp số
213
12
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Ta thấy 213 có tổng các chữ số là: 2 + 1 + 3 = 6
3
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 213 còn có ước là 3
vậy 213 là hợp số
435
Ta thấy 435 có số tận cùng là 5
5435⇒
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 435 còn có ước là 5
Vậy 435 là hợp số
417
Ta có tổng các chữ số của số 427 là: 4+1+7=12

3
Ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 417 còn có ước là 3
vậy 417 là hợp số
3311
Ta có tổng các chữ số hàng chẵn trừ đi tổng các chữ số hàng lẻ là:
(3+1)-(3+1)=0

11
vậy 3311

11 như vậy ngoài 2 ước là 1 và chính nó thì 3311 còn có ước là 11
vậy 3311 là hợp số

67
Ta lấy 67 chia lần lượt cho các số nguyên tố:
67 : 2 = 33 +
2
1
67 : 3 = 22 +
3
1
67 : 5 =13 +
5
2
67 : 7 = 9 +
7
4
67 : 11 = 6 +
11
1
→
Ta thấy 67 chia 11 được thương là 6 < 11 và vẫn còn số dư là
11
1
.
13
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
⇒
67 là số nguyên tố.
- Bài toán tương tự:
Bài 116/tr47 SGK Toán 6-tập 1:
Gọi P là tập hợp các số nguyên tố. Điền kí hiệu
∈

,
∉
hoặc
⊂
vào ô trống cho
đúng.
83 P 91 P 15 N P N
Đáp án: 83
∈
P ; 91
∉
P ( vì 91=7.13) ; 15
∈
N ; P
⊂
N.

Bài 117/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Dùng bảng số nguyên tố ở cuối sách, tìm các số nguyên tố trong các số sau:
117; 131; 313; 469; 647.
Đáp án: Dùng bảng số nguyên tố (nhỏ hơn 1000) ở cuối SGK Toán 6-tập 1/tr128
⇒
các số nguyên tố trong các số đã cho là: 131; 313; 647.

Bài 118/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Tổng( hiệu) sau là số nguyên tố hay hợp số?
a, 3 . 2 . 4 + 6 . 7 ; b, 7 . 9 . 11 . 13 – 2 . 3 . 4 . 7 ;
c, 3 . 5 . 7 + 11 . 13. 17 ; d, 16354 + 67541.
Bài 119/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Thay chữ số vào dấu * để được hợp số:

*1
;
*9
.
Bài 120/tr47 SGKToán 6-tập 1:
Thay chữ số vào dấu * để được số nguyên tố:
*5
;
*9
.
Dạng 7: Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
14
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
 Phương pháp:
Để phân tích một số tự nhiên A lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố ta viết số đó dưới
dạng một tích các thừa số nguyên tố
A = a
α
.b
β
…c
γ
Trong đó a, b, …, c là ngững số nguyên tố.

α
,
β
, …,
γ

∈
N và
α
,
β
, …,
γ

≥
1.
Trong cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố, ta thường viết các ước nguyên
tố theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.


Bài toán:
Bài 125/tr50 SGK Toán 6- tập 1:
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố:
a, 60 b, 84 c, 258
d, 1035 e, 400 f, 1000000
 Lời giải:
Ta có thể phân tích 60 ra thừa số nguyên tố theo cột dọc
60 5
12 3
4 2
2 2
1
Do đó 60 = 2 . 2 . 3 . 5 = 2
2
. 3 . 5
- Bài tập tương tự

Bài 126/tr50 SGK Toán 6-tập 1: An phân tích các số 120, 306, 567 ra thừa số
nguyên tố như sau:
120 = 2 . 3 . 4 . 5
306 = 2 . 3 . 51
567 = 9
2
. 7
15
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
An làm như trên có đúng không? Hãy sửa lại trong trường hợp An làm
không đúng.
Bài 127/tr50 SGK Toán 6-tập 1: Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi
cho biết mỗi số đó chia hết cho các số nguyên tố nào?
a, 225 b, 1800 c, 1050 d, 3060
Dạng 8: Tìm số ( Tìm số nguyên tố x khi biết một số điều kiện nào đó).


Phương pháp: Gồm 3 bước
- Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa những điều kiện đã biết với những điều kiện
chưa biết để thiết lập phương trình, hệ phương trình (nếu có).
- Bước 2: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.
Sử dụng phương pháp lí luận, Định nghĩa về số nguyên tố và các định
lí cơ bản về số nguyên tố để biện luận cho bài toán.
- Bước 3: Nhận định kết quả và trả lời.
So sánh kết quả với điều kiện của ẩn để đi đến kết quả của bài toán.

Bài toán:
Bài 121/tr47 SGK Toán 6- tập 1:
a, Tìm số tự nhiên k để 3k là số nguyên tố.
 Lời giải:

+) k = 0
⇒
3k = 3 . 0 = 0 : không là số nguyên tố.
+) k = 1
⇒
3k = 3 . 1 = 3 : là số nguyên tố.
+) k
≥
2
⇒
3k luôn là hợp số.
Vậy k = 1.
 Bài toán tương tự:
Bài 121/tr47 SGK Toán 6-tập 1.
a) Tìm số tự nhiên k để 3.k là số nguyên tố.
b) Tìm số tự nhiên k để 7.k là số nguyên tố
16
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Bài 123/tr47 SGK Toán 6-tập 1.
Điền vào bảng sau mọi số nguyên tố p mà bình phương của nó không vượt quá a,
tức là p
2
≤
a;
a 29 67 49 127 173 253
p 2,3,5
Bài 132/tr50 SGK Toán 6-tập 1.
a) Tâm có 28 viên bi. Tâm muốn xếp số bi đó vào các túi sao cho số bi ở các túi
đều bằng nhau. Hỏi Tâm có thể xếp 28 viên bi đó vào mấy túi? ( kể cả trường hợp
xếp vào một túi).

Dạng 9: Bài toán liên quan về số các ước và tính tổng các ước của một số
 Phương pháp
Để tính số lượng các ước của m (m>1) ta xét dạng phân tích của m ra thừa số
nguyên tố
Nếu
x
m a=
thì m có x+1 ước
Nếu
x y
m a b= ×
thì m có (x + 1).(y + 1) ước
Nếu
x y z
m a b c= × K
thì m có (x + 1).(y + 1).(z +1) ước
 Để tính tổng các ước của m:
Nếu
x y z
m a b c= × K
thì tổng các ước của m là:
1 1 1
1 1 1
( )
1 1 1
x y z
a b c
m
a b c
σ

+ + +
− − −
= × ×××
− − −
 Bài toán
B130/tr 50 SGk T6_tập 1
Phân tích các số sau ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của mỗi số :
51; 75; 42; 30
 Lời giải
+ Ta có : 51 = 3.7
⇒
Tập hợp các ước của 51 có (1+1).(1+1)= 4 phần tử
Ư
(51)
= {1; 3; 17; 51}
17
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Tương tự ta có
Ư
(75)
={1; 3; 5; 15; 25; 75}
Ư
(42)
={1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}
Ư
(30)
={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
 Khai thác
Bài tập tương tự
Bài 133/tr 51SGK T6_tập 1

a) Phân tích số 111 ra thừa số nguyên tố rồi tìm tập hợp các ước của 111
Bài 129/tr 50 SGK T6_tập 1
a) Cho số a = 5.13. Hãy viết tất cả các ước của a
b) Cho số b= 2
5
. Hãy viết tất cả các ước của b
c) Cho số c=3
2
.7. Hãy viết tất cả các ước của c
Dạng 10: Chữ số tận cùng của một tích hay một luỹ thừa
a) Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết
tới một hay nhiều chữ số tận cùng của nó. Chẳng hạn, khi so xổ số muốn biết
có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so hai chữ số tận cùng. Trong
toán học, khi xét một số một số có chia hết cho 2,4,8 hoặc chia hết cho 5, 25,
125 hay không ta chỉ cần xét 1,2,3 chữ số tận cùng của số đó.
b) Tìm chữ số tận cùng của tích.
- Tích các số lẻ là một số lẻ.
Đặc biệt, tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ
số tận cùng là 5.
- Tích của một số chẵn với bất kì một số tư nhiên nào cũng là một số chẵn.
Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào
cũng có chữ số tận cùng là 0.
c) Tìm ba chữ số tận cùng của một luỹ thừa.
- Các số tự nhiên tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kì (
≠
0)
vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó.
- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n
đều có tận cùng là 1.
…

n4
3
=…1; …
n4
7
=…1; …
n4
9
=…1.
- Các số tự nhiên tận cùng bằng những chữ số 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n
≠
0) đều có tận cùng là 6.
…
n4
2
=…6; …
n4
4
=…6; …
n4
8
=…6.
(Riêng đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, nâng lên luỹ
thừa lẻ đều có số tận cùng bằng chính nó;nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số
tận cùng lần lượt là 6 và 1).
d) Một số chính phương thì không có tận cùng bằng: 2,3,7,8.
*)Ví dụ 1:
Cho A =
n
51

+
102
47
(n
∈
N). Chứng minh rằng A

10.
Giải:
18
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
n
51
= …1
102
47
=
100
47
.
2
47
=
25.4
47
.
2
47
= …1
×

…9 = …9.
Vậy A = …1 + …9 = …0; A

10.
e) Một số bài tập:
◙ Tìm chứ số tận cùng cả các phép toán sau:
1)
205
125
-
15
237
2)
12
3
+
13
5
+
15
7
+
9
11

◙ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và n > 1 thì:
n
2
5
+ 2 có chữ số tận cùng

là 7.
◙ Tích A = 2.
2
2
.
3
2
…
10
2

×

2
5
.
4
5
.
6
5
…
14
5
tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
◙ Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
1)
7
6
5

234
.
2)
5
7
6
579
◙ Tích các số lẻ liên tiếp có tận cùng bằng 7. Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa
Dạng 11: Tìm các chữ số chưa biết của 1 số
Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a =
b.k.
Bài toán: Tìm chữ số a biết rằng chia hết cho 7.
• Lời giải
Ta có: = .1000 +
= ( .1000 + ).1000 +
= .1001.1000 +
Theo đề bài + 7, mà 1001 + 7 nên suy ra + 7.
Ta có = 200 + a = 196 + (4 + a) chia hết cho 7
Nên (4 + a) + 7
Vậy a = 3.
• Khai thác
- BT tương tự: Ô tô đầu tiên ea đời năm n = , trong đó n + 5 và a, b , c ∈ {1;
5; 8} ( a, b, c khác nhau).
- BT khác:
+ bài 1: Tìm số tự nhiên có hai chữ số, các chữ số giống nhau, biết rằng số đó
chia hết cho 2 và khi chia cho 5 thì dư 3.
+ bài 2: Điền chữ số vào dấu * để được số thỏa mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 2
19
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8

b) Chia hết cho 5.
+ bài 3: Điền chữ số vào dấu * để:
a) chia hết cho 3
b) chia hết cho 9
c) chia hết cho cả 3 và 5
d) chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. ( Trong một số có nhiều dấu *, các dấu * không
nhất thiết thay bởi các chữ số giống nhau).
+ bài 4: Điền các chữ số vào dấu * để được số thỏa mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 2
b) Chia hết cho 5
Dạng 12: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức số
Bài toán : Chứng minh rằng 21
39
+39
21
chia hết cho 45

 Lời giải
*Cách 1:
Ta có 21
39
+ 39
21
= (21
39
- 1 ) + (39
21
+ 1)
Vì 21
39

- 1 = 20 (21
38
+ 21
37
+ …+ 1) chia hết cho 5
Vậy 39
21
+ 1 = 40 (39
20
- 39
19
+ …+1) chia hết cho 5
Suy ra: (21
39
- 1 ) + (39
21
+ 1) chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
- 39
21
= (21
39
- 3
39
) + (39
21
- 3
21
) + (3

39
+ 3
21
)
Mà 21
39
- 3
39
= 18 (21
38
+ …+3
38
) chia hết cho 9
21
39
- 3
39
= 36 (39
20
+…+3
20
) chia hết cho 9
Vậy 3
39
+ 3
21
= 3
21
(3
18

+ 1) = (3
3
)
7
(3
18
+ 1) chia hết cho 9
Mà ( 5,9) = 1 nên 21
39
+ 39
21

45
*Cách 2 :
vì 45 = 5.3
2
nên để chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45 thì ta chứng minh
21
39
+ 39
21
chia hết cho 5.3
2

Ta có: 21
39

= (20 + 1)
39
= 20
39
+ 39. 20
38
+ …+ 39.20 + 1= 10M + 1.39
21
= (30 + 9)
21
= 30
21
+ 21.30
20
.9 + 9 +…+ + 21.30.9
20
+ 9
21
= 10N + 9
20
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Như vậy: 21
39
+ 39
21
= 10K + 1 + 9 = 10K + 10 chia hết cho 5
Mặt khác 21
39
+ 39
21

= (7.3)
39
+ (13.3)
21
= 7
39
.3
39
+ 13
21
.3
21
= 3
21
. 7
39
. 3
18
+ 13
21
. 3
21
= 3
21
(7
39
. 3
18
+ 13
21

) = (3
3
)
7
(7
39
. 3
18
+ 13
21
) chia hết cho 9
*C¸ch 3
Ta có: 21
≡
1 (mod 20)
39
≡
-1 (mod 20)
Vậy 21
39
+ 39
21

≡
1
39
+ (-1)
21

≡

0 (mod 20)
Như vậy 21
39
+ 39
21
chia hết cho 20; do đó 21
39
+ 39
21
chia hết cho 5 (*)
Tương tự ta chứng minh 21
39
+ 39
21
chia hết cho 9
KL: Vậy 21
39
+ 39
21
chia hết cho 45.
 Khai thác
-BT tương tự:
+bài 1: Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho 8
không:
a) 48 + 56
b) 80 + 17
+bài 2: Áp dụng tính chất chia hết, xét xem hiệu nào chia hết cho 6:
a) 54 - 36
b) 60 - 14
+bài 3: Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng nào chia hết cho 7:

a) 35 + 49 + 210
b) 42 + 50 + 140
c) 560 + 18 + 3
+bài 4: Điền dấu “X” vào ô thích hợp trong các câu sau và giải thích điều đó:
Câu Đúng Sai
a) 134.4 + 16 chia hết
21
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
cho 4
b) 21.8 + 17 chia hết
cho 8
c) 3.100 + 34 chia hết
cho 6
+ bài 5: Cho tổng A = 12 + 14 + 16 + x với x ∈ N. Tìm x để:
a) A chia hết cho 2
b) A không chia hết cho 2
+bài 6: Tổng ( hiệu) sau có chia hết cho 2 không, có chia hết cho 5 không?
a) 136 + 420
b) 625 - 450
c) 1.2.3.4.5.6 + 42
d) 1.2.3.4.5.6 - 35
+bài 7: Tổng ( hiệu) sau có chia hết cho 3 không, có chia hết cho 9 không?
a) 1251 + 5316
b) 5436 - 1324
c) 1.2.3.4.5.6 + 27
Dạng 13: Chứng minh chia hết đối với 1 biểu thức chứa chữ
Bài toán: Với mọi n dương chứng minh:
B = 7
n
+3n -1 chia hết cho 9.

 Lời giải
Cách 1: (Phương pháp quy nạp toán học)
+Nếu n = 1 thì B = 7 + 3 - 1 = 9

9.
Giả sử mệnh đề đúng với n = k tức là B
k
= 7
k
+3k -1 chia hết cho 9.
Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k +1.
22
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
Thật vậy: B
k+1
= 7
k+1
+ 3 ( k+1) -1.
B
k+1
= 7. 7
k
+ 3k + 3 -1
B
k+1
= 7 ( 7
k
+ 3k -1) – 6. 3k – 9
B
k+1

= 7( 7
k
+ 3k -1) – 9.2k -9
B
k+1


9
Vậy 7
n
+ 3n -1

9 mọi n nguyên dương
Cách 2:
Ta có : 7
n
+ 3n -1 = (6 + 1)
n
+ 3n -1
= 6
n
+ c
1
n 6
n-1
+ c
2
n
. 6
n-2

+ …. + c
n
n-1
. 6 + c
n
n
+ 3n-1
=(6
n
+ c
n
1
.6
n-1
+ c
n
2
. 6
n-2
+… + c
n
n-2
. 6
2
) + c
n
n-1
. 6+ c
n
n

+3n-1
=(3.2)
n
+c
n
1
. . (2.3)
n-1
+ c
n
2
.(3.2)
n-2
+….+c
n
n-2+(3.2)
n+2
+d
c
n
n-1
. 6 + c
n
n
+ 3n-1
=2
n
. 3
n
+ c

n
1
.2
n-1
.3
n-1
+….+ c
n
n-2
.3
n-2
.2
n-2
+ 6n + 1 + 3n -1
=3
2
(2
n
. 3
n-2
+ c
n
1
.2
n-1
.3
n-2
+ …. +c
n
n-2

.2
2
)+9n.
=9(2
n
. 3
n-2
+ c
n
1
. 2
n-1
. 3
n-2
+…+ c
n
n-2
.2
2
) + 9n

9
Vậy 7
n
+ 3n -1

9 mọi n nguyên dương.
 Khai thác
- BT tương tự
+ Chứng minh rằng :

a)-10
n
+ 72n -1 chia hết cho 91.
b)- 2
2n
+15n-1 chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương.
+ Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8. Hỏi số a có chia hết cho 4
không? Có chia hết cho 6 không?
+ Gạch dưới số mà em chọn:
a) Nếu a + 3 và b + 3 thì tổng a + b chia hết cho 6, 9, 3
b) Nếu a + 2 và b + 4 thì tổng chia hết cho 4, 2, 6
23
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
c) Nếu a + 6 và b + 9 thì tổng a + b chia hết cho 6, 3, 9
Dạng 14: Tìm điều kiện để bài toán chia hết 1 số hoặc 1 biểu thức
Bài toán: Tìm các chữ số a, b sao cho a - b = 4 và chia hết cho 3
 Lời giải
Số + 3 => 7 + a + 5 + b + 1 + 3
 13 + a + b + 3 => a + b chia cho 3 dư 2 (1)
Ta có: a - b = 4
Nên a ≤ a ≤ 9
0≤ b ≤ 5
Suy ra 4 ≤ a+b ≤ 14 (2)
Mặt khác a - b chẵn nên a+ b chẵn (3)
Từ (1), (2), (3): a + b ∈ {8;14}
Với a + b = 8; a - b = 4 ta được a = 6; b = 2
Với a + b = 14; a - b = 4 ta được a = 9; b = 5
 Khai thác
- BT tương tự
+bài 1: Viết số tự nhiên nhỏ nhất có năm chữ số sao cho số đó:

a) Chia hết cho 3
b) Chia hết cho 9
+bài 2: Dùng ba trong bốn chữ số 4, 5, 3, 0 hãy ghép thành các số tự nhiên có
ba chữ số sao cho các số đó:
a) Chia hết cho 9
b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9
24
PPDH các nội dung môn toán Nhóm SV thực hiện: nhóm 8
+bài 3: Trong các số sau số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
187; 1347; 2515; 6534; 93258
+bài 4: Cho các số : 3564; 4352; 6531; 6570; 1248
a) Viết tập hợp A các số chia hết cho 3 trong các số trên
b) Viết tập hợp B các số chia hết cho 9 trong các số trên
c) Dùng kí hiệu ⊂ để thể hiện quan hệ giữa hai tập hợp A và B.
+bài 5: Dùng ba chữ số 4, 0 , 5 hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số
khác nhau thỏa mãn điều kiện:
a) Số đó chia hết cho 2
b) Số đó chia hết cho 5
+bài 6: Cho các số : 2141; 1345; 4620; 234. Trong các số đó:
a) Số nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5
b) Số nào chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2
c) Số nào chia hết cho cả 2 và 5
d) Số nào không chia hết cho cả 2 và 5

25